圣彼得堡悖论，期望与实际相差为何这么大？
圣彼得堡悖论，这名字听起来就带着点玄乎，仿佛是某个古老国度里最深奥的数学难题。但它其实是一个关于“期望值”的简单游戏，却揭示了我们日常生活中一个颇为普遍的现象：为什么我们心中的“期望”跟实际的收益，常常是两码事。
咱们先说说这个游戏是怎么玩的。想象一下，有个赌场老板，他想了个点子来吸引顾客。他拿出一枚硬币，咱们就叫它“幸运硬币”吧。这个硬币很公平，正面反面出现的概率都是一半一半。游戏规则是这样的：
第一次抛硬币： 如果出现的是正面，你就立刻拿到2卢布。
如果第一次是反面： 那么就继续第二次抛。
第二次抛硬币： 如果这次是正面，你就拿到4卢布。
如果还是反面： 继续第三次。
第三次抛硬币： 如果是正面，你就拿到8卢布。
依此类推，每出现一次反面，下一次正面出现的收益就翻一倍。
好了，问题来了：你愿意花多少钱来玩这个游戏？这是个关键问题。咱们来算算这个游戏的“期望值”。
期望值，你可以理解为，如果你玩无数次这个游戏，平均每次你能从这个游戏中获得多少钱。
第一次就拿到正面的概率是1/2，收益是2卢布。期望贡献是 (1/2) 2 = 1 卢布。
第一次反面，第二次正面（概率是 (1/2)(1/2) = 1/4），收益是4卢布。期望贡献是 (1/4) 4 = 1 卢布。
第一次反面，第二次反面，第三次正面（概率是 (1/2)(1/2)(1/2) = 1/8），收益是8卢布。期望贡献是 (1/8) 8 = 1 卢布。
以此类推……
你会发现，无论游戏进行到第几次出现正面，你每次的期望贡献都是1卢布。所以，把所有这些期望贡献加起来，这个游戏的总期望值是无穷大。
这就奇怪了！按照数学的计算，这个游戏的回报应该是“无限”的。那么，为什么没人愿意花1000卢布、1万卢布，甚至10万卢布去玩这个游戏呢？理论上，只要价格低于无穷大，就应该是个稳赚不赔的好买卖，对吧？
这就是悖论所在了：数学上的期望值是无限大，但人们实际愿意支付的价格却非常有限。
那为什么会出现这么大的差距呢？原因有很多，而且都跟我们作为“人”的思考方式有关，而不是纯粹的数学。
首先，我们得说说“风险厌恶”。人不是机器，我们有情感，有对失去的恐惧。虽然从数学上讲，有微乎其微的概率能让你获得天文数字般的收益，但大部分时间里，你可能就只拿到2卢布，或者4卢布，甚至运气差到极点，连续几十次都是反面，最后收益也只是个小数目。没有人愿意冒着很大的可能性只得到很小的收益，去换取一个看起来很美好但实现起来概率极低的巨额回报。我们会下意识地“规避风险”。想想你花10块钱买彩票，中了100万的几率虽然有，但绝大多数时候你只会损失那10块钱。这种“小钱”的损失，对我们来说比“可能中大奖”的喜悦来得更实在。
其次，是“边际效用递减”。这个说法听起来也挺专业，但道理很简单。就是你越有钱，增加一笔钱对你生活质量的提升就越小。当你穷得叮当响的时候，突然多了100块，那可能就能让你吃顿饱饭，买点必需品，这100块的“效用”很大。但如果你已经是个亿万富翁了，再多100块，可能你都不会注意到，对你生活的影响微乎其微。在圣彼得堡悖论里，当收益达到一定程度时（比如几百万、几千万），再翻一倍对你实际幸福感的影响，可能就不如你失去的初始投入来得大。你不会因为一个可能性的增加，就把自己本已很不错的生活给赌进去。
再者，是“有限的资源和生命”。我们玩这个游戏的时间是有限的，我们拥有的金钱也是有限的。你不可能真的借无限多的钱去玩这个游戏，也不可能活到无穷久去等那个极小的概率发生。你手上就那么多钱，你愿意拿多少来赌？你会考虑自己今天的晚餐，明天的房租，还有家人的生活。这些现实的考量，远比那个“无穷大”的数学概念来得重要。我们是活在现实中的，不是活在纯粹的数学模型里的。
最后，还可以从心理学上的“锚定效应”来理解。虽然我们知道游戏可能给出巨额奖金，但我们的大脑在做决策时，往往会受到第一个接触到的信息的影响。比如，如果我们知道第一次抛硬币就能拿到2卢布，那么这个2卢布就可能成为我们心里的一个“锚”。我们看到后面翻倍的收益，可能更多是基于这个最初的小数目来“感觉”的。而当付出价格远远高于这个小数目时，我们心理上的抵触就会非常大。
总而言之，圣彼得堡悖论之所以能“悖论”，正是因为数学的“期望值”是一个抽象的、纯理性的概念，它假设你有无限的资源，不考虑风险，也不在乎投入与产出之间心理上的感受。而我们作为人，是有限的、有情感的、会权衡得失的，我们更看重的是“确定性”和“可控性”，以及眼前利益和风险规避。
所以，期望与实际之所以相差如此悬殊，根本原因在于，圣彼得堡悖论的数学模型太过理想化，而我们作为决策者，却是在一个充满不确定性、有限资源和心理偏好的真实世界里做选择。我们不是在计算概率，我们是在过日子。
咱们先说说这个游戏是怎么玩的。想象一下，有个赌场老板，他想了个点子来吸引顾客。他拿出一枚硬币，咱们就叫它“幸运硬币”吧。这个硬币很公平，正面反面出现的概率都是一半一半。游戏规则是这样的：
第一次抛硬币： 如果出现的是正面，你就立刻拿到2卢布。
