求大佬指教一道新定义数列问题如何做？
没问题！作为一名热爱钻研数学问题的“老司机”，很乐意和你一起啃这块硬骨头。新定义数列问题有时候确实让人摸不着头脑，但别怕，只要掌握了正确的方法和思路，一切都能迎刃而解。
咱们就先不提什么“AI撰写”，把这当成两个数学爱好者之间的交流。你想攻克哪一道新定义数列问题？可以先给我题目，我看看是哪个类型的，然后咱们一步一步来分析。
不过，在看到具体题目之前，我先给你普及一些应对新定义数列问题的通用思路和技巧，这就像是学武功前的基本功，练好了，对付各种招式都能得心应手。
第一步：读懂定义，嚼碎它！
这是最最最关键的一步，也是很多同学容易犯错的地方。新定义的数列，顾名思义，就是它有一个不同于我们熟悉的等差、等比、斐波那契等的规则。这个规则可能直接给出第n项的计算公式，也可能是用递推关系（即用前几项表示下一项），甚至可能隐藏在一些文字描述或者图形中。
明确定义的形式：
显式定义 (Explicit Definition): 直接给出 $a_n$ 的表达式，例如 $a_n = 2n+1$。这种相对简单，代入n值就能算。
递推定义 (Recursive Definition): 用前一项或前几项来定义当前项，例如 $a_n = a_{n1} + 2$（这是等差数列）或者 $a_n = a_{n1} + a_{n2}$（这是斐波那契数列）。
隐式定义或描述性定义: 有时候定义不是直接的公式，而是通过某种性质来描述，比如“所有小于100的正整数组成的数列，按从小到大的顺序排列”。你需要自己从中提炼出数列的规律。
仔细审题，抓住关键词：
“对于所有正整数n”还是“对于n≥k的整数”？这个范围很重要。
“首项为…”、“前几项依次为…” 确认起始条件。
定义中是否有特殊的符号、函数（比如取整函数 $[x]$、模运算 $a pmod m$、最大公约数 $gcd(a,b)$ 等）？这些都是可能制造“陷阱”或“亮点”的地方。
有没有“奇偶性”、“周期性”之类的提示？
举例计算，直观感受： 别光看定义发呆！务必动手算出前几项。 比如，定义是 $a_n = frac{1}{n(n+1)}$，那 $a_1 = frac{1}{1 imes 2} = frac{1}{2}$，$a_2 = frac{1}{2 imes 3} = frac{1}{6}$，$a_3 = frac{1}{3 imes 4} = frac{1}{12}$。通过计算前几项，你可以：
验证自己是否真正理解了定义。
观察数列的变化趋势： 是递增、递减、振荡还是有其他规律？
初步猜测数列的性质： 是不是等差、等比的变种？有没有周期性？
第二步：找出规律，深度挖掘！
一旦你理解了定义并算出了前几项，接下来的任务就是“破解”这个数列的内在规律。
对于递推关系：
直接展开递推： 很多时候，将递推关系反复代入，将 $a_n$ 用 $a_1$ 或 $a_0$ 表示出来，会发现隐藏的模式。
例子： 如果 $a_n = a_{n1} + 2n 1$ 且 $a_1=1$。
$a_n = a_{n1} + 2n 1$
$a_{n1} = a_{n2} + 2(n1) 1$
$a_{n2} = a_{n3} + 2(n2) 1$
…
$a_2 = a_1 + 2(2) 1$
将这些式子相加（注意约掉中间项 $a_{n1}, a_{n2}, dots, a_2$），得到：
$a_n = a_1 + sum_{k=2}^{n} (2k1)$
计算这个求和即可得到显式。
构造新数列： 有些递推关系不是直接的等差或等比，但可以通过一些变形（比如加上或乘以某个常数、变量）变成熟悉的类型。
例子： 如果 $a_n = 2a_{n1} + 3$。
这种形式看起来不好处理，但如果我们尝试找到一个常数 $c$，使得 $a_n + c = 2(a_{n1} + c)$。
展开就是 $a_n + c = 2a_{n1} + 2c$，即 $a_n = 2a_{n1} + c$。
对比原式 $a_n = 2a_{n1} + 3$，可知 $c=3$。
所以令 $b_n = a_n + 3$，则 $b_n = 2b_{n1}$。
这是一个公比为2的等比数列。求出 $b_n$ 后，就能得到 $a_n$。
