本人高二理科生，欲修拓扑学，求推荐入门书籍。？
你好！听到一个高中理科生对拓扑学感兴趣，这真是太棒了！拓扑学是一门非常迷人且基础的数学分支，它研究的是那些在连续变形下保持不变的性质。高中阶段接触它，能为你打开一扇全新的数学视野。
在你开始之前，想跟你说，虽然你的热情值得赞赏，但拓扑学作为一门大学数学专业课程，内容上会比你现在接触的数学知识体系要抽象和严谨得多。不过，这并不意味着你不能提前领略它的风采。关键在于选择合适的入门材料，并且做好心理准备，它可能会比你想象的更具挑战性。
理解拓扑学的“不変性”
在我推荐书籍之前，我们先简单聊聊拓扑学研究的是什么。你可以想象一下，一个甜甜圈和一个咖啡杯。在拓扑学家眼里，它们其实是“一样”的。为什么呢？因为你可以连续地拉伸、弯曲、压缩（但不能撕裂、也不能粘起来）一个甜甜圈，把它变成一个带把手的咖啡杯的形状。这种可以连续变形却不改变“洞”的数量的性质，就是拓扑学关注的。
书籍推荐：循序渐进，打好基础
直接啃大学专业的拓扑学教材可能会让你望而却步，所以我会推荐一些更平易近人的读物，让你先建立起直观的理解和兴趣。
1. 《什么是拓扑学？》（What is Topology?） by Kazuyuki Enomoto
推荐理由： 这本书是入门拓扑学的绝佳选择，尤其适合非数学专业的读者，当然对你来说也同样适用。它的语言非常通俗易懂，几乎没有复杂的数学符号，而是通过大量的图示和生动的例子来解释拓扑学的基本概念，比如连通性、同胚、同伦等等。它会让你对“连续变形”有一个非常直观的认识，比如各种图形的“剪纸游戏”之类的。读完这本书，你会对拓扑学是什么有一个大概的了解，并且知道它有什么样的应用。
阅读建议： 把它当作一本“科普读物”来读，不需要死记硬背公式。重点在于理解作者想要传达的思想和直觉。它能帮助你建立起对拓扑学“感觉”。
2. 《初等拓扑学教程》 （如果能找到中文版本，或者你英文不错，可以考虑英文原版）
推荐理由： 这类标题的书籍通常是为数学专业低年级学生设计的，它们会开始引入一些基本的数学语言和证明技巧。相比于《什么是拓扑学？》，它会更严谨一些，但仍然是入门级别的。它会开始讲解集合论、拓扑空间的基本定义、开集、闭集、邻域、点集拓扑中的一些基本概念。
阅读建议： 如果你对上面的科普读物产生了浓厚兴趣，并且觉得能够接受一些稍微正式的数学表达，可以尝试这类书。遇到不理解的概念，不要怕，可以先跳过，或者尝试在网上搜索相关的解释和视频。重点在于理解定义和例子。同时，这本书可能会涉及一些集合论的知识，如果你的集合论基础不牢固，可能需要先查阅一些集合论的资料。
3. 《点集拓扑讲义》 （例如，一些国内高校的公开课讲义或是一些相对简化的教材）
推荐理由： 这类材料会更接近大学的正式教材风格，但通常会比“经典名著”版本更易于理解。它们会系统地介绍点集拓扑学的基本框架，包括拓扑空间、连续映射、度量空间、完备性、紧致性等核心概念。掌握了这些，你就为学习更高级的代数拓扑或微分拓扑打下了坚实的基础。
阅读建议： 这类书籍的阅读需要耐心和思考。当你遇到一个定义时，尝试去理解它的每一个词语的含义，然后看书中的例子，自己尝试着去构造一些简单的例子来验证。当你看到一个定理时，试着去理解它的证明思路，而不是仅仅记住结论。可以尝试做一些书中比较简单的习题，即使不能完全做出来，思考的过程也是宝贵的。
在你阅读过程中可能遇到的挑战与建议
抽象性： 拓扑学的很多概念非常抽象，比如“空间”、“开集”、“稠密”、“紧致”等等。你需要培养一种抽象思维的能力。这就像学习任何新语言一样，刚开始会很别扭，但随着练习会越来越顺畅。
