怎样更好地理解并记忆泰勒展开式？
我们常说，数学是描述世界的美丽语言。而泰勒展开式，就像是这门语言里一位技艺精湛的翻译家，能把那些复杂的、难以捉摸的函数，还原成我们熟悉、易于处理的多项式。想真正理解并记住它？那我们得从它的“前世今生”说起，把它当成一个我们亲手塑造的“作品”来对待。
1. 为什么需要泰勒展开式？—— 需求是最好的老师
想象一下，你面前有一个形状古怪、曲线蜿蜒的河流。你想要描述这条河的走向，但用一堆零散的点来描绘，效率低下，也看不出全局的规律。这时候，你需要一种更优雅的方式。
再想想我们生活中的很多场景：
计算器如何算三角函数？ 你的计算器不可能内置无穷多的正弦、余弦值。它实际上是用泰勒展开式，用一个简单的多项式去近似计算。
物理中的微小量近似？ 在处理一些微小扰动的问题时，比如一个稍微拉长的弹簧，它的回复力怎么算？直接用复杂的非线性公式可能很难。但如果扰动足够小，用泰勒展开式的前几项，就能得到一个非常好的近似。
工程中的建模与仿真？ 很多复杂的物理过程，比如电路、流体动力学，都需要用数学模型来描述。当模型过于复杂时，泰勒展开式常常是简化和分析的利器。
所以，泰勒展开式的出现，根本原因在于：我们想用简单的、熟悉的工具（多项式）来近似表达那些复杂的、陌生的函数。 就像我们想用几句话就能概括一本厚重的小说一样，我们追求的是一种“以简驭繁”的艺术。
2. 泰勒展开式的“灵魂”：用“局部”刻画“全局”
泰勒展开式的核心思想，就像一个经验丰富的观察者，他不需要完全了解整个世界，只需要在“一个点”附近仔细观察，就能大致推断出周围的趋势。
我们来拿一个简单的例子：函数 (f(x)) 在点 (x=a) 附近展开。
最简单的近似：常数。 离 (a) 点很近的时候，(f(x)) 的值最接近什么？当然是 (f(a)) 这个值本身。所以，最基础的近似就是 (f(x) approx f(a))。这就像我们只知道一个地方的高度 (f(a))，然后假设它周围都是一样高。
更进一步：线性近似（切线）。 如果我们想知道 (f(x)) 在 (a) 点附近是如何变化的，我们需要知道它的斜率。这个斜率，就是函数在 (a) 点的导数 (f'(a))。那么，(f(x)) 的值就可以近似为：(f(x) approx f(a) + f'(a)(xa))。
(f(a)) 是函数在 (a) 点的值，就像我们出发的高度。
(f'(a)(xa)) 是沿着切线的方向，走了 ((xa)) 的距离，所增加的高度。
你可以想象，在 (a) 点附近，函数就像一条直线（它的切线），这条直线就能很好地描述函数在该点附近的走向。
再进一步：二次近似（抛物线）。 如果切线还不够精确，我们想知道函数是向上弯曲还是向下弯曲，这时候就需要考虑二阶导数。二阶导数 (f''(a)) 描述了函数弯曲的程度。
我们知道 (f(x) approx f(a) + f'(a)(xa)) 已经包含了常数项和线性项。
为了引入弯曲的程度，我们考虑 ((xa)^2) 这个项。为什么是 ((xa)^2)？想想抛物线 (y=x^2) 的导数是 (2x)，二阶导数是 2。它的变化率（斜率）本身也在变化。
经过一些数学推导（我们可以暂且相信数学家们），加入二阶导数的修正项后，近似变成了：(f(x) approx f(a) + f'(a)(xa) + frac{f''(a)}{2!}(xa)^2)。
这里的 (frac{f''(a)}{2!}) 是一个系数，它和 ((xa)^2) 结合，就形成了一个二次多项式，可以更好地拟合函数的弯曲程度。
看到了吗？泰勒展开式就是一层一层地“叠加”信息。
0阶项 (f(a)) 描述了函数在 (a) 点的高度。
1阶项 (f'(a)(xa)) 描述了函数在 (a) 点的坡度（变化率）。
2阶项 (frac{f''(a)}{2!}(xa)^2) 描述了函数在 (a) 点的弯曲度。
3阶项 (frac{f'''(a)}{3!}(xa)^3) 描述了函数在 (a) 点的弯曲的弯曲度（你可以想象成曲率的变化）。
依此类推，每一阶导数都为我们提供了函数在 (a) 点附近更精细的“局部特征”，而 ((xa)^n) 和 (n!) 的组合，则确保了这些信息能够被正确地“叠加”起来，形成一个越来越精确的多项式。