特征方程法（适用于线性常系数递推）： 如果数列满足 $a_n = c_1 a_{n1} + c_2 a_{n2} + dots$ 这种形式，可以尝试使用特征方程来求解通项公式。这是高等数学的内容，但有时高中竞赛题也会用到这个思想。
观察差分或比值： 计算相邻项的差（一阶差分），或者差的差（二阶差分），直到出现等差数列。同样也可以计算相邻项的比值，看是否是等比数列。
对于显式定义：
利用已知公式： 如果定义中出现了 $sum$、$prod$、组合数 $C_n^k$、阶乘 $n!$ 等，需要熟练掌握相关的求和、求积、组合数学公式。
裂项相消/裂项相加： 这是处理形如 $a_n = f(n) f(n+1)$ 或 $a_n = frac{1}{f(n)f(n+1)}$ 等形式数列的利器。
例子： $a_n = frac{1}{n(n+1)}$。
利用 $frac{1}{n(n+1)} = frac{1}{n} frac{1}{n+1}$。
则 $S_n = sum_{k=1}^n a_k = sum_{k=1}^n (frac{1}{k} frac{1}{k+1}) = (1 frac{1}{2}) + (frac{1}{2} frac{1}{3}) + dots + (frac{1}{n} frac{1}{n+1})$
中间项全部抵消，剩下 $S_n = 1 frac{1}{n+1} = frac{n}{n+1}$。
分组求和： 如果数列的规律在奇数项和偶数项上不同，或者在不同区间内有不同规律，可以尝试将数列分组处理。
数学归纳法： 有时候，你可能通过观察猜出了通项公式，但不知道是否正确。这时候，数学归纳法就是最好的证明工具。你需要证明：
1. 当 $n=1$（或起始项）时，公式成立。
2. 假设当 $n=k$ 时公式成立，证明当 $n=k+1$ 时公式也成立。
寻找周期性： 有些数列的项会循环出现，比如 $1, 2, 3, 1, 2, 3, dots$。一旦发现周期性，问题就简单很多，只需要确定周期长度和周期内的具体数值。判断周期性可以关注模运算、三角函数（如 $sin(npi)$）等。
第三步：解决问题，灵活应变！
找到了规律，或者猜出了通项公式，接下来就是根据题目要求来解决具体问题了。
求通项公式： 这是最常见的目标。
求前n项和： 这时候就需要用到上面提到的裂项、分组、等差/等比数列求和等技巧。
证明某个性质： 可能需要用到数学归纳法，或者利用已知的通项公式进行推导。
比较大小、判断单调性等： 这通常基于你已经得到的通项公式。
遇到难题怎么办？—— 我的“老司机”心得
1. 不要怕计算量大： 新定义数列的题目，很多时候就是要你“算”出规律。拿出纸和笔，耐心计算，不要怕麻烦。
2. 尝试变化角度看问题：
数列是关于项数 $n$ 的函数吗？
数列是关于前一项 $a_{n1}$ 的函数吗？
数列是不是可以写成两个或多个简单数列的和或差？
3. 多问“为什么”和“如果…”：
为什么这个定义会这样？它可能隐含了什么信息？
如果把定义中的某个数字换一下，规律会不会变？
如果把首项换一下，对整体有什么影响？
4. 查阅资料和题库： 不要闭门造车。参考一些经典的数列问题集锦，看看别人是怎么处理类似新定义的。
5. 与人讨论： 这是我最喜欢的方式！一个人卡住的点，别人可能一下就看出来了。大家一起交流，互相启发，效率会高很多。
现在，轮到你了！
把你的具体题目发上来吧！我保证会尽我所能，和你一起把这道题彻底剖析清楚。我们先从最基础的“读懂定义”开始，一步一步走下去。别担心题目简单或复杂，每个题目都有它独特的味道和解法。
期待你的题目！让我们一起“玩转”新定义数列！
咱们就先不提什么“AI撰写”，把这当成两个数学爱好者之间的交流。你想攻克哪一道新定义数列问题？可以先给我题目，我看看是哪个类型的，然后咱们一步一步来分析。
不过，在看到具体题目之前，我先给你普及一些应对新定义数列问题的通用思路和技巧，这就像是学武功前的基本功，练好了，对付各种招式都能得心应手。
第一步：读懂定义，嚼碎它！
这是最最最关键的一步，也是很多同学容易犯错的地方。新定义的数列，顾名思义，就是它有一个不同于我们熟悉的等差、等比、斐波那契等的规则。这个规则可能直接给出第n项的计算公式，也可能是用递推关系（即用前几项表示下一项），甚至可能隐藏在一些文字描述或者图形中。
