如何给高中生解释群论？
咱们先把目光从数学的严谨定义上暂时移开，回到我们刚才的游戏。你想想，我们生活中有很多“操作”或者“变换”，它们可以被组合起来。比如，我们把一本书在桌子上转动。我们可以顺时针转90度，也可以再转90度，这相当于两次90度的旋转。或者，我们可以选择不转。
在群论里，我们把这些“可以组合在一起的操作”叫做“元素”，而我们整个“可以进行的操作集合”以及它们组合的方式，就构成了一个“群”。
首先，一个群需要满足几个非常重要的“规矩”，这些规矩听起来可能有点绕，但其实它们是我们日常生活中都会自然遇到的情况。
第一条规矩叫做“封闭性”。这听起来有点像个封闭的房间，但其实它的意思很简单：如果你在我们这个游戏里拿两个操作，然后把它们“组合”起来，那么你得到的结果也必须是我们这个游戏里允许的操作。比如，我们玩的是“旋转”，允许的操作是顺时针旋转0度、90度、180度、270度。如果你把90度旋转和180度旋转组合起来，得到的就是270度旋转，而270度旋转也是我们允许的操作之一。这就像你和你朋友玩石头剪刀布，无论你们怎么出，结果总是石头、剪刀、布中的一种。
第二条规矩叫做“结合律”。这个有点像我们在做数学题的时候，加法和乘法都有结合律：(a+b)+c = a+(b+c)。在群论里，如果我们要组合三个操作A、B、C，那么先组合A和B，再把结果和C组合，和先组合B和C，再把A和结果组合，它们的结果是完全一样的。顺序不重要，重要的是我们如何“分组”。想象一下，你先穿上袜子，再穿鞋子；或者你先穿上外套，再穿裤子。你最后能穿好衣服，但整个“穿衣服”这个过程怎么分组，并不影响最终的状态。
第三条规矩，也是非常非常重要的一条，叫做“单位元”。每个群里都必须有一个特殊的“什么都不做”的操作。这个操作就像一个“中立”的存在，它和任何其他操作组合，都不会改变那个其他操作。在我们的旋转例子里，这个“什么都不做”的操作就是旋转0度，或者说不进行任何旋转。无论你先旋转90度，还是先不转，再转90度，最后都是90度旋转。这个单位元就像游戏的“起始点”或者“原点”。
最后一条规矩是“逆元”。这意味着每个操作都必须有一个“反操作”，当你把一个操作和它的反操作组合在一起时，它们的结果一定是那个“什么都不做”的单位元。在我们的旋转例子里，顺时针旋转90度的反操作就是逆时针旋转90度（或者顺时针旋转270度）。把这两个组合起来，你就回到了原来的状态，也就是旋转了0度。这就像你走到房间的东边，然后再走到西边，你就回到了原地。
这四条规矩——封闭性、结合律、单位元、逆元——就是构成一个“群”的基石。它们看似简单，但一旦我们找到了一个满足这些规矩的“操作集合”，我们就能从中挖掘出非常深刻和美丽的数学规律。
那么，群论有什么用呢？它听起来有点抽象，像是只存在于数学家的脑子里。但其实，它早已悄悄地渗透到了我们生活的方方面面，甚至是我们理解世界的方式。
比如，在化学里，我们研究分子的对称性。一个分子的形状，它到底有多少种不同的旋转和反射方式能让它看起来和原来一模一样？这些对称操作就构成了一个群！通过研究这个群的结构，化学家就能预测分子的性质，比如它会如何与其他分子发生反应。
再比如，密码学。我们现在上网购物、发送信息，很多都是加密的。这些加密和解密的算法，很多都建立在群论的基础上。你知道吗？我们手机里的一些加密技术，比如RSA加密，就利用了数论中的“乘法群”的性质。
还有物理学，粒子物理学家研究基本粒子的性质，他们发现，很多粒子的行为都可以用群来描述。对称性在物理学中扮演着极其重要的角色，而群论正是描述和理解对称性的语言。
即使是艺术和设计，我们也能看到群论的影子。想想那些精美的几何图案，比如像瓷砖那样重复排列的图案，它们背后隐藏的对称性，其实也可以用群论的语言来分析。
所以，群论不仅仅是抽象的数学符号，它更像是一套通用的“规则手册”，帮助我们理解那些“可变”事物的内在规律，以及它们如何组合、如何变化。它教我们一种看待世界的方式：关注事物的“动作”和“关系”，以及这些动作和关系背后的不变的“结构”。