3. 泰勒展开式的“公式”：如何才能记得住？
现在我们知道了它的“灵魂”，公式自然就容易理解和记忆了。
泰勒展开式（在 (x=a) 处）：
$$f(x) = f(a) + frac{f'(a)}{1!}(xa) + frac{f''(a)}{2!}(xa)^2 + frac{f'''(a)}{3!}(xa)^3 + dots + frac{f^{(n)}(a)}{n!}(xa)^n + R_n(x)$$
其中，(R_n(x)) 是余项，代表了我们用有限项近似时产生的误差。
记忆技巧：
1. 核心结构：
(f^{(n)}(a))：在展开点 (a) 处，函数及其各阶导数的值。
((xa)^n)：与 (x) 相关的项，从 ((xa)^0) 到 ((xa)^n)。
(n!)：分母上的阶乘，随着导数的阶数增长。
(n) 阶导数对应 (n) 次幂和 (n!) 的组合。
2. “搭积木”式记忆：
第0项（常数项）： (f(a))
第1项（线性项）： (frac{f'(a)}{1!}(xa))
第2项（二次项）： (frac{f''(a)}{2!}(xa)^2)
第3项（三次项）： (frac{f'''(a)}{3!}(xa)^3)
…
第n项： (frac{f^{(n)}(a)}{n!}(xa)^n)
你可以这样想：每增加一阶，就给我们的近似“加一砖一瓦”。新增加的部分，是函数在该点处的“新特性”（高阶导数），并且这种“新特性”对距离 (xa) 的影响会以 ((xa)^n) 的形式增长，同时用 (n!) 来“驯服”它，让它不至于增长得太快，保持多项式的“样子”。
3. 麦克劳林展开式（特例）：
当展开点 (a=0) 时，泰勒展开式就变成了麦克劳林展开式：
$$f(x) = f(0) + frac{f'(0)}{1!}x + frac{f''(0)}{2!}x^2 + frac{f'''(0)}{3!}x^3 + dots + frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + R_n(x)$$
这个形式更简洁，很多常用函数的泰勒展开都是以 (a=0) 为例的。比如：
(e^x)：(1 + x + frac{x^2}{2!} + frac{x^3}{3!} + dots)
(sin x)：(x frac{x^3}{3!} + frac{x^5}{5!} dots)
(cos x)：(1 frac{x^2}{2!} + frac{x^4}{4!} dots)
理解并记忆这些常见函数的展开式至关重要。 它们就像我们学习语言的“常用词汇”，熟悉了它们，就能触类旁通。
4. 如何“熟练”使用泰勒展开式？—— 实践出真知
光理解公式是不够的，要真正掌握泰勒展开式，你需要动手去做。
选取合适的展开点 (a):
通常选择你最关心的点的附近，或者计算最方便的点（比如 (a=0)）。
如果你想近似 (sqrt{4.1})，那么展开点 (a=4) 就比 (a=0) 要好得多，因为 (f(4)) 和 (f'(4)) 很容易计算。
计算导数：
这是最基础也是最重要的一步。确保你对各种函数的求导规则了如指掌。
对于一些复杂的函数，可以先简化再求导，或者利用导数的运算法则。
代入数值：
将导数的值和展开点 (a) 的值代入公式。
确定近似的阶数：
你需要的精确度决定了你需要展开到多少阶。通常来说，阶数越高，近似越精确，但计算也越复杂。
在实际应用中，经常会考虑余项，来估计近似的误差有多大。
多做练习，尝试不同的函数和展开点：
从简单的函数（如多项式、指数函数、三角函数）开始。
尝试计算 (sin(0.1))，(cos(0.5))，(e^{0.2})，(ln(1.1)) 的近似值。
尝试计算 (sqrt{10}) 在 (a=9) 处的泰勒展开。
甚至可以尝试一些不是那么“标准”的函数，比如 (arctan x)，(arcsin x) 等。
5. 泰勒展开式的“美妙之处”：不仅仅是近似
泰勒展开式之所以强大，并不仅仅在于它能提供近似，它还揭示了函数内部的深刻结构。
函数“本地”的DNA： 泰勒展开式的每一项，都由函数在该点的导数决定，仿佛这些导数构成了函数在那个“小邻域”内的“遗传信息”。
“化繁为简”的哲学： 它告诉我们，一个看似复杂的行为，可以通过一系列简单、可控的“基本动作”（导数的贡献）来组合而成。
