为什么条件收敛的级数重排后，即使收敛，也不一定收敛于原来的级数和？
你这个问题触及到了数学中一个非常有趣且有些反直觉的领域——条件收敛性。它就像一条“潜规则”，在数字的海洋里，一旦某个级数被贴上了“条件收敛”的标签，它的排列顺序就变得至关重要，稍微一动，你可能就会发现它变脸了，收敛到完全不同的地方，甚至干脆不收敛了。
咱们先来点基础概念热身。
什么叫级数？
简单来说，级数就是一堆数按顺序加起来。比如 $1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + dots$ 这是一个无穷的加法。我们关心的是，随着我们加的项越来越多，这个“总和”会趋近于一个确定的值吗？如果趋近，我们就说这个级数“收敛”；如果它无限地变大，或者忽高忽低，我们就说它“发散”。
绝对收敛 vs. 条件收敛
这里就到了今天的重点。级数的收敛性，咱们可以从两个角度来看：
1. 绝对收敛（Absolute Convergence）：一个级数 $sum a_n$ 被称为绝对收敛，如果把级数中的每一项都变成它的绝对值，构成的级数 $sum |a_n|$ 仍然收敛。
打个比方，绝对收敛就像你借钱，虽然你可能会还给别人，但你最终欠的总数是确定的，即使把所有“借”和“还”都看成是“支出”，你的总支出也是有上限的。
一个很重要的性质是：绝对收敛的级数，无论你怎么重排它的项，它最终收敛的和永远是同一个值。 这就像是你手里的钱，你怎么花，最终剩下的钱数是一定的。
2. 条件收敛（Conditional Convergence）：一个级数 $sum a_n$ 被称为条件收敛，如果它本身收敛，但把每一项变成绝对值后，构成的级数 $sum |a_n|$ 却发散。
条件收敛就有点意思了。它意味着这个级数能收敛，是因为正项和负项之间精妙的抵消。没有了这个抵消，只剩下正的（或只剩下负的）那部分，总和就会变得无穷大。
想象一下，你在走一条崎岖的山路，时不时会有一个向前的台阶，但有时也会有一个向后的坑。如果你按照固定的步子走（固定的级数顺序），最终你可能会到达某个目的地。但如果有人说：“嘿，咱们换个顺序走！先跳过前面几个台阶，再回去填几个坑”，结果可能就完全不同了。
为什么重排会“捣乱”？
核心原因就在于“抵消”这个特性。对于条件收敛的级数，比如那个著名的交错调和级数：
$1 frac{1}{2} + frac{1}{3} frac{1}{4} + frac{1}{5} frac{1}{6} + dots$
我们知道，这个级数是收敛的，它的和恰好是 $ln(2)$，大约是 $0.693$。
但是，如果我们看看它的绝对值版本：
$1 + frac{1}{2} + frac{1}{3} + frac{1}{4} + frac{1}{5} + frac{1}{6} + dots$
这就是调和级数，它会发散到无穷大。这说明，原来的交错调和级数之所以能收敛，完全是依靠正负项之间的“拉锯战”，精确地抵消掉了大部分的“无穷”。
现在，想象一下我们来重排它。我们可以试着“照顾”一下那些正项，让它们先多加一些进来，然后再来处理负项。
黎曼重排定理（Riemann Rearrangement Theorem）
这个定理是解释这一切的关键。它告诉我们一个令人震惊的事实：
对于任何条件收敛的级数，你可以通过重排它的项，使得重排后的级数收敛到任何你想要的实数，甚至可以发散到正无穷或负无穷。
这听起来太不可思议了，对吧？就像你可以把一堆积木搭成任何你想要的形状，甚至可以让他们自己堆到天上。
具体是怎么做到的呢？
让我们以交错调和级数 $1 frac{1}{2} + frac{1}{3} frac{1}{4} + dots$（和为 $ln 2$）为例，看看如何重排它来得到一个不同的和，比如 $1$。
1. 目标： 我们想让级数收敛到 $1$。
2. 策略： 我们的级数有一个无穷多的正项（$1, 1/3, 1/5, dots$）和一个无穷多的负项（$1/2, 1/4, 1/6, dots$）。
