皮尔逊系数为什么要中心化？中心化之后有什么好处？
皮尔逊系数为何要中心化？中心化带来的好处有哪些？
在数据分析和统计学领域，我们经常会遇到皮尔逊相关系数（Pearson correlation coefficient），它是一种衡量两个变量之间线性相关程度的指标。它的取值范围在1到1之间，1表示完全负相关，1表示完全正相关，0表示无线性相关。
但是，你有没有想过，在计算皮尔逊系数之前，我们通常会对数据进行“中心化”处理？为什么要这么做？中心化处理又会给我们带来哪些好处呢？今天，我们就来深入探讨一下这个问题。
什么是中心化？
首先，我们来明确一下“中心化”是什么意思。中心化，顾名思义，就是将数据围绕其均值进行移动。具体来说，对于一个数据集 $X = {x_1, x_2, ..., x_n}$，其中心化后的数据集 $X' = {x'_1, x'_2, ..., x'_n}$ 的计算公式为：
$x'_i = x_i ar{x}$
其中，$ar{x}$ 是数据集 $X$ 的均值。也就是说，我们从每个数据点中减去该数据集的均值。这样做之后，新的数据集 $X'$ 的均值就变成了0。
为什么皮尔逊系数要中心化？—— 更深刻的理解相关性
皮尔逊相关系数的计算公式实际上是基于协方差的概念。其公式为：
$r = frac{sum_{i=1}^{n}(x_i ar{x})(y_i ar{y})}{sqrt{sum_{i=1}^{n}(x_i ar{x})^2}sqrt{sum_{i=1}^{n}(y_i ar{y})^2}}$
观察这个公式，你会发现，无论是分子还是分母，都出现了 $(x_i ar{x})$ 和 $(y_i ar{y})$ 这样的项。这正是中心化后的数据！
那么，为什么公式本身就包含了中心化的操作呢？这背后其实是对“相关性”本质的体现。
协方差的意义： 皮尔逊系数的分子是两个变量的协方差。协方差衡量的是两个变量协同变化的程度。当一个变量高于其均值时，另一个变量也倾向于高于其均值（正协方差），或者倾向于低于其均值（负协方差）。通过减去均值，我们消除了原始数据本身的偏移量，只关注数据点相对于它们各自均值的相对位置。
消除量纲和基准点的影响： 想象一下，如果我们要比较两个身高和体重的数据集。一个数据集是厘米为单位，另一个是英寸为单位。直接计算它们的协方差会因为单位不同而失去可比性。通过中心化，我们关注的是“身高比平均身高高多少/矮多少”以及“体重比平均体重重多少/轻多少”，这样就消除了原始数据的量纲和绝对大小的影响，让比较更加公平。
聚焦于“相对变化”： 中心化让我们的分析焦点从数据的绝对值转移到数据相对于其“中心”（均值）的变化。皮尔逊系数关注的是“当X偏离其均值时，Y是否也倾向于以某种方式偏离其均值”。这个“偏离”正是通过减去均值来体现的。
中心化之后有什么好处？
将数据中心化之后，在计算皮尔逊相关系数时，会带来以下几个显著的好处：
1. 使计算更简洁直观：
正如我们前面看到的，皮尔逊系数的公式本身就包含中心化的项。直接对原始数据计算皮尔逊系数，其数学过程本质上就是对中心化后的数据进行的。所以，在很多情况下，我们说“皮尔逊系数的计算是建立在中心化数据上的”是很准确的。
2. 避免绝对值大小的影响，关注相对变化：
这是中心化最核心的好处。
摆脱数据的“基准线”： 原始数据的值可能很大，也可能很小，甚至可能是负数。例如，一个测量体重的变量，其均值可能是60kg。另一个变量是温度，其均值可能是20°C。直接计算这两个变量的协方差，结果会受到它们各自均值大小的影响。
量化“同向变动”： 中心化后，如果 $x_i$ 高于 $ar{x}$，那么 $(x_i ar{x})$ 就是正的。如果 $y_i$ 也高于 $ar{y}$，那么 $(y_i ar{y})$ 也是正的。两者相乘就是正的。如果 $x_i$ 高于 $ar{x}$，而 $y_i$ 低于 $ar{y}$，则 $(x_i ar{x})$ 为正，$(y_i ar{y})$ 为负，乘积为负。这样，通过各点 $(x_iar{x})(y_iar{y})$ 的累加，我们才能真正捕捉到变量之间“同向变化”或“反向变化”的趋势。
3. 对所有变量提供一个统一的参照系：
当我们处理多个变量时，中心化可以将它们都“归零”到各自的均值处。这样，我们就有了一个统一的参照系来评估它们的相对变化。这使得比较不同变量之间的相关性变得更加有意义。例如，我们可以比较“收入对消费的影响”和“教育年限对收入的影响”，即使它们本身的数值范围和均值差异很大，通过中心化，我们都在比较“偏离平均收入的钱”和“偏离平均教育年限的年数”对另一个变量的影响。
