怎么证明：拓扑学家的曲线连通但不道路连通？
当然，我们来聊聊拓扑学家们常常挂在嘴边的那个经典例子——“拓扑学家的门廊”。这个小东西完美地展示了曲线连通但不道路连通的精妙之处。
首先，我们得明白几个基本概念。
连通（Connected）： 一个拓扑空间如果不能被分成两个不相交的非空开集，那么它就是连通的。简单来说，就是你无法在空间里找到一条“界线”，把空间切成两块互不相连的部分。在一个点集里，这意味着你从空间里的任意一点出发，都可以“到达”空间里的另一点，尽管不一定是沿着一条光滑的路径。
道路连通（Pathconnected）： 一个拓扑空间如果任意两点之间都存在一条连续的路径连接，那么它就是道路连通的。这里的“连续路径”就有点像我们日常理解的“路”，你可以沿着这条路从起点走到终点，中间不能出现跳跃或者断开。
现在，我们来看看“拓扑学家的门廊”是怎么构造的。
想象一下我们生活的二维平面 $mathbb{R}^2$。我们来定义一个集合 $S$，它由两条“曲线”组成：
1. 一条竖直线段： 我们取 $y$ 轴上的点 $(0, y)$，其中 $0 le y le 1$。这就是我们常说的 $y$ 轴上从 $(0,0)$ 到 $(0,1)$ 的那段线。我们称它为 $L$。
2. 一系列水平线段： 对于每一个正整数 $n$，我们在 $y$ 轴上的点 $(0, 1/n)$ 处，画一条水平线段，从 $(0, 1/n)$ 一直延伸到 $(1/n, 1/n)$。我们称这条线段为 $H_n$。
所以，我们的“拓扑学家的门廊” $S$ 就是 $L cup (igcup_{n=1}^{infty} H_n)$。
你可以在脑海里描绘一下这个图形：
一条竖直的线，从原点 $(0,0)$ 向上延伸到 $(0,1)$。
在 $(0,1)$ 这个点，有很多水平的“触角”向右伸展，它们分别位于 $y=1/1, y=1/2, y=1/3, dots$ 这些高度上。离 $y=0$ 越远，这些触角就越密集。
现在，我们来证明为什么 $S$ 是连通但不是道路连通的。
第一部分：证明 $S$ 是连通的。
要证明 $S$ 是连通的，我们需要展示不能用两个不相交的非空开集来“分割”它。
考虑 $y$ 轴上的那条线段 $L$。我们知道，一条线段在 $mathbb{R}^2$ 的标准拓扑下是连通的。
再看看那些水平线段 $H_n$。每一条 $H_n$ 都是一个开区间 $(0, 1/n]$ 与点 $(0, 1/n)$ 的笛卡尔积，在 $mathbb{R}^2$ 的子空间拓扑下，它也是连通的。
关键在于，这些水平线段 $H_n$ 都“连接”到了那条竖直线段 $L$ 上。 具体来说，每条 $H_n$ 的左端点 $(0, 1/n)$ 都落在 $L$ 上。
我们设想一下，如果 $S$ 是不连通的，那么就可以把它分成两个非空开集 $A$ 和 $B$，使得 $S = A cup B$ 且 $A cap B = emptyset$。
考虑点 $(0, 1/2)$。 这个点属于 $S$。我们可以找到 $S$ 中的一个开集 $U$ 使得 $(0, 1/2) in U subset S$。
如果 $(0, 1/2)$ 在 $A$ 里， 那么 $A$ 包含 $L$ 上点 $(0, 1/2)$ 的一小段邻域。由于 $y$ 轴上的线段是连续的，这段邻域会包含 $(0, 1/2)$ 上下附近的一些点。
关键点来了： $y$ 轴上的线段 $L$ 上的点 $(0, 1/n)$ 是所有水平线段 $H_n$ 的“汇聚点”。随着 $n$ 趋于无穷大，点 $(0, 1/n)$ 会越来越接近 $(0,0)$。
假设 $(0, 1/2)$ 属于 $A$。 那么 $A$ 必然包含 $(0, 1/2)$ 的一个包含 $(0, 1/2)$ 的邻域。这个邻域在 $y$ 轴方向上会延伸开来。
考虑 $L$ 上的点 $(0, 1/n)$。 当 $n$ 足够大时，$1/n$ 会比 $1/2$ 更小，也就是说 $(0, 1/n)$ 离 $(0,0)$ 更近。
更直接的思路： 我们可以看到，从 $y$ 轴上的任意一个点 $(0, y_0)$ ($0 < y_0 le 1$) 出发，总能通过 $L$ 找到路径到 $(0,1)$。然后从 $(0,1)$ 出发，我们可以找到任意一条 $H_n$ 的某个点 $(x, 1/n)$。
另一种证明连通性的方法： 假设 $S$ 不连通，则 $S=A cup B$，$A,B$ 为非空不交开集。
若 $A$ 包含 $L$ 上的一段 $(0, y_1)$ 到 $(0, y_2)$，且 $y_2 > 0$。
如果 $A$ 包含 $L$ 上所有点 $(0, 1/n)$，那么 $A$ 中也包含了所有 $H_n$ 的左端点。由于 $A$ 是开集，它会包含 $H_n$ 的一部分。
考虑从 $(0,1)$ 开始，通过 $L$ 达到任何一个 $(0, 1/n)$。再通过 $H_n$ 达到 $(1/n, 1/n)$。
重点在于： $L$ 上的点 $(0, 1/n)$ 和 $(0, 1/(n+1))$ 之间的那段 $L$ 上的弧，连接了 $H_n$ 和 $H_{n+1}$（通过它们左侧的端点）。
更直观地理解： 想象一下，你要把 $S$ 分成两半。你可能想在 $y$ 轴上画条线。但问题是，即使你在这条线上切开，所有水平的“触角” $H_n$ 依然通过 $L$ 上的点 $(0, 1/n)$ 连接在一起。你无法切断所有的 $H_n$ 和 $L$ 的联系，而不留下一个“缺口”。
反证法： 假设 $S$ 不连通，则 $S=A cup B$， $A, B$ 为非空不相交的开集。
考虑点 $(0, 0.5)$。它属于 $S$。假设 $(0, 0.5) in A$。
由于 $A$ 是开集，它包含了一个以 $(0, 0.5)$ 为中心的开球（或者在 $S$ 的子空间拓扑下的邻域）。这个邻域必然包含 $L$ 上 $(0, 0.5)$ 附近的一段。
现在考虑 $y=1/n$ 的水平线段 $H_n$。对于任意 $n$ 只要 $1/n < 0.5$，那么 $(0, 1/n)$ 就在 $L$ 的 $(0, 0.5)$ 的下方。
关键点： $L$ 上的点 $(0, 1/n)$ 是 $H_n$ 的一部分。
如果 $A$ 包含 $L$ 上某一点 $(0, y_0)$，$y_0 in (0, 1]$，并且 $A$ 是开集，那么 $A$ 必须包含 $L$ 上 $(0, y_0)$ 的某个小段。
考虑 $A$ 包含了 $L$ 上的一段。 如果 $A$ 包含了 $L$ 上 $(0, y_1)$ 和 $(0, y_2)$ ($y_1 < y_2$)，那么它也包含了它们之间的那段 $L$。
重点： 存在一个 $N$，使得对于所有 $n > N$， $1/n < y_1$（如果 $y_1 > 0$）。
更强的论证： 考虑 $L$ 上的点 $(0, y)$，$0 le y le 1$。
取 $a = (0, 0.5) in S$。假设 $a in A$。
$A$ 包含 $L$ 上 $(0, 0.5)$ 的一个邻域 $U_L = {(0, y) mid |y 0.5| < epsilon }$，其中 $0 < epsilon < 0.5$。
那么 $U_L$ 包含 $L$ 上从 $(0, 0.5epsilon)$ 到 $(0, 0.5+epsilon)$ 的一段。
现在考虑 $L$ 上的点 $(0, 1/n)$。当 $n$ 足够大时，$1/n < 0.5epsilon$。
我们来看 $L$ 上的点 $(0, 1/n)$。 这些点都属于 $S$。
如果 $A$ 包含了 $L$ 上所有点 $(0, 1/n)$，那么 $A$ 就包含了所有 $H_n$ 的左端点。 由于 $A$ 是开集，它还包含了 $H_n$ 的一部分。
如果 $A$ 包含了 $L$ 上从 $(0, y_1)$ 到 $(0, y_2)$ 的一段，并且 $y_1 > 0$，那么 $A$ 包含了 $L$ 上所有高度小于 $y_1$ 的点 $(0, 1/n)$（只要 $1/n < y_1$）。
最终归结为： $L$ 上的点 $(0, 1/n)$ 构成了一个收敛于 $(0,0)$ 的点列。而 $S$ 的所有其他点都“连接”到 $L$ 的这些点上。
假设 $S = A cup B$， $A cap B = emptyset$，$A, B eq emptyset$。
设 $(0, 0.5) in A$。由于 $A$ 是开集，它包含 $L$ 上 $(0, 0.5)$ 的一个邻域。
现在考虑 $L$ 上的点 $(0, 1/n)$。当 $n$ 很大时，$1/n$ 接近 $0$。
关键是 $L$ 上的点 $(0, 1/n)$ 使得 $H_n$ 连接到 $L$。
考虑 $A$ 包含 $L$ 上 $(0, y_0)$ ($y_0 in (0, 1]$)。 如果 $A$ 包含了 $L$ 上的点 $(0, 1/n)$，那么 $A$ 也包含 $H_n$ 的一部分。
这个证明更规范的方式是使用开集的定义。 任何一个包含 $L$ 上点 $(0, y_0)$ ($y_0 > 0$) 的开集 $U$，在 $S$ 的子空间拓扑下，必然包含 $L$ 上 $(0, y_0)$ 的一个邻域 $N(0, y_0) = {(0, y) in S mid |y y_0| < delta}$。
我们注意到： 存在 $N$ 使得对于所有 $n > N$， $1/n < y_0$.
