是否任一无穷集合都能分成两个等势的不交集合之并？

这个问题触及了集合论中最根本的一些概念，也因此，它的答案比初看起来要更微妙一些。要回答“是否任一无穷集合都能分成两个等势的不交集合之并？”，我们需要深入理解“无穷集合”、“等势”以及“不交集合”这些术语的含义，并思考它们的组合会产生怎样的可能性。

首先，让我们明确几个关键的定义。

无穷集合：一个集合如果不是有限的，就是无穷的。直观地说，就是你无论如何计数，都永远数不完。更精确地说，一个集合是无穷的，当且仅当它与自身的一个真子集（即不是自身的子集）等势。

等势 (Equinumerous)：两个集合如果存在一个双射（一一对应）函数，使得一个集合的每个元素都能被映射到另一个集合的唯一一个元素，反之亦然，那么这两个集合就是等势的。这意味着它们拥有“相同数量”的元素，即使这个数量是无穷的。康托尔引入的这个概念，为我们比较无穷集的大小提供了严格的标准。

不交集合 (Disjoint Sets)：如果两个集合没有任何共同的元素，也就是说它们的交集是空集，那么它们就是不交的。

并集 (Union)：两个集合的并集是包含这两个集合所有元素的集合。

现在，我们回到核心问题：是否任一无穷集合 $S$ 都能被分成两个不交的子集 $A$ 和 $B$，使得 $S = A cup B$ 且 $A$ 与 $B$ 等势？

直观上，我们可能会觉得，既然 $S$ 是无穷的，把它分成两半，每一半也应该是无穷的，而且“大小”应该是一样的。但数学的严谨性要求我们不能仅凭直觉。

让我们从最简单的无穷集合——可数无穷集合——开始考虑。可数无穷集合指的是可以与自然数集合 ${0, 1, 2, 3, ...}$ 建立双射的集合。例如，自然数集合本身、整数集合、偶数集合、奇数集合，甚至是所有有理数集合，都是可数无穷集合。

考虑自然数集合 $N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}$。我们能不能把它分成两个等势的不交集合？
当然可以。我们可以这样划分：
令 $A$ 为所有偶数的集合：$A = {0, 2, 4, 6, ...}$
令 $B$ 为所有奇数的集合：$B = {1, 3, 5, 7, ...}$

这两个集合有什么性质呢？
1. 不交性: $A cap B = emptyset$，因为一个数不可能既是偶数又是奇数。
2. 并集: $A cup B = N$，因为任何自然数要么是偶数要么是奇数。
3. 等势性: $A$ 与 $B$ 等势吗？我们来看一下。
我们可以定义一个函数 $f: A o B$ 如下：对于任意偶数 $a in A$，设 $f(a) = a + 1$。
例如：
$f(0) = 0 + 1 = 1$
$f(2) = 2 + 1 = 3$
$f(4) = 4 + 1 = 5$
这个函数 $f$ 是一个双射。
单射 (Injective)：如果 $f(a_1) = f(a_2)$，那么 $a_1 + 1 = a_2 + 1$，所以 $a_1 = a_2$。
满射 (Surjective)：对于 $B$ 中的任意一个奇数 $b$，总存在一个偶数 $a = b 1 in A$ 使得 $f(a) = (b1) + 1 = b$。
因此，$A$ 与 $B$ 是等势的。

我们不仅可以这样分成偶数和奇数，还可以用其他方式划分。例如：
令 $A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}$，这是自然数集合本身。
令 $B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}$，这也是自然数集合本身。
虽然 $A$ 和 $B$ 是同一个集合，但集合论允许我们考虑“同一个集合的副本”。如果我们将 $N$ 想象成一个“篮子”，我们可以从篮子里取出元素放进“子集A”的篮子，再从“原篮子”中取出剩余元素放进“子集B”的篮子。

更严谨地说，我们可以这样划分：
令 $A = {n in N mid n ext{ is even}}$
令 $B = {n in N mid n ext{ is odd}}$
我们已经证明了 $A$ 和 $B$ 是等势的，并且 $A cup B = N$ 且 $A cap B = emptyset$。

那么，所有可数无穷集合是否都能这样划分呢？
是的，任何一个可数无穷集合 $S$ 都可以与自然数集合 $N$ 建立双射。我们可以利用这个双射将 $N$ 的划分方式“转移”到 $S$ 上。
假设 $g: N o S$ 是一个双射。
我们知道 $N = A_N cup B_N$，其中 $A_N = {0, 2, 4, ...}$，$B_N = {1, 3, 5, ...}$，且 $A_N sim B_N$。
现在，我们可以定义 $A_S = g(A_N) = {g(n) mid n in A_N}$，以及 $B_S = g(B_N) = {g(n) mid n in B_N}$。
不交性: 如果 $x in A_S cap B_S$，那么 $x = g(n_1)$ 对于某个 $n_1 in A_N$，并且 $x = g(n_2)$ 对于某个 $n_2 in B_N$。由于 $g$ 是双射，这意味着 $n_1 = n_2$。但 $A_N$ 和 $B_N$ 是不交的，所以 $n_1$ 不可能同时属于 $A_N$ 和 $B_N$。因此，$A_S cap B_S = emptyset$。
并集: $A_S cup B_S = g(A_N) cup g(B_N) = g(A_N cup B_N) = g(N) = S$。
等势性: 由于 $g$ 是一个双射，它保持集合的“数量”。因此，$A_S sim A_N$ 且 $B_S sim B_N$。又因为 $A_N sim B_N$，所以传递性告诉我们 $A_S sim B_S$。

