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问题

这到极限题怎么做，据说要用到余元公式。能否讲透些？

回答
行，这题咱们好好捋一捋，保准让你把余弦定理解得透透的。别看它一开始有点蒙，弄明白了，其实挺有意思的。

题目是求 $lim_{x o 0} frac{sin(3x) 3sin(x)}{xsin(2x)}$。

第一步：初步观察，发现问题

当你拿到这个式子，第一反应肯定是先直接代入 $x=0$ 试试。
分子：$sin(3 cdot 0) 3sin(0) = 0 0 = 0$
分母：$0 cdot sin(2 cdot 0) = 0 cdot 0 = 0$

发现了吗？直接代入得到的是 $frac{0}{0}$ 的不定式。这说明我们不能直接计算，需要进行一些化简或者运用其他方法来解决。

第二步：为什么要用余弦定理？（这里其实是说三角函数恒等变换，别被“余元公式”带偏了，虽然最终会用到一些基于余弦的推导，但核心是三角函数化简。）

题目里有 $sin(3x)$ 和 $sin(x)$，还有 $sin(2x)$。看到这种 $sin(nx)$ 的形式，尤其是 $n>1$，我们通常会想到降幂或者利用和角公式、倍角公式等三角恒等式来把它展开，变成更简单的形式，比如只包含 $sin(x)$ 和 $cos(x)$ 的组合。

这里，“余元公式” 这个提示，可能指的是利用差角公式（例如 $cos(AB) = cos A cos B + sin A sin B$）或者和角公式（例如 $cos(A+B) = cos A cos B sin A sin B$）来推导 $sin(3x)$ 的展开式。不过，更直接的方法是利用倍角公式和三倍角公式。

第三步：展开 $sin(3x)$

这是解题的关键！我们需要找到 $sin(3x)$ 的表达式。我们知道：
$sin(3x) = sin(2x + x)$

现在，我们应用和角公式：$sin(A+B) = sin A cos B + cos A sin B$
令 $A = 2x$, $B = x$，则：
$sin(3x) = sin(2x)cos(x) + cos(2x)sin(x)$

接下来，我们需要用 $sin(x)$ 和 $cos(x)$ 来表示 $sin(2x)$ 和 $cos(2x)$。
倍角公式：
$sin(2x) = 2sin(x)cos(x)$
$cos(2x)$ 有三种形式：$cos^2(x) sin^2(x)$，$2cos^2(x) 1$，$1 2sin^2(x)$。为了最终能化简，我们选择最能包含 $sin(x)$ 的形式，即 $cos(2x) = 1 2sin^2(x)$。

现在，我们把这些代入 $sin(3x)$ 的展开式：
$sin(3x) = (2sin(x)cos(x))cos(x) + (1 2sin^2(x))sin(x)$
$sin(3x) = 2sin(x)cos^2(x) + sin(x) 2sin^3(x)$

我们还可以用 $cos^2(x) = 1 sin^2(x)$ 来进一步化简，这样整个式子就只剩下 $sin(x)$ 的幂次了，这通常更容易处理。
$sin(3x) = 2sin(x)(1 sin^2(x)) + sin(x) 2sin^3(x)$
$sin(3x) = 2sin(x) 2sin^3(x) + sin(x) 2sin^3(x)$
$sin(3x) = 3sin(x) 4sin^3(x)$

看，这就是著名的 $sin(3x)$ 三倍角公式！ 很多时候，题目给出的形式就是让你去套用这些公式的。

第四步：将 $sin(3x)$ 的展开式代回原极限式

现在我们有了 $sin(3x) = 3sin(x) 4sin^3(x)$，把它代入原式：
原极限 = $lim_{x o 0} frac{(3sin(x) 4sin^3(x)) 3sin(x)}{xsin(2x)}$

简化分子：
分子 = $3sin(x) 4sin^3(x) 3sin(x) = 4sin^3(x)$

所以，极限变成了：
原极限 = $lim_{x o 0} frac{4sin^3(x)}{xsin(2x)}$

第五步：进一步化简分母和利用重要极限

分母是 $xsin(2x)$。我们知道 $sin(2x) = 2sin(x)cos(x)$。
所以，分母 = $x (2sin(x)cos(x)) = 2xsin(x)cos(x)$