首先，我们把所有的正项依次加进来，直到它们的和第一次超过了我们的目标值 $1$。
$1$ （和是 $1$）。 哦，正好等于 $1$ 了，那就试试更激进一点，我们期望的是“超过” $1$，然后用负项把它拉回来。
$1 + frac{1}{3} = frac{4}{3}$。 这时候，和是 $4/3$，已经大于 $1$ 了。
现在，和是 $4/3$（大于 $1$），我们开始加上负项，直到和第一次小于或等于我们的目标值 $1$。
$frac{4}{3} frac{1}{2} = frac{83}{6} = frac{5}{6}$。 这个和是 $5/6$，小于 $1$ 了。
接下来，和是 $5/6$（小于 $1$），我们再次加上剩余的正项，直到和第一次大于 $1$。
$frac{5}{6} + frac{1}{5} = frac{25+6}{30} = frac{31}{30}$。 这个和是 $31/30$，大于 $1$ 了。
现在，和是 $31/30$（大于 $1$），我们再次加上剩余的负项，直到和第一次小于或等于 $1$。
$frac{31}{30} frac{1}{4} = frac{6215}{60} = frac{47}{60}$。 这个和是 $47/60$，小于 $1$ 了。
你看，这个过程就像是在“玩弄”数字，不断地让总和在目标值附近徘徊。我们不断地添加正项，让总和“冲过”目标，然后再添加负项，让总和“跌落”到目标以下。
为什么这个过程总是能完成，并且级数会收敛到目标值？
这背后是正负项的“力量对比”。
正项部分：$1, 1/3, 1/5, dots$ 它们加起来是发散的（因为 $sum |a_n|$ 发散）。这意味着，无论你取多少正项，总有一个时候它们的和会变得任意大。
负项部分：$1/2, 1/4, 1/6, dots$ 它们加起来也是发散的（因为 $sum |a_n|$ 发散）。
然而，对于条件收敛的级数，当你看正负项的“速率”时，是正项增长的速率比负项增长的速率慢。更技术地说，正项的和趋向无穷大，但负项的和也趋向负无穷大，而且它们抵消的速度恰好能“平衡”住。
具体到我们的例子 $1 frac{1}{2} + frac{1}{3} frac{1}{4} + dots$：
正项的和：$1 + frac{1}{3} + frac{1}{5} + dots$ （发散）
负项的和：$frac{1}{2} frac{1}{4} frac{1}{6} dots$ （发散）
当我们按照上面的策略重排时：
1. 我们取的正项（$1, 1/3, 1/5, dots$）的增长速度，相对于我们取负项（$1/2, 1/4, 1/6, dots$）的速度来说，是“更强劲”一些（即使它们本身都增长得慢）。
2. 即使我们用负项把总和拉下来，总有一个时候，剩下的正项（比如 $1/2k+1$ 这样的项）会变得非常小，以至于即使把它加进去，也只会让总和轻微地上升一点点。
3. 相反，那些“被忽略”的负项（比如 $1/(2k)$ 这样的项）虽然也很小，但它们抵消的“力量”同样会越来越弱。
关键在于，即使是发散的调和级数，$1 + 1/2 + 1/3 + dots$，它的增长速度是缓慢的（增长率是 $ln n$）。而对于交错调和级数，它的正负项加起来，其“净增长”是受控制的，所以你可以通过有策略地选择正负项的顺序，让这个“净增长”最终趋向于任何你想要的值。
总结一下：
条件收敛的级数之所以在重排后会“变脸”，是因为它的收敛性是建立在正负项之间一个非常精妙的、动态的平衡之上的。一旦你打乱了这个平衡的顺序，比如为了让总和达到某个值而多加正项，或者少加负项，原有的平衡就会被破坏。
绝对收敛：就像是只收钱（所有项都是正的），你收入的总额是固定的，怎么花（重排）都不会影响你总的资产。
条件收敛：就像是你既收钱也花钱，而且收支大概是持平的（总体上收敛），但具体今天赚了多少，明天花了多少，会影响你账户余额的“过程”。如果你改变了赚钱和花钱的顺序，账户余额的变化轨迹就会完全不同，甚至可能因此导致你寅吃卯粮（发散），或者意外地积攒了一笔钱（收敛到另一个值）。