至此，我们已经证明了 所有可数无穷集合 都可以分成两个等势的不交集合之并。

问题是“任一无穷集合”，这是否包括了比可数无穷集合“更大”的无穷集合，即不可数无穷集合？
最著名的不可数无穷集合是实数集合 $mathbb{R}$。
我们可以将实数集合 $mathbb{R}$ 分成两个等势的不交集合吗？

考虑实数集合 $mathbb{R}$。
我们可以这样做：
令 $A$ 为所有非负实数的集合：$A = [0, infty)$
令 $B$ 为所有负实数的集合：$B = (infty, 0)$

1. 不交性: $A cap B = emptyset$。
2. 并集: $A cup B = mathbb{R}$。
3. 等势性: $A$ 和 $B$ 等势吗？
我们可以定义一个函数 $f: A o B$ 如下：对于 $x in [0, infty)$，设 $f(x) = x$。
这个函数 $f$ 是一个双射。
单射: 如果 $f(x_1) = f(x_2)$，那么 $x_1 = x_2$，所以 $x_1 = x_2$。
满射: 对于 $B$ 中的任意一个负实数 $y$，总存在一个非负实数 $x = y in A$ 使得 $f(x) = (y) = y$。
因此，$[0, infty)$ 和 $(infty, 0)$ 是等势的。

这个例子表明，至少一些不可数无穷集合也可以这样划分。

那么，是不是“所有”无穷集合都可以？
是的，这是一个非常深刻且重要的结论，它实际上是集合论中一个基本性质的体现。任何一个无穷集合 $S$，无论它是可数的还是不可数的，都可以被如此划分。

让我们尝试从一个更抽象的层面来理解这一点，而不是依赖于具体的集合（如自然数或实数）。

考虑任意无穷集合 $S$。
如果 $S$ 本身是可数的，我们已经证明了它可以。
如果 $S$ 是不可数的，例如像实数集 $mathbb{R}$ 那样“更大”的无穷。

我们需要构建一个双射，将 $S$ 的元素一一对应到 $S$ 的一个真子集。如果我们能做到这一点，那么 $S$ 就可以被分成这个真子集和它的补集。
例如，如果存在 $S'$ 使得 $S' subset S$ 且 $S sim S'$，那么我们就可以定义 $A = S'$ 并且 $B = S setminus S'$。
因为 $S sim S'$，我们有一个双射 $f: S o S'$。
我们可以证明 $S setminus S'$ 也与 $S'$ 等势。
具体来说，如果我们找到了一个 $S$ 的真子集 $S'$ 使得 $S sim S'$，我们就可以定义 $A = S'$，而 $B = S setminus S'$。
因为 $S sim S'$，存在一个双射 $g: S o S'$。
我们将 $S$ 的元素通过 $g$ 映射到 $S'$。
对于 $S setminus S'$ 中的元素 $y$，它们是 $S$ 中的元素但不在 $S'$ 中。
我们需要证明 $S setminus S'$ 和 $S'$ 是等势的。

这里的关键是，任何一个无穷集合都与自身的一个真子集等势。这个性质是我们证明“任一无穷集合都可以分成两个等势的不交集合之并”的基石。

让我们来证明这个基石：任意无穷集合 $S$ 与它自身的一个真子集 $S'$ 等势。

1. 如果 $S$ 是可数的无穷集：
如前所述，我们可以考虑 $N = {0, 1, 2, 3, ...}$。
令 $A = {0, 2, 4, 6, ...}$ (偶数) 且 $B = {1, 3, 5, 7, ...}$ (奇数)。
我们知道 $N = A cup B$ 且 $A cap B = emptyset$。
我们已经证明了 $A sim B$。
现在，考虑 $N$ 与它的真子集 $A$ 的关系。
我们定义 $f: N o A$ 为 $f(n) = 2n$。
单射: 如果 $f(n_1) = f(n_2)$，则 $2n_1 = 2n_2$，所以 $n_1 = n_2$。
满射: 对于 $A$ 中的任何一个偶数 $a$，总存在一个自然数 $n = a/2 in N$ 使得 $f(n) = 2(a/2) = a$。
因此，$N sim A$。
所以，可数无穷集合 $N$ 与它的真子集 $A$ 等势。

2. 如果 $S$ 是不可数的无穷集：
证明这一点稍微复杂一些，需要依赖于选择公理（或者证明在没有选择公理的情况下，情况可能会不同，但通常数学中的“无穷集合”默认都考虑在标准集合论 ZFC 下）。
一个常见的构造是利用 $S$ 的某个无限可数子集。
如果 $S$ 是不可数的，那么它必定包含一个无限可数子集 $C = {c_0, c_1, c_2, ...}$。
我们可以定义一个新的集合 $S' = (S setminus C) cup {c_1, c_2, c_3, ...}$。
$S setminus C$ 是 $S$ 中除了 $C$ 的元素之外的所有元素。
${c_1, c_2, c_3, ...}$ 是 $C$ 的一个真子集（去掉了 $c_0$）。
$S'$ 实际上是将 $S$ 中的“所有元素”拿来，但用 $C$ 的“一个移位的版本”替换了 $C$。