极限式变为：
原极限 = $lim_{x o 0} frac{4sin^3(x)}{2xsin(x)cos(x)}$

现在我们可以进行一些约分。分子有一个 $sin^3(x)$，分母有一个 $sin(x)$。
原极限 = $lim_{x o 0} frac{4sin^2(x)}{2xcos(x)}$

化简常数：
原极限 = $lim_{x o 0} frac{2sin^2(x)}{xcos(x)}$

现在，我们要巧妙地利用重要极限 $lim_{x o 0} frac{sin(x)}{x} = 1$。
我们可以把式子凑成这个形式：
原极限 = $lim_{x o 0} left( 2 cdot frac{sin(x)}{x} cdot frac{sin(x)}{cos(x)} ight)$

注意： 这里我们把 $sin^2(x)$ 分拆成 $sin(x) cdot sin(x)$，然后把一个 $sin(x)$ 和 $x$ 组合成 $frac{sin(x)}{x}$。

继续化简：
原极限 = $lim_{x o 0} left( 2 cdot frac{sin(x)}{x} cdot sin(x) cdot frac{1}{cos(x)} ight)$

现在，我们可以逐项计算极限（因为各个部分都存在极限）：
$lim_{x o 0} (2) = 2$
$lim_{x o 0} frac{sin(x)}{x} = 1$ (重要极限)
$lim_{x o 0} sin(x) = sin(0) = 0$
$lim_{x o 0} cos(x) = cos(0) = 1$

将这些结果代回去：
原极限 = $(2) cdot (1) cdot (0) cdot left(frac{1}{1} ight)$
原极限 = $2 cdot 1 cdot 0 cdot 1 = 0$

第六步：检查与思考（为什么会想到余弦定理/三角恒等式？）

我们刚才的推导过程中，虽然主要用到了和角公式和倍角公式，但你提到的“余元公式”其实也暗含了三角函数的化简思想。

“余元公式”可能指的是什么？
余角公式： 比如 $sin(frac{pi}{2} heta) = cos( heta)$，$cos(frac{pi}{2} heta) = sin( heta)$。这些公式可以将三角函数互相转化。
差角公式/和角公式的推导： 很多三角函数的恒等式，比如 $sin(3x)$ 的三倍角公式，其推导过程中会用到 $sin(A+B)$ 和 $cos(A+B)$ 等形式，这些都可以看作是更基础的“公式”。

在处理 $sin(3x)$ 这种复杂的三角函数时，如果不是直接记住了三倍角公式，那么就需要通过“更基础”的公式（如和角、倍角）来推导，而这些公式的推导又可能依赖于更底层的三角关系。所以，这个提示是在引导你“把复杂角（3x）分解成简单角（x）的组合，并利用已知的三角公式将其展开”。

其他可能的解法（不一定需要余弦公式，但可以作为对比）：
1. 泰勒展开（Maclaurin series）：
$sin(x) = x frac{x^3}{3!} + O(x^5)$
$sin(3x) = (3x) frac{(3x)^3}{3!} + O(x^5) = 3x frac{27x^3}{6} + O(x^5) = 3x frac{9}{2}x^3 + O(x^5)$
$sin(2x) = (2x) frac{(2x)^3}{3!} + O(x^5) = 2x frac{8x^3}{6} + O(x^5) = 2x frac{4}{3}x^3 + O(x^5)$

代入原式：
原极限 = $lim_{x o 0} frac{(3x frac{9}{2}x^3 + dots) 3(x frac{x^3}{6} + dots)}{x(2x frac{4}{3}x^3 + dots)}$
原极限 = $lim_{x o 0} frac{3x frac{9}{2}x^3 3x + frac{3}{6}x^3 + dots}{2x^2 frac{4}{3}x^4 + dots}$
原极限 = $lim_{x o 0} frac{frac{9}{2}x^3 + frac{1}{2}x^3 + dots}{2x^2 + dots}$
原极限 = $lim_{x o 0} frac{frac{8}{2}x^3 + dots}{2x^2 + dots}$
原极限 = $lim_{x o 0} frac{4x^3 + dots}{2x^2 + dots}$