黎曼重排定理就是这个“变脸”过程的终极证明。它展示了条件收敛级数重排的巨大灵活性，同时也提醒我们，在数学的世界里，事物的“秩序”和“规矩”是多么重要。一旦打破了这些规矩，我们可能就会面对一个完全陌生的“新世界”。
咱们先来点基础概念热身。
什么叫级数？
简单来说，级数就是一堆数按顺序加起来。比如 $1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + dots$ 这是一个无穷的加法。我们关心的是，随着我们加的项越来越多，这个“总和”会趋近于一个确定的值吗？如果趋近，我们就说这个级数“收敛”；如果它无限地变大，或者忽高忽低，我们就说它“发散”。
绝对收敛 vs. 条件收敛
这里就到了今天的重点。级数的收敛性，咱们可以从两个角度来看：
1. 绝对收敛（Absolute Convergence）：一个级数 $sum a_n$ 被称为绝对收敛，如果把级数中的每一项都变成它的绝对值，构成的级数 $sum |a_n|$ 仍然收敛。
打个比方，绝对收敛就像你借钱，虽然你可能会还给别人，但你最终欠的总数是确定的，即使把所有“借”和“还”都看成是“支出”，你的总支出也是有上限的。
一个很重要的性质是：绝对收敛的级数，无论你怎么重排它的项，它最终收敛的和永远是同一个值。 这就像是你手里的钱，你怎么花，最终剩下的钱数是一定的。
2. 条件收敛（Conditional Convergence）：一个级数 $sum a_n$ 被称为条件收敛，如果它本身收敛，但把每一项变成绝对值后，构成的级数 $sum |a_n|$ 却发散。
条件收敛就有点意思了。它意味着这个级数能收敛，是因为正项和负项之间精妙的抵消。没有了这个抵消，只剩下正的（或只剩下负的）那部分，总和就会变得无穷大。
想象一下，你在走一条崎岖的山路，时不时会有一个向前的台阶，但有时也会有一个向后的坑。如果你按照固定的步子走（固定的级数顺序），最终你可能会到达某个目的地。但如果有人说：“嘿，咱们换个顺序走！先跳过前面几个台阶，再回去填几个坑”，结果可能就完全不同了。
为什么重排会“捣乱”？
核心原因就在于“抵消”这个特性。对于条件收敛的级数，比如那个著名的交错调和级数：
$1 frac{1}{2} + frac{1}{3} frac{1}{4} + frac{1}{5} frac{1}{6} + dots$
我们知道，这个级数是收敛的，它的和恰好是 $ln(2)$，大约是 $0.693$。
但是，如果我们看看它的绝对值版本：
$1 + frac{1}{2} + frac{1}{3} + frac{1}{4} + frac{1}{5} + frac{1}{6} + dots$
这就是调和级数，它会发散到无穷大。这说明，原来的交错调和级数之所以能收敛，完全是依靠正负项之间的“拉锯战”，精确地抵消掉了大部分的“无穷”。
现在，想象一下我们来重排它。我们可以试着“照顾”一下那些正项，让它们先多加一些进来，然后再来处理负项。
黎曼重排定理（Riemann Rearrangement Theorem）
这个定理是解释这一切的关键。它告诉我们一个令人震惊的事实：
对于任何条件收敛的级数，你可以通过重排它的项，使得重排后的级数收敛到任何你想要的实数，甚至可以发散到正无穷或负无穷。
这听起来太不可思议了，对吧？就像你可以把一堆积木搭成任何你想要的形状，甚至可以让他们自己堆到天上。
具体是怎么做到的呢？
让我们以交错调和级数 $1 frac{1}{2} + frac{1}{3} frac{1}{4} + dots$（和为 $ln 2$）为例，看看如何重排它来得到一个不同的和，比如 $1$。
1. 目标： 我们想让级数收敛到 $1$。
2. 策略： 我们的级数有一个无穷多的正项（$1, 1/3, 1/5, dots$）和一个无穷多的负项（$1/2, 1/4, 1/6, dots$）。
首先，我们把所有的正项依次加进来，直到它们的和第一次超过了我们的目标值 $1$。