4. 简化计算，尤其是在矩阵运算中：
在现代数据分析中，我们经常使用矩阵来表示和处理数据。将数据矩阵中心化可以极大地简化许多矩阵运算，包括协方差矩阵的计算。
协方差矩阵： 考虑一个数据集 $X$（n个样本，p个特征），将其中心化为 $X_{centered}$。那么，协方差矩阵可以计算为 $frac{1}{n1} X_{centered}^T X_{centered}$。如果没有中心化，计算会复杂得多。
5. 在某些机器学习算法中的应用：
虽然皮尔逊系数本身是一个描述性统计量，但其背后的中心化思想在许多机器学习算法中至关重要。例如：
主成分分析（PCA）： PCA 的核心是将数据投影到方差最大的方向上。它通常首先对数据进行中心化处理，然后计算协方差矩阵，再进行特征值分解。中心化是 PCA 能够正确工作的关键一步。
支持向量机（SVM）等： 在某些情况下，对输入特征进行标准化（中心化+缩放）可以改善模型的性能和收敛速度。
举个例子
假设我们有两个数据集：
数据集 A (小明一天中记录的午餐花费，单位：元): [15, 20, 18, 22, 25]
数据集 B (小红一天中记录的午餐花费，单位：元): [10, 12, 11, 15, 13]
我们想知道这两个人的午餐花费是否有线性相关性。
1. 计算均值：
$ar{A} = (15+20+18+22+25) / 5 = 20$
$ar{B} = (10+12+11+15+13) / 5 = 12.2$
2. 中心化数据：
A': [1520, 2020, 1820, 2220, 2520] = [5, 0, 2, 2, 5]
B': [1012.2, 1212.2, 1112.2, 1512.2, 1312.2] = [2.2, 0.2, 1.2, 2.8, 0.8]
3. 计算皮尔逊系数（基于中心化数据）：
分母：
$sum (A'_i)^2 = (5)^2 + 0^2 + (2)^2 + 2^2 + 5^2 = 25 + 0 + 4 + 4 + 25 = 58$
$sum (B'_i)^2 = (2.2)^2 + (0.2)^2 + (1.2)^2 + (2.8)^2 + (0.8)^2 = 4.84 + 0.04 + 1.44 + 7.84 + 0.64 = 14.8$
分子：
$sum (A'_i)(B'_i) = (5)(2.2) + (0)(0.2) + (2)(1.2) + (2)(2.8) + (5)(0.8) = 11 + 0 + 2.4 + 5.6 + 4 = 23$
皮尔逊系数 $r = frac{23}{sqrt{58} sqrt{14.8}} approx frac{23}{8.544 imes 3.847} approx frac{23}{32.87} approx 0.70$
这个结果表明，小明的午餐花费和小红的午餐花费之间存在较强的正相关性。
如果不对数据中心化直接计算：
虽然公式中包含中心化，但如果我们不先进行概念上的“中心化”，而是直接尝试计算其他与相关性相关的指标，比如原始数据的乘积之和 $sum x_i y_i$：
$sum x_i y_i = 1510 + 2012 + 1811 + 2215 + 2513 = 150 + 240 + 198 + 330 + 325 = 1243$
这个值并不能直接告诉我们“当小明多花钱时，小红也倾向于多花钱”这样的相对关系。它仅仅是一个原始数值的加权总和，更容易受到个体数值大小的影响。
总结
简而言之，皮尔逊系数的“中心化”是其计算本质的体现，也是为了更准确地衡量变量间的线性相关性。它通过消除数据的绝对值和基准点的影响，让我们能够聚焦于变量相对于其自身均值的“相对变化”是否协同。这使得皮尔逊系数成为一个强大而有用的工具，用于理解数据之间的内在联系，并在更广泛的数据分析和机器学习领域发挥着关键作用。
下次当你看到计算皮尔逊系数的代码或公式时，你会明白，那不仅仅是一堆数学符号，而是对数据“内在关联”的深刻洞察。
在数据分析和统计学领域，我们经常会遇到皮尔逊相关系数（Pearson correlation coefficient），它是一种衡量两个变量之间线性相关程度的指标。它的取值范围在1到1之间，1表示完全负相关，1表示完全正相关，0表示无线性相关。