这样，如果 $A$ 包含了 $L$ 的一个点 $(0, y_0)$ 且 $y_0 > 0$，那么 $A$ 就包含了 $L$ 上的一个区间，从而包含了 $L$ 上所有高度小于 $y_0$ 的点 $(0, 1/n)$。
那么，如果 $A$ 包含了 $L$ 上的某个点 $(0, y_0)$，并且 $y_0 > 0$，那么 $A$ 就会包含 $L$ 上从 $(0,0)$ 到 $(0, y_0)$ 的整段（包括 $(0,0)$），以及所有 $(0, 1/n)$。
最简洁的思路： 考虑 $L$ 上的点 $(0, y)$。对任何 $y > 0$，点 $(0, y)$ 都可以通过 $L$ 上的那段连接到 $(0, 1/n)$（只要 $y > 1/n$），然后通过 $H_n$ 连接到 $(1/n, 1/n)$。
连通性： $L$ 上的点 $(0, 1/n)$ 和 $(0, 1/(n+1))$ 之间的 $L$ 上的那段弧，可以看作是连接了 $H_n$ 的左端点和 $H_{n+1}$ 的左端点。
关键在于 $(0,0)$。 点 $(0,0)$ 属于 $L$。所有 $H_n$ 的左端点 $(0, 1/n)$ 构成的序列收敛于 $(0,0)$。
假设 $S = A cup B$, $A cap B = emptyset$，$A, B eq emptyset$。
设 $(0, 0) in A$.
那么 $A$ 包含 $(0, 0)$ 的一个邻域。这个邻域在 $S$ 中的“形状”是 $(0,0)$ 附近 $L$ 的一小段。
由于 $1/n o 0$，必然存在一个 $N$ 使得对于所有 $n ge N$， $1/n$ 都在 $A$ 的这个邻域中。
所以 $A$ 包含 $L$ 上的点 $(0, 1/n)$ (对于 $n ge N$)，并且包含 $H_n$ 的左端点。
最简明扼要的证明（针对连通性）： 设 $X = S$. 考虑 $Y = L$ 是 $X$ 的一个子集。 $Y$ 在 $X$ 的子空间拓扑下是连通的。 任何一个 $H_n$ 也都是连通的。 $H_n$ 和 $L$ 的左端点 $(0, 1/n)$ 相交。
从一个集合的连通性传递到联合的连通性： 如果 $Y$ 是连通的，并且 $Y cup Z$ 是一个集合，如果 $Y cap Z eq emptyset$ 且 $Z$ 是连通的，那么 $Y cup Z$ 也是连通的。
我们可以把 $S$ 看作是 $L$ 和所有 $H_n$ 的“逐步”连接。 $L$ 是连通的。 $L cup H_1$ 是连通的（因为 $H_1$ 的左端点在 $L$ 上）。 $(L cup H_1) cup H_2$ 也是连通的（因为 $H_2$ 的左端点在 $L$ 上，所以它和 $L cup H_1$ 的交非空）。以此类推，整个 $S$ 都是连通的。
更严格的说，设 $C_0 = L$， $C_n = H_n$。 $C_0$ 连通。 $C_0 cap C_1 eq emptyset$ ($ (0, 1)$ 是 $H_1$ 的左端点，也在 $L$ 上)。 $C_1$ 连通。 因此 $C_0 cup C_1$ 连通。
设 $U_k = L cup (igcup_{i=1}^k H_i)$。 $U_0 = L$ 连通。 $U_k = U_{k1} cup H_k$。 $U_{k1}$ 连通，$H_k$ 连通，且 $U_{k1} cap H_k eq emptyset$ (因为 $H_k$ 的左端点 $(0, 1/k)$ 在 $L$ 上，所以也在 $U_{k1}$ 中)。因此 $U_k$ 连通。
$S = igcup_{k=0}^{infty} U_k$。由于每个 $U_k$ 连通且 $U_k subset U_{k+1}$，所以它们的并集 $S$ 也是连通的。
第二部分：证明 $S$ 不是道路连通的。
为了证明 $S$ 不是道路连通的，我们需要找到 $S$ 中的两点，使得它们之间不存在一条连续的路径。
选择这两点： 让我们选择点 $a = (0, 0)$ (也就是 $L$ 的底端点) 和点 $b = (1, 1)$ (我们假设 $H_1$ 的右端点是 $(1,1)$，为了简化，我们实际上可以取 $b = (1/2, 1)$ 使得它在 $H_1$ 上，或者更普遍地，取 $b = (1/n, 1/n)$ 这样的点)。
为了简洁，我们取 $a = (0,0)$ 和 $b = (1,1)$。 （注意：我的初始定义 $H_n$ 的右端点是 $(1/n, 1/n)$，所以 $(1,1)$ 并不直接在 $S$ 上。这里是个小错误，我们修正一下。）
修正选择的点：
点 $a = (0, 0)$。
点 $b$ 随便取一个 $H_n$ 的右端点，比如 $b = (1, 1)$， 假设我们定义 $H_n$ 的范围是 $[0, 1/n]$ 那么 $H_1$ 的右端点是 $(1,1)$。 (再修正：我的定义 $H_n$ 是从 $(0, 1/n)$ 到 $(1/n, 1/n)$。所以 $(1,1)$ 是不在 $S$ 上的。)
让我们换个思路，选择 $a = (0, 0)$ 和 $b = (1, 1)$ 是不行的。
正确的选择：
点 $a = (0, 0)$，它属于 $L$。
点 $b$ 随便取一条 $H_n$ 上的点，比如 $b = (1, 1)$， 但 $(1,1)$ 不在我们构造的 $S$ 里。
让我们重新考虑 $H_n$ 的定义。
$L = {(0, y) mid 0 le y le 1 }$
$H_n = {(x, 1/n) mid 0 le x le 1/n }$
所以 $S = L cup igcup_{n=1}^{infty} H_n$.
选择 $a = (0, 0)$，它属于 $L$。
选择 $b = (1, 1)$，它不属于 $S$。
我们应该选择 $S$ 中的两点。
选择 $a = (0, 0) in L$。
选择 $b = (1/2, 1/2)$。 这个点在哪？
如果 $1/2 = 1/n$，则 $n=2$。所以 $b$ 在 $H_2$ 的右端点 $(1/2, 1/2)$ 上。
所以 $a = (0,0)$ 和 $b = (1/2, 1/2)$ 是 $S$ 中的两个点。
现在，设想一条从 $a = (0, 0)$ 到 $b = (1/2, 1/2)$ 的连续路径 $gamma: [0, 1] o S$。
$gamma(0) = (0, 0)$
$gamma(1) = (1/2, 1/2)$
对于所有的 $t in [0, 1]$， $gamma(t) in S$.
分析路径 $gamma(t) = (x(t), y(t))$。
由于 $a = (0,0)$ 在 $L$ 上，而 $b = (1/2, 1/2)$ 在 $H_2$ 上，并且 $y$ 坐标从 $0$ 变到 $1/2$。
关键点： 观察 $S$ 的结构。 $S$ 的所有点要么在 $y$ 轴上（$x=0$），要么在某个高度 $y=1/n$ 的水平线段上，并且这些水平线段的 $x$ 坐标都在 $[0, 1/n]$ 范围内。
考虑路径的 $y$ 坐标 $y(t)$。
因为 $gamma(0) = (0,0)$，所以 $gamma(t)$ 的 $y$ 坐标 $y(t)$ 必须是连续变化的。
当 $gamma(t)$ 在 $L$ 上时，它的 $x$ 坐标是 $0$。
当 $gamma(t)$ 在某条 $H_n$ 上时，它的 $y$ 坐标是 $1/n$，且 $x$ 坐标在 $[0, 1/n]$ 之间。
假设路径 $gamma(t)$ 存在。
考虑路径上 $y$ 坐标第一次达到 $1/2$ 的点。设这个点是 $gamma(t_0) = (x(t_0), 1/2)$。
根据 $S$ 的定义，如果 $y=1/2$，那么这个点要么在 $L$ 上，要么在 $H_n$ 上。
如果 $y=1/2$ 且点在 $L$ 上，那么点是 $(0, 1/2)$。
如果 $y=1/2$ 且点在 $H_n$ 上，那么 $1/2 = 1/n$，所以 $n=2$。这个点在 $H_2$ 上，所以其 $x$ 坐标 $x(t_0)$ 必须在 $[0, 1/2]$ 之间。
情况 1：路径 $gamma(t)$ 严格地在 $y$ 轴上从 $(0,0)$ 移动到 $(0, 1/2)$，然后从 $(0, 1/2)$ 移动到 $(1/2, 1/2)$。
也就是说，$gamma(t) = (0, y(t))$ 当 $t in [0, t_1]$，然后 $gamma(t) = (x(t), 1/2)$ 当 $t in [t_1, 1]$。
如果 $gamma(t)$ 在 $y$ 轴上从 $(0,0)$ 到 $(0, 1/2)$，那么 $x(t) = 0$ for all $t in [0, t_1]$。
然后它要从 $(0, 1/2)$ 移动到 $(1/2, 1/2)$。
问题在于： 从 $(0, 1/2)$ 到 $(1/2, 1/2)$ 的这段路径，必须完全在 $S$ 中。
如果路径从 $(0, 1/2)$ 开始，它必须沿着 $L$ 继续向上，或者必须“跳跃”到 $H_n$ 上。
如果我们设法让 $gamma(t)$ 第一次遇到 $y=1/2$ 的高度是在 $(0, 1/2)$ 这个点上， 那么 $t_0$ 使得 $gamma(t_0) = (0, 1/2)$。
为了到达 $(1/2, 1/2)$，路径必须离开 $y$ 轴。
但是！ $S$ 构成了一个“梳子”状的结构。竖直的“梳背”是 $L$，水平的“梳齿”是 $H_n$。
任何一条从 $y$ 轴上点 $(0, y_0)$ ($y_0 > 0$) 到 $H_n$ 上的点 $(x, 1/n)$ 的路径，如果 $y_0 eq 1/n$（例如，从 $(0, 1/2)$ 到 $(1/2, 1/2)$），那么这条路径在 $y$ 坐标上必须跨越 $1/n$ 这个值。
考虑路径 $gamma$ 的 $y$ 坐标 $y(t)$。
$y(0) = 0$.