现在，我们来看看 $S'$ 和 $S$ 的关系。
$S'$ 是 $S$ 的一个真子集吗？ 不一定。这里的构造需要小心。

让我们换一种更清晰的构造方式来证明 任意无穷集合 $S$ 都与自身的一个真子集等势。
如果 $S$ 是无穷的，根据定义，存在 $S$ 的一个真子集 $S_0$ 使得 $S sim S_0$。
然而，我们可能需要的是一个“可管理的”真子集，以便进一步操作。

更通用的证明方法是：
如果 $S$ 是无穷的，那么它一定包含一个无限可数的子集 $C = {c_0, c_1, c_2, c_3, ...}$（这是利用了无穷的某些性质，如果一个集合不是有限的，它就能容纳下无限多个不同元素的序列）。
现在，我们来构造 $S$ 的一个真子集 $S'$，并证明 $S sim S'$。
考虑函数 $f: S o S$ 定义如下：
如果 $x in S$ 且 $x$ 不在 $C$ 中，则 $f(x) = x$。
如果 $x = c_i$ 对于某个 $i ge 0$，则 $f(c_i) = c_{i+1}$。

这个函数 $f$ 将 $S$ 中的元素映射到 $S$ 中。
单射性:
如果 $x_1, x_2 in S setminus C$ 且 $f(x_1) = f(x_2)$，那么 $x_1 = x_2$。
如果 $c_i, c_j in C$ 且 $f(c_i) = f(c_j)$，那么 $c_{i+1} = c_{j+1}$，因此 $i+1 = j+1$，所以 $i=j$，这意味着 $c_i = c_j$。
如果 $x in S setminus C$ 且 $c_i in C$ 且 $f(x) = f(c_i)$，那么 $x = c_{i+1}$。但这与 $x in S setminus C$ 和 $c_{i+1} in C$ 矛盾（因为 $C$ 的元素都属于 $C$）。因此，这种情况不可能发生。
所以，$f$ 是单射。

满射性:
对于 $S setminus C$ 中的任何元素 $y$，由于 $y$ 不在 $C$ 中，且 $f$ 在 $S setminus C$ 的元素上是恒等映射，所以 $f(y) = y$。
对于 $C$ 中的元素，我们需要确保 $f$ 能“覆盖”到 $C$ 的所有元素。
这个函数 $f$ 的值域（像集）是 $(S setminus C) cup {c_1, c_2, c_3, ...}$。
令 $S' = (S setminus C) cup {c_1, c_2, c_3, ...}$。
注意到 $S'$ 是 $S$ 的一个真子集，因为 $c_0 in S$ 但 $c_0 otin S'$（因为 $c_0$ 不等于任何 $c_{i+1}$，且 $c_0$ 也不在 $S setminus C$ 中）。
那么，函数 $f: S o S'$ 是一个双射。
单射性已经证明。
满射性：对于 $S'$ 中的任何元素 $y$，
如果 $y in S setminus C$，那么 $f(y) = y$。
如果 $y in {c_1, c_2, c_3, ...}$，那么 $y = c_{i+1}$ 对于某个 $i ge 0$。此时 $f(c_i) = c_{i+1} = y$。
所以，$f$ 是一个从 $S$ 到 $S'$ 的双射。

我们成功地找到了 $S$ 的一个真子集 $S'$，并且证明了 $S sim S'$。
现在，我们来利用这个结果回答原问题：任一无穷集合 $S$ 是否能分成两个等势的不交集合之并？

我们已经知道 $S sim S'$，其中 $S'$ 是 $S$ 的一个真子集。
令 $A = S'$。
令 $B = S setminus S'$。
1. 不交性: $A cap B = S' cap (S setminus S') = emptyset$。这是集合论的定义。
2. 并集: $A cup B = S' cup (S setminus S') = S$。这也是集合论的定义。

现在我们只需要证明 $A$ 和 $B$ 是等势的，即 $S' sim (S setminus S')$。
我们已经证明了 $S sim S'$。
$S$ 的集合结构可以看作是 $S = S' cup (S setminus S')$。
并且 $S sim S'$ 意味着存在一个双射 $f: S o S'$。

考虑函数 $f$ 如何将 $S$ 的元素分配到 $S'$ 和 $S setminus S'$。
$f$ 将 $S'$ 的元素映射到 $S'$ 中。
$f$ 将 $S setminus S'$ 的元素映射到 $S'$ 中。

我们需要证明 $S'$ 和 $S setminus S'$ 是等势的。
我们有一个从 $S$ 到 $S'$ 的双射 $f$。
我们可以将 $f$ 限制在 $S'$ 上，得到一个函数 $f|_{S'}: S' o S'$。这是一个从 $S'$ 到 $S'$ 的双射（本身到本身）。
同时，我们可以将 $f$ 限制在 $S setminus S'$ 上，得到一个函数 $f|_{S setminus S'}: S setminus S' o S'$。这是一个从 $S setminus S'$ 到 $S'$ 的双射。

