一般来说，三层神经网络可以逼近任何一个非线性函数，为什么还需要深度神经网络?
这个问题问得特别好，也非常核心。很多人初学神经网络时，都会有这样的疑问：既然三层网络（输入层、一个隐藏层、输出层）已经“万能”了，为什么还要费那么大的劲去堆叠更多的隐藏层，搞出什么“深度”神经网络呢？
这就像是我们问：既然一把瑞士军刀功能很多了，为什么我们还要发展出专门的螺丝刀、扳手、钳子等等？理论上说，瑞士军刀能做很多事，但它做的可能不够好，不够高效，也不够灵活。深度神经网络也是类似道理。
让我详细地给你掰扯掰扯，为什么我们离不开深度：
1. “万能逼近定理”的美丽与现实差距
首先，我们得明确，那个“三层神经网络可以逼近任何一个非线性函数”的说法，指的是理论上的可能性，一个万能逼近定理（Universal Approximation Theorem）。这个定理确实存在，而且非常重要。它告诉我们，只要隐藏层有足够的神经元（不是层数），一个单隐藏层的神经网络理论上可以拟合任何连续函数。
但是，这里有几个关键的“但是”：
神经元数量的爆炸性增长： 要用一个单隐藏层逼近一个复杂的函数，可能需要极其巨大的隐藏层。想象一下，如果我们要逼近一个非常有规律但又很复杂的曲线，单隐藏层可能需要成千上万，甚至上百万个神经元才能捕捉到这些细微的变化。这会导致模型参数量爆炸，训练起来极其困难，而且非常容易过拟合（模型对训练数据拟合得太好，以至于对新的、未见过的数据表现很差）。
学习效率低下： 即使我们能承受巨大的神经元数量，单层网络学习这些复杂模式的效率也非常低下。它更像是在用一个非常“宽”的橡皮筋去拉伸和塑形，而没有办法通过多层结构来“分而治之”。
特征表示的深度和抽象性： 复杂函数往往蕴含着层层递进的抽象特征。比如在图像识别中，一个三层网络可能只能学会识别边缘、颜色等非常低级的特征。而要识别出“眼睛”、“鼻子”这样的中级特征，再到“人脸”这样的高级特征，需要一个更深层次的特征提取和组合过程。
2. 深度神经网络的“分而治之”与“特征的层次性”
深度神经网络的强大之处，恰恰在于它通过堆叠多层隐藏层，能够层层递进地学习和构建越来越抽象的特征表示。这就像一个人的学习过程，从认识最基本的笔画，到组成汉字，再到组成词语，最后理解句子和文章的含义。
浅层学习低级特征： 网络的最前面几层，通常会学习到数据中最基本、最直接的特征。在图像领域，这可能是边缘、角点、纹理等。在文本领域，可能是词语的共现模式。
中间层组合和抽象化： 中间的隐藏层会进一步将前一层提取到的特征进行组合和抽象。比如，在图像中，低级的边缘特征可以组合成更复杂的形状，比如眼睛的轮廓。
深层学习高级语义： 网络的最深层，则能学习到非常高级、非常抽象的语义信息。例如，在图像识别中，深层可以识别出“猫”、“狗”、“汽车”这样的具体对象。在自然语言处理中，深层可以理解句子的含义、情感，甚至进行推理。
这种层次化的特征提取是深度网络的核心优势。它使得模型能够更好地理解数据的内在结构和复杂关系，而不需要在一个非常宽的层中硬塞下所有的信息。
3. 参数效率与泛化能力
尽管深度网络通常层数很多，但相比于一个同样能达到相似性能的“又宽又浅”的网络，深度网络往往在参数效率上表现更好。这意味着它可以用更少的参数来实现更高的性能和更好的泛化能力（对新数据的适应能力）。
为什么呢？因为深层网络学习到的特征表示是可复用的。网络的前几层学习到的通用特征，可以被后面的层重复利用来构建更复杂的概念。这就像我们学习了一个“画圆”的技能，可以用这个技能去画“眼睛”、“车轮”等等，而不是每次都从零开始学习如何画一个圆。
一个非常宽的单隐藏层网络，为了达到相似的性能，可能需要大量的神经元，每个神经元可能学习到一个相对独立的、缺乏层次结构的特征。而深层网络则通过层层累积，形成一个更“结构化”、更高效的特征学习体系。
4. 解决复杂问题的需求