$y(1) = 1/2$.
路径 $gamma$ 必须经过 $y$ 坐标为 $1/n$ 的水平线段 $H_n$。
关键点： 路径 $gamma$ 的 $y$ 坐标 $y(t)$ 是从 $0$ 变化到 $1/2$ 的。
当 $y(t)$ 变化时，如果它第一次“接触”到某个 $1/n$ 时，它就“进入”了 $H_n$。
问题在于： $L$ 上的点 $(0, 1/n)$ 和 $(0, 1/(n+1))$ 之间， $y$ 坐标是连续变化的，但 $L$ 上的点 $(0, y)$ 只有当 $y = 1/n$ 的时候，才能“连接”到 $H_n$。
考虑路径 $gamma$ 的 $y$ 坐标 $y(t)$。
$y(0)=0$. $y(1)=1/2$.
必存在 $t_0$ 使得 $y(t_0) = 1/n$ 对于某个 $n in {1, 2, 3, ...}$。
如果 $y(t)$ 第一次达到 $1/2$ 是在 $x=0$ 的点 $(0, 1/2)$， 那么 $gamma(t_0) = (0, 1/2)$.
为了达到 $(1/2, 1/2)$，路径必须离开 $y$ 轴。
但是！ 路径 $gamma$ 必须始终保持在 $S$ 中。
一旦 $gamma(t)$ 的 $y$ 坐标变为 $1/2$，它就必须在 $H_2$ 上，也就是 $gamma(t) = (x(t), 1/2)$ 且 $0 le x(t) le 1/2$。
更深入地： 考虑路径 $gamma$ 的 $y$ 坐标 $y(t)$。当 $y(t)$ 变化时，它会“穿过” $y$ 轴上的点 $(0, 1/n)$。
假设存在一条从 $(0,0)$ 到 $(1/2, 1/2)$ 的路径 $gamma(t) = (x(t), y(t))$。
观察： $S$ 中的点 $(x,y)$ 满足以下条件之一：
$x=0$ 且 $0 le y le 1$ (在 $L$ 上)
$y = 1/n$ 且 $0 le x le 1/n$ (在 $H_n$ 上)
关键在于： 路径 $gamma$ 的 $y$ 坐标 $y(t)$ 必须连续变化。
考虑 $y(t)$ 达到 $1/2$ 的那个时刻 $t_0$。 此时 $gamma(t_0) = (x(t_0), 1/2)$。
根据 $S$ 的定义，如果 $y=1/2$，那么 $x$ 必须在 $[0, 1/2]$ 之间，并且这个点是在 $H_2$ 上。
所以，$gamma(t_0)$ 必然是 $H_2$ 上的一个点。
现在，我们考虑路径 $gamma$ 的 $y$ 坐标。
$y(0)=0$. $y(1)=1/2$.
如果路径 $gamma$ 始终保持在 $y$ 轴上（$x(t)=0$）直到 $y=1/2$，那么它会在 $(0, 1/2)$ 处。
从 $(0, 1/2)$ 开始，它必须进入 $H_2$ 才能到达 $(1/2, 1/2)$。
但是！ $H_2$ 是一个水平线段，它从 $(0, 1/2)$ 开始，向右延伸到 $(1/2, 1/2)$。
所以，如果我们有一条路径，它先沿着 $L$ 走到 $(0, 1/2)$，然后沿着 $H_2$ 走到 $(1/2, 1/2)$，这确实是一条有效的路径！
我刚才的论证是错的！
让我们重新审视“拓扑学家的门廊”这个例子。
它之所以不是道路连通，是因为 $(0,0)$ 和 $H_n$ 上的点之间无法直接连接。
正确的证明点选择：
点 $a = (0, 0) in L$.
点 $b = (1, 1)$ 我的例子构造可能有点问题，$(1,1)$ 不一定在 $S$ 上。
换回更经典的构造：
$L = {(0, y) mid 0 le y le 1 }$
$H_n = {(x, 1/n) mid 0 < x le 1/n }$ 注意这里 $x > 0$ ！！！
这个细微的修改非常关键！ $H_n$ 的左端点 $(0, 1/n)$ 不包含 在 $H_n$ 中。
那么 $S = L cup igcup_{n=1}^{infty} H_n$
这样，我们来证明 $S$ 不是道路连通的。
选择点 $a = (0, 0) in L$.
选择点 $b = (1, 1)$. (假设 $H_1$ 的右端点是 $(1,1)$，那就意味着 $n=1$, $1/n=1$。所以 $H_1 = {(x, 1) mid 0 < x le 1 }$ )
那么 $S = {(0, y) mid 0 le y le 1 } cup igcup_{n=1}^{infty} {(x, 1/n) mid 0 < x le 1/n }$.
选择 $a = (0, 0)$ 和 $b = (1, 1)$。
设存在一条连续路径 $gamma: [0, 1] o S$ 使得 $gamma(0) = (0, 0)$ 且 $gamma(1) = (1, 1)$。
令 $gamma(t) = (x(t), y(t))$。
$y(0) = 0$, $y(1) = 1$.
现在考虑 $y(t)$ 在 $[0, 1]$ 上的取值。
关键是 $L$ 上的点 $(0, 1/n)$。 根据我们修改后的定义，$H_n$ 的左端点 $(0, 1/n)$ 不属于 $H_n$。
因此，如果 $gamma(t)$ 正在 $y$ 轴上移动，也就是 $x(t) = 0$，它只能在 $L$ 上。
那么，如果 $y(t)$ 某个时刻的值恰好是 $1/n$，它就“停留在” $L$ 上的点 $(0, 1/n)$。
为了从 $L$ 上的点 $(0, 1/n)$ 移动到 $H_n$ 上的一个点 $(x, 1/n)$ ($x > 0$)， $gamma$ 必须“跳跃”到 $H_n$ 上。
但是，如果 $gamma$ 正在 $y$ 轴上，即 $x(t)=0$，它不可能“跳跃”到 $H_n$ 上，因为 $H_n$ 的左端点 $(0, 1/n)$ 不属于 $H_n$。
更严谨地说： 假设 $gamma(t)$ 的 $y$ 坐标在 $t_0$ 时刻达到 $1/n$。
如果 $gamma(t_0)$ 是 $L$ 上的点 $(0, 1/n)$，那么为了继续前进到 $H_n$ 上的点 $(x, 1/n)$ ($x>0$)， $gamma$ 必须从 $(0, 1/n)$ 转移到 $H_n$。
问题是： 如果 $gamma(t)$ 沿着 $L$ 移动，它的 $x$ 坐标始终为 $0$。
考虑路径 $gamma$ 的 $y$ 坐标 $y(t)$。 $y(0)=0$, $y(1)=1$.
我们考虑 $y$ 坐标为 $1$ 的高度。 $gamma(1) = (1, 1)$.
如果 $gamma$ 沿着 $y$ 轴到达 $(0, 1)$，然后要到 $(1, 1)$。
但是！ $H_n$ 的定义是 $0 < x le 1/n$。
所以，对于 $y=1$，只有 $H_1$ 这一条线段，它从 $(0, 1)$ 开始，延伸到 $(1, 1)$。
但是 $H_1$ 的左端点 $(0, 1)$ 不包含在 $H_1$ 中！
这意味着，任何一条从 $L$ 上的点 $(0, y_0)$ ($y_0 < 1$) 无法“直接”连接到 $H_n$ 上的点。
让我们换一种方式来思考。
考虑 $a = (0, 0)$ 和 $b = (0, 1)$。这两点都在 $L$ 上，显然可以被 $L$ 连接。
我们要找的是 $L$ 上的点和 $H_n$ 上的点之间的连接问题。
经典证明：
点 $a = (0, 0) in L$.
点 $b = (1, 1)$， 如果我们定义 $H_1 = {(x, 1) mid 0 < x le 1 }$。
考虑一个从 $a$ 到 $b$ 的路径 $gamma(t) = (x(t), y(t))$。
$y(0) = 0$, $y(1) = 1$.