现在，我们考虑 $S setminus S'$。我们知道 $S sim S'$。
并且 $S'$ 也是一个无穷集合（因为它是无穷集合 $S$ 的一个真子集，而且 $S sim S'$，所以 $S'$ 必须是无穷的；如果 $S'$ 是有限的，那么 $S$ 就会是有限的，这与 $S$ 是无穷的假设矛盾）。

因为 $S'$ 是无穷的，所以 $S'$ 也与自身的一个真子集等势。
我们可以将 $S'$ 的元素进行“移位”。
假设 $S'$ 是无穷的，我们找到 $S'$ 的一个无限可数子集 $C' = {c'_0, c'_1, c'_2, ...} subseteq S'$。
我们可以构造一个函数 $g: S' o S'$，使得 $g(c'_i) = c'_{i+1}$ 且 $g(x) = x$ 对于 $x in S' setminus C'$。
这个函数 $g$ 是一个从 $S'$ 到 $S'' = (S' setminus C') cup {c'_1, c'_2, c'_3, ...}$ 的双射。
$S''$ 是 $S'$ 的一个真子集。

这是在证明 $S'$ 本身与它自身的真子集等势，这似乎没有直接回答 $S setminus S'$ 与 $S'$ 是否等势。

让我们回到 $S sim S'$ 的证明。
我们有 $S$ 和 $S'$，且 $S'$ 是 $S$ 的真子集。
我们构造了 $f: S o S'$ 是一个双射。
令 $A = S'$。
令 $B = S setminus S'$。
我们知道 $A cup B = S$ 且 $A cap B = emptyset$。
我们需要证明 $A sim B$，即 $S' sim (S setminus S')$。

我们有一个从 $S$ 到 $S'$ 的双射 $f$。
我们可以把 $S$ 看作是 $S'$ 和 $B$ 的不交并。 $S = S' cup B$。
$f$ 将 $S$ 的元素映射到 $S'$。
$f$ 将 $S'$ 的元素映射到 $S'$ 中。
$f$ 将 $B$ 的元素映射到 $S'$ 中。

设 $f_1 = f|_{S'}$ 是 $S'$ 到 $S'$ 的限制，它是双射。
设 $f_2 = f|_B$ 是 $B$ 到 $S'$ 的限制，它也是双射。

我们现在拥有两个从不同集合（$S'$ 和 $B$）到同一个集合（$S'$）的双射。
我们想证明 $S' sim B$。

考虑 $S'$。由于 $S'$ 是无穷的（因为 $S sim S'$ 且 $S$ 是无穷的），则 $S'$ 自身也满足“任意无穷集合都与自身一个真子集等势”的性质。
那么 $S'$ 必然可以被分成两个等势的不交集合 $S'_1$ 和 $S'_2$。 $S' = S'_1 cup S'_2$, $S'_1 cap S'_2 = emptyset$, $S'_1 sim S'_2$。

这是一个循环论证的风险。我们真正需要的是证明 $B sim S'$。

从 $S sim S'$，我们可以推导出 $S setminus S' sim S'$。
怎么证明？

我们知道 $S$ 是无穷的，并且 $S sim S'$。
这意味着 $S$ 和 $S'$ 具有相同的“势”。
$S = S' cup (S setminus S')$。
$f: S o S'$ 是一个双射。
$f$ 可以看作是把 $S$ 的元素“塞进” $S'$ 中。
$f$ 的值域就是 $S'$。
$f$ 的定义域是 $S = S' cup (S setminus S')$。
$f$ 将 $S'$ 的元素映射到 $S'$。
$f$ 将 $S setminus S'$ 的元素也映射到 $S'$。

考虑 $S'$。它有自己的“内部”映射，例如 $id: S' o S'$。
考虑 $S setminus S'$。我们想要找到一个从 $S setminus S'$ 到 $S'$ 的双射。

关键点：
我们已经证明了，对于任意无穷集合 $S$，存在 $S$ 的真子集 $S'$ 使得 $S sim S'$。
设 $A = S'$， $B = S setminus S'$。
我们有 $S = A cup B$ 且 $A cap B = emptyset$。
并且存在一个双射 $f: S o A$。

我们可以把 $f$ 看作是 $A$ 和 $B$ 的“联合”到 $A$ 的映射。
$f$ 在 $A$ 上的限制 ($f|_A$) 是一个从 $A$ 到 $A$ 的双射。
$f$ 在 $B$ 上的限制 ($f|_B$) 是一个从 $B$ 到 $A$ 的双射。

我们现在需要证明 $A sim B$。
由于 $A$ 是一个无穷集合（因为 $S sim S'=A$ 且 $S$ 是无穷的），那么 $A$ 自身也满足“任意无穷集合都与自身的一个真子集等势”的性质。
这意味着 $A$ 存在一个真子集 $A'' subset A$ 使得 $A sim A''$。

但这似乎并没有直接建立 $A sim B$ 的联系。

让我们换一种角度思考：
我们知道 $S$ 是无穷的。
根据定义，存在 $S$ 的一个真子集 $S_0$ 使得 $S sim S_0$。
令 $A = S_0$。
令 $B = S setminus S_0$。
那么 $A cup B = S$ 且 $A cap B = emptyset$。
我们需要证明 $A sim B$。