现实世界中的问题，无论是图像识别、语音识别、自然语言理解，还是自动驾驶、药物发现，其背后都隐藏着极其复杂的非线性关系和高维度的特征空间。
图像识别： 一张图片包含成千上万的像素，这些像素之间的组合构成了无数种可能，从简单的纹理到复杂的物体形状，再到物体之间的空间关系。深度神经网络能够一层一层地解析这些信息。
自然语言处理： 语言的理解涉及词汇、语法、语义、上下文、情感等多个层面。深度神经网络可以捕捉到词语之间长距离的依赖关系，理解语法的结构，以及推断出文本的深层含义。
仅仅依靠一个单隐藏层，即使理论上可行，在实践中也难以有效地处理这些复杂问题。它就像是要求一个人只用一根手指来完成所有精细的操作，而大脑的深度处理能力被极大地限制了。
总结一下：
虽然理论上一个足够宽的三层神经网络可以逼近任何函数，但在实践中，深度神经网络（多层隐藏层）具有以下显著优势，使得它们在处理现实世界的复杂任务时不可或缺：
更有效的特征学习： 能够层层递进地学习抽象和组合特征，捕捉数据的层次结构。
更高的参数效率： 用更少的参数实现更好的性能和泛化能力。
更好的学习效率： 更容易通过梯度下降等优化算法找到最优解。
解决复杂问题的能力： 能够更好地模拟和处理现实世界中复杂的数据模式和非线性关系。
所以，深度学习之所以能取得如此巨大的成功，并非因为它否定了万能逼近定理，而是因为深层结构在实际应用中提供了更高效、更强大、更具泛化能力的解决方案。它是一种更加符合我们理解世界和学习知识的“工程化”方法。
这就像是我们问：既然一把瑞士军刀功能很多了，为什么我们还要发展出专门的螺丝刀、扳手、钳子等等？理论上说，瑞士军刀能做很多事，但它做的可能不够好，不够高效，也不够灵活。深度神经网络也是类似道理。
让我详细地给你掰扯掰扯，为什么我们离不开深度：
1. “万能逼近定理”的美丽与现实差距
首先，我们得明确，那个“三层神经网络可以逼近任何一个非线性函数”的说法，指的是理论上的可能性，一个万能逼近定理（Universal Approximation Theorem）。这个定理确实存在，而且非常重要。它告诉我们，只要隐藏层有足够的神经元（不是层数），一个单隐藏层的神经网络理论上可以拟合任何连续函数。
但是，这里有几个关键的“但是”：
神经元数量的爆炸性增长： 要用一个单隐藏层逼近一个复杂的函数，可能需要极其巨大的隐藏层。想象一下，如果我们要逼近一个非常有规律但又很复杂的曲线，单隐藏层可能需要成千上万，甚至上百万个神经元才能捕捉到这些细微的变化。这会导致模型参数量爆炸，训练起来极其困难，而且非常容易过拟合（模型对训练数据拟合得太好，以至于对新的、未见过的数据表现很差）。
学习效率低下： 即使我们能承受巨大的神经元数量，单层网络学习这些复杂模式的效率也非常低下。它更像是在用一个非常“宽”的橡皮筋去拉伸和塑形，而没有办法通过多层结构来“分而治之”。
特征表示的深度和抽象性： 复杂函数往往蕴含着层层递进的抽象特征。比如在图像识别中，一个三层网络可能只能学会识别边缘、颜色等非常低级的特征。而要识别出“眼睛”、“鼻子”这样的中级特征，再到“人脸”这样的高级特征，需要一个更深层次的特征提取和组合过程。
2. 深度神经网络的“分而治之”与“特征的层次性”
深度神经网络的强大之处，恰恰在于它通过堆叠多层隐藏层，能够层层递进地学习和构建越来越抽象的特征表示。这就像一个人的学习过程，从认识最基本的笔画，到组成汉字，再到组成词语，最后理解句子和文章的含义。
浅层学习低级特征： 网络的最前面几层，通常会学习到数据中最基本、最直接的特征。在图像领域，这可能是边缘、角点、纹理等。在文本领域，可能是词语的共现模式。
中间层组合和抽象化： 中间的隐藏层会进一步将前一层提取到的特征进行组合和抽象。比如，在图像中，低级的边缘特征可以组合成更复杂的形状，比如眼睛的轮廓。
深层学习高级语义： 网络的最深层，则能学习到非常高级、非常抽象的语义信息。例如，在图像识别中，深层可以识别出“猫”、“狗”、“汽车”这样的具体对象。在自然语言处理中，深层可以理解句子的含义、情感，甚至进行推理。