但是，你有没有想过，在计算皮尔逊系数之前，我们通常会对数据进行“中心化”处理？为什么要这么做？中心化处理又会给我们带来哪些好处呢？今天，我们就来深入探讨一下这个问题。
什么是中心化？
首先，我们来明确一下“中心化”是什么意思。中心化，顾名思义，就是将数据围绕其均值进行移动。具体来说，对于一个数据集 $X = {x_1, x_2, ..., x_n}$，其中心化后的数据集 $X' = {x'_1, x'_2, ..., x'_n}$ 的计算公式为：
$x'_i = x_i ar{x}$
其中，$ar{x}$ 是数据集 $X$ 的均值。也就是说，我们从每个数据点中减去该数据集的均值。这样做之后，新的数据集 $X'$ 的均值就变成了0。
为什么皮尔逊系数要中心化？—— 更深刻的理解相关性
皮尔逊相关系数的计算公式实际上是基于协方差的概念。其公式为：
$r = frac{sum_{i=1}^{n}(x_i ar{x})(y_i ar{y})}{sqrt{sum_{i=1}^{n}(x_i ar{x})^2}sqrt{sum_{i=1}^{n}(y_i ar{y})^2}}$
观察这个公式，你会发现，无论是分子还是分母，都出现了 $(x_i ar{x})$ 和 $(y_i ar{y})$ 这样的项。这正是中心化后的数据！
那么，为什么公式本身就包含了中心化的操作呢？这背后其实是对“相关性”本质的体现。
协方差的意义： 皮尔逊系数的分子是两个变量的协方差。协方差衡量的是两个变量协同变化的程度。当一个变量高于其均值时，另一个变量也倾向于高于其均值（正协方差），或者倾向于低于其均值（负协方差）。通过减去均值，我们消除了原始数据本身的偏移量，只关注数据点相对于它们各自均值的相对位置。
消除量纲和基准点的影响： 想象一下，如果我们要比较两个身高和体重的数据集。一个数据集是厘米为单位，另一个是英寸为单位。直接计算它们的协方差会因为单位不同而失去可比性。通过中心化，我们关注的是“身高比平均身高高多少/矮多少”以及“体重比平均体重重多少/轻多少”，这样就消除了原始数据的量纲和绝对大小的影响，让比较更加公平。
聚焦于“相对变化”： 中心化让我们的分析焦点从数据的绝对值转移到数据相对于其“中心”（均值）的变化。皮尔逊系数关注的是“当X偏离其均值时，Y是否也倾向于以某种方式偏离其均值”。这个“偏离”正是通过减去均值来体现的。
中心化之后有什么好处？
将数据中心化之后，在计算皮尔逊相关系数时，会带来以下几个显著的好处：
1. 使计算更简洁直观：
正如我们前面看到的，皮尔逊系数的公式本身就包含中心化的项。直接对原始数据计算皮尔逊系数，其数学过程本质上就是对中心化后的数据进行的。所以，在很多情况下，我们说“皮尔逊系数的计算是建立在中心化数据上的”是很准确的。
2. 避免绝对值大小的影响，关注相对变化：
这是中心化最核心的好处。
摆脱数据的“基准线”： 原始数据的值可能很大，也可能很小，甚至可能是负数。例如，一个测量体重的变量，其均值可能是60kg。另一个变量是温度，其均值可能是20°C。直接计算这两个变量的协方差，结果会受到它们各自均值大小的影响。
量化“同向变动”： 中心化后，如果 $x_i$ 高于 $ar{x}$，那么 $(x_i ar{x})$ 就是正的。如果 $y_i$ 也高于 $ar{y}$，那么 $(y_i ar{y})$ 也是正的。两者相乘就是正的。如果 $x_i$ 高于 $ar{x}$，而 $y_i$ 低于 $ar{y}$，则 $(x_i ar{x})$ 为正，$(y_i ar{y})$ 为负，乘积为负。这样，通过各点 $(x_iar{x})(y_iar{y})$ 的累加，我们才能真正捕捉到变量之间“同向变化”或“反向变化”的趋势。
3. 对所有变量提供一个统一的参照系：
当我们处理多个变量时，中心化可以将它们都“归零”到各自的均值处。这样，我们就有了一个统一的参照系来评估它们的相对变化。这使得比较不同变量之间的相关性变得更加有意义。例如，我们可以比较“收入对消费的影响”和“教育年限对收入的影响”，即使它们本身的数值范围和均值差异很大，通过中心化，我们都在比较“偏离平均收入的钱”和“偏离平均教育年限的年数”对另一个变量的影响。
4. 简化计算，尤其是在矩阵运算中：
在现代数据分析中，我们经常使用矩阵来表示和处理数据。将数据矩阵中心化可以极大地简化许多矩阵运算，包括协方差矩阵的计算。