如果第一次是反面： 那么就继续第二次抛。
第二次抛硬币： 如果这次是正面，你就拿到4卢布。
如果还是反面： 继续第三次。
第三次抛硬币： 如果是正面，你就拿到8卢布。
依此类推，每出现一次反面，下一次正面出现的收益就翻一倍。
好了，问题来了：你愿意花多少钱来玩这个游戏？这是个关键问题。咱们来算算这个游戏的“期望值”。
期望值，你可以理解为，如果你玩无数次这个游戏，平均每次你能从这个游戏中获得多少钱。
第一次就拿到正面的概率是1/2，收益是2卢布。期望贡献是 (1/2) 2 = 1 卢布。
第一次反面，第二次正面（概率是 (1/2)(1/2) = 1/4），收益是4卢布。期望贡献是 (1/4) 4 = 1 卢布。
第一次反面，第二次反面，第三次正面（概率是 (1/2)(1/2)(1/2) = 1/8），收益是8卢布。期望贡献是 (1/8) 8 = 1 卢布。
以此类推……
你会发现，无论游戏进行到第几次出现正面，你每次的期望贡献都是1卢布。所以，把所有这些期望贡献加起来，这个游戏的总期望值是无穷大。
这就奇怪了！按照数学的计算，这个游戏的回报应该是“无限”的。那么，为什么没人愿意花1000卢布、1万卢布，甚至10万卢布去玩这个游戏呢？理论上，只要价格低于无穷大，就应该是个稳赚不赔的好买卖，对吧？
这就是悖论所在了：数学上的期望值是无限大，但人们实际愿意支付的价格却非常有限。
那为什么会出现这么大的差距呢？原因有很多，而且都跟我们作为“人”的思考方式有关，而不是纯粹的数学。
首先，我们得说说“风险厌恶”。人不是机器，我们有情感，有对失去的恐惧。虽然从数学上讲，有微乎其微的概率能让你获得天文数字般的收益，但大部分时间里，你可能就只拿到2卢布，或者4卢布，甚至运气差到极点，连续几十次都是反面，最后收益也只是个小数目。没有人愿意冒着很大的可能性只得到很小的收益，去换取一个看起来很美好但实现起来概率极低的巨额回报。我们会下意识地“规避风险”。想想你花10块钱买彩票，中了100万的几率虽然有，但绝大多数时候你只会损失那10块钱。这种“小钱”的损失，对我们来说比“可能中大奖”的喜悦来得更实在。
其次，是“边际效用递减”。这个说法听起来也挺专业，但道理很简单。就是你越有钱，增加一笔钱对你生活质量的提升就越小。当你穷得叮当响的时候，突然多了100块，那可能就能让你吃顿饱饭，买点必需品，这100块的“效用”很大。但如果你已经是个亿万富翁了，再多100块，可能你都不会注意到，对你生活的影响微乎其微。在圣彼得堡悖论里，当收益达到一定程度时（比如几百万、几千万），再翻一倍对你实际幸福感的影响，可能就不如你失去的初始投入来得大。你不会因为一个可能性的增加，就把自己本已很不错的生活给赌进去。
再者，是“有限的资源和生命”。我们玩这个游戏的时间是有限的，我们拥有的金钱也是有限的。你不可能真的借无限多的钱去玩这个游戏，也不可能活到无穷久去等那个极小的概率发生。你手上就那么多钱，你愿意拿多少来赌？你会考虑自己今天的晚餐，明天的房租，还有家人的生活。这些现实的考量，远比那个“无穷大”的数学概念来得重要。我们是活在现实中的，不是活在纯粹的数学模型里的。
最后，还可以从心理学上的“锚定效应”来理解。虽然我们知道游戏可能给出巨额奖金，但我们的大脑在做决策时，往往会受到第一个接触到的信息的影响。比如，如果我们知道第一次抛硬币就能拿到2卢布，那么这个2卢布就可能成为我们心里的一个“锚”。我们看到后面翻倍的收益，可能更多是基于这个最初的小数目来“感觉”的。而当付出价格远远高于这个小数目时，我们心理上的抵触就会非常大。
总而言之，圣彼得堡悖论之所以能“悖论”，正是因为数学的“期望值”是一个抽象的、纯理性的概念，它假设你有无限的资源，不考虑风险，也不在乎投入与产出之间心理上的感受。而我们作为人，是有限的、有情感的、会权衡得失的，我们更看重的是“确定性”和“可控性”，以及眼前利益和风险规避。
所以，期望与实际之所以相差如此悬殊，根本原因在于，圣彼得堡悖论的数学模型太过理想化，而我们作为决策者，却是在一个充满不确定性、有限资源和心理偏好的真实世界里做选择。我们不是在计算概率，我们是在过日子。
网友意见
这里每次独立实验的期望都是无穷，所以一般的强大数定律确实用不了。
但是有一条特殊的大数定律，可以适用于这里。
所以这里的样本均值满足是没有问题的，但是经过你的模拟可以发现，发散到无穷的速率比较慢。
于是我们可以考虑更精细一点的刻画。
这里我们有（注意这里是是converge in probability，而不是之前的converge almost surely）。
于是我们知道，随着n的增大，在大概率意义下和是同一数量级的。这一点与模拟结果是吻合的。
参考资料：
[1]Probability:Theory and Examples - Durrett
[2]A Probability Path - Resnick
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