这种层次化的特征提取是深度网络的核心优势。它使得模型能够更好地理解数据的内在结构和复杂关系，而不需要在一个非常宽的层中硬塞下所有的信息。
3. 参数效率与泛化能力
尽管深度网络通常层数很多，但相比于一个同样能达到相似性能的“又宽又浅”的网络，深度网络往往在参数效率上表现更好。这意味着它可以用更少的参数来实现更高的性能和更好的泛化能力（对新数据的适应能力）。
为什么呢？因为深层网络学习到的特征表示是可复用的。网络的前几层学习到的通用特征，可以被后面的层重复利用来构建更复杂的概念。这就像我们学习了一个“画圆”的技能，可以用这个技能去画“眼睛”、“车轮”等等，而不是每次都从零开始学习如何画一个圆。
一个非常宽的单隐藏层网络，为了达到相似的性能，可能需要大量的神经元，每个神经元可能学习到一个相对独立的、缺乏层次结构的特征。而深层网络则通过层层累积，形成一个更“结构化”、更高效的特征学习体系。
4. 解决复杂问题的需求
现实世界中的问题，无论是图像识别、语音识别、自然语言理解，还是自动驾驶、药物发现，其背后都隐藏着极其复杂的非线性关系和高维度的特征空间。
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自然语言处理： 语言的理解涉及词汇、语法、语义、上下文、情感等多个层面。深度神经网络可以捕捉到词语之间长距离的依赖关系，理解语法的结构，以及推断出文本的深层含义。
仅仅依靠一个单隐藏层，即使理论上可行，在实践中也难以有效地处理这些复杂问题。它就像是要求一个人只用一根手指来完成所有精细的操作，而大脑的深度处理能力被极大地限制了。
总结一下：
虽然理论上一个足够宽的三层神经网络可以逼近任何函数，但在实践中，深度神经网络（多层隐藏层）具有以下显著优势，使得它们在处理现实世界的复杂任务时不可或缺：
更有效的特征学习： 能够层层递进地学习抽象和组合特征，捕捉数据的层次结构。
更高的参数效率： 用更少的参数实现更好的性能和泛化能力。
更好的学习效率： 更容易通过梯度下降等优化算法找到最优解。
解决复杂问题的能力： 能够更好地模拟和处理现实世界中复杂的数据模式和非线性关系。
所以，深度学习之所以能取得如此巨大的成功，并非因为它否定了万能逼近定理，而是因为深层结构在实际应用中提供了更高效、更强大、更具泛化能力的解决方案。它是一种更加符合我们理解世界和学习知识的“工程化”方法。
网友意见
因为从approximation error（拟合误差）的角度，无论是实验结果来看，还是从理论分析来看，大部分情况下“深”都比“宽”更有效。
理论层面的话，分享一篇我比较喜欢的paper里的结果（Why Deep Neural Networks for Function Approximation?，ICLR 2017），作者是UIUC的Shiyu Liang和R. Srikant。
简单来说，这篇文章证明了，如果想要达到 的拟合误差（approximation error），深度为常数（与 无关）的神经网络需要 个神经元，也就是说，shallow neural network的神经元数量随着精度（ ）的上升多项式增长。然而，深度为 的神经网络只需要 个神经元，也就是说，deep neural network的神经元数量随着精度的上升对数增长。换言之，想要达到同样的拟合误差，更深的神经网络需要的神经元数量远小于层数少的神经网络。
歪个楼，深度学习的教材里面一般都会提到这个定理。
Universal Approximation Theorem（1989）
Stone-Weierstrass Theorem（1885）
在一百年之前，数学家已经有一个类似的结论，其实用多项式就足够逼近闭区间上面的任意连续函数了。
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