3人聚餐后，想玩一个游戏来决定谁买单，这个游戏公平吗？
首先，得看这游戏的“随机性”够不够。
公平的游戏，最关键的就是不能有人为操纵，完全是概率说了算。比如，最简单的剪刀石头布，一人出一把，总有赢家，总有输家。要是三个人玩，谁能连赢两次，谁就不用掏钱，那挺好。或者，三个人每人拿一张纸条，上面写着“我买单”或者“下次吧”，然后折起来，放在一个杯子里，谁抽到“我买单”就谁买。这种全凭运气的游戏，理论上是公平的。
但是，这就带来第二个问题：游戏的“参与度”和“结果的合理性”。
如果游戏太简单，赢的人可能觉得无所谓，输的人就觉得运气不好。要是游戏太复杂，玩半天没结果，或者结果出来让人觉得“这都能输？”，那就不太好了。
比如，你们玩石头剪刀布，每个人都出一次，然后看谁赢的次数最多。三个人，可能出现平局的情况，那怎么办？再玩一次？万一还是平局呢？这样没完没了，就会让人觉得这个游戏不够“痛快”。
更别提有些游戏，可能会隐含着一些“心理战”或者“运气以外的因素”。比如说，有人可能擅长观察别人的肢体语言，猜出对方会出什么，那就不公平了。或者，要是游戏需要比拼谁能说出更多的国家名，那谁的知识储备多谁就占便宜，这就不算纯粹的“随机”了。
所以，要让游戏公平，有几个关键点：
1. 规则明确，所有人都要事先同意。 在开始游戏之前，大家得把规则说清楚，并且都同意，这样事后就不会有人因为规则不服气。比如，“这次就玩石头剪刀布，赢两次的不用买单”。
2. 结果必须是随机的，不能有任何“内定”或者“偏向”。 也就是说，任何一个人，在游戏开始前，都不应该比其他人更有可能“不买单”。
3. 游戏过程要让所有人都觉得“好玩”，即使输了也无所谓。 毕竟是朋友聚餐，玩游戏是为了助兴，不是为了真的“算计”谁。要是游戏本身就让人紧张兮兮，输了还很不开心，那聚餐的氛围就糟了。
4. 考虑到“意外情况”，比如平局。 最好能事先想好，如果出现平局，下一步怎么处理，避免出现僵局。
举个例子，什么算“不公平”？
“猜数字”游戏： 一个人心里想一个1到100的数字，其他人轮流猜。谁最接近，谁就不用买单。这就不太公平，因为猜数字本身带有“试探”和“运气”的成分，而且第一个猜的人可能就占了“信息差”。
“谁先憋不住”： 所有人坐在一起，谁先说话或者动，谁就买单。这个看似简单，但有时候人就是会忍不住，而且长时间的沉默很尴尬，容易破坏聚餐的气氛。
“真心话大冒险”： 虽说这也是个游戏，但如果“大冒险”的内容很为难某一个人，或者“真心话”问的问题过于私密，那就会涉及到个人尊严，这就不太适合用来决定买单这种“利益”问题。
所以，总的来说，用游戏来决定谁买单，能不能公平，完全取决于你玩的是什么样的游戏。
如果你们能找到一个大家都认可的、纯粹靠运气的、规则简单明了的游戏，比如刚才说的抽纸条或者升级版的石头剪刀布（比如，三个人一起出，谁是唯一那个出不一样东西的，谁不用买单，如果三个人都一样，就平局再来），那这个方式是可以接受的。
但如果你们玩的游戏，涉及到知识、技能、心理或者容易引起争议，那还不如大家商量一下，轮流来，或者谁今天特别开心，就谁请客，这样反而更能维护友谊。毕竟，朋友聚餐，高兴最重要，不是吗？
网友意见
题主增加了一问：
A发现游戏并不公平，于是他决定放弃优势。在伸手前，他将会声明自己怎么出。作为一个无聊的人，他有50%的概率按声明出手，也有50%概率戏弄B与C。
这样会更公平吗？
但是A这个承诺毫无意义，因为大家都知道他会反悔，所以他无论说自己是手心还是手背都是废话，相当于他直接声明自己随机一半一半的概率。既然A的策略依然是均衡策略，那么B和C保持不变。游戏并没有变得更加公平。
下面是第一问的答案：
似乎我看到这种脑筋急转弯的博弈题主要靠 @Richard Xu 关注……
首先，这是三个人的博弈，不能预先假设每个人都是随机的来出正反。其次，三个人都没有占优策略，所以我们的思路是先假设没有纯策略，先计算出混合策略的概率，然后来算期望支付。
假定三个人出手心的概率为 ，那么出手背的概率就是 。我们假定付钱效用为-1，不付钱效用为0.
ABC出手心手背的期望收益相等，对于A来说,如果自己出手心，那么只有当其他人都出手心自己才付钱，如果自己出手背，那么只有其他人都出手背才付钱，所以手心手背期望相等，就意味着：
对于B来说，B出手心，则只有另外俩人都出手背才付钱，B出手背，则任意一个人出手心付钱。
化简之后得：
对于C来说，C出手心，只有另外两个人有一个人出手心才付钱，C出手背，则另外俩人出手心才付钱：
化简之后得：
现在就联立解这三个式子，发现 , 也就是说在纳什均衡的时候，C的均衡策略是出手背, B的均衡策略是出手心，然后A以1/2的概率出手背和手心。
这样的话，A是始终不用付钱的，因为B和C的策略在均衡的时候是不同的；而Ｂ和C均有一半的概率付钱，完全取决于A是手心还是手背。
这个结论可能很难让人接受，但是考虑到纳什均衡的定义，如果一个状态，没有人能够通过改变的自己的策略获利，那么这个均衡不管多么不可能，都是纳什均衡。我们就来看看B和C能不能做的更好：
- 如果C不选择手背，选择手心，其他人策略不变，那么显然，C在A选择手背的时候要付钱，在A选择手心的时候不付钱，依然是1/2的概率付钱；
- 如果B不选择手心，选择手背，其他人策略不变，一样的，B会在A选择手心的时候付钱，A选择手背的时候不付钱，还是1/2的概率；
所以我们就得到了一个这样的纳什均衡，A是唯一一个随机出手心手背的人，期望收益为0；而B出手心，C出手背，B和C的期望收益都为-0.5. 所以就可以回答题主的问题了，这是对A有很大倾斜的机制，均衡的时候A不但不用付钱，还有了随机决定B和C谁付钱的权力。
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这事儿说起来，三人聚餐后谁来买单，用游戏来决定，这主意听着挺有意思，但也得看这游戏怎么玩。要是玩得不对，那可就不公平了。首先，得看这游戏的“随机性”够不够。公平的游戏，最关键的就是不能有人为操纵，完全是概率说了算。比如，最简单的剪刀石头布，一人出一把，总有赢家，总有输家。要是三个人玩，谁能连赢两次，............. -
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