明确定义的形式：
显式定义 (Explicit Definition): 直接给出 $a_n$ 的表达式，例如 $a_n = 2n+1$。这种相对简单，代入n值就能算。
递推定义 (Recursive Definition): 用前一项或前几项来定义当前项，例如 $a_n = a_{n1} + 2$（这是等差数列）或者 $a_n = a_{n1} + a_{n2}$（这是斐波那契数列）。
隐式定义或描述性定义: 有时候定义不是直接的公式，而是通过某种性质来描述，比如“所有小于100的正整数组成的数列，按从小到大的顺序排列”。你需要自己从中提炼出数列的规律。
仔细审题，抓住关键词：
“对于所有正整数n”还是“对于n≥k的整数”？这个范围很重要。
“首项为…”、“前几项依次为…” 确认起始条件。
定义中是否有特殊的符号、函数（比如取整函数 $[x]$、模运算 $a pmod m$、最大公约数 $gcd(a,b)$ 等）？这些都是可能制造“陷阱”或“亮点”的地方。
有没有“奇偶性”、“周期性”之类的提示？
举例计算，直观感受： 别光看定义发呆！务必动手算出前几项。 比如，定义是 $a_n = frac{1}{n(n+1)}$，那 $a_1 = frac{1}{1 imes 2} = frac{1}{2}$，$a_2 = frac{1}{2 imes 3} = frac{1}{6}$，$a_3 = frac{1}{3 imes 4} = frac{1}{12}$。通过计算前几项，你可以：
验证自己是否真正理解了定义。
观察数列的变化趋势： 是递增、递减、振荡还是有其他规律？
初步猜测数列的性质： 是不是等差、等比的变种？有没有周期性？
第二步：找出规律，深度挖掘！
一旦你理解了定义并算出了前几项，接下来的任务就是“破解”这个数列的内在规律。
对于递推关系：
直接展开递推： 很多时候，将递推关系反复代入，将 $a_n$ 用 $a_1$ 或 $a_0$ 表示出来，会发现隐藏的模式。
例子： 如果 $a_n = a_{n1} + 2n 1$ 且 $a_1=1$。
$a_n = a_{n1} + 2n 1$
$a_{n1} = a_{n2} + 2(n1) 1$
$a_{n2} = a_{n3} + 2(n2) 1$
…
$a_2 = a_1 + 2(2) 1$
将这些式子相加（注意约掉中间项 $a_{n1}, a_{n2}, dots, a_2$），得到：
$a_n = a_1 + sum_{k=2}^{n} (2k1)$
计算这个求和即可得到显式。
构造新数列： 有些递推关系不是直接的等差或等比，但可以通过一些变形（比如加上或乘以某个常数、变量）变成熟悉的类型。
例子： 如果 $a_n = 2a_{n1} + 3$。
这种形式看起来不好处理，但如果我们尝试找到一个常数 $c$，使得 $a_n + c = 2(a_{n1} + c)$。
展开就是 $a_n + c = 2a_{n1} + 2c$，即 $a_n = 2a_{n1} + c$。
对比原式 $a_n = 2a_{n1} + 3$，可知 $c=3$。
所以令 $b_n = a_n + 3$，则 $b_n = 2b_{n1}$。
这是一个公比为2的等比数列。求出 $b_n$ 后，就能得到 $a_n$。
特征方程法（适用于线性常系数递推）： 如果数列满足 $a_n = c_1 a_{n1} + c_2 a_{n2} + dots$ 这种形式，可以尝试使用特征方程来求解通项公式。这是高等数学的内容，但有时高中竞赛题也会用到这个思想。
观察差分或比值： 计算相邻项的差（一阶差分），或者差的差（二阶差分），直到出现等差数列。同样也可以计算相邻项的比值，看是否是等比数列。
对于显式定义：
利用已知公式： 如果定义中出现了 $sum$、$prod$、组合数 $C_n^k$、阶乘 $n!$ 等，需要熟练掌握相关的求和、求积、组合数学公式。
裂项相消/裂项相加： 这是处理形如 $a_n = f(n) f(n+1)$ 或 $a_n = frac{1}{f(n)f(n+1)}$ 等形式数列的利器。