$1$ （和是 $1$）。 哦，正好等于 $1$ 了，那就试试更激进一点，我们期望的是“超过” $1$，然后用负项把它拉回来。
$1 + frac{1}{3} = frac{4}{3}$。 这时候，和是 $4/3$，已经大于 $1$ 了。
现在，和是 $4/3$（大于 $1$），我们开始加上负项，直到和第一次小于或等于我们的目标值 $1$。
$frac{4}{3} frac{1}{2} = frac{83}{6} = frac{5}{6}$。 这个和是 $5/6$，小于 $1$ 了。
接下来，和是 $5/6$（小于 $1$），我们再次加上剩余的正项，直到和第一次大于 $1$。
$frac{5}{6} + frac{1}{5} = frac{25+6}{30} = frac{31}{30}$。 这个和是 $31/30$，大于 $1$ 了。
现在，和是 $31/30$（大于 $1$），我们再次加上剩余的负项，直到和第一次小于或等于 $1$。
$frac{31}{30} frac{1}{4} = frac{6215}{60} = frac{47}{60}$。 这个和是 $47/60$，小于 $1$ 了。
你看，这个过程就像是在“玩弄”数字，不断地让总和在目标值附近徘徊。我们不断地添加正项，让总和“冲过”目标，然后再添加负项，让总和“跌落”到目标以下。
为什么这个过程总是能完成，并且级数会收敛到目标值？
这背后是正负项的“力量对比”。
正项部分：$1, 1/3, 1/5, dots$ 它们加起来是发散的（因为 $sum |a_n|$ 发散）。这意味着，无论你取多少正项，总有一个时候它们的和会变得任意大。
负项部分：$1/2, 1/4, 1/6, dots$ 它们加起来也是发散的（因为 $sum |a_n|$ 发散）。
然而，对于条件收敛的级数，当你看正负项的“速率”时，是正项增长的速率比负项增长的速率慢。更技术地说，正项的和趋向无穷大，但负项的和也趋向负无穷大，而且它们抵消的速度恰好能“平衡”住。
具体到我们的例子 $1 frac{1}{2} + frac{1}{3} frac{1}{4} + dots$：
正项的和：$1 + frac{1}{3} + frac{1}{5} + dots$ （发散）
负项的和：$frac{1}{2} frac{1}{4} frac{1}{6} dots$ （发散）
当我们按照上面的策略重排时：
1. 我们取的正项（$1, 1/3, 1/5, dots$）的增长速度，相对于我们取负项（$1/2, 1/4, 1/6, dots$）的速度来说，是“更强劲”一些（即使它们本身都增长得慢）。
2. 即使我们用负项把总和拉下来，总有一个时候，剩下的正项（比如 $1/2k+1$ 这样的项）会变得非常小，以至于即使把它加进去，也只会让总和轻微地上升一点点。
3. 相反，那些“被忽略”的负项（比如 $1/(2k)$ 这样的项）虽然也很小，但它们抵消的“力量”同样会越来越弱。
关键在于，即使是发散的调和级数，$1 + 1/2 + 1/3 + dots$，它的增长速度是缓慢的（增长率是 $ln n$）。而对于交错调和级数，它的正负项加起来，其“净增长”是受控制的，所以你可以通过有策略地选择正负项的顺序，让这个“净增长”最终趋向于任何你想要的值。
总结一下：
条件收敛的级数之所以在重排后会“变脸”，是因为它的收敛性是建立在正负项之间一个非常精妙的、动态的平衡之上的。一旦你打乱了这个平衡的顺序，比如为了让总和达到某个值而多加正项，或者少加负项，原有的平衡就会被破坏。
绝对收敛：就像是只收钱（所有项都是正的），你收入的总额是固定的，怎么花（重排）都不会影响你总的资产。
条件收敛：就像是你既收钱也花钱，而且收支大概是持平的（总体上收敛），但具体今天赚了多少，明天花了多少，会影响你账户余额的“过程”。如果你改变了赚钱和花钱的顺序，账户余额的变化轨迹就会完全不同，甚至可能因此导致你寅吃卯粮（发散），或者意外地积攒了一笔钱（收敛到另一个值）。