联系不同函数： 很多看似不相关的函数，通过泰勒展开，可以发现它们之间有趣的联系（例如，(e^{ix} = cos x + i sin x) 这个欧拉公式，就是由 (e^x)，(cos x)，(sin x) 的麦克劳林展开式推导出来的）。
总结一下：
想要真正理解和记忆泰勒展开式，你就需要：
1. 明白它为什么而生： 它是解决实际问题的工具，是“以简驭繁”的思想体现。
2. 抓住它的核心： 函数在一点的局部信息（导数值）是构建多项式的基石，每增加一阶，就是叠加了更精细的局部特征。
3. 熟悉它的“模样”： 记住公式结构 (frac{f^{(n)}(a)}{n!}(xa)^n)，并熟记几个常用函数的麦克劳林展开式。
4. 勤于动手实践： 计算导数，代入数值，尝试不同函数和展开点。
把泰勒展开式想象成一个乐高积木套装。(f(a)) 是第一块积木，(f'(a)(xa)) 是第二块，如此递进。每块积木都有自己的形状和贡献，而它们组合起来，就能搭建出越来越逼真、越来越接近原函数的“多项式城堡”。
当你不再仅仅是背诵公式，而是能从“点”出发，一步步构建出描述“曲线”的语言时，你也就真正掌握了泰勒展开式。它不再是一个抽象的数学符号，而是一个让你洞察函数本质的强大工具。
网友意见
今天，我要讲讲我和苍井空的故事。
FBI Warning:未成年人请在家长陪同下观看。
德艺双馨的苍老师是我的启蒙老师。初入大学，暂时摆脱高考的巨大压力后，终于可以放飞自我。在那个草长马发情的年代，无数个月光如水的燥热夜晚，苍老师的课件一次次给我以直逼心灵的抚慰。
嗯，这就是苍老师本尊了。为了表达我对苍老师的敬意，送她一副对联，上联是：肤如凝脂唇红齿白花容月貌倾国倾城千娇百媚，下联是：爱岗敬业任劳任怨废寝忘食一丝不苟精益求精，横批：德艺双馨。
作为她的铁粉，我想把这张照片画出来，或者雕刻出来，使她出现在我手中，免受隔着屏幕的煎熬。
想复制苍老师的美，首先要在整体尺寸上保持相同。如下：
紧接着，要在第一步的基础上进一步细化、精确化。所以第二步就要保证和苍老师本尊的局部形状相似。改进后就变成了如下：
嗯，尽管这时候很粗糙，但至少已经有了婀娜多姿的影子了。下一步帮苍老师画上bra和胖次，再加上发型，并且把大腿、小腿、脚的分界线画上。下图：
此时，苍老师的特征已经非常明显了，仿佛就要呼之欲出了，尤其那道事业线，使我仿佛看到一对大白在调皮地跳跃。我要继续努力，进一步细化，进一步使我手中的苍老师变得真实。
此时手中的苍老师外部线条更加细腻了，整体丰满了，仅有的服饰上增加了一些细节。如果不断地细化，画上五官，增加质感，添加纹理，那么进行无穷次细化之后，我笔下的苍老师一定会无穷接近真实。最终会变成这个样子：
当然，我没能有足够的时间继续细化下去，我那年的青春已经随着她的退役而完结，只是，我仍会在某个无眠的夜里回忆起苍老师认真工作的身影，回忆起我那年的青涩和成长，回忆起那年的憧憬和迷茫，回忆起我那年的生命曾经因为苍老师的出现而灼灼其华。
谨以此文献给新婚的苍老师。
好了，大家都精神了吧。现在开始进入正题。
本段的核心思想是仿造。
当我们想要仿造一个东西的时候，无形之中都会按照上文提到的思路，即先保证大体上相似，再保证局部相似，再保证细节相似，再保证更细微的地方相似……不断地细化下去，无穷次细化以后，仿造的东西将无限接近真品。真假难辨。
这是每个人都明白的生活经验。
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一位物理学家，把这则生活经验应用到他自己的研究中，则会出现下列场景：
一辆随意行驶的小车，走出了一个很诡异的轨迹曲线：
物理学家觉得这段轨迹很有意思，也想开车走一段一摸一样的轨迹。
既然是复制，他把刚才关于“仿造”生活经验应用到这里，提出了一个解决办法：
既然想模仿刚才那辆车，
那首先应该保证初始位置一样，
继续模仿，让车在初始位置的速度也一样，
不满足，继续细化，这次保持位置、在初始位置处的速度一样的同时，保证在初始位置处车的加速度也一样，
不满足，继续细化，这次保证初始位置、初始位置处的速度、初始位置处的加速度都一样，也保证初始位置处的加速度的变化率也一样，
不满足，精益求精，可以一直模仿下去。