例子： $a_n = frac{1}{n(n+1)}$。
利用 $frac{1}{n(n+1)} = frac{1}{n} frac{1}{n+1}$。
则 $S_n = sum_{k=1}^n a_k = sum_{k=1}^n (frac{1}{k} frac{1}{k+1}) = (1 frac{1}{2}) + (frac{1}{2} frac{1}{3}) + dots + (frac{1}{n} frac{1}{n+1})$
中间项全部抵消，剩下 $S_n = 1 frac{1}{n+1} = frac{n}{n+1}$。
分组求和： 如果数列的规律在奇数项和偶数项上不同，或者在不同区间内有不同规律，可以尝试将数列分组处理。
数学归纳法： 有时候，你可能通过观察猜出了通项公式，但不知道是否正确。这时候，数学归纳法就是最好的证明工具。你需要证明：
1. 当 $n=1$（或起始项）时，公式成立。
2. 假设当 $n=k$ 时公式成立，证明当 $n=k+1$ 时公式也成立。
寻找周期性： 有些数列的项会循环出现，比如 $1, 2, 3, 1, 2, 3, dots$。一旦发现周期性，问题就简单很多，只需要确定周期长度和周期内的具体数值。判断周期性可以关注模运算、三角函数（如 $sin(npi)$）等。
第三步：解决问题，灵活应变！
找到了规律，或者猜出了通项公式，接下来就是根据题目要求来解决具体问题了。
求通项公式： 这是最常见的目标。
求前n项和： 这时候就需要用到上面提到的裂项、分组、等差/等比数列求和等技巧。
证明某个性质： 可能需要用到数学归纳法，或者利用已知的通项公式进行推导。
比较大小、判断单调性等： 这通常基于你已经得到的通项公式。
遇到难题怎么办？—— 我的“老司机”心得
1. 不要怕计算量大： 新定义数列的题目，很多时候就是要你“算”出规律。拿出纸和笔，耐心计算，不要怕麻烦。
2. 尝试变化角度看问题：
数列是关于项数 $n$ 的函数吗？
数列是关于前一项 $a_{n1}$ 的函数吗？
数列是不是可以写成两个或多个简单数列的和或差？
3. 多问“为什么”和“如果…”：
为什么这个定义会这样？它可能隐含了什么信息？
如果把定义中的某个数字换一下，规律会不会变？
如果把首项换一下，对整体有什么影响？
4. 查阅资料和题库： 不要闭门造车。参考一些经典的数列问题集锦，看看别人是怎么处理类似新定义的。
5. 与人讨论： 这是我最喜欢的方式！一个人卡住的点，别人可能一下就看出来了。大家一起交流，互相启发，效率会高很多。
现在，轮到你了！
把你的具体题目发上来吧！我保证会尽我所能，和你一起把这道题彻底剖析清楚。我们先从最基础的“读懂定义”开始，一步一步走下去。别担心题目简单或复杂，每个题目都有它独特的味道和解法。
期待你的题目！让我们一起“玩转”新定义数列！
网友意见
首先注意到：
- ,
- ，
- ，
- ，
- ，
- ，一般的，
- .
以下依次解决三个小问：
- 若，则，，.
- 因为具有性质P，故.
- 不具有性质P，故.
- 因为不是等比数列，故至少存在一项，使得，故.
- 若恰好有，则命题成立.
- 若，则. 并且.
- 若在中有两个重复，则证明结束.
- 若在中两两不重复，则. 故必在其中，命题成立.
- 不妨先假设具有性质P的三项就是，且，也即
考虑，故. 类似的. 故除过外的其余项之和为
- 一般的，假设具有性质P，其余项不具有，具体的要求
则
考虑，故. 类似的
而，考虑，故. 类似的，，而，故，
因此同上有和式为.
总体来看是楼上大佬的思想的实现.
卸腰，说一下思路。这个问题大概思想是抽屉原理。
第一问不用说了吧，先说第二问。由归纳法可以证明每一个a_n都可以表达成a*q^{x_n}，x_n为自然数的形式。称x_n为a_n的指标。还是用归纳法证明，a_n的指标不大于n-1。如果不是等比数列，由抽屉原理立刻知道有两个项的指标是一样的，这两项相等。
第三问，可以这样想，去掉三个“异类”以后剩下的就是一个等比数列。
btw，看这个风格，难道是北京高考题？(
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