必存在一个时刻 $t_0$，使得 $y(t_0) = 1/n$ 对于某个 $n$。
当 $y(t)$ 第一次达到 $1/n$ 时， 假设 $gamma(t_0) = (x(t_0), 1/n)$。
根据 $S$ 的定义，如果 $y=1/n$，则 $x$ 必须在 $0 < x le 1/n$ 之间。
重要一点： 如果 $y(t)$ 变化，并且在某个时刻 $y(t_k) = 1/n$ 并且 $x(t_k) = 0$，那么 $gamma(t_k)$ 就是 $L$ 上的点 $(0, 1/n)$。
但是，我们修改的定义 $H_n = {(x, 1/n) mid 0 < x le 1/n }$ 使得 $(0, 1/n)$ 不在 $H_n$ 中！
这意味着，如果路径 $gamma$ 正在 $y$ 轴上移动（$x(t)=0$），它无法“进入”任何一条 $H_n$！
原因： 要进入 $H_n$，路径必须从 $L$ 上的点 $(0, 1/n)$“转移”到 $H_n$ 上的点 $(x, 1/n)$ ($x>0$)。
但是，在 $S$ 的拓扑下，从 $(0, 1/n)$ 到 $H_n$ 上任何一个点的路径，如果 $x$ 坐标必须从 $0$ 变成一个正数，而 $y$ 坐标保持 $1/n$，那么这条路径的 $x$ 坐标会有一个“跳跃”！
更精确地说： 假设存在从 $a=(0,0)$ 到 $b=(1,1)$ 的路径 $gamma$.
$y(0)=0, y(1)=1$.
考虑 $y(t)$ 的值。必存在 $t_1$ 使得 $y(t_1)$ 接近 $1$。
$gamma(1) = (1,1)$ 属于 $H_1 = {(x, 1) mid 0 < x le 1 }$.
考虑 $y(t)$ 第一次达到 $1$ 的那个时刻 $t_0$。 那么 $gamma(t_0) = (x(t_0), 1)$.
根据 $H_1$ 的定义， $x(t_0)$ 必须在 $(0, 1]$ 之间。
但是，如果 $gamma$ 从 $(0,0)$ 开始，并且 $y(t)$ 连续变化，它会“穿过” $y=1/n$ 的高度。
最核心的问题： 考虑 $L$ 上的点 $(0, 1/n)$。这些点是我们“梳齿”的根部。 $H_n$ 是从 $(0, 1/n)$ 开始向右延伸的。
但是！ $H_n$ 的定义是 $0 < x le 1/n$。也就是说，$H_n$ 没有包含它的左端点 $(0, 1/n)$！
所以，任何一条从 $L$ 上的点 $(0, 1/n)$ 出发的连续路径，在 $S$ 中，无法“进入” $H_n$！
为什么？ 假设有一条路径 $gamma(t)$，在 $t=0$ 时 $gamma(0)=(0, 1/n)$。如果 $gamma$ 要进入 $H_n$, 那么 $gamma(t) = (x(t), 1/n)$ 并且 $x(t)>0$。
但是，如果 $gamma$ 沿着 $L$ 移动，其 $x$ 坐标一直为 $0$。
要让 $x(t)$ 从 $0$ 变成一个正数，同时 $y(t)$ 保持 $1/n$（即从 $(0, 1/n)$ 到 $(x, 1/n)$），这条路径必须“离开” $L$ 并“进入” $H_n$。
然而，点 $(0, 1/n)$ 既是 $L$ 的一部分，也是 $H_n$ 的“端点”。
问题的关键在于 $H_n$ 的开区间 $(0, 1/n]$。
设 $a = (0, 0) in L$ 和 $b = (1, 1) in H_1$。
考虑从 $a$ 到 $b$ 的路径 $gamma(t) = (x(t), y(t))$。
$y(0) = 0$, $y(1) = 1$.
当 $y(t)$ 变化时，它总会“经过” $y = 1/n$ 的高度。
令 $t_n$ 是 $y(t)$ 第一次达到 $1/n$ 的时刻。 $gamma(t_n) = (x(t_n), 1/n)$.
如果 $x(t_n) = 0$，那么 $gamma(t_n) = (0, 1/n)$。
但是，因为 $H_n$ 的定义是 $0 < x le 1/n$，所以 $(0, 1/n)$ 不在 $H_n$ 中！
这意味着，如果路径 $gamma$ 走了 $y$ 轴，它就永远无法“接触”到任何一条 $H_n$！
反之，如果路径 $gamma$ 走了 $H_n$，它就永远无法“接触”到 $y$ 轴（除了 $(0,0)$ 本身，但我们讨论的是 $y>0$ 的情况）。
更清晰的解释：
选择 $a = (0, 0) in L$.
选择 $b = (1, 1) in H_1$.
假设存在一条路径 $gamma(t)$ 连接 $a$ 和 $b$.
$gamma(t) = (x(t), y(t))$, $gamma(0)=(0,0), gamma(1)=(1,1)$.
路径 $gamma$ 必须在 $S$ 中。
考虑 $y$ 坐标。 $y(0)=0$. $y(1)=1$.
必存在一个 $t_0$ 使得 $y(t_0) = 1/n$ 对于某个 $n in {1, 2, 3, dots }$.
设 $t_0$ 是 $y(t)$ 第一次“触碰到”某个 $1/n$ 的时刻。
那么 $gamma(t_0)$ 必须在 $S$ 中。
如果 $gamma(t_0)$ 在 $L$ 上，那么 $gamma(t_0) = (0, 1/n)$。
但根据 $H_n$ 的定义，$0 < x le 1/n$，所以 $(0, 1/n)$ 不在 $H_n$ 中。
这意味着，一旦路径 $gamma$ 走到 $y$ 轴上的点 $(0, 1/n)$，它就不能继续前进到 $H_n$ 的任何点，因为它无法“跳跃”过去。
换句话说，任何一条从 $(0,0)$ 出发的路径，如果 $y$ 坐标小于 $1$，它要么始终在 $y$ 轴上 ($x=0$)，要么它在某个 $y$ 坐标上，$y=1/n$，但此时 $x$ 必须是 $0$。
但是，要到达 $(1,1)$，路径必须在 $y=1$ 时 $x$ 坐标是 $1$。
而 $y=1$ 的情况只发生在 $H_1$ 上，即 $H_1 = {(x, 1) mid 0 < x le 1 }$.
关键是： 路径 $gamma$ 在 $y$ 坐标变化的过程中，总会“经过” $y=1/n$ 的高度。
如果路径 $x(t)=0$ 并且 $y(t)$ 连续变化，那么 $y(t)$ 只能在 $(0,0)$ 附近。
如果我们让 $y(t)$ 连续地达到 $1/n$，路径 $gamma$ 就会停留在 $L$ 上的点 $(0, 1/n)$。
由于 $H_n$ 不包含 $(0, 1/n)$，所以无法从 $(0, 1/n)$ 继续沿着 $H_n$ 前进！
想象一下： 你想从 $(0,0)$ 走到 $(1,1)$。你沿着 $y$ 轴走，可以走到 $(0, 0.5)$。但从 $(0, 0.5)$，你要走到 $(1, 0.5)$ (假设 $H_2$ 允许)。但 $H_2$ 只允许你走到 $(0.5, 0.5)$。
更根本的矛盾：
如果路径 $gamma$ 必须在 $S$ 中，那么它的 $y$ 坐标 $y(t)$ 是连续变化的。
假设 $y(t)$ 在某个时刻 $t_0$ 达到 $1/n$。
那么 $gamma(t_0)$ 必须是 $S$ 中的一个点。
如果 $x(t_0) = 0$，那么 $gamma(t_0) = (0, 1/n)$。
但 $(0, 1/n) otin H_n$！
这意味着，路径 $gamma$ 无法从 $y$ 轴上的点 $(0, 1/n)$ “转移”到 $H_n$ 上的任何点。
同理，任何一个在 $H_n$ 上的点 $(x, 1/n)$ ($x>0$) 无法“转移”到 $y$ 轴上的点 $(0, 1/n)$。
所以，任何一条连接 $(0,0)$ 和 $(1,1)$ 的路径，在 $y$ 坐标达到 $1/n$ ($n ge 1$) 的时候，如果 $x$ 坐标是 $0$，它就“卡在了” $y$ 轴上，无法前进到 $H_n$。
反之，如果路径是在 $H_n$ 上，它也无法“回到” $y$ 轴上。
所以，我们无法在 $S$ 中找到一条连续的路径，连接 $L$ 上的点 $(0,0)$ 和 $H_n$ 上的点 $(1/n, 1/n)$（或任何 $H_n$ 上的点）。
总结一下：
连通性： $L$ 上的点 $(0, 1/n)$ 和 $(0, 1/(n+1))$ 之间的 $L$ 上的那段弧，可以看作是连接了 $H_n$ 和 $H_{n+1}$ 的“根部”。通过这些连接点，所有的小水平线段 $H_n$ 都被“拉”到了 $y$ 轴上的那条线段 $L$ 上，使得整个集合 $S$ 是一个整体，无法被分割。
非道路连通性： 这是因为 $H_n$ 的定义 $0 < x le 1/n$ 使得它们不包含它们的左端点 $(0, 1/n)$。这造成了“断裂”。
任何一条从 $y$ 轴出发的路径，如果 $y$ 坐标恰好是 $1/n$，它只能停留在 $L$ 上的 $(0, 1/n)$。由于 $(0, 1/n)$ 不在 $H_n$ 中，路径就无法从 $L$ 转移到 $H_n$。
反之，任何一条在 $H_n$ 上的路径，也无法“跳跃”回 $y$ 轴上的点 $(0, 1/n)$。
因此，我们无法找到一条连续的路径，连接 $L$ 上的一个点（比如 $(0,0)$）和 $H_n$ 上的一个点（比如 $(1,1)$，这里假设 $H_1$ 的右端点是 $(1,1)$）。