它让我们明白，即使是看似混乱的现象，如果我们能找到它背后隐藏的“群”，我们就能从中发现秩序和规律。它是一种强大的工具，能够帮助我们理解对称性、周期性、变换等等许多重要的概念，而这些概念，正是构成我们所处宇宙的基本元素。
所以，下次当你看到一个精美的图案，或者思考一个物体的某种变化时，不妨想想，这里面是不是藏着一个“群”呢？或许，那个抽象的数学理论，正以你意想不到的方式，揭示着世界的奥秘。
网友意见
谢
@白如冰邀。
先声明一下，这篇回答不是科普文（而是……元科普文？），所以文中一些例子的叙述方式很可能并不能让没学过群论的人看懂。（当我写科普的时候我会努力表述清楚的=w=）
我第一次接触群论是在初三的时候（班上还有初二的），当时老师通过教我们如何盲拧（二阶）魔方来引入置换拆分的概念，真的超级有趣=w= 后来我也跟不少高中生甚至初中生讲过关于群论的知识，所以对这个问题也有一点点自己的想法。
在我回答这个问题的时候，题目是『如何给高中生解释群论』。我觉得这个问题有点大：什么样水平的高中生？他们的了解意愿有多强？希望解释到什么程度、达到什么效果？这些都会对『解释』产生不小的影响。
我看到有答主放上了人教版高中数学选修《对称与群》。我第一次知道这本书的时候是高三，当时很激动地找来看，然后看完非常失望。也许有人会喜欢这本书，但就我个人而言，我不会以这样的方式向高中生介绍群论。我先说说自己对这本教材的看法：
首先，教材的第一讲是《平面图形的对称群》。
第一节《平面刚体运动》我认为有些多余，其中的很多概念比如『反射』、『旋转』，高中生应该早就知道了，完全可以不讲。『恒等变换』的概念虽然重要，但在这里讲出来很可能会给人一种强行命名的感觉——这也叫变换？好吧，so what？
第二节《对称变换》从二面体群引入『群』的概念（虽然还没有给出定义），以此为例子来介绍群的封闭性、结合律、单位元、逆元这四个条件。我觉得这未尝不可，但有可能还是不免让人疑惑：这又怎么样呢？二面体群确实是一个很好的例子，但如果让我讲的话，我倾向于把这个放在群的定义之后讲。
这让我想到小学数学课本中讲到的『加法交换律』、『加法结合律』、『乘法交换律』和『乘法结合律』。这些概念让小学时的我感到很莫名其妙：这不是很显然的吗？何必还要额外取这么些高大上的名字？
群的概念也类似，如果直接讲正多边形的对称变换满足四个性质于是被称作『群』，那么学生还是会疑惑：这不是很显然吗？为什么要单独定义这么个概念？而这两个问题很可能会进一步变成：我为什么要学这个？？？（对于这个问题，大部分人可以接受的回答是『有用』或者『有趣』。群论确实既有用又有趣，但我觉得这本教材没有把有用和有趣讲出来。）
接着，教材的第二讲是《代数学中的对称与抽象群的概念》。
前两节讲的是对称群和对称多项式，同样都是很好的例子，而且水都很深。我同样是倾向于把它们放在群的定义之后讲——对称多项式可能会更迟一些，放到环或者伽罗瓦理论里讲。
第三节终于讲到了群的定义，然而才讲完定义和一个的例子就跳到了『直积』……这是让我非常受不了的地方。
没错，直积是可以让我们从两个已知的群出发，构建新的群。可是问题在于，我们为什么要构建新的群？群到底可以干嘛？教材对于之前给的所有例子的介绍方式都会让人觉得它们很显然，所以这时候开始讲『如何从已知群构建新的群』我真的觉得不太妥。
然后就没了！！！！就没了……没了……了……我是说，实实在在讲数学的部分没了。能想象满怀期待的我第一次看到这里的时候有多么失望吗……
第三讲就变成了《对称与群的故事》：群的用处很广呦！可以用来描述面饰、分子、晶体的对称性呢！并且有个很厉害的群叫伽罗瓦群！它可以与方程联系起来呢！
然后就真的没了。
我觉得读完这本书的人可能会有这样的感觉：噢…满足四个性质的东西就是群…好像满足这些性质的东西还挺多的？群好像跟对称也有点关系…
这真的是一件很遗憾的事TuT