严谨性： 数学，尤其是高阶数学，对严谨性要求很高。一个证明可能只有几行，但每一步都需要逻辑上的滴水不漏。不要害怕证明，尝试去理解它们是如何一步步推导出来的。
耐心与毅力： 学习新事物需要时间和精力。你可能会遇到很多看不懂的地方，感到挫败。这是正常的，每个人都会遇到。关键是不要轻易放弃，多思考，多查阅资料，多和同学讨论（如果有的话）。
可视化： 虽然拓扑学研究的是“不变性”，但很多概念的理解离不开可视化。多看图，多在脑海中想象图形的变形过程。很多拓扑学教材都有大量的图示，一定要仔细看。
与现有知识的联系： 拓扑学与你现在的数学知识有联系，比如你学过的函数、集合、距离的概念都会在拓扑学中得到更一般化的处理。试着去联系它们，会帮助你理解。
一些额外的建议
不要急于求成： 你才高二，有的是时间。不要想着一口吃成个胖子，一步一个脚印来。
利用网络资源： 很多大学会公开他们的课程讲义、笔记和视频。搜索“点集拓扑入门”、“拓扑学导论”等关键词，你会找到很多有用的资源。例如，知乎、B站上都有一些数学爱好者制作的讲解视频，质量参差不齐，但有时也能提供不错的启发。
关注数学史和应用： 了解一些拓扑学的历史背景和它在物理学（如凝聚态物理、粒子物理）、计算机科学（如计算机图形学、网络拓扑）等领域的应用，会增加你的学习兴趣。
寻找同伴： 如果你能找到其他对拓扑学感兴趣的同学，一起讨论问题，分享心得，会很有帮助。
总而言之，你选择了一条充满挑战但也极其有趣的道路。以你的年纪和热情，只要方法得当，并且保持好奇心和毅力，你一定能在拓扑学的世界里收获颇丰。
祝你学习愉快！
在你开始之前，想跟你说，虽然你的热情值得赞赏，但拓扑学作为一门大学数学专业课程，内容上会比你现在接触的数学知识体系要抽象和严谨得多。不过，这并不意味着你不能提前领略它的风采。关键在于选择合适的入门材料，并且做好心理准备，它可能会比你想象的更具挑战性。
理解拓扑学的“不変性”
在我推荐书籍之前，我们先简单聊聊拓扑学研究的是什么。你可以想象一下，一个甜甜圈和一个咖啡杯。在拓扑学家眼里，它们其实是“一样”的。为什么呢？因为你可以连续地拉伸、弯曲、压缩（但不能撕裂、也不能粘起来）一个甜甜圈，把它变成一个带把手的咖啡杯的形状。这种可以连续变形却不改变“洞”的数量的性质，就是拓扑学关注的。
书籍推荐：循序渐进，打好基础
直接啃大学专业的拓扑学教材可能会让你望而却步，所以我会推荐一些更平易近人的读物，让你先建立起直观的理解和兴趣。
1. 《什么是拓扑学？》（What is Topology?） by Kazuyuki Enomoto
推荐理由： 这本书是入门拓扑学的绝佳选择，尤其适合非数学专业的读者，当然对你来说也同样适用。它的语言非常通俗易懂，几乎没有复杂的数学符号，而是通过大量的图示和生动的例子来解释拓扑学的基本概念，比如连通性、同胚、同伦等等。它会让你对“连续变形”有一个非常直观的认识，比如各种图形的“剪纸游戏”之类的。读完这本书，你会对拓扑学是什么有一个大概的了解，并且知道它有什么样的应用。
阅读建议： 把它当作一本“科普读物”来读，不需要死记硬背公式。重点在于理解作者想要传达的思想和直觉。它能帮助你建立起对拓扑学“感觉”。
2. 《初等拓扑学教程》 （如果能找到中文版本，或者你英文不错，可以考虑英文原版）