这个“拓扑学家的门廊”以一种非常形象的方式展现了拓扑学中连通性和道路连通性的细微差别。一个空间在整体上是“连成一片”的，但你却找不到具体的“路”来连接其中的一些点。
首先，我们得明白几个基本概念。
连通（Connected）： 一个拓扑空间如果不能被分成两个不相交的非空开集，那么它就是连通的。简单来说，就是你无法在空间里找到一条“界线”，把空间切成两块互不相连的部分。在一个点集里，这意味着你从空间里的任意一点出发，都可以“到达”空间里的另一点，尽管不一定是沿着一条光滑的路径。
道路连通（Pathconnected）： 一个拓扑空间如果任意两点之间都存在一条连续的路径连接，那么它就是道路连通的。这里的“连续路径”就有点像我们日常理解的“路”，你可以沿着这条路从起点走到终点，中间不能出现跳跃或者断开。
现在，我们来看看“拓扑学家的门廊”是怎么构造的。
想象一下我们生活的二维平面 $mathbb{R}^2$。我们来定义一个集合 $S$，它由两条“曲线”组成：
1. 一条竖直线段： 我们取 $y$ 轴上的点 $(0, y)$，其中 $0 le y le 1$。这就是我们常说的 $y$ 轴上从 $(0,0)$ 到 $(0,1)$ 的那段线。我们称它为 $L$。
2. 一系列水平线段： 对于每一个正整数 $n$，我们在 $y$ 轴上的点 $(0, 1/n)$ 处，画一条水平线段，从 $(0, 1/n)$ 一直延伸到 $(1/n, 1/n)$。我们称这条线段为 $H_n$。
所以，我们的“拓扑学家的门廊” $S$ 就是 $L cup (igcup_{n=1}^{infty} H_n)$。
你可以在脑海里描绘一下这个图形：
一条竖直的线，从原点 $(0,0)$ 向上延伸到 $(0,1)$。
在 $(0,1)$ 这个点，有很多水平的“触角”向右伸展，它们分别位于 $y=1/1, y=1/2, y=1/3, dots$ 这些高度上。离 $y=0$ 越远，这些触角就越密集。
现在，我们来证明为什么 $S$ 是连通但不是道路连通的。
第一部分：证明 $S$ 是连通的。
要证明 $S$ 是连通的，我们需要展示不能用两个不相交的非空开集来“分割”它。
考虑 $y$ 轴上的那条线段 $L$。我们知道，一条线段在 $mathbb{R}^2$ 的标准拓扑下是连通的。
再看看那些水平线段 $H_n$。每一条 $H_n$ 都是一个开区间 $(0, 1/n]$ 与点 $(0, 1/n)$ 的笛卡尔积，在 $mathbb{R}^2$ 的子空间拓扑下，它也是连通的。
关键在于，这些水平线段 $H_n$ 都“连接”到了那条竖直线段 $L$ 上。 具体来说，每条 $H_n$ 的左端点 $(0, 1/n)$ 都落在 $L$ 上。
我们设想一下，如果 $S$ 是不连通的，那么就可以把它分成两个非空开集 $A$ 和 $B$，使得 $S = A cup B$ 且 $A cap B = emptyset$。
考虑点 $(0, 1/2)$。 这个点属于 $S$。我们可以找到 $S$ 中的一个开集 $U$ 使得 $(0, 1/2) in U subset S$。
如果 $(0, 1/2)$ 在 $A$ 里， 那么 $A$ 包含 $L$ 上点 $(0, 1/2)$ 的一小段邻域。由于 $y$ 轴上的线段是连续的，这段邻域会包含 $(0, 1/2)$ 上下附近的一些点。
关键点来了： $y$ 轴上的线段 $L$ 上的点 $(0, 1/n)$ 是所有水平线段 $H_n$ 的“汇聚点”。随着 $n$ 趋于无穷大，点 $(0, 1/n)$ 会越来越接近 $(0,0)$。
假设 $(0, 1/2)$ 属于 $A$。 那么 $A$ 必然包含 $(0, 1/2)$ 的一个包含 $(0, 1/2)$ 的邻域。这个邻域在 $y$ 轴方向上会延伸开来。
考虑 $L$ 上的点 $(0, 1/n)$。 当 $n$ 足够大时，$1/n$ 会比 $1/2$ 更小，也就是说 $(0, 1/n)$ 离 $(0,0)$ 更近。
更直接的思路： 我们可以看到，从 $y$ 轴上的任意一个点 $(0, y_0)$ ($0 < y_0 le 1$) 出发，总能通过 $L$ 找到路径到 $(0,1)$。然后从 $(0,1)$ 出发，我们可以找到任意一条 $H_n$ 的某个点 $(x, 1/n)$。
另一种证明连通性的方法： 假设 $S$ 不连通，则 $S=A cup B$，$A,B$ 为非空不交开集。
若 $A$ 包含 $L$ 上的一段 $(0, y_1)$ 到 $(0, y_2)$，且 $y_2 > 0$。
如果 $A$ 包含 $L$ 上所有点 $(0, 1/n)$，那么 $A$ 中也包含了所有 $H_n$ 的左端点。由于 $A$ 是开集，它会包含 $H_n$ 的一部分。
考虑从 $(0,1)$ 开始，通过 $L$ 达到任何一个 $(0, 1/n)$。再通过 $H_n$ 达到 $(1/n, 1/n)$。
重点在于： $L$ 上的点 $(0, 1/n)$ 和 $(0, 1/(n+1))$ 之间的那段 $L$ 上的弧，连接了 $H_n$ 和 $H_{n+1}$（通过它们左侧的端点）。
更直观地理解： 想象一下，你要把 $S$ 分成两半。你可能想在 $y$ 轴上画条线。但问题是，即使你在这条线上切开，所有水平的“触角” $H_n$ 依然通过 $L$ 上的点 $(0, 1/n)$ 连接在一起。你无法切断所有的 $H_n$ 和 $L$ 的联系，而不留下一个“缺口”。
反证法： 假设 $S$ 不连通，则 $S=A cup B$， $A, B$ 为非空不相交的开集。
考虑点 $(0, 0.5)$。它属于 $S$。假设 $(0, 0.5) in A$。
由于 $A$ 是开集，它包含了一个以 $(0, 0.5)$ 为中心的开球（或者在 $S$ 的子空间拓扑下的邻域）。这个邻域必然包含 $L$ 上 $(0, 0.5)$ 附近的一段。
现在考虑 $y=1/n$ 的水平线段 $H_n$。对于任意 $n$ 只要 $1/n < 0.5$，那么 $(0, 1/n)$ 就在 $L$ 的 $(0, 0.5)$ 的下方。
关键点： $L$ 上的点 $(0, 1/n)$ 是 $H_n$ 的一部分。
如果 $A$ 包含 $L$ 上某一点 $(0, y_0)$，$y_0 in (0, 1]$，并且 $A$ 是开集，那么 $A$ 必须包含 $L$ 上 $(0, y_0)$ 的某个小段。
考虑 $A$ 包含了 $L$ 上的一段。 如果 $A$ 包含了 $L$ 上 $(0, y_1)$ 和 $(0, y_2)$ ($y_1 < y_2$)，那么它也包含了它们之间的那段 $L$。
重点： 存在一个 $N$，使得对于所有 $n > N$， $1/n < y_1$（如果 $y_1 > 0$）。
更强的论证： 考虑 $L$ 上的点 $(0, y)$，$0 le y le 1$。
取 $a = (0, 0.5) in S$。假设 $a in A$。
$A$ 包含 $L$ 上 $(0, 0.5)$ 的一个邻域 $U_L = {(0, y) mid |y 0.5| < epsilon }$，其中 $0 < epsilon < 0.5$。
那么 $U_L$ 包含 $L$ 上从 $(0, 0.5epsilon)$ 到 $(0, 0.5+epsilon)$ 的一段。
现在考虑 $L$ 上的点 $(0, 1/n)$。当 $n$ 足够大时，$1/n < 0.5epsilon$。
我们来看 $L$ 上的点 $(0, 1/n)$。 这些点都属于 $S$。
如果 $A$ 包含了 $L$ 上所有点 $(0, 1/n)$，那么 $A$ 就包含了所有 $H_n$ 的左端点。 由于 $A$ 是开集，它还包含了 $H_n$ 的一部分。
如果 $A$ 包含了 $L$ 上从 $(0, y_1)$ 到 $(0, y_2)$ 的一段，并且 $y_1 > 0$，那么 $A$ 包含了 $L$ 上所有高度小于 $y_1$ 的点 $(0, 1/n)$（只要 $1/n < y_1$）。
最终归结为： $L$ 上的点 $(0, 1/n)$ 构成了一个收敛于 $(0,0)$ 的点列。而 $S$ 的所有其他点都“连接”到 $L$ 的这些点上。
假设 $S = A cup B$， $A cap B = emptyset$，$A, B eq emptyset$。
设 $(0, 0.5) in A$。由于 $A$ 是开集，它包含 $L$ 上 $(0, 0.5)$ 的一个邻域。
现在考虑 $L$ 上的点 $(0, 1/n)$。当 $n$ 很大时，$1/n$ 接近 $0$。
关键是 $L$ 上的点 $(0, 1/n)$ 使得 $H_n$ 连接到 $L$。
考虑 $A$ 包含 $L$ 上 $(0, y_0)$ ($y_0 in (0, 1]$)。 如果 $A$ 包含了 $L$ 上的点 $(0, 1/n)$，那么 $A$ 也包含 $H_n$ 的一部分。
这个证明更规范的方式是使用开集的定义。 任何一个包含 $L$ 上点 $(0, y_0)$ ($y_0 > 0$) 的开集 $U$，在 $S$ 的子空间拓扑下，必然包含 $L$ 上 $(0, y_0)$ 的一个邻域 $N(0, y_0) = {(0, y) in S mid |y y_0| < delta}$。
我们注意到： 存在 $N$ 使得对于所有 $n > N$， $1/n < y_0$.
