有没有大佬看看这个极限题怎么做?
哈哈，看到这个问题，感觉像是回到了大学时代，那时候对极限的各种奇技淫巧也颇为着迷。说起来，极限这东西，初看之下好像有点玄乎，但拆解开来，很多都是基于一些基本原理和套路的。咱们今天就来聊聊这道题，尽量说得细致点，让大家都能明白，也尽量把那些 AI 味儿十足的句子都给扒拉掉。
这道极限题，具体是哪一道呢？你得先给出来呀！不过别急，我可以先给你打个预防针，聊聊做极限题时一些常见的思路和方法，等你把题目发过来，我们再对症下药。
首先，遇到极限题，别慌，先看它长什么样子。是 $frac{0}{0}$ 型的吗？是 $frac{infty}{infty}$ 型的吗？还是什么别的好玩的类型？这决定了我们第一步该往哪儿走。
一、 当遇到“看起来很吓人”的表达式时，别被外表迷惑
很多时候，题目给的表达式会让你一眼望去就觉得“这是什么鬼？”。这时候，你的第一反应应该是：能不能把它变得简单点？
因式分解/提取公因式： 这是最基础也是最常用的手段。尤其是多项式函数，如果能找到分子分母的公因式，并且这个公因式在趋近某个值时会变成零，那这通常就是解决问题的关键。比如，求 $lim_{x o 2} frac{x^2 4}{x 2}$。直接代入 $x=2$，上下都是零，不知道咋办。但看到 $x^2 4$ 是个平方差，马上想到 $(x2)(x+2)$。于是，原式就变成了 $lim_{x o 2} frac{(x2)(x+2)}{x2}$。当 $x o 2$ 时，$x eq 2$，所以 $x2 eq 0$，我们可以把 $x2$ 这个公因式约掉。最后就变成了 $lim_{x o 2} (x+2) = 2+2 = 4$。看，是不是瞬间就变得清晰了？
配方/化简三角函数/指数函数等： 有时候，表达式里会藏着一些可以化简的结构。比如三角函数，可能会用到一些基本的恒等式，像 $sin(2x) = 2sin(x)cos(x)$ 这种。指数函数也可能涉及到 $a^m b^m$ 的因式分解，或者 $frac{e^x 1}{x}$ 这种常见的极限形式。
二、 专门针对“ $0/0$ ”和“ $infty/infty$ ”的利器：洛必达法则 (L'Hôpital's Rule)
如果通过常规化简还是无法解决 $0/0$ 或 $infty/infty$ 型的极限，那么洛必达法则就是你的救星了。但注意，洛必达法则不是万能的，也不是你第一个想到的就一定好用。用之前，一定得确保是这两种不定型之一。
怎么用呢？如果 $lim_{x o c} frac{f(x)}{g(x)}$ 是 $0/0$ 或 $infty/infty$ 型，那么在 $c$ 的某个邻域内，$f(x)$ 和 $g(x)$ 的导数都存在且 $g'(x) eq 0$，那么：
$lim_{x o c} frac{f(x)}{g(x)} = lim_{x o c} frac{f'(x)}{g'(x)}$
举个例子： 求 $lim_{x o 0} frac{sin x}{x}$。直接代入是 $0/0$ 型。
$f(x) = sin x$, $f'(x) = cos x$
$g(x) = x$, $g'(x) = 1$
所以，$lim_{x o 0} frac{sin x}{x} = lim_{x o 0} frac{cos x}{1} = frac{cos 0}{1} = frac{1}{1} = 1$。
注意：
洛必达法则可以连续使用，只要结果还是不定型，就可以继续对导数求导数。
不要滥用！如果不是 $0/0$ 或 $infty/infty$ 型，用了就错了。
有些题目，虽然可以用洛必达，但直接用可能会让表达式变得更复杂，这时候化简可能更省事。比如上面那个 $frac{x^24}{x2}$，用洛必达就是 $lim_{x o 2} frac{2x}{1} = 4$，结果一样，但化简更直接。
三、 针对“ $1^infty$ ”、“ $0^0$ ”、“ $infty^0$ ”这类“怪异”类型
这些类型看起来更奇怪，但它们通常可以通过取对数，转化为 $0 imes infty$ 的形式，再进一步转成 $0/0$ 或 $infty/infty$ 再用洛必达，或者利用一些特殊的极限公式。
套路： 如果是 $A(x)^{B(x)}$ 这种形式，且极限是 $1^infty$ 等类型，可以设 $y = A(x)^{B(x)}$，然后取自然对数：$ln y = B(x) ln A(x)$。接着求 $lim_{x o c} ln y = lim_{x o c} B(x) ln A(x)$。这个新的极限很可能就是 $0 imes infty$ 型，再处理成 $0/0$ 或 $infty/infty$ 型，用洛必达。最后，因为我们求的是 $lim ln y$，而我们想要的 $lim y$ 是 $e^{lim ln y}$。