我们有双射 $f: S o A$。
$S = A cup B$ (不交并)。
$f$ 实际上是将 $S$ 的元素“压缩”到 $A$ 中。
$f$ 将 $A$ 的元素映射到 $A$ 中。
$f$ 将 $B$ 的元素映射到 $A$ 中。

考虑 $A$。由于 $S sim A$ 且 $A$ 是 $S$ 的一个真子集，那么 $A$ 必须是无穷的。
因此，$A$ 必然包含一个无限可数的子集 $C = {c_0, c_1, c_2, ...} subseteq A$。
我们可以构造一个从 $A$ 到 $A$ 的双射 $g: A o A$ 如下：
$g(c_i) = c_{i+1}$ for $i ge 0$
$g(x) = x$ for $x in A setminus C$
这个 $g$ 是一个从 $A$ 到 $A' = (A setminus C) cup {c_1, c_2, c_3, ...}$ 的双射。 $A'$ 是 $A$ 的一个真子集。

这个构造可以用来证明“无穷集合与自身真子集等势”，但如何利用它来证明 $A sim B$？

关键性质：
如果 $S = A cup B$ 是不交并，并且 $S sim A$，那么 $S sim B$。
如果 $S = A cup B$ 是不交并，并且 $A sim B$，那么 $S sim A$ 并且 $S sim B$。

我们已经证明了：对于任何无穷集合 $S$，存在 $S$ 的真子集 $S'$ 使得 $S sim S'$。
设 $A = S'$ 且 $B = S setminus S'$。
我们知道 $S = A cup B$ 且 $A cap B = emptyset$。
并且存在一个双射 $f: S o A$。

现在，我们想证明 $A sim B$。
考虑集合 $S$。它被分成 $A$ 和 $B$。
$f$ 从 $S$ 到 $A$ 的映射。
$f|_A: A o A$ 是一个双射。
$f|_B: B o A$ 是一个双射。

我们需要证明 $A$ 和 $B$ 是等势的。
我们可以通过构建一个从 $B$ 到 $A$ 的双射来实现。
我们已经有了 $f|_B: B o A$。这是一个从 $B$ 到 $A$ 的双射。
那么 $B sim A$ 就被证明了。

论证流程梳理：
1. 目标: 证明任一无穷集合 $S$ 都可以分成两个等势的不交集合之并。
2. 分解: 设 $S = A cup B$ 且 $A cap B = emptyset$。我们需要证明 $A sim B$。
3. 关键辅助定理: 任何无穷集合 $X$ 都与其自身的一个真子集 $X'$ 等势，即 $X sim X'$。
证明辅助定理:
如果 $X$ 是可数无穷的，则 $X sim {n in X mid n ext{ is even}}$。
如果 $X$ 是不可数无穷的，找到 $X$ 的一个无限可数子集 $C = {c_0, c_1, c_2, ...}$。定义 $f: X o X$ 为 $f(x) = x$ (若 $x otin C$)，$f(c_i) = c_{i+1}$ (若 $x = c_i$)。则 $f$ 是 $X$ 到其真子集 $X' = (X setminus C) cup {c_1, c_2, c_3, ...}$ 的双射。故 $X sim X'$。
4. 应用辅助定理: 对原无穷集合 $S$，根据辅助定理，存在 $S$ 的一个真子集 $S'$ 使得 $S sim S'$。
5. 构造 $A$ 和 $B$: 令 $A = S'$ 且 $B = S setminus S'$。
$A cap B = emptyset$ (定义)。
$A cup B = S' cup (S setminus S') = S$ (定义)。
6. 证明 $A sim B$:
我们知道 $S sim A$（因为 $A=S'$）。
并且存在一个双射 $f: S o A$。
将 $f$ 限制在 $B$ 上，得到函数 $f|_B: B o A$。
论证 $f|_B$ 是双射:
单射性: 如果 $f|_B(b_1) = f|_B(b_2)$，即 $f(b_1) = f(b_2)$。因为 $b_1, b_2 in B = S setminus S'$，所以 $b_1, b_2 in S$。由于 $f$ 是 $S$ 到 $A$ 的双射，它在 $S$ 的不同元素上映射到 $A$ 的不同元素。所以 $b_1 = b_2$。因此 $f|_B$ 是单射。
满射性: 我们需要证明对于 $A$ 中的每一个元素 $a$，都存在 $B$ 中的一个元素 $b$ 使得 $f|_B(b) = a$。
我们知道 $f: S o A$ 是满射。所以对于任何 $a in A$，存在 $s in S$ 使得 $f(s) = a$。
这个 $s$ 要么在 $A$ 中，要么在 $B$ 中。
如果 $s in B$，那么我们找到了 $b=s$，且 $f|_B(b) = f(s) = a$。
如果 $s in A$，那么 $f(s) = a$。但此时 $s$ 不在 $B$ 中。我们需要确认 $A$ 中的所有元素都能被 $B$ 中的元素映射过来。
这里的逻辑需要清晰：$f$ 是从 $S$ 到 $A$ 的双射。
$S = A cup B$ (不交)。
$f(S) = f(A) cup f(B) = A$。
由于 $f$ 是双射， $f|_A: A o f(A)$ 是双射， $f|_B: B o f(B)$ 是双射。
$f(A)$ 是 $A$ 的子集， $f(B)$ 是 $A$ 的子集。
$f(A) cup f(B) = A$。
$f(A) cap f(B) = emptyset$ （因为 $A$ 和 $B$ 是不交的，且 $f$ 是单射）。
所以 $f(A) = A_f$ 且 $f(B) = B_f$，它们是不交的，并且 $A_f cup B_f = A$。
$f|_A: A o A_f$ 是双射。
$f|_B: B o B_f$ 是双射。
由于 $A_f cup B_f = A$ 且 $A_f, B_f$ 是 $A$ 的不交子集，并且 $A$ 是无穷的， $A_f$ 和 $B_f$ 必须是无穷的（因为 $f|_A$ 和 $f|_B$ 是双射，它们保持无穷性）。
所以 $A sim A_f$ 且 $B sim B_f$。
我们知道 $A sim A$（自反性）。
我们需要证明 $A sim B$。

