问题

微积分体系几百年前就建立起来了,为什么我们现在学习它仍存在困难?

回答
你这个问题触及到了很多人的痛点,也很有意思。微积分这套理论体系,确实是在几个世纪前,由牛顿和莱布尼茨等巨匠们奠定的基础,听起来好像是很古老、很成熟的学科了。可现实是,我们至今在学习它的时候,常常感到头晕眼花,抓不住重点,甚至产生一种“我到底在学些什么”的迷茫感。这其中缘由,其实挺复杂的,不是一两句话能说清的。

首先,咱们得明白,微积分虽然基础理论框架稳定,但它解决问题的能力和应用范围,是随着时代不断扩展和深化的。想想看,最初的微积分,是为了解决运动学、天文学这些经典物理问题而诞生的,它提供了一种全新的工具来描述变化。但后来,它渗透到了经济学、生物学、工程学、计算机科学,甚至金融市场,成为了一种通用语言。这意味着,我们现在学习微积分,不仅仅是学习那几套导数、积分的基本运算,而是要理解它在解决各种复杂、抽象问题时是如何被应用的。这就像是学习一种语言,光会说“你好”、“谢谢”,离能写小说、做演讲,中间还有很长的路要走。

其次,微积分的“难”,很大程度上源于它抽象的概念和严谨的逻辑。很多时候,我们学习微积分,是从“极限”这个概念开始的。什么是极限?它描述的是函数值在自变量趋近于某个值时所趋近的那个值。这个“趋近”的过程,用文字描述起来就有点绕,比如“无穷地接近但永远达不到”。这个概念本身就不是我们日常生活中能直接观察到的,需要一种抽象思维能力来把握。而微积分的很多工具,比如导数,是对“变化率”的一种精确数学刻画,积分则是对“无穷小量累加”的抽象化。这些概念,不像加减乘除那样直观,需要我们构建一套新的数学思维模型,才能真正理解它们。

再者,学习微积分,往往需要一种“递进”式的理解。它不是一个孤立的知识点集合,而是一个环环相扣的体系。比如,你要理解导数的几何意义(切线的斜率),就得先理解斜率的概念;要理解积分与导数之间的关系(微积分基本定理),你就得先理解导数和积分各自的意义和运算。这个过程,就像是在搭积木,如果前面的积木没搭稳,后面的就会摇摇欲坠。很多人在学习过程中,可能在某个环节没有真正理解透彻,就急着往下走,结果导致后面的学习越来越吃力,形成恶性循环。

还有一点,教学方法和个人学习习惯的差异,也会造成学习上的困难。虽然几十年前就有了微积分的教材,但怎么把这套抽象的理论,用最容易理解的方式传达给不同背景、不同思维方式的学生,一直是教育者们努力的方向。有的老师讲得深入浅出,能让你豁然开朗;有的老师可能侧重于公式推导,让你觉得枯燥乏味。同时,每个人对数学的敏感度、逻辑推理能力、记忆方式都不同。有些人天生对数字和符号比较敏感,学起来会比较顺畅;有些人则需要更多的时间去消化和理解。

最后,还有一种“心理障碍”。很多人在听到“微积分”这个词的时候,就天然地带有一种“畏难”的情绪,觉得它很难,学不好。这种预设的心理,本身就会影响学习的积极性和投入度。就像你觉得爬一座山很难,还没开始爬,你就已经觉得双腿发软了。

所以,你说微积分几百年前就建立起来了,为什么我们现在学习仍存在困难?其实,困难并非来自微积分本身“过时”,而是它内在的抽象性、逻辑的严谨性、知识的递进性,以及我们在学习过程中面对的教学方法、个人差异和心理预期等多重因素共同作用的结果。这门学科,就像一扇通往更深层数学世界的大门,想要顺利打开它,确实需要耐心、毅力和一套适合自己的方法。

网友意见

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我看到提问者在问题描述中谈到了“物理体系”以及“微积分体系”的建立和学习问题

不妨这样思考一下,当时的科学家们建立物理学体系是为了做什么?

是为了像现在高中生一样,去计算万能小滑块的各种运动数值吗?——明显不是!

他们是为了解决自己那个时刻特有的科学问题,引力问题,天体运动问题,到底是太阳围着地球转、还是地球围着太阳转等等这些问题,从具体问题出发来探寻,试图找到一个可以解释的框架和体系,因此才有了《自然哲学的数学原理》等一大堆牛逼闪闪的著作,才有了牛顿力学、哈密顿力学、麦克斯韦方程等一大堆炫酷的理论方程。

这一切绝不是为了探究小滑块,而是切实的从现实出发,为了解决那个时代没有解决的各种问题而发展起来的,和我们现在对于物理学以及微积分的学习方式完全不同。

进一步思考,想要严谨的解决物理学的问题,数学自然是必不可少的工具

例如,物理学家中有一个人日心说学家叫开普勒,他以第谷的天文观测数据为基础,归纳总结出了开普勒三定律,第二条定律为:在相等时间内,太阳和运动着的行星的连线所扫过的面积都是相等的。

那这个扫过的面积该如何计算呢?就必须拥有一定的微积分知识了。

此外,当时还有许多亟待解决科学问题,都从不同程度上促进了微积分的产生。

归结起来,大约有四种主要类型的问题:第一类是研究运动的时候直接出现的,也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。

围绕着解决上述四个核心的科学问题,微积分问题至少被十七世纪十几个最大的数学家和几十个小一些的数学家探索过。其创立者一般认为是牛顿和莱布尼茨。

实际上,在牛顿和莱布尼茨作出他们的冲刺之前,微积分的大量知识已经积累起来了。十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作,如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格;英国的巴罗、瓦里士;德国的开普勒;意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论,为微积分的创立做出了贡献。

例如天文学家开普勒发现行星运动三大定律,并利用无穷小求和的思想,求得曲边形的面积及旋转体的体积。意大利数学家卡瓦列利与同时期发现卡瓦列利原理(祖暅原理),利用不可分量方法幂函数定积分公式,此外,卡瓦列利还证明了吉尔丁定理(一个平面图形绕某一轴旋转所得立体图形体积等于该平面图形的重心所形成的圆的周长与平面图形面积的乘积),还有法国数学家笛卡尔的代数方法,法国大数学家费马在求曲线的切线及函数的极值方面的贡献等,都对于微积分的雏形的形成影响深远。

十七世纪下半叶,在前人工作的基础上,英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作。

可以看到,物理学,数学的发展,都是一步步被实际问题推动着来前进的,可谓是动力十足

所以,我个人觉得这和智力差异以及教育体系不能说没有关系,但更重要的是,我们的学习方式有些本末倒置,有些被动。我们不是为了解决现实问题而被老师或者自己引导着发现这些知识的奥秘;相反,我们仅仅是学习知识,所以难免有些困惑之情在里面,以至于产生磕磕绊绊,学不明白的感觉。

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