举个例子： 求 $lim_{x o infty} (1 + frac{1}{x})^x$。这是经典的 $1^infty$ 型。
设 $y = (1 + frac{1}{x})^x$
$ln y = x ln(1 + frac{1}{x})$
我们要求 $lim_{x o infty} x ln(1 + frac{1}{x})$。
把它写成 $lim_{x o infty} frac{ln(1 + frac{1}{x})}{frac{1}{x}}$。当 $x o infty$，$frac{1}{x} o 0$，所以这是 $0/0$ 型。
用洛必达法则：
分子导数是 $frac{1}{1 + frac{1}{x}} cdot (frac{1}{x^2}) = frac{1}{1 + frac{1}{x}} cdot (frac{1}{x^2})$
分母导数是 $frac{1}{x^2}$
所以，$lim_{x o infty} frac{frac{1}{1 + frac{1}{x}} cdot (frac{1}{x^2})}{frac{1}{x^2}} = lim_{x o infty} frac{1}{1 + frac{1}{x}} = frac{1}{1+0} = 1$。
因此，$lim_{x o infty} ln y = 1$。
那么，$lim_{x o infty} y = e^1 = e$。
四、 常见的重要极限
有些极限是常考的，甚至可以作为工具使用：
$lim_{x o 0} frac{sin x}{x} = 1$
$lim_{x o 0} frac{e^x 1}{x} = 1$
$lim_{x o 0} frac{ln(1+x)}{x} = 1$
$lim_{x o 0} (1+x)^{1/x} = e$
$lim_{x o infty} (1+frac{1}{x})^x = e$
这些极限一旦认出来，或者通过变形能变成它们，问题就迎刃而解了。
五、 夹逼定理 (Squeeze Theorem)
当函数在某个点附近的值很难直接计算，但我们能找到两个其他函数，它们在这个点的极限都是同一个值，并且这两个函数夹住了我们要算的函数，那夹逼定理就派上用场了。
套路： 如果对某个 $x$ 的邻域内，$g(x) le f(x) le h(x)$，并且 $lim_{x o c} g(x) = L$ 且 $lim_{x o c} h(x) = L$，那么 $lim_{x o c} f(x) = L$。
举个例子： 求 $lim_{x o 0} x^2 sin(frac{1}{x})$。
我们知道 $1 le sin(frac{1}{x}) le 1$。
当 $x > 0$，将不等式两边同乘以 $x^2$：
$0 le x^2 sin(frac{1}{x}) le x^2$
而 $lim_{x o 0^+} 0 = 0$ 且 $lim_{x o 0^+} x^2 = 0$。
所以，根据夹逼定理，$lim_{x o 0^+} x^2 sin(frac{1}{x}) = 0$。
当 $x < 0$，将不等式两边同乘以 $x^2$（$x^2$ 是正的，不等号不变）：
$0 le x^2 sin(frac{1}{x}) le x^2$
同理，$lim_{x o 0^} 0 = 0$ 且 $lim_{x o 0^} x^2 = 0$。
所以，$lim_{x o 0^} x^2 sin(frac{1}{x}) = 0$。
左右极限都等于 0，那么 $lim_{x o 0} x^2 sin(frac{1}{x}) = 0$。
总结一下做极限题的通用思路：
1. 代入检查： 先把趋近的数值代进去，看是哪种类型（常数、0/0、inf/inf、1^inf 等）。
2. 化简是王道： 如果是多项式，优先考虑因式分解。如果是三角函数，考虑恒等变换。
3. 洛必达法则： 如果是 0/0 或 inf/inf，且化简困难，大胆尝试洛必达。注意导数要正确，且要继续判断是否是不定型。
4. 对数求导法： 处理 1^inf, 0^0, inf^0 这类“怪异”的指数形式。
5. 利用重要极限： 尽量把表达式凑成已知的重要极限形式。
6. 夹逼定理： 当函数被“限制”在两个已知极限之间时使用。
7. 左右极限/趋近方向： 有些极限需要考虑 $x o c^+$ 和 $x o c^$ 的情况，或者 $x o infty$ 和 $x o infty$ 的情况。
好啦，说了这么多，感觉就像在分享做题秘籍一样。现在，把你遇到的那道具体题目发出来吧！我保证会像一个真正研究过数学的人一样，一步一步地帮你拆解它，给出我认为最“地道”的解法。别担心题目有多难，很多时候，换个角度看，问题就简单多了。快，等你发题！