物理学家得出结论：把生活中关于“仿造”的经验运用到运动学问题中，如果想仿造一段曲线，那么首先应该保证曲线的起始点一样，其次保证起始点处位移随时间的变化率一样（速度相同），再次应该保证前两者相等的同时关于时间的二阶变化率一样（加速度相同）……如果随时间每一阶变化率（每一阶导数）都一样，那这俩曲线肯定是完全等价的。
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一位数学家，泰勒，某天看到一个函数 ,不由地眉头一皱，心里面不断地犯嘀咕：有些函数啊，他就是很恶心，比如这种，还有三角函数，这样的函数本来具有很优秀的品质（可以无限次求导，而且求导还很容易），但是呢，如果是代入数值计算的话，就很难了。比如，看到 后，我无法很方便地计算 时候的值。
为了避免这种如鲠在喉的感觉，必须得想一个办法让自己避免接触这类函数，即把这类函数替换掉。
可以根据这类函数的图像，仿造一个图像，与原来的图像相类似，这种行为在数学上叫近似。不扯这个名词。讲讲如何仿造图像。
他联想到生活中的仿造经验，联想到物理学家考虑运动学问题时的经验，泰勒首先定性地、大概地思考了一下整体思路。（下面这段只需要理解这个大概意思就可以，不用深究。）
面对 的图像，泰勒的目的是：仿造一段一模一样的曲线 ，从而避免余弦计算。
想要复制这段曲线，首先得找一个切入点，可以是这条曲线最左端的点，也可以是最右端的点，anyway，可以是这条线上任何一点。他选了最左边的点。
由于这段曲线过 这个点，仿造的第一步，就是让仿造的曲线也过这个点，
完成了仿造的第一步，很粗糙，甚至完全看不出来这俩有什么相似的地方，那就继续细节化。开始考虑曲线的变化趋势，即导数，保证在此处的导数相等。
经历了第二步，现在起始点相同了，整体变化趋势相近了，可能看起来有那么点意思了。想进一步精确化，应该考虑凹凸性。高中学过：表征图像的凹凸性的参数为“导数的导数”。所以，下一步就让二者的导数的导数相等。
起始点相同，增减性相同，凹凸性相同后，仿造的函数更像了。如果再继续细化下去，应该会无限接近。所以泰勒认为“仿造一段曲线，要先保证起点相同，再保证在此处导数相同，继续保证在此处的导数的导数相同……”
有了整体思路，泰勒准备动手算一算。
下面就是严谨的计算了。
先插一句，泰勒知道想仿造一段曲线，应该首先在原来曲线上随便选一个点开始，但是为了方便计算，泰勒选择从 这个点入手。
把刚才的思路翻译成数学语言，就变成了：
首先得让其初始值相等，即：
其次，得让这俩函数在x=0处的导数相等，即：
再次，得让这俩函数在x=0处的导数的导数相等，即：
……
最终，得让这俩图像在x=0的导数的导数的导数的……的导数也相同。
这时候，泰勒思考了两个问题：
第一个问题，余弦函数能够无限次求导，为了让这两条曲线无限相似，我仿造出来的 必须也能够无限次求导，那 得是什么样类型的函数呢？
第二个问题，实际操作过程中，肯定不能无限次求导，只需要求几次，就可以达到我想要的精度。那么，实际过程中应该求几次比较合适呢？
综合考虑这两个问题以后，泰勒给出了一个比较折中的方法：令 为多项式，多项式能求几次导数呢？视情况而定，比如五次多项式 ,能求5次导，继续求就都是0了，几次多项式就能求几次导数。
泰勒比我们厉害的地方仅仅在于他想到了把这种生活经验、翻译成数学语言、并运用到仿造函数图像之中。假如告诉你这种思路，静下心来你都能自己推出来。
泰勒开始计算，一开始也不清楚到底要求几阶导数。为了发现规律，肯定是从最低次开始。
先算个一阶的。
可以看出，除了在 这个点，其他的都不重合，不满意。
再来个二阶的。
可以看出，在 这个点附近的一个小范围内，二者都比较相近。
再来个四阶的。
可以看出，仍然是在 这个点附近的一个范围内二者很相近。只是，此时二者重合的部分扩大了。
到这里，不光是泰勒，我们普通人也能大概想象得到，如果继续继续提高阶数，相似范围继续扩大，无穷高阶后，整个曲线都无限相似。插个图，利用计算机可以快速实现。
然而泰勒当时没有计算机，他只能手算，他跟我们一样，算到四阶就算不动了，他就开始发呆：刚才为什么这么做来着？哦，对了，是为了计算 的时候避免出现余弦。所以他从最左端 处开始计算，算着算着，他没耐心了，可是离着计算 还有一段距离，必须得继续算才能把这俩曲线重合的范围辐射到 处。