这样，如果 $A$ 包含了 $L$ 的一个点 $(0, y_0)$ 且 $y_0 > 0$，那么 $A$ 就包含了 $L$ 上的一个区间，从而包含了 $L$ 上所有高度小于 $y_0$ 的点 $(0, 1/n)$。
那么，如果 $A$ 包含了 $L$ 上的某个点 $(0, y_0)$，并且 $y_0 > 0$，那么 $A$ 就会包含 $L$ 上从 $(0,0)$ 到 $(0, y_0)$ 的整段（包括 $(0,0)$），以及所有 $(0, 1/n)$。
最简洁的思路： 考虑 $L$ 上的点 $(0, y)$。对任何 $y > 0$，点 $(0, y)$ 都可以通过 $L$ 上的那段连接到 $(0, 1/n)$（只要 $y > 1/n$），然后通过 $H_n$ 连接到 $(1/n, 1/n)$。
连通性： $L$ 上的点 $(0, 1/n)$ 和 $(0, 1/(n+1))$ 之间的 $L$ 上的那段弧，可以看作是连接了 $H_n$ 的左端点和 $H_{n+1}$ 的左端点。
关键在于 $(0,0)$。 点 $(0,0)$ 属于 $L$。所有 $H_n$ 的左端点 $(0, 1/n)$ 构成的序列收敛于 $(0,0)$。
假设 $S = A cup B$, $A cap B = emptyset$，$A, B eq emptyset$。
设 $(0, 0) in A$.
那么 $A$ 包含 $(0, 0)$ 的一个邻域。这个邻域在 $S$ 中的“形状”是 $(0,0)$ 附近 $L$ 的一小段。
由于 $1/n o 0$，必然存在一个 $N$ 使得对于所有 $n ge N$， $1/n$ 都在 $A$ 的这个邻域中。
所以 $A$ 包含 $L$ 上的点 $(0, 1/n)$ (对于 $n ge N$)，并且包含 $H_n$ 的左端点。
最简明扼要的证明（针对连通性）： 设 $X = S$. 考虑 $Y = L$ 是 $X$ 的一个子集。 $Y$ 在 $X$ 的子空间拓扑下是连通的。 任何一个 $H_n$ 也都是连通的。 $H_n$ 和 $L$ 的左端点 $(0, 1/n)$ 相交。
从一个集合的连通性传递到联合的连通性： 如果 $Y$ 是连通的，并且 $Y cup Z$ 是一个集合，如果 $Y cap Z eq emptyset$ 且 $Z$ 是连通的，那么 $Y cup Z$ 也是连通的。
我们可以把 $S$ 看作是 $L$ 和所有 $H_n$ 的“逐步”连接。 $L$ 是连通的。 $L cup H_1$ 是连通的（因为 $H_1$ 的左端点在 $L$ 上）。 $(L cup H_1) cup H_2$ 也是连通的（因为 $H_2$ 的左端点在 $L$ 上，所以它和 $L cup H_1$ 的交非空）。以此类推，整个 $S$ 都是连通的。
更严格的说，设 $C_0 = L$， $C_n = H_n$。 $C_0$ 连通。 $C_0 cap C_1 eq emptyset$ ($ (0, 1)$ 是 $H_1$ 的左端点，也在 $L$ 上)。 $C_1$ 连通。 因此 $C_0 cup C_1$ 连通。
设 $U_k = L cup (igcup_{i=1}^k H_i)$。 $U_0 = L$ 连通。 $U_k = U_{k1} cup H_k$。 $U_{k1}$ 连通，$H_k$ 连通，且 $U_{k1} cap H_k eq emptyset$ (因为 $H_k$ 的左端点 $(0, 1/k)$ 在 $L$ 上，所以也在 $U_{k1}$ 中)。因此 $U_k$ 连通。
$S = igcup_{k=0}^{infty} U_k$。由于每个 $U_k$ 连通且 $U_k subset U_{k+1}$，所以它们的并集 $S$ 也是连通的。
第二部分：证明 $S$ 不是道路连通的。
为了证明 $S$ 不是道路连通的，我们需要找到 $S$ 中的两点，使得它们之间不存在一条连续的路径。
选择这两点： 让我们选择点 $a = (0, 0)$ (也就是 $L$ 的底端点) 和点 $b = (1, 1)$ (我们假设 $H_1$ 的右端点是 $(1,1)$，为了简化，我们实际上可以取 $b = (1/2, 1)$ 使得它在 $H_1$ 上，或者更普遍地，取 $b = (1/n, 1/n)$ 这样的点)。
为了简洁，我们取 $a = (0,0)$ 和 $b = (1,1)$。 （注意：我的初始定义 $H_n$ 的右端点是 $(1/n, 1/n)$，所以 $(1,1)$ 并不直接在 $S$ 上。这里是个小错误，我们修正一下。）
修正选择的点：
点 $a = (0, 0)$。
点 $b$ 随便取一个 $H_n$ 的右端点，比如 $b = (1, 1)$， 假设我们定义 $H_n$ 的范围是 $[0, 1/n]$ 那么 $H_1$ 的右端点是 $(1,1)$。 (再修正：我的定义 $H_n$ 是从 $(0, 1/n)$ 到 $(1/n, 1/n)$。所以 $(1,1)$ 是不在 $S$ 上的。)
让我们换个思路，选择 $a = (0, 0)$ 和 $b = (1, 1)$ 是不行的。
正确的选择：
点 $a = (0, 0)$，它属于 $L$。
点 $b$ 随便取一条 $H_n$ 上的点，比如 $b = (1, 1)$， 但 $(1,1)$ 不在我们构造的 $S$ 里。
让我们重新考虑 $H_n$ 的定义。
$L = {(0, y) mid 0 le y le 1 }$
$H_n = {(x, 1/n) mid 0 le x le 1/n }$
所以 $S = L cup igcup_{n=1}^{infty} H_n$.
选择 $a = (0, 0)$，它属于 $L$。
选择 $b = (1, 1)$，它不属于 $S$。
我们应该选择 $S$ 中的两点。
选择 $a = (0, 0) in L$。
选择 $b = (1/2, 1/2)$。 这个点在哪？
如果 $1/2 = 1/n$，则 $n=2$。所以 $b$ 在 $H_2$ 的右端点 $(1/2, 1/2)$ 上。
所以 $a = (0,0)$ 和 $b = (1/2, 1/2)$ 是 $S$ 中的两个点。
现在，设想一条从 $a = (0, 0)$ 到 $b = (1/2, 1/2)$ 的连续路径 $gamma: [0, 1] o S$。
$gamma(0) = (0, 0)$
$gamma(1) = (1/2, 1/2)$
对于所有的 $t in [0, 1]$， $gamma(t) in S$.
分析路径 $gamma(t) = (x(t), y(t))$。
由于 $a = (0,0)$ 在 $L$ 上，而 $b = (1/2, 1/2)$ 在 $H_2$ 上，并且 $y$ 坐标从 $0$ 变到 $1/2$。
关键点： 观察 $S$ 的结构。 $S$ 的所有点要么在 $y$ 轴上（$x=0$），要么在某个高度 $y=1/n$ 的水平线段上，并且这些水平线段的 $x$ 坐标都在 $[0, 1/n]$ 范围内。
考虑路径的 $y$ 坐标 $y(t)$。
因为 $gamma(0) = (0,0)$，所以 $gamma(t)$ 的 $y$ 坐标 $y(t)$ 必须是连续变化的。
当 $gamma(t)$ 在 $L$ 上时，它的 $x$ 坐标是 $0$。
当 $gamma(t)$ 在某条 $H_n$ 上时，它的 $y$ 坐标是 $1/n$，且 $x$ 坐标在 $[0, 1/n]$ 之间。
假设路径 $gamma(t)$ 存在。
考虑路径上 $y$ 坐标第一次达到 $1/2$ 的点。设这个点是 $gamma(t_0) = (x(t_0), 1/2)$。
根据 $S$ 的定义，如果 $y=1/2$，那么这个点要么在 $L$ 上，要么在 $H_n$ 上。
如果 $y=1/2$ 且点在 $L$ 上，那么点是 $(0, 1/2)$。
如果 $y=1/2$ 且点在 $H_n$ 上，那么 $1/2 = 1/n$，所以 $n=2$。这个点在 $H_2$ 上，所以其 $x$ 坐标 $x(t_0)$ 必须在 $[0, 1/2]$ 之间。
情况 1：路径 $gamma(t)$ 严格地在 $y$ 轴上从 $(0,0)$ 移动到 $(0, 1/2)$，然后从 $(0, 1/2)$ 移动到 $(1/2, 1/2)$。
也就是说，$gamma(t) = (0, y(t))$ 当 $t in [0, t_1]$，然后 $gamma(t) = (x(t), 1/2)$ 当 $t in [t_1, 1]$。
如果 $gamma(t)$ 在 $y$ 轴上从 $(0,0)$ 到 $(0, 1/2)$，那么 $x(t) = 0$ for all $t in [0, t_1]$。
然后它要从 $(0, 1/2)$ 移动到 $(1/2, 1/2)$。
问题在于： 从 $(0, 1/2)$ 到 $(1/2, 1/2)$ 的这段路径，必须完全在 $S$ 中。
如果路径从 $(0, 1/2)$ 开始，它必须沿着 $L$ 继续向上，或者必须“跳跃”到 $H_n$ 上。
如果我们设法让 $gamma(t)$ 第一次遇到 $y=1/2$ 的高度是在 $(0, 1/2)$ 这个点上， 那么 $t_0$ 使得 $gamma(t_0) = (0, 1/2)$。
为了到达 $(1/2, 1/2)$，路径必须离开 $y$ 轴。
但是！ $S$ 构成了一个“梳子”状的结构。竖直的“梳背”是 $L$，水平的“梳齿”是 $H_n$。
任何一条从 $y$ 轴上点 $(0, y_0)$ ($y_0 > 0$) 到 $H_n$ 上的点 $(x, 1/n)$ 的路径，如果 $y_0 eq 1/n$（例如，从 $(0, 1/2)$ 到 $(1/2, 1/2)$），那么这条路径在 $y$ 坐标上必须跨越 $1/n$ 这个值。
考虑路径 $gamma$ 的 $y$ 坐标 $y(t)$。
$y(0) = 0$.