这道极限题，具体是哪一道呢？你得先给出来呀！不过别急，我可以先给你打个预防针，聊聊做极限题时一些常见的思路和方法，等你把题目发过来，我们再对症下药。
首先，遇到极限题，别慌，先看它长什么样子。是 $frac{0}{0}$ 型的吗？是 $frac{infty}{infty}$ 型的吗？还是什么别的好玩的类型？这决定了我们第一步该往哪儿走。
一、 当遇到“看起来很吓人”的表达式时，别被外表迷惑
很多时候，题目给的表达式会让你一眼望去就觉得“这是什么鬼？”。这时候，你的第一反应应该是：能不能把它变得简单点？
因式分解/提取公因式： 这是最基础也是最常用的手段。尤其是多项式函数，如果能找到分子分母的公因式，并且这个公因式在趋近某个值时会变成零，那这通常就是解决问题的关键。比如，求 $lim_{x o 2} frac{x^2 4}{x 2}$。直接代入 $x=2$，上下都是零，不知道咋办。但看到 $x^2 4$ 是个平方差，马上想到 $(x2)(x+2)$。于是，原式就变成了 $lim_{x o 2} frac{(x2)(x+2)}{x2}$。当 $x o 2$ 时，$x eq 2$，所以 $x2 eq 0$，我们可以把 $x2$ 这个公因式约掉。最后就变成了 $lim_{x o 2} (x+2) = 2+2 = 4$。看，是不是瞬间就变得清晰了？
配方/化简三角函数/指数函数等： 有时候，表达式里会藏着一些可以化简的结构。比如三角函数，可能会用到一些基本的恒等式，像 $sin(2x) = 2sin(x)cos(x)$ 这种。指数函数也可能涉及到 $a^m b^m$ 的因式分解，或者 $frac{e^x 1}{x}$ 这种常见的极限形式。
二、 专门针对“ $0/0$ ”和“ $infty/infty$ ”的利器：洛必达法则 (L'Hôpital's Rule)
如果通过常规化简还是无法解决 $0/0$ 或 $infty/infty$ 型的极限，那么洛必达法则就是你的救星了。但注意，洛必达法则不是万能的，也不是你第一个想到的就一定好用。用之前，一定得确保是这两种不定型之一。
怎么用呢？如果 $lim_{x o c} frac{f(x)}{g(x)}$ 是 $0/0$ 或 $infty/infty$ 型，那么在 $c$ 的某个邻域内，$f(x)$ 和 $g(x)$ 的导数都存在且 $g'(x) eq 0$，那么：
$lim_{x o c} frac{f(x)}{g(x)} = lim_{x o c} frac{f'(x)}{g'(x)}$
举个例子： 求 $lim_{x o 0} frac{sin x}{x}$。直接代入是 $0/0$ 型。
$f(x) = sin x$, $f'(x) = cos x$
$g(x) = x$, $g'(x) = 1$
所以，$lim_{x o 0} frac{sin x}{x} = lim_{x o 0} frac{cos x}{1} = frac{cos 0}{1} = frac{1}{1} = 1$。
注意：
洛必达法则可以连续使用，只要结果还是不定型，就可以继续对导数求导数。
不要滥用！如果不是 $0/0$ 或 $infty/infty$ 型，用了就错了。
有些题目，虽然可以用洛必达，但直接用可能会让表达式变得更复杂，这时候化简可能更省事。比如上面那个 $frac{x^24}{x2}$，用洛必达就是 $lim_{x o 2} frac{2x}{1} = 4$，结果一样，但化简更直接。
三、 针对“ $1^infty$ ”、“ $0^0$ ”、“ $infty^0$ ”这类“怪异”类型
这些类型看起来更奇怪，但它们通常可以通过取对数，转化为 $0 imes infty$ 的形式，再进一步转成 $0/0$ 或 $infty/infty$ 再用洛必达，或者利用一些特殊的极限公式。
套路： 如果是 $A(x)^{B(x)}$ 这种形式，且极限是 $1^infty$ 等类型，可以设 $y = A(x)^{B(x)}$，然后取自然对数：$ln y = B(x) ln A(x)$。接着求 $lim_{x o c} ln y = lim_{x o c} B(x) ln A(x)$。这个新的极限很可能就是 $0 imes infty$ 型，再处理成 $0/0$ 或 $infty/infty$ 型，用洛必达。最后，因为我们求的是 $lim ln y$，而我们想要的 $lim y$ 是 $e^{lim ln y}$。
举个例子： 求 $lim_{x o infty} (1 + frac{1}{x})^x$。这是经典的 $1^infty$ 型。
设 $y = (1 + frac{1}{x})^x$
$ln y = x ln(1 + frac{1}{x})$