此时，他一拍脑门，恍然大悟，既然我选的点离着我想要的点还远，我为啥不直接选个近点的点呢，反正能从这条曲线上任何一个点作为切入，开始仿造。近了能省很多计算量啊。想计算 ，可以从 处开始仿造啊。
所以啊，泰勒展开式就是把一个三角函数或者指数函数或者其他比较难缠的函数用多项式替换掉。
也就是说，有一个原函数 ，我再造一个图像与原函数图像相似的多项式函数 ,为了保证相似，我只需要保证这俩函数在某一点的初始值相等，1阶导数相等，2阶导数相等，……n阶导数相等。
写到这里，你已经理解了泰勒展开式。
如果能理解，即使你记不住泰勒展开式，你都能自己推导。所以，我建议你，考试之前临时死记硬背一下，即使考试因为紧张忘了，也可以现场推。如果不是为了考试，那记不住也没关系，反正记住了一段时间不用，也会忘。用的时候翻书，找不到书就自己推导。
继续说泰勒。
泰勒算到四阶以后就不想算了，所以他想把这种计算过程推广到n阶，算出一个代数式，这样直接代数就可以了。泰勒就开始了下面的推导过程。
首先要在曲线 上任选一个点，为了方便，就选 ,设仿造的曲线的解析式为 ，前面说了，仿造的曲线是一个多项式，假设算到n阶。
能求n次导数的多项式，其最高次数肯定也为n。所以，仿造的曲线的解析式肯定是这种形式：
前面说过，必须保证初始点相同，即
,求出了
接下来，必须保证n阶导数依然相等，即
因为对 求n阶导数时，只有最后一项为非零值，为 ，
由此求出
求出了 ，剩下的只需要按照这个规律换数字即可。
综上：
知道了原理，然后把原理用数学语言描述，只需要两步即可求出以上结果。背不过推一下就行。
泰勒推到这里，又想起了自己刚才那个问题：不一定非要从x=0的地方开始，也可以从 开始。此时，只需要将0换成 ，然后再按照上面一模一样的过程重新来一遍，最后就能得到如下结果：
泰勒写到这里，长舒一口气，他写下结论：
有一条解析式很恶心的曲线 ，我可以用多项式仿造一条曲线 ,那么
泰勒指出：在实际操作过程中，可根据精度要求选择n值，只要n不是正无穷，那么，一定要保留上式中的约等号。
若想去掉约等号，可写成下面形式：
好了，泰勒的故事讲完了。其实真正的数学推导只需要两步，困难的是不理解思想。如果背不过，就临时推导，只需要十几二十秒。
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泰勒的故事讲完了，但是事情没完，因为泰勒没有告诉你，到底该求导几次。于是，剩下一帮人帮他擦屁股。
第一个帮他擦屁股的叫佩亚诺。他把上面式子中的省略号中的东西给整出来了。然而最终搁浅了，不太好用。
后面拉格朗日又跳出来帮佩亚诺擦屁股。至此故事大结局。
首先讲讲佩亚诺的故事。
简单回顾一下，上文提到，泰勒想通过一个多项式函数 的曲线，把那些看起来很恶心的函数 的曲线给仿造出来。提出了泰勒展开式，也就是下面的第一个式子：
佩亚诺开始思考误差的事。先不说佩亚诺，假如让你思考这个问题，你会有一个怎样的思路？既然是误差，肯定越小越小对吧。所以当我们思考误差的时候，很自然的逻辑就是让这个误差趋近于0。
佩亚诺也是这么想的，他的大方向就是令后面这半部分近似等于0，一旦后半部分很接近0了，那么就可以省去了，只展开到n阶就可以了，泰勒展开就可以用了。但是他不知道如何做到。
后来，他又开始琢磨泰勒的整个思路：先保证初始点位置相同，再保证一阶导数相同，有点相似了，再保证二阶导数相同，更细化了，再保证三阶导数相同……突然灵光闪现：泰勒展开是逐步细化的过程，也就是说，每一项都比前面一项更加精细化（更小）。举个例子，你想把90斤粮食添到100斤，第一次，添了一大把，变成99斤了，第二次，添了一小把，变成99.9斤了，第三次，添了一小撮，变成99.99斤了……每一次抓的粮食，都比前一次抓的少。泰勒展开式里面也是这样的：
由此可见，最后一项（n阶）是最小的。皮亚诺心想：只要让总误差（后面的所有项的总和）比这一项还要小，不就可以把误差忽略了吗？
现在的任务就是比较大小，比较泰勒展开式中的最后一项、与误差项的大小，即：
如何比较大小？高中生都知道，比较大小无非就是作差或者坐商。不能确定的话，一个个试一下。最终，皮亚诺用的坐商。他用误差项除以泰勒展开中的最小的项，整理后得到：