当 $x o 0$ 时，低阶项占主导。分子主要是 $x^3$ 的项，分母主要是 $x^2$ 的项。
原极限 $approx lim_{x o 0} frac{4x^3}{2x^2} = lim_{x o 0} 2x = 0$
泰勒展开是处理这类极限的利器，但可能不是“余元公式”所提示的方向。

2. 洛必达法则：
由于是 $frac{0}{0}$ 型，可以尝试洛必达法则。
原极限 = $lim_{x o 0} frac{frac{d}{dx}(sin(3x) 3sin(x))}{frac{d}{dx}(xsin(2x))}$

分子导数：$frac{d}{dx}(sin(3x) 3sin(x)) = 3cos(3x) 3cos(x)$
分母导数：$frac{d}{dx}(xsin(2x)) = 1 cdot sin(2x) + x cdot (2cos(2x)) = sin(2x) + 2xcos(2x)$

极限变为：$lim_{x o 0} frac{3cos(3x) 3cos(x)}{sin(2x) + 2xcos(2x)}$

再次代入 $x=0$：
分子：$3cos(0) 3cos(0) = 3 3 = 0$
分母：$sin(0) + 2(0)cos(0) = 0 + 0 = 0$
还是 $frac{0}{0}$ 型！需要再次使用洛必达法则。

二次导数：
分子导数：$frac{d}{dx}(3cos(3x) 3cos(x)) = 3(3sin(3x)) 3(sin(x)) = 9sin(3x) + 3sin(x)$
分母导数：$frac{d}{dx}(sin(2x) + 2xcos(2x)) = 2cos(2x) + (2cos(2x) + 2x(2sin(2x))) = 4cos(2x) 4xsin(2x)$

极限变为：$lim_{x o 0} frac{9sin(3x) + 3sin(x)}{4cos(2x) 4xsin(2x)}$

再次代入 $x=0$：
分子：$9sin(0) + 3sin(0) = 0 + 0 = 0$
分母：$4cos(0) 4(0)sin(0) = 4 0 = 4$

极限结果：$frac{0}{4} = 0$

洛必达法则也能得到结果，而且也证明了我们的三角函数展开是正确的。但这种方法需要两次求导，可能比直接利用三角函数恒等式更繁琐一些。

总结一下解题思路：

1. 识别不定式： 代入 $x=0$ 得到 $frac{0}{0}$。
2. 利用三角恒等式（如和角、倍角公式）化简复杂三角函数： 关键是展开 $sin(3x)$。
$sin(3x) = sin(2x+x) = sin(2x)cos(x) + cos(2x)sin(x)$
代入 $sin(2x)=2sin x cos x$ 和 $cos(2x)=12sin^2 x$
化简得到 $sin(3x) = 3sin x 4sin^3 x$
3. 代回原式并化简：
$frac{(3sin x 4sin^3 x) 3sin x}{xsin(2x)} = frac{4sin^3 x}{x(2sin x cos x)} = frac{2sin^2 x}{xcos x}$
4. 利用重要极限 $lim_{x o 0} frac{sin x}{x} = 1$：
$frac{2sin^2 x}{xcos x} = 2 cdot frac{sin x}{x} cdot frac{sin x}{cos x}$
5. 计算极限：
$2 cdot 1 cdot frac{0}{1} = 0$

“余元公式”的提示，本质上是引导你利用三角函数的恒等变换能力，把不容易直接处理的表达式，转化成我们熟悉并能处理的“基本形式”（比如只含 $sin x, cos x$ 的简单组合），然后利用重要极限或者洛必达法则来求解。

希望这样详尽的解释，能让你把这道题以及涉及到的三角函数化简和极限求解方法都弄明白！

网友意见

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From the known Weierstrass Expansion of Gamma Function, we have

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