推荐理由： 这类标题的书籍通常是为数学专业低年级学生设计的，它们会开始引入一些基本的数学语言和证明技巧。相比于《什么是拓扑学？》，它会更严谨一些，但仍然是入门级别的。它会开始讲解集合论、拓扑空间的基本定义、开集、闭集、邻域、点集拓扑中的一些基本概念。
阅读建议： 如果你对上面的科普读物产生了浓厚兴趣，并且觉得能够接受一些稍微正式的数学表达，可以尝试这类书。遇到不理解的概念，不要怕，可以先跳过，或者尝试在网上搜索相关的解释和视频。重点在于理解定义和例子。同时，这本书可能会涉及一些集合论的知识，如果你的集合论基础不牢固，可能需要先查阅一些集合论的资料。
3. 《点集拓扑讲义》 （例如，一些国内高校的公开课讲义或是一些相对简化的教材）
推荐理由： 这类材料会更接近大学的正式教材风格，但通常会比“经典名著”版本更易于理解。它们会系统地介绍点集拓扑学的基本框架，包括拓扑空间、连续映射、度量空间、完备性、紧致性等核心概念。掌握了这些，你就为学习更高级的代数拓扑或微分拓扑打下了坚实的基础。
阅读建议： 这类书籍的阅读需要耐心和思考。当你遇到一个定义时，尝试去理解它的每一个词语的含义，然后看书中的例子，自己尝试着去构造一些简单的例子来验证。当你看到一个定理时，试着去理解它的证明思路，而不是仅仅记住结论。可以尝试做一些书中比较简单的习题，即使不能完全做出来，思考的过程也是宝贵的。
在你阅读过程中可能遇到的挑战与建议
抽象性： 拓扑学的很多概念非常抽象，比如“空间”、“开集”、“稠密”、“紧致”等等。你需要培养一种抽象思维的能力。这就像学习任何新语言一样，刚开始会很别扭，但随着练习会越来越顺畅。
严谨性： 数学，尤其是高阶数学，对严谨性要求很高。一个证明可能只有几行，但每一步都需要逻辑上的滴水不漏。不要害怕证明，尝试去理解它们是如何一步步推导出来的。
耐心与毅力： 学习新事物需要时间和精力。你可能会遇到很多看不懂的地方，感到挫败。这是正常的，每个人都会遇到。关键是不要轻易放弃，多思考，多查阅资料，多和同学讨论（如果有的话）。
可视化： 虽然拓扑学研究的是“不变性”，但很多概念的理解离不开可视化。多看图，多在脑海中想象图形的变形过程。很多拓扑学教材都有大量的图示，一定要仔细看。
与现有知识的联系： 拓扑学与你现在的数学知识有联系，比如你学过的函数、集合、距离的概念都会在拓扑学中得到更一般化的处理。试着去联系它们，会帮助你理解。
一些额外的建议
不要急于求成： 你才高二，有的是时间。不要想着一口吃成个胖子，一步一个脚印来。
利用网络资源： 很多大学会公开他们的课程讲义、笔记和视频。搜索“点集拓扑入门”、“拓扑学导论”等关键词，你会找到很多有用的资源。例如，知乎、B站上都有一些数学爱好者制作的讲解视频，质量参差不齐，但有时也能提供不错的启发。
关注数学史和应用： 了解一些拓扑学的历史背景和它在物理学（如凝聚态物理、粒子物理）、计算机科学（如计算机图形学、网络拓扑）等领域的应用，会增加你的学习兴趣。
寻找同伴： 如果你能找到其他对拓扑学感兴趣的同学，一起讨论问题，分享心得，会很有帮助。
总而言之，你选择了一条充满挑战但也极其有趣的道路。以你的年纪和热情，只要方法得当，并且保持好奇心和毅力，你一定能在拓扑学的世界里收获颇丰。
祝你学习愉快！
网友意见
同学你好，请参见
https://www. math.cornell.edu/~hatch er/Other/topologybooks.pdf。这是Hatcher对一些拓扑书的评论。有理由相信他比知乎上所有答主在这方面更权威。
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