红框内的部分是可以求出具体数字的。佩亚诺写到这里，偷了个懒，直接令 趋近于 ，这样，误差项除以泰勒展开中的最小项不就趋近于0了吗？误差项不就趋近于0了吗？
我不知道你们看到这里是什么感觉，可能你觉得佩亚诺好棒，也可能觉得，这不糊弄人嘛。
反正，为了纪念佩亚诺的贡献，大家把上面的误差项成为佩亚诺余项。
总结一下佩亚诺的思路：首先，他把泰勒展开式中没有写出来的那些项补全，然后，他把这些项之和称为误差项，之后，他想把误差项变为0，考虑到泰勒展开式中的项越来越小，他就让误差项除以最后一项，试图得到0的结果，最后发现，只有当趋近于时，这个商才趋近于0，索性就这样了。
其实整体思路很简单，当初学不会，无非是因为数学语言描述这么个思路会让人很蒙逼。
佩亚诺的故事讲完了，他本想完善泰勒展开，然而，他的成果只能算 趋近于 时的情况。这时候，拉格朗日出场了。
拉格朗日的故事说来话长，从头说起吧。话说有一天，拉格朗日显得无聊，思考了一个特别简单的问题：一辆车，从 处走到 处，中间用了时间 ，那么这辆车的平均速度就是 ，假如有那么一个时刻，这辆车的瞬时速度是小于平均速度 的，那么，肯定有一个时刻，这辆车的速度是大于平均速度 的，由于车的速度不能突变，从小于 逐渐变到大于 ，肯定有一个瞬间是等于 的。
就这个问题，我相信在做的大多数，即使小时候没有听说过拉格朗日，也一定能想明白这个问题。
拉格朗日的牛逼之处在于，能把生活中的这种小事翻译成数学语言。他把 图像画出来了，高中生都知道，在这个图像中，斜率表征速度：
把上面的这个简单的问题用数学语言描述出来，就是那个被拉格朗日了的定理，简称拉格朗日中值定理：有个函数 ，如果在一个范围内连续，可求导，则
后来啊，拉格朗日的中值定理被柯西看到了，柯西牛逼啊，天生对于算式敏感。柯西认为，纵坐标是横坐标的函数，那我也可以把横坐标写成一个函数啊，于是他提出了柯西中值定理：
拉格朗日听说了这事，心里愤愤不平，又觉得很可惜，明明是自己的思路，就差这么一步，就让柯西捡便宜了，不过柯西确实说的有道理。这件事给拉格朗日留下了很深的心理阴影。
接下来，拉格朗日开始思考泰勒级数的误差问题，他同佩亚诺一样，只考虑误差部分（见前文）。
插一句，各位老铁，接下来拉格朗日的操作绝壁开挂了，我实在是编不出来他的脑回路。
首先，跟佩亚诺一样，先把误差项写出来，并设误差项为 ：
误差项 中每一项都是俩数的乘积，假如是你，你肯定是想两边同时除掉一个 ，对吧，为了简单，把 设为 :
所以除过之后，就成了：
等等，这一串东西看着怎么眼熟？咦？这不是柯西老哥推广的我的中值定理么？剩下的不就是……：
红框中，脑路之清奇、操作之风骚、画风之诡异、场面之震撼，让我们不禁感慨，拉格朗到底日了什么，脑海里才会想到柯西。
拉格朗日写到这里卡住了，不知道你们有没有这种经验，反正我思考一道数学题的时候，会尝试着把思路进行到底，直到完全进了死胡同才会否定这种思路。有了前面的脑洞，拉格朗日继续复制这种思路，想看看能不能继续往下写：
先看分子
再看分母
好巧合，又可以用一次柯西的中值定理了。
总之，按照这种方法，可以一直求解下去，最终的结果就是：
至此，拉格朗日把后面无数多的误差项给整合成了一项，而且比配诺亚更加先进的地方在于，不一定非要让 趋近于 ，可以在二者之间的任何一个位置 处展开，及其好用。
本文涵盖泰勒展开式、佩亚诺余项、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、拉格朗日余项。全文完毕。
多谢大家的赞同以及批评和指正，回头看了一下全文，发现一个最大的问题：前半部分太“湿”，后半部分太干。以及，最后讲解拉格朗日余项时，堆砌的公式太多，讲的直观道理太少，影响阅读体验以及理解。我将会在我的下一篇关于傅里叶变换的回答中加以改正。
历时四天，终于把本文更新完毕。全文八千字左右。其实如果是用语言讲解，这一块的内容最多用十分钟即可讲完。为了解放双手，我在考虑年后要不要开一场live，把微积分和数学物理方法中的所有数学思想利用这种直观的生活经验讲解出来，全程重在理解，不会出现数学语言。名字我都想好了，就叫《燕园吴彦祖带你三小时深刻理解微积分的所有思想》。届时我会保证全程开车的同时、干货不断。