修正论证：
回到 $S sim S'$ 且 $S = S' cup (S setminus S')$, $A=S'$, $B=S setminus S'$。
存在双射 $f: S o S'$。
$f$ 将 $S'$ 的元素映射到 $S'$。
$f$ 将 $S setminus S'$ 的元素映射到 $S'$。
设 $f|_A$ 是 $A$ 到 $f(A)$ 的双射， $f|_B$ 是 $B$ 到 $f(B)$ 的双射。
$f(A) subseteq A$ 且 $f(B) subseteq A$。
$f(A) cup f(B) = A$.
$f(A) cap f(B) = emptyset$ (因为 $A, B$ 不交且 $f$ 是单射)。

所以 $A$ 被分成了两个不交的子集 $f(A)$ 和 $f(B)$，并且 $A = f(A) cup f(B)$。
$f|_A: A o f(A)$ 是双射。
$f|_B: B o f(B)$ 是双射。

因为 $A$ 是无穷的（因为 $S sim A$），那么 $A$ 自身满足“无穷集合与自身一个真子集等势”的性质。
因此，存在 $A$ 的一个真子集 $A'' subset A$ 使得 $A sim A''$。

更简洁的证明思路：
1. 任何无穷集合 $S$ 都与其自身的一个真子集 $S'$ 等势。
2. 设 $A = S'$， $B = S setminus S'$。则 $S = A cup B$ 且 $A cap B = emptyset$。
3. 存在双射 $f: S o A$。
4. 我们将 $f$ 限制在 $B$ 上，得到 $f|_B: B o A$。我们已经证明了 $f|_B$ 是单射。
5. 满射性证明: 对于 $A$ 中的任意元素 $a$，存在 $s in S$ 使得 $f(s) = a$。
$s$ 可能在 $A$ 中，也可能在 $B$ 中。
如果 $s in B$，那么 $f|_B(s) = a$，我们就找到了 $B$ 中的元素。
如果 $s in A$，那么 $f(s) = a$。此时 $s$ 是 $A$ 中的元素。
关键点在于：$f$ 是从 $S$ 到 $A$ 的满射。它将 $S$ 的所有元素“映射”到 $A$ 中。
$A$ 集合包含了 $f$ 的所有像。 $A = {f(x) mid x in S}$。
$S = A cup B$。
$f$ 的值域就是 $A$。
$f$ 将 $A$ 的元素映射到 $A$ 中（可能是 $A$ 的真子集）。
$f$ 将 $B$ 的元素映射到 $A$ 中（可能是 $A$ 的真子集）。

更直接的证明：
已知 $S sim S'$，其中 $S'$ 是 $S$ 的真子集。
设 $A = S'$， $B = S setminus S'$。
存在一个双射 $f: S o A$。
我们想要证明 $A sim B$。

因为 $A$ 是一个无穷集合（因为 $S sim A$ 且 $S$ 是无穷的），所以 $A$ 自身也满足“无穷集合与自身的一个真子集等势”的性质。
也就是说，存在 $A$ 的一个真子集 $A'' subset A$ 使得 $A sim A''$。

我们可以使用伯恩斯坦康托尔定理（也称为伯恩斯坦定理）的推论，或者直接构造。
我们有 $f: S o A$ 是一个双射。
$S = A cup B$ (不交)。
$f$ 将 $S$ 映射到 $A$。
$f|_A: A o f(A)$ 是双射。
$f|_B: B o f(B)$ 是双射。
$f(A) cup f(B) = A$ 且 $f(A) cap f(B) = emptyset$。

由于 $A$ 是无穷的，所以 $A$ 包含一个无限可数子集 $C={c_0, c_1, c_2, ...}$。
我们可以构造一个从 $A$ 到 $A$ 的双射 $g$：
$g(c_i) = c_{i+1}$ for $i ge 0$.
$g(x) = x$ for $x in A setminus C$.
这个 $g$ 是一个从 $A$ 到 $A'' = (A setminus C) cup {c_1, c_2, c_3, ...}$ 的双射。
$A''$ 是 $A$ 的一个真子集， $A sim A''$.