黎曼重排定理就是这个“变脸”过程的终极证明。它展示了条件收敛级数重排的巨大灵活性，同时也提醒我们，在数学的世界里，事物的“秩序”和“规矩”是多么重要。一旦打破了这些规矩，我们可能就会面对一个完全陌生的“新世界”。
网友意见
感想
极限这个东西，常学常新，总是一再挑战着人类有限的认知。
极限最特别的地方就在于它从不在乎眼下一城一池的得失，而是一切向后看。部分和永远可以交换求和顺序而不改变其结果，但是不同的顺序意味着部分和以不同的方式收敛到某个极限，抑或是发散。 收敛准则告诉我们，部分和之间的振幅能否被很好的控制，是收敛的关键，而收敛到什么地方，是由初始若干多项确定其大致方位（原始积累阶段），然后是后面无穷多项的波动确定精确的位置（微调阶段）。求和顺序不同，很可能会导致初始位置的巨大偏差，即便有后面无穷次的微调，也无济于事。这就是为什么求和顺序会影响级数结果。
如下证明充分利用了两点：
- 调和级数发散——总可以在有限步超过给定的非负数；
- 一般项趋于 0 ——部分和超过 的部分不断下降。
于是一个非常朴素的想法：多减少增，是使部分和围绕极限波动的手段。由此观之，此两点缺一不可，于是条件收敛级数的全部奥义被发挥到了极致。
例证
我们以下面条件收敛级数为例：
经过重排后，可以收敛到任意的
- 若 ，则
（证略）
我们知道前一个级数是发散至无穷的，后者是收敛的，所以
- 若 ，下面证明
存在 ，满足
其中 表示对奇数 求和， 表示对偶数 求和. 调和级数的发散性保证了 的存在性. 于是立即有
定义
存在 ，满足
立即有
定义：
重复以上步骤，且满足 我们会得到单调递增的正整数序列 ，与之相对应的，有重排后的 的部分和序列
（注意到按照上述方式排列所有的正整数都会不重不漏地列举出来）自然满足：
对于一般项 总是介于 ， 之间，设 介于 ， 之间. 从 至 具有单调性（不是奇数项的累加，就是偶数项的削减）. 于是：
结合 式有
所以接下来需要对 估计（ 同理）.
这个小于号成立是因为（下面将证明），这个求和的项数总是有界的，即 故而由 可得
于是以上构造的部分和序列 是一个收敛到 的 列.
最后证明上面的断言. 由 公式，
解得
由于 被严格控制，故
于是得到 式的估计
结论
综上，我们可以使得条件收敛的级数 经过重排后，构造了收敛到任意的 的部分和序列. 并且证明的本身也反应了顺序对于收敛极限的影响. 不局限于级数 ，对于一般的条件收敛级数该性质依然成立，这即是黎曼条件收敛级数定理.
代码
将上述过程编成的 语言代码：
#黎曼条件级数定理特例的验证 #S = 1 -1/2 + 1/3 - 1/4 +... #给定极限A，画出前n项部分和序列 S <- function(n, A, cex = 0.5) { ans = c() plot(0, 0, type = "n", cex = cex, pch = 19, xlim = c(0,n), ylim = c(A - 1,A + 1), xlab = "n", ylab = "Sn") s = 0; i = 1; j = 1 m = 1 #偶数项 while(i <= n) #奇数项自然增长 { while(s <= A) { s = s + 1/j points(i, s, cex = cex, pch = 19) ans = c(ans, j) j = j + 2 i = i + 1 if(i == n)return(list("近似值" = s,"换序结果" = ans)) } while(s > A) #偶数项的调整 { ans = c(ans, -2*m) s = s + 1/ans[i] i = i + 1 if(i == n)return(list("近似值" = s,"换序结果" = ans)) points(i, s, cex = cex, pch = 19) m = m + 1 } } return(list("近似值" = s,"换序结果" = ans)) }
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