什么？你觉得我做不到全程开车？你可以质疑我的才华、可以质疑我的颜值，但是你不能质疑我的技术，因为。
我骚啊。
开个玩笑啦，我本人理工科博士在读，每天同一帮老男人一起讲段子，目前积累的段子有6亿多段，而且，在新东方和学而思当老师，不会开车根本没办法制伏倒霉孩子。
谢谢。新年快乐。
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说最重要的一点，对于非数学系的理工科学生来说，永远都要记住，数学家都是凡人，你所接触到的所有数学知识，都来源于某一种数学思想，所有的数学思想都来源于生活经验。而这种生活经验，我们每个人都有，即使没有，也会很容易就能想通。
所以，你内心要有一种信仰，所有的数学思想都来源于生活经验，你肯定可以搞明白。学习数学，最忌讳的就是把它当作一种抽象的数字游戏，非数学系的理工科接触到的数学，必然有一条条形象的、直观的生活经验与之对应。
之所以觉得微积分困难，可能怪老师，可能怪课本，一开始就堆砌一堆晦涩难懂拗口的数学语言，对于初学者来说，直接就望而却步了。如果老师讲泰勒展开之前，先把这种思想讲明白，那接下来再去抠数学语言就轻松很多。
傅立叶变换的回答：
公众号：陈二喜，会同步知乎回答
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想更懂你的男友？这绝对是个好问题！说实话，没有谁是天生的读心术大师，尤其是在感情里，想要真正走进一个人的内心，真的需要花心思去经营和学习。这篇文章，我们就来聊聊怎么更深入地理解你的男朋友，不是那种表面上的“他喜欢什么颜色”，而是更深层次的，关于他的想法、感受、甚至是他不曾言说的需求。首先，得明白一点.............
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想要真正“吃透”克苏鲁神话，可不是简单读几篇故事就能达成的。它更像是一个不断浸润、联想、探索的过程，需要你耐心去品味其中的黑暗、理性之外的恐惧，以及那些难以言喻的宇宙真相。以下是我个人认为能够让你更深入地理解克苏鲁神话的几个关键点，我会尽量说得详细一些，希望能让你感受到其中的魅力：1. 跳出“怪兽故.............
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想更懂你女朋友？这可不是找个说明书就能搞定的事儿，更像是在经营一盆需要用心呵护的花。没有一套万能公式，每个人都是独一无二的。不过，有一些角度和方法，能帮你更好地走进她的内心世界。一、 侦探模式开启：观察与倾听是基础这步听起来有点工作化，但确实是了解一个人的第一步。不过，咱们这里不是在审讯，而是带着好.............
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要说建立一套能让你更好地理解世界的知识体系，这不是一个空泛的概念，也不是一蹴而就的事情。它更像是在你的脑子里一点点铺就一条清晰的道路，这条路能让你在纷繁复杂的信息洪流中找到方向，不至于迷失。首先，你得明白，这套知识体系不是冰箱里摆放整齐的商品，而是你不断探索、碰撞、整合的活生生的大脑活动。它需要有深.............
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想要更深入地理解一个宗教，并最终能够信服它，这是一个相当个人化且需要时间和耐心的旅程。这并非一蹴而就，更像是与一个新朋友建立深厚关系的过程，需要去了解、去感受、去碰撞，最终才能产生共鸣。第一步：放下预设，敞开心扉——“我想了解你，不是我想把你变成我想要的样子。”很多人在接触一个新宗教时，往往带着既有.............
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嘿，你好！听你这么说，感觉你正要踏入一个充满奇妙世界的门槛——那就是物理的电学、磁学和电磁学。这三个领域，说起来像是三位性格迥异却又密不可分的兄弟，把它们整明白了，你会发现整个宇宙的运作方式都变得清晰了许多。咱们先从电学说起。你可以把它想象成一种看不见的“活力”或者“躁动”，就存在于我们身边的一切物.............