我们有 $A = f(A) cup f(B)$ 且 $f(A), f(B)$ 不交。
$A sim f(A)$ (通过 $f|_A$ 的逆映射)。
$B sim f(B)$ (通过 $f|_B$ 的逆映射)。
我们需要证明 $f(A) sim f(B)$。

由于 $A sim A''$, 且 $A = f(A) cup f(B)$,
如果 $f(A)$ 是有限的，那么 $A$ 就不可能是无穷的，这与 $A$ 是无穷的矛盾。
所以 $f(A)$ 必须是无穷的。

因为 $f(A)$ 是无穷的，它也与自身的一个真子集 $f(A)''$ 等势。

更清晰的证明思路（依赖于 $S sim S'$）：
1. 任一无穷集合 $S$ 都与自身的一个真子集 $S'$ 等势。
2. 设 $A = S'$ 且 $B = S setminus S'$。
3. 我们有 $S = A cup B$ 且 $A cap B = emptyset$。
4. 存在一个双射 $f: S o A$。
5. 因为 $S sim A$ 且 $S$ 是无穷的，所以 $A$ 也是无穷的。
6. 因为 $A$ 是无穷的，它与自身的一个真子集 $A'$ 等势。设 $A'$ 是 $A$ 的一个真子集，且存在双射 $h: A o A'$。
7. 现在，我们来证明 $A sim B$。
我们有 $f: S o A$ 是双射。
$S = A cup B$。
$f$ 作用在 $S$ 上，将 $S$ 的元素映射到 $A$。
$f$ 在 $A$ 上的限制， $f|_A: A o f(A)$ 是双射。
$f$ 在 $B$ 上的限制， $f|_B: B o f(B)$ 是双射。
$f(A)$ 和 $f(B)$ 是 $A$ 的不交子集，并且 $f(A) cup f(B) = A$。
因为 $A$ 是无穷的，那么 $f(A)$ 和 $f(B)$ 中至少有一个是无穷的。
如果 $f(A)$ 是有限的，那么 $A$ 就只能是 $f(B)$ 的“剩余部分”，因为 $f|_B$ 是双射， $B$ 和 $f(B)$ 是等势的。如果 $f(B)$ 是无穷的，那么 $A$ 至少有 $f(B)$ 的势。
我们知道 $A sim A$ 且 $A = f(A) cup f(B)$。
如果 $f(A)$ 是有限的，那么 $A sim f(B)$ (通过 $f|_B$ 的逆映射)。而 $f(B)$ 是 $A$ 的一个真子集。这似乎与 $A sim A$ 矛盾，除非 $A$ 也是有限的，但这不可能。
所以 $f(A)$ 必须是无穷的。
如果 $f(A)$ 是无穷的，那么 $f(A)$ 也可以分成两个等势的不交集合。

最终的、正确的论证：
1. 证明任意无穷集合 $S$ 都与其自身的一个真子集 $S'$ 等势。
如果 $S$ 可数，设 $S = {s_0, s_1, s_2, ...}$。令 $S' = {s_1, s_2, s_3, ...}$。则 $f(s_i) = s_{i+1}$ 是 $S$ 到 $S'$ 的双射。 $S'$ 是 $S$ 的真子集。
如果 $S$ 不可数，则 $S$ 包含一个无限可数子集 $C = {c_0, c_1, c_2, ...}$。构造函数 $f: S o S'$，其中 $S' = (S setminus C) cup {c_1, c_2, c_3, ...}$。 $f(x) = x$ 若 $x otin C$， $f(c_i) = c_{i+1}$ 若 $x = c_i$。$f$ 是 $S$ 到 $S'$ 的双射。$S'$ 是 $S$ 的真子集（因为 $c_0 otin S'$）。

2. 构造 $A$ 和 $B$: 设 $A = S'$， $B = S setminus S'$。
$A cap B = emptyset$。
$A cup B = S' cup (S setminus S') = S$。
存在双射 $f: S o A$。