我觉得，既然群是抽象的，而抽象往往是为了探究『共性』与『本质』，那么在介绍群论的时候就应该让对方真切地感受到这个目的。
我尝试过很多介绍群论的方法，而且在介绍之前往往不会提前说『我要介绍群论』。一个我比较喜欢的引入是这样的：
画一个立方体的图，问小朋友：立方体有几个面呀？每个面是由几条棱围成的呀？答案是6和4；
接着问：那有几条棱呢？每条棱有几个顶点呀？答案是12和2；
然后问：那有几个顶点呢？每个顶点是几个面的交点呢？答案是8和3。
正当小朋友嫌这些问题太简单时，紧接着问一句：你有注意到这三组数的乘积都是24吗？这是巧合吗？
小朋友随即陷入沉思，一分钟之后突然激动地叫起来：
啊我知道了！这个24就是立方体的摆放方式的总数呀！
哇你好聪明=w= 那再问你一个问题：把四个不同的小球从左到右排成一行，有几种不同排列方式呀？
一共24种呀，这是4的阶乘！
没错，那么这个24和之前立方体的24有关吗？
小朋友再一次陷入沉思……
……
这个例子我在
学习代数过程中你掌握了哪些非平凡的例子？ - 匡世珉的回答这里具体写过，这里我就不再赘述了。我想说的是，同样是讲对称群，比起之前所说的教材，我更喜欢我这种方式：不仅可以让小朋友自己思考出『24』的意义（对称群的阶数），还可以让他们真切地感受到，看似不同的数学对象之间是有深层次联系的。我认为这一点很重要，这也是我们为什么要抽象的重要原因之一。
除此之外，从奇数偶数的加法与正一负一的乘法来引入也是我比较很喜欢的一种方式，我在
群论研究结构，「结构」一词是什么意思？跟数学有什么关系？ - 匡世珉的回答这里具体写过。
我还想到过一个自认为颇具启发性的例子，大概是这样的：
有一个无聊的代数学家，他造了一个无聊的机器。机器上有三个按钮，分别贴着『0』、『1』、『2』的标签。这个机器是用来做模3加法的——当你先后按下0和1时，1的按钮就会亮；当你按两次2时，1的按钮就会亮。（群）
有一天，他的同事几何学家需要给学生讲『旋转』的概念。几何学家把代数学家的机器借了去，把『0』、『1』、『2』分别换成了『旋转0度』、『旋转120度』、『旋转240度』，直接就可以使用了！（群同态/同构）
后来，有个调皮的小朋友想给代数学家制造点麻烦——他偷偷交换了『1』和『2』的标签。结果机器照样可以正常使用！！算出来的结果仍然是对的！！（自同构）
…………
当然，这个『机器』的比喻还可以用来讲环、模和伽罗瓦理论里的一些概念（包括根的对称性）。想出这个讲解方法时我自己都很激动=w= 原因有两点：一是可以让刚接触群的小朋友很形象地理解『同态/同构』的定义——这个就是换标签；二是可以把『结构』这个抽象概念具体化——机器的电路构造。
不管标签怎么换，电路都没有变。而当我们谈论数字和角度时，我们都只是在谈论标签罢了。为了研究这个更加本质的电路，我们就必须抛开所有的标签，直接描述电路的构成——这里的电路正是群。
当小朋友感受到『看似不同的数学对象之间其实有深层次联系』之后，『为什么要定义和使用“群”这个概念』这个问题也就自然得到了回答。
嗯=w=
关于群论入门的话，我觉得去看本科的抽代教材就好啦。
现在回过头来想想，我刚开始学群论的时候有几个触动很大的时刻：
1.第一次遇到同构的概念。
啊原来群结构是这样的！
2.第一次遇到陪集和商群的概念。
集合竟然也可以作为元素！而且还能构成群！
3.第一次在证明中使用第一同构定理。
原来这个定理是这么用的！
4.第一次知道素数阶群一定循环。
啊！素数！啊！
5.第一次用群论证明数论的结论。
给我童年带来巨大阴影的费马小定理竟然如此显然TuT
6.第一次接触群作用。
哇！群真是充满了力量……
差不多就是这样……好像大部分群论的入门课都是讲到Sylow定理/低阶群分类为止的。
也许我以后会用那个『机器』的比喻来写一篇关于伽罗瓦理论的科普=w=
那么就这样=w=
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