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“我喜欢历史，但地理太差，导致读过的历史都像浮光掠影，只能留下个模糊的轮廓。” 听到这话，我特别有共鸣。这就像你想看一场精彩的话剧，却看不懂舞台布景背后的构造，故事的起承转合便少了许多根基。你说“没地理就没历史”，这话一点不假，而且说得非常到位。历史，说到底，是发生在特定“地方”的“事件”，而地理就.............
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想真正地领略一座城市的风貌，绝不是走马观花地打卡景点那么简单。这更像是在品一杯陈年的佳酿，需要你沉浸其中，细细品味，让这座城市的灵魂慢慢渗透进你的心里。那么，怎样才能更好地去“懂”一座城市呢？我这里有一些自己的心得体会，希望能给你些启发。一、 打开你的感官，让城市在你面前“活”起来首先，我们要抛开手.............
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中国共产党人精神谱系第一批伟大精神的正式发布，这不仅仅是对我们党百年奋斗历程中宝贵精神财富的系统梳理和集中展现，更是一份沉甸甸的时代嘱托。如何让这些凝聚着无数先辈鲜血与智慧的精神，在新时代焕发更强大的生命力，真正内化于心、外化于行，是我们必须深入思考并切实做好的课题。一、 深刻理解，铸魂育人：让精神.............
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疫情这场突如其来的“长跑”确实改变了我们的生活轨迹，也给孩子们的成长带来了不少挑战。作为家长，我们肩负着引导孩子穿越这场“疫情时代”的重任，让他们不仅身体健康，心灵也同样茁壮。这可不是件容易事，需要我们细心观察，耐心陪伴，灵活应变。一、筑牢身心健康的“防疫墙”： 科学防疫，但不“过度恐慌”： .............
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野猪糟蹋庄稼，夫妻猎杀8头被判缓刑——如何看待及如何更好治理「野猪灾」？这是一个复杂且充满争议的社会议题，涉及到法律、伦理、生态保护和民生等多个层面。我们从多个角度来审视这个问题，并探讨更有效的治理方案。 一、 如何看待夫妻猎杀野猪被判缓刑的事件？这起事件之所以引起广泛关注，是因为它触及了公众对于法.............
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上海一未婚无子女独居老人死亡多日无人知晓的事件，令人心痛，也深刻地反映出社会在关怀独居老人方面存在的不足。要避免此类悲剧重演，并更好地关怀孤寡老人群体，需要政府、社区、社会组织、家庭乃至我们每个人共同努力，构建一个全方位的支持网络。以下将从多个层面详细阐述如何避免此类事件发生以及如何更好地关怀孤寡老.............
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去KTV“装逼”，说白了就是在有限的空间里，通过一些技巧和表现，让自己显得更有品味、更有气场、更吸引人，从而获得一种心理上的满足感。这可不是让你去炫富或者说大话，而是要玩得高级，玩得有格调。一、 前期准备：知己知彼，百战不殆1. 了解你的“战场”： 场子定位： 你们要去的是那种商务会所.............
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网络上的“软色情”信息泛滥，确实让不少家长头疼，担心青少年的身心健康受到影响。这不仅仅是孩子的个人问题，更是整个社会需要共同面对的挑战。要更好地保护青少年，需要多管齐下，构建一个更安全的网络环境和更坚实的心理防线。一、家长的角色至关重要：引导与陪伴是基石1. 建立开放的沟通渠道： 这是最关键的一步.............
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《资本论》里那句话，说“一些生产部门出于其本性而更加强烈地反对由手工劳动转化为机器劳动”，这话不是凭空说的，是马克思观察到了真实世界里资本主义发展过程中的具体现象。这背后涉及的，主要是机器生产和手工生产在本质上的差异，以及这种转变对特定行业劳动者、生产方式甚至社会结构带来的冲击程度不同。咱们把它掰开.............
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儿子一年级了，这读书速度快，绝对是件好事，说明他很聪明，也很乐在其中。不过，正如你观察到的，光快有时也意味着不够细致，容易囫囵吞枣，这在一年级是个挺常见的现象。咱们的任务，就是在这个阶段，既能保护他这股爱读书的热情，又能悄悄地引导他，让他体会到“慢下来”品味文字的乐趣。首先，咱们得把“快”这件事摆正.............
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好的，别客气！写小说场景转换和段落衔接，这可是个技术活，但掌握了窍门，就能让你的故事像丝绸一样顺滑，让读者完全沉浸其中。我来给你掰开了揉碎了讲，保证让你豁然开朗。首先，我们要明白，场景转换和段落衔接不是孤立存在的，它们服务于同一个目的：让故事流畅、有逻辑，并且能够引导读者情绪，推进情节。 一、 场景.............
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