$y(1) = 1/2$.
路径 $gamma$ 必须经过 $y$ 坐标为 $1/n$ 的水平线段 $H_n$。
关键点： 路径 $gamma$ 的 $y$ 坐标 $y(t)$ 是从 $0$ 变化到 $1/2$ 的。
当 $y(t)$ 变化时，如果它第一次“接触”到某个 $1/n$ 时，它就“进入”了 $H_n$。
问题在于： $L$ 上的点 $(0, 1/n)$ 和 $(0, 1/(n+1))$ 之间， $y$ 坐标是连续变化的，但 $L$ 上的点 $(0, y)$ 只有当 $y = 1/n$ 的时候，才能“连接”到 $H_n$。
考虑路径 $gamma$ 的 $y$ 坐标 $y(t)$。
$y(0)=0$. $y(1)=1/2$.
必存在 $t_0$ 使得 $y(t_0) = 1/n$ 对于某个 $n in {1, 2, 3, ...}$。
如果 $y(t)$ 第一次达到 $1/2$ 是在 $x=0$ 的点 $(0, 1/2)$， 那么 $gamma(t_0) = (0, 1/2)$.
为了达到 $(1/2, 1/2)$，路径必须离开 $y$ 轴。
但是！ 路径 $gamma$ 必须始终保持在 $S$ 中。
一旦 $gamma(t)$ 的 $y$ 坐标变为 $1/2$，它就必须在 $H_2$ 上，也就是 $gamma(t) = (x(t), 1/2)$ 且 $0 le x(t) le 1/2$。
更深入地： 考虑路径 $gamma$ 的 $y$ 坐标 $y(t)$。当 $y(t)$ 变化时，它会“穿过” $y$ 轴上的点 $(0, 1/n)$。
假设存在一条从 $(0,0)$ 到 $(1/2, 1/2)$ 的路径 $gamma(t) = (x(t), y(t))$。
观察： $S$ 中的点 $(x,y)$ 满足以下条件之一：
$x=0$ 且 $0 le y le 1$ (在 $L$ 上)
$y = 1/n$ 且 $0 le x le 1/n$ (在 $H_n$ 上)
关键在于： 路径 $gamma$ 的 $y$ 坐标 $y(t)$ 必须连续变化。
考虑 $y(t)$ 达到 $1/2$ 的那个时刻 $t_0$。 此时 $gamma(t_0) = (x(t_0), 1/2)$。
根据 $S$ 的定义，如果 $y=1/2$，那么 $x$ 必须在 $[0, 1/2]$ 之间，并且这个点是在 $H_2$ 上。
所以，$gamma(t_0)$ 必然是 $H_2$ 上的一个点。
现在，我们考虑路径 $gamma$ 的 $y$ 坐标。
$y(0)=0$. $y(1)=1/2$.
如果路径 $gamma$ 始终保持在 $y$ 轴上（$x(t)=0$）直到 $y=1/2$，那么它会在 $(0, 1/2)$ 处。
从 $(0, 1/2)$ 开始，它必须进入 $H_2$ 才能到达 $(1/2, 1/2)$。
但是！ $H_2$ 是一个水平线段，它从 $(0, 1/2)$ 开始，向右延伸到 $(1/2, 1/2)$。
所以，如果我们有一条路径，它先沿着 $L$ 走到 $(0, 1/2)$，然后沿着 $H_2$ 走到 $(1/2, 1/2)$，这确实是一条有效的路径！
我刚才的论证是错的！
让我们重新审视“拓扑学家的门廊”这个例子。
它之所以不是道路连通，是因为 $(0,0)$ 和 $H_n$ 上的点之间无法直接连接。
正确的证明点选择：
点 $a = (0, 0) in L$.
点 $b = (1, 1)$ 我的例子构造可能有点问题，$(1,1)$ 不一定在 $S$ 上。
换回更经典的构造：
$L = {(0, y) mid 0 le y le 1 }$
$H_n = {(x, 1/n) mid 0 < x le 1/n }$ 注意这里 $x > 0$ ！！！
这个细微的修改非常关键！ $H_n$ 的左端点 $(0, 1/n)$ 不包含 在 $H_n$ 中。
那么 $S = L cup igcup_{n=1}^{infty} H_n$
这样，我们来证明 $S$ 不是道路连通的。
选择点 $a = (0, 0) in L$.
选择点 $b = (1, 1)$. (假设 $H_1$ 的右端点是 $(1,1)$，那就意味着 $n=1$, $1/n=1$。所以 $H_1 = {(x, 1) mid 0 < x le 1 }$ )
那么 $S = {(0, y) mid 0 le y le 1 } cup igcup_{n=1}^{infty} {(x, 1/n) mid 0 < x le 1/n }$.
选择 $a = (0, 0)$ 和 $b = (1, 1)$。
设存在一条连续路径 $gamma: [0, 1] o S$ 使得 $gamma(0) = (0, 0)$ 且 $gamma(1) = (1, 1)$。
令 $gamma(t) = (x(t), y(t))$。
$y(0) = 0$, $y(1) = 1$.
现在考虑 $y(t)$ 在 $[0, 1]$ 上的取值。
关键是 $L$ 上的点 $(0, 1/n)$。 根据我们修改后的定义，$H_n$ 的左端点 $(0, 1/n)$ 不属于 $H_n$。
因此，如果 $gamma(t)$ 正在 $y$ 轴上移动，也就是 $x(t) = 0$，它只能在 $L$ 上。
那么，如果 $y(t)$ 某个时刻的值恰好是 $1/n$，它就“停留在” $L$ 上的点 $(0, 1/n)$。
为了从 $L$ 上的点 $(0, 1/n)$ 移动到 $H_n$ 上的一个点 $(x, 1/n)$ ($x > 0$)， $gamma$ 必须“跳跃”到 $H_n$ 上。
但是，如果 $gamma$ 正在 $y$ 轴上，即 $x(t)=0$，它不可能“跳跃”到 $H_n$ 上，因为 $H_n$ 的左端点 $(0, 1/n)$ 不属于 $H_n$。
更严谨地说： 假设 $gamma(t)$ 的 $y$ 坐标在 $t_0$ 时刻达到 $1/n$。
如果 $gamma(t_0)$ 是 $L$ 上的点 $(0, 1/n)$，那么为了继续前进到 $H_n$ 上的点 $(x, 1/n)$ ($x>0$)， $gamma$ 必须从 $(0, 1/n)$ 转移到 $H_n$。
问题是： 如果 $gamma(t)$ 沿着 $L$ 移动，它的 $x$ 坐标始终为 $0$。
考虑路径 $gamma$ 的 $y$ 坐标 $y(t)$。 $y(0)=0$, $y(1)=1$.
我们考虑 $y$ 坐标为 $1$ 的高度。 $gamma(1) = (1, 1)$.
如果 $gamma$ 沿着 $y$ 轴到达 $(0, 1)$，然后要到 $(1, 1)$。
但是！ $H_n$ 的定义是 $0 < x le 1/n$。
所以，对于 $y=1$，只有 $H_1$ 这一条线段，它从 $(0, 1)$ 开始，延伸到 $(1, 1)$。
但是 $H_1$ 的左端点 $(0, 1)$ 不包含在 $H_1$ 中！
这意味着，任何一条从 $L$ 上的点 $(0, y_0)$ ($y_0 < 1$) 无法“直接”连接到 $H_n$ 上的点。
让我们换一种方式来思考。
考虑 $a = (0, 0)$ 和 $b = (0, 1)$。这两点都在 $L$ 上，显然可以被 $L$ 连接。
我们要找的是 $L$ 上的点和 $H_n$ 上的点之间的连接问题。
经典证明：
点 $a = (0, 0) in L$.
点 $b = (1, 1)$， 如果我们定义 $H_1 = {(x, 1) mid 0 < x le 1 }$。
考虑一个从 $a$ 到 $b$ 的路径 $gamma(t) = (x(t), y(t))$。
$y(0) = 0$, $y(1) = 1$.
必存在一个时刻 $t_0$，使得 $y(t_0) = 1/n$ 对于某个 $n$。
当 $y(t)$ 第一次达到 $1/n$ 时， 假设 $gamma(t_0) = (x(t_0), 1/n)$。
根据 $S$ 的定义，如果 $y=1/n$，则 $x$ 必须在 $0 < x le 1/n$ 之间。
重要一点： 如果 $y(t)$ 变化，并且在某个时刻 $y(t_k) = 1/n$ 并且 $x(t_k) = 0$，那么 $gamma(t_k)$ 就是 $L$ 上的点 $(0, 1/n)$。
但是，我们修改的定义 $H_n = {(x, 1/n) mid 0 < x le 1/n }$ 使得 $(0, 1/n)$ 不在 $H_n$ 中！
这意味着，如果路径 $gamma$ 正在 $y$ 轴上移动（$x(t)=0$），它无法“进入”任何一条 $H_n$！
原因： 要进入 $H_n$，路径必须从 $L$ 上的点 $(0, 1/n)$“转移”到 $H_n$ 上的点 $(x, 1/n)$ ($x>0$)。
但是，在 $S$ 的拓扑下，从 $(0, 1/n)$ 到 $H_n$ 上任何一个点的路径，如果 $x$ 坐标必须从 $0$ 变成一个正数，而 $y$ 坐标保持 $1/n$，那么这条路径的 $x$ 坐标会有一个“跳跃”！
更精确地说： 假设存在从 $a=(0,0)$ 到 $b=(1,1)$ 的路径 $gamma$.