协方差矩阵： 考虑一个数据集 $X$（n个样本，p个特征），将其中心化为 $X_{centered}$。那么，协方差矩阵可以计算为 $frac{1}{n1} X_{centered}^T X_{centered}$。如果没有中心化，计算会复杂得多。
5. 在某些机器学习算法中的应用：
虽然皮尔逊系数本身是一个描述性统计量，但其背后的中心化思想在许多机器学习算法中至关重要。例如：
主成分分析（PCA）： PCA 的核心是将数据投影到方差最大的方向上。它通常首先对数据进行中心化处理，然后计算协方差矩阵，再进行特征值分解。中心化是 PCA 能够正确工作的关键一步。
支持向量机（SVM）等： 在某些情况下，对输入特征进行标准化（中心化+缩放）可以改善模型的性能和收敛速度。
举个例子
假设我们有两个数据集：
数据集 A (小明一天中记录的午餐花费，单位：元): [15, 20, 18, 22, 25]
数据集 B (小红一天中记录的午餐花费，单位：元): [10, 12, 11, 15, 13]
我们想知道这两个人的午餐花费是否有线性相关性。
1. 计算均值：
$ar{A} = (15+20+18+22+25) / 5 = 20$
$ar{B} = (10+12+11+15+13) / 5 = 12.2$
2. 中心化数据：
A': [1520, 2020, 1820, 2220, 2520] = [5, 0, 2, 2, 5]
B': [1012.2, 1212.2, 1112.2, 1512.2, 1312.2] = [2.2, 0.2, 1.2, 2.8, 0.8]
3. 计算皮尔逊系数（基于中心化数据）：
分母：
$sum (A'_i)^2 = (5)^2 + 0^2 + (2)^2 + 2^2 + 5^2 = 25 + 0 + 4 + 4 + 25 = 58$
$sum (B'_i)^2 = (2.2)^2 + (0.2)^2 + (1.2)^2 + (2.8)^2 + (0.8)^2 = 4.84 + 0.04 + 1.44 + 7.84 + 0.64 = 14.8$
分子：
$sum (A'_i)(B'_i) = (5)(2.2) + (0)(0.2) + (2)(1.2) + (2)(2.8) + (5)(0.8) = 11 + 0 + 2.4 + 5.6 + 4 = 23$
皮尔逊系数 $r = frac{23}{sqrt{58} sqrt{14.8}} approx frac{23}{8.544 imes 3.847} approx frac{23}{32.87} approx 0.70$
这个结果表明，小明的午餐花费和小红的午餐花费之间存在较强的正相关性。
如果不对数据中心化直接计算：
虽然公式中包含中心化，但如果我们不先进行概念上的“中心化”，而是直接尝试计算其他与相关性相关的指标，比如原始数据的乘积之和 $sum x_i y_i$：
$sum x_i y_i = 1510 + 2012 + 1811 + 2215 + 2513 = 150 + 240 + 198 + 330 + 325 = 1243$
这个值并不能直接告诉我们“当小明多花钱时，小红也倾向于多花钱”这样的相对关系。它仅仅是一个原始数值的加权总和，更容易受到个体数值大小的影响。
总结
简而言之，皮尔逊系数的“中心化”是其计算本质的体现，也是为了更准确地衡量变量间的线性相关性。它通过消除数据的绝对值和基准点的影响，让我们能够聚焦于变量相对于其自身均值的“相对变化”是否协同。这使得皮尔逊系数成为一个强大而有用的工具，用于理解数据之间的内在联系，并在更广泛的数据分析和机器学习领域发挥着关键作用。
下次当你看到计算皮尔逊系数的代码或公式时，你会明白，那不仅仅是一堆数学符号，而是对数据“内在关联”的深刻洞察。
网友意见
这种问题没必要过度解读，cosine相似度和Pearson系数就是形式上有关联（观测数据标准化以后二者相等），但是出发点是完全不同的。
Pearson系数在定义上就是两个随机变量的协方差，用二者的标准差归一化消除量纲影响。如果要问为什么Pearson系数需要中心化，实际上就是问为什么协方差的定义中要减去期望，为什么标准差的定义中要减去期望。
题主可以把这两个问题复制给身边统计背景的朋友，看看他们会不会打死你。
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