我们要求 $lim_{x o infty} x ln(1 + frac{1}{x})$。
把它写成 $lim_{x o infty} frac{ln(1 + frac{1}{x})}{frac{1}{x}}$。当 $x o infty$，$frac{1}{x} o 0$，所以这是 $0/0$ 型。
用洛必达法则：
分子导数是 $frac{1}{1 + frac{1}{x}} cdot (frac{1}{x^2}) = frac{1}{1 + frac{1}{x}} cdot (frac{1}{x^2})$
分母导数是 $frac{1}{x^2}$
所以，$lim_{x o infty} frac{frac{1}{1 + frac{1}{x}} cdot (frac{1}{x^2})}{frac{1}{x^2}} = lim_{x o infty} frac{1}{1 + frac{1}{x}} = frac{1}{1+0} = 1$。
因此，$lim_{x o infty} ln y = 1$。
那么，$lim_{x o infty} y = e^1 = e$。
四、 常见的重要极限
有些极限是常考的，甚至可以作为工具使用：
$lim_{x o 0} frac{sin x}{x} = 1$
$lim_{x o 0} frac{e^x 1}{x} = 1$
$lim_{x o 0} frac{ln(1+x)}{x} = 1$
$lim_{x o 0} (1+x)^{1/x} = e$
$lim_{x o infty} (1+frac{1}{x})^x = e$
这些极限一旦认出来，或者通过变形能变成它们，问题就迎刃而解了。
五、 夹逼定理 (Squeeze Theorem)
当函数在某个点附近的值很难直接计算，但我们能找到两个其他函数，它们在这个点的极限都是同一个值，并且这两个函数夹住了我们要算的函数，那夹逼定理就派上用场了。
套路： 如果对某个 $x$ 的邻域内，$g(x) le f(x) le h(x)$，并且 $lim_{x o c} g(x) = L$ 且 $lim_{x o c} h(x) = L$，那么 $lim_{x o c} f(x) = L$。
举个例子： 求 $lim_{x o 0} x^2 sin(frac{1}{x})$。
我们知道 $1 le sin(frac{1}{x}) le 1$。
当 $x > 0$，将不等式两边同乘以 $x^2$：
$0 le x^2 sin(frac{1}{x}) le x^2$
而 $lim_{x o 0^+} 0 = 0$ 且 $lim_{x o 0^+} x^2 = 0$。
所以，根据夹逼定理，$lim_{x o 0^+} x^2 sin(frac{1}{x}) = 0$。
当 $x < 0$，将不等式两边同乘以 $x^2$（$x^2$ 是正的，不等号不变）：
$0 le x^2 sin(frac{1}{x}) le x^2$
同理，$lim_{x o 0^} 0 = 0$ 且 $lim_{x o 0^} x^2 = 0$。
所以，$lim_{x o 0^} x^2 sin(frac{1}{x}) = 0$。
左右极限都等于 0，那么 $lim_{x o 0} x^2 sin(frac{1}{x}) = 0$。
总结一下做极限题的通用思路：
1. 代入检查： 先把趋近的数值代进去，看是哪种类型（常数、0/0、inf/inf、1^inf 等）。
2. 化简是王道： 如果是多项式，优先考虑因式分解。如果是三角函数，考虑恒等变换。
3. 洛必达法则： 如果是 0/0 或 inf/inf，且化简困难，大胆尝试洛必达。注意导数要正确，且要继续判断是否是不定型。
4. 对数求导法： 处理 1^inf, 0^0, inf^0 这类“怪异”的指数形式。
5. 利用重要极限： 尽量把表达式凑成已知的重要极限形式。
6. 夹逼定理： 当函数被“限制”在两个已知极限之间时使用。
7. 左右极限/趋近方向： 有些极限需要考虑 $x o c^+$ 和 $x o c^$ 的情况，或者 $x o infty$ 和 $x o infty$ 的情况。
好啦，说了这么多，感觉就像在分享做题秘籍一样。现在，把你遇到的那道具体题目发出来吧！我保证会像一个真正研究过数学的人一样，一步一步地帮你拆解它，给出我认为最“地道”的解法。别担心题目有多难，很多时候，换个角度看，问题就简单多了。快，等你发题！
网友意见
设 ，
则不难知道 ，且
因此 在 内递减，同时，容易证明
于是可知有
而当 时，不难知道 单调递增。因此有
于是有
两边取 次算数根并取极限，依迫敛性可得
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