$y(0)=0, y(1)=1$.
考虑 $y(t)$ 的值。必存在 $t_1$ 使得 $y(t_1)$ 接近 $1$。
$gamma(1) = (1,1)$ 属于 $H_1 = {(x, 1) mid 0 < x le 1 }$.
考虑 $y(t)$ 第一次达到 $1$ 的那个时刻 $t_0$。 那么 $gamma(t_0) = (x(t_0), 1)$.
根据 $H_1$ 的定义， $x(t_0)$ 必须在 $(0, 1]$ 之间。
但是，如果 $gamma$ 从 $(0,0)$ 开始，并且 $y(t)$ 连续变化，它会“穿过” $y=1/n$ 的高度。
最核心的问题： 考虑 $L$ 上的点 $(0, 1/n)$。这些点是我们“梳齿”的根部。 $H_n$ 是从 $(0, 1/n)$ 开始向右延伸的。
但是！ $H_n$ 的定义是 $0 < x le 1/n$。也就是说，$H_n$ 没有包含它的左端点 $(0, 1/n)$！
所以，任何一条从 $L$ 上的点 $(0, 1/n)$ 出发的连续路径，在 $S$ 中，无法“进入” $H_n$！
为什么？ 假设有一条路径 $gamma(t)$，在 $t=0$ 时 $gamma(0)=(0, 1/n)$。如果 $gamma$ 要进入 $H_n$, 那么 $gamma(t) = (x(t), 1/n)$ 并且 $x(t)>0$。
但是，如果 $gamma$ 沿着 $L$ 移动，其 $x$ 坐标一直为 $0$。
要让 $x(t)$ 从 $0$ 变成一个正数，同时 $y(t)$ 保持 $1/n$（即从 $(0, 1/n)$ 到 $(x, 1/n)$），这条路径必须“离开” $L$ 并“进入” $H_n$。
然而，点 $(0, 1/n)$ 既是 $L$ 的一部分，也是 $H_n$ 的“端点”。
问题的关键在于 $H_n$ 的开区间 $(0, 1/n]$。
设 $a = (0, 0) in L$ 和 $b = (1, 1) in H_1$。
考虑从 $a$ 到 $b$ 的路径 $gamma(t) = (x(t), y(t))$。
$y(0) = 0$, $y(1) = 1$.
当 $y(t)$ 变化时，它总会“经过” $y = 1/n$ 的高度。
令 $t_n$ 是 $y(t)$ 第一次达到 $1/n$ 的时刻。 $gamma(t_n) = (x(t_n), 1/n)$.
如果 $x(t_n) = 0$，那么 $gamma(t_n) = (0, 1/n)$。
但是，因为 $H_n$ 的定义是 $0 < x le 1/n$，所以 $(0, 1/n)$ 不在 $H_n$ 中！
这意味着，如果路径 $gamma$ 走了 $y$ 轴，它就永远无法“接触”到任何一条 $H_n$！
反之，如果路径 $gamma$ 走了 $H_n$，它就永远无法“接触”到 $y$ 轴（除了 $(0,0)$ 本身，但我们讨论的是 $y>0$ 的情况）。
更清晰的解释：
选择 $a = (0, 0) in L$.
选择 $b = (1, 1) in H_1$.
假设存在一条路径 $gamma(t)$ 连接 $a$ 和 $b$.
$gamma(t) = (x(t), y(t))$, $gamma(0)=(0,0), gamma(1)=(1,1)$.
路径 $gamma$ 必须在 $S$ 中。
考虑 $y$ 坐标。 $y(0)=0$. $y(1)=1$.
必存在一个 $t_0$ 使得 $y(t_0) = 1/n$ 对于某个 $n in {1, 2, 3, dots }$.
设 $t_0$ 是 $y(t)$ 第一次“触碰到”某个 $1/n$ 的时刻。
那么 $gamma(t_0)$ 必须在 $S$ 中。
如果 $gamma(t_0)$ 在 $L$ 上，那么 $gamma(t_0) = (0, 1/n)$。
但根据 $H_n$ 的定义，$0 < x le 1/n$，所以 $(0, 1/n)$ 不在 $H_n$ 中。
这意味着，一旦路径 $gamma$ 走到 $y$ 轴上的点 $(0, 1/n)$，它就不能继续前进到 $H_n$ 的任何点，因为它无法“跳跃”过去。
换句话说，任何一条从 $(0,0)$ 出发的路径，如果 $y$ 坐标小于 $1$，它要么始终在 $y$ 轴上 ($x=0$)，要么它在某个 $y$ 坐标上，$y=1/n$，但此时 $x$ 必须是 $0$。
但是，要到达 $(1,1)$，路径必须在 $y=1$ 时 $x$ 坐标是 $1$。
而 $y=1$ 的情况只发生在 $H_1$ 上，即 $H_1 = {(x, 1) mid 0 < x le 1 }$.
关键是： 路径 $gamma$ 在 $y$ 坐标变化的过程中，总会“经过” $y=1/n$ 的高度。
如果路径 $x(t)=0$ 并且 $y(t)$ 连续变化，那么 $y(t)$ 只能在 $(0,0)$ 附近。
如果我们让 $y(t)$ 连续地达到 $1/n$，路径 $gamma$ 就会停留在 $L$ 上的点 $(0, 1/n)$。
由于 $H_n$ 不包含 $(0, 1/n)$，所以无法从 $(0, 1/n)$ 继续沿着 $H_n$ 前进！
想象一下： 你想从 $(0,0)$ 走到 $(1,1)$。你沿着 $y$ 轴走，可以走到 $(0, 0.5)$。但从 $(0, 0.5)$，你要走到 $(1, 0.5)$ (假设 $H_2$ 允许)。但 $H_2$ 只允许你走到 $(0.5, 0.5)$。
更根本的矛盾：
如果路径 $gamma$ 必须在 $S$ 中，那么它的 $y$ 坐标 $y(t)$ 是连续变化的。
假设 $y(t)$ 在某个时刻 $t_0$ 达到 $1/n$。
那么 $gamma(t_0)$ 必须是 $S$ 中的一个点。
如果 $x(t_0) = 0$，那么 $gamma(t_0) = (0, 1/n)$。
但 $(0, 1/n) otin H_n$！
这意味着，路径 $gamma$ 无法从 $y$ 轴上的点 $(0, 1/n)$ “转移”到 $H_n$ 上的任何点。
同理，任何一个在 $H_n$ 上的点 $(x, 1/n)$ ($x>0$) 无法“转移”到 $y$ 轴上的点 $(0, 1/n)$。
所以，任何一条连接 $(0,0)$ 和 $(1,1)$ 的路径，在 $y$ 坐标达到 $1/n$ ($n ge 1$) 的时候，如果 $x$ 坐标是 $0$，它就“卡在了” $y$ 轴上，无法前进到 $H_n$。
反之，如果路径是在 $H_n$ 上，它也无法“回到” $y$ 轴上。
所以，我们无法在 $S$ 中找到一条连续的路径，连接 $L$ 上的点 $(0,0)$ 和 $H_n$ 上的点 $(1/n, 1/n)$（或任何 $H_n$ 上的点）。
总结一下：
连通性： $L$ 上的点 $(0, 1/n)$ 和 $(0, 1/(n+1))$ 之间的 $L$ 上的那段弧，可以看作是连接了 $H_n$ 和 $H_{n+1}$ 的“根部”。通过这些连接点，所有的小水平线段 $H_n$ 都被“拉”到了 $y$ 轴上的那条线段 $L$ 上，使得整个集合 $S$ 是一个整体，无法被分割。
非道路连通性： 这是因为 $H_n$ 的定义 $0 < x le 1/n$ 使得它们不包含它们的左端点 $(0, 1/n)$。这造成了“断裂”。
任何一条从 $y$ 轴出发的路径，如果 $y$ 坐标恰好是 $1/n$，它只能停留在 $L$ 上的 $(0, 1/n)$。由于 $(0, 1/n)$ 不在 $H_n$ 中，路径就无法从 $L$ 转移到 $H_n$。
反之，任何一条在 $H_n$ 上的路径，也无法“跳跃”回 $y$ 轴上的点 $(0, 1/n)$。
因此，我们无法找到一条连续的路径，连接 $L$ 上的一个点（比如 $(0,0)$）和 $H_n$ 上的一个点（比如 $(1,1)$，这里假设 $H_1$ 的右端点是 $(1,1)$）。
这个“拓扑学家的门廊”以一种非常形象的方式展现了拓扑学中连通性和道路连通性的细微差别。一个空间在整体上是“连成一片”的，但你却找不到具体的“路”来连接其中的一些点。
网友意见
令 ，其中
显然均道路连通，故连通。所以若 不连通，则 是它的两个连通分支，因此 既开又闭（在子空间拓扑下）.
但这是不可能的，因为 的任何一个开圆盘内都包含 中的点，所以 是 的聚点，与 是闭集矛盾。
因此 是连通的。
若 道路连通，那么存在一条连接 与 的道路，设为
由介值性，存在 使得 ，于是 ；再由介值性知存在 使得 ；依次类推可得有界递减序列 ，它存在极限 ，但是
振荡，矛盾。
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