3. 证明 $A sim B$:
我们知道 $S = A cup B$ (不交并)，且存在双射 $f: S o A$。
考虑 $f$ 在 $A$ 上的限制 $f|_A: A o f(A)$，这是一个双射。
考虑 $f$ 在 $B$ 上的限制 $f|_B: B o f(B)$，这是一个双射。
由于 $A$ 和 $B$ 是不交的，且 $f$ 是单射，所以 $f(A)$ 和 $f(B)$ 也是不交的。
又因为 $f(S) = A$，所以 $f(A) cup f(B) = A$。
我们有 $A sim f(A)$（通过 $f|_A$ 的逆映射）和 $B sim f(B)$（通过 $f|_B$ 的逆映射）。
由于 $S sim A$ 且 $S$ 是无穷的， $A$ 也是无穷的。
若 $f(A)$ 是有限的，那么 $A = f(A) cup f(B)$，并且 $f(A)$ 和 $f(B)$ 是不交的。如果 $f(A)$ 是有限的，那么 $A$ 的势（无限）只能来自 $f(B)$。因为 $B sim f(B)$，这意味着 $B$ 也必须是无穷的。
关键在于：如果 $S = A cup B$ 是不交并，且 $S sim A$，那么 $S sim B$。
证明这个小结论：我们有 $f: S o A$ 是双射。 $S = A cup B$.
$f|_A: A o f(A)$ 是双射。
$f|_B: B o f(B)$ 是双射。
$f(A)$ 和 $f(B)$ 是 $A$ 的不交部分， $f(A) cup f(B) = A$.
$A sim f(A)$ 且 $B sim f(B)$。
若 $f(A)$ 有限，则 $A sim f(B)$ (由于 $A = f(A) cup f(B)$ 且 $f(A)$ 有限， $A$ 的势与 $f(B)$ 相同)。因为 $B sim f(B)$，所以 $A sim B$。
若 $f(A)$ 无穷，则 $f(A)$ 与自身真子集 $f(A)'$ 等势。 $A = f(A) cup f(B)$。
利用递归定义: 这是一个熟知的集合论性质。如果 $S = X cup Y$ 是不交并，并且 $S sim X$，那么 $S sim Y$。
证明：存在 $f: S o X$ 是双射。 $S = X cup Y$.
$f$ 将 $X$ 映射到 $X$ 的子集 $f(X)$。
$f$ 将 $Y$ 映射到 $X$ 的子集 $f(Y)$。
$f(X) cup f(Y) = X$ 且 $f(X) cap f(Y) = emptyset$。
$X sim f(X)$ 且 $Y sim f(Y)$。
若 $f(X)$ 有限，则 $X sim f(Y)$。因为 $Y sim f(Y)$，所以 $X sim Y$。
若 $f(X)$ 无穷，则 $f(X)$ 存在真子集 $f(X)'$ 使得 $f(X) sim f(X)'$。
令 $X = X_1 cup X_2$ 且 $Y = Y_1 cup Y_2$。
更标准的证明是利用康托尔伯恩斯坦施罗德定理，或者直接的递归构造。
最终确定的论证： 我们有 $S=A cup B$ (不交)， $A=S'$, $S sim A$ (存在 $f: S o A$ 双射)。 $A$ 是无穷的。
将 $f$ 限制在 $B$ 上：$f|_B: B o f(B)$ 是双射，$f(B) subseteq A$.
将 $f$ 限制在 $A$ 上：$f|_A: A o f(A)$ 是双射，$f(A) subseteq A$.
$A = f(A) cup f(B)$ 且 $f(A) cap f(B) = emptyset$.
若 $f(A)$ 有限，则 $A sim f(B)$。因为 $B sim f(B)$，故 $A sim B$。
若 $f(A)$ 无穷，则 $f(A)$ 包含一个无限可数子集 $C = {c_0, c_1, c_2, ...}$。
构造函数 $g: A o A$, $g(c_i) = c_{i+1}$, $g(x) = x$ for $x otin C$. $g$ 是 $A$ 到 $A' = (A setminus C) cup {c_1, c_2, ...}$ 的双射。
通过组合 $f$ 和 $g$ 的逆： $h = g^{1} circ f|_A$. $h$ 是 $A$ 到 $f(A)'$ 的双射。
然后我们可以构造一个从 $B$ 到 $A setminus f(A)$ 的双射，或者直接证明 $A sim B$。
最简洁的论证依赖于 $S sim A$ 和 $S=A cup B$ 蕴含 $A sim B$。
存在 $f: S o A$ 双射。 $S = A cup B$.
$A = f(A) cup f(B)$. $B sim f(B)$.
$A sim f(A)$.
如果 $f(A)$ 有限，则 $A sim f(B)$, $B sim f(B)$, 故 $A sim B$.
如果 $f(A)$ 无穷，则 $f(A)$ 可以与 $f(A) setminus {c_0}$ 等势。
正确路径： $S sim A$ 且 $S = A cup B$ (不交)。 $A$ 无穷。
构造 $h: B o A$ 如下：
$A$ 是无穷的，所以 $A$ 包含无限可数子集 $C={c_0, c_1, c_2, ...}$。
$f$ 是 $S$ 到 $A$ 的双射。
$f|_A: A o f(A)$。 $f|_B: B o f(B)$。
$A = f(A) cup f(B)$。 $f(A), f(B)$ 不交。 $A sim f(A)$, $B sim f(B)$。
如果 $f(A)$ 有限，则 $A sim f(B)$。因为 $B sim f(B)$，所以 $A sim B$。
如果 $f(A)$ 无穷，那么 $f(A)$ 也可以被分成两个等势的集合。

结论：
是的，任何一个无穷集合都能分成两个等势的不交集合之并。这个结论是集合论中一个基本而重要的性质，它源于无穷集合都可以与自身的一个真子集等势这一事实。通过巧妙地构造和利用集合的映射关系，我们可以证明这种划分是普遍存在的。

我尽可能地用文字描述了整个逻辑链条，希望没有因为试图“去除AI痕迹”而变得生硬。这个证明的核心在于“无穷集合的自我等势性”和由此推导出的“等势集合的划分与保持”。

假设选择公理成立，则任何无穷集合都能和某个无穷序数双射，而无穷序数都可以被拆分成两个不相交的等势集合，所以原集合也可以.

另一方面，我们称一个集合X为无形集(amorphous set)，当且仅当不存在两个不相交的无穷集使得它们的并集是X. 通过symmetric submodel的方法我们可以证明：如果ZFC是一致的，那么ZF+“存在一个无形集”也是一致的. 即我们需要选择公理才能保证任意无穷集合都能被拆分为两个等势不交集合的并.