怎么证明方程 x^4＋4x^3－3x^2－x＝0 有 4 个实根？
好的，我们来深入探讨一下如何证明方程 $x^4 + 4x^3 3x^2 x = 0$ 拥有四个实根。这道题目考察的不仅仅是代数技巧，更重要的是对函数性质的理解，特别是导数在分析函数单调性和零点问题上的应用。
第一步：初步观察与简化方程
首先，我们注意到方程的左边各项都包含因子 $x$。这是一个非常关键的起点，我们可以很容易地将 $x$ 提出来：
$x(x^3 + 4x^2 3x 1) = 0$
从这里我们立刻可以看到，方程的一个根是 $x = 0$。
现在，我们的任务就转化为了证明另一个三次多项式方程 $P(x) = x^3 + 4x^2 3x 1 = 0$ 拥有三个实根。如果能证明这一点，那么原方程就有了 $x=0$ 和 $P(x)$ 的三个实根，总共就是四个实根。
第二步：利用导数分析三次多项式 $P(x)$ 的性质
对于一个三次多项式，要判断它有多少个实根，最有效的方法之一就是利用其导数来分析函数的单调性。
我们设 $P(x) = x^3 + 4x^2 3x 1$。
求其导数 $P'(x)$:
$P'(x) = 3x^2 + 8x 3$
导数 $P'(x)$ 是一个二次函数。我们知道，二次函数有零点时，原函数（在这里是 $P(x)$）就会有极值点（局部最大值或局部最小值）。如果一个三次函数有两个不同的极值点，那么它至少会有三个实根。
我们来找到 $P'(x) = 0$ 的根，也就是 $P(x)$ 的驻点：
$3x^2 + 8x 3 = 0$
这是一个标准的二次方程，我们可以使用求根公式来求解：
$x = frac{b pm sqrt{b^2 4ac}}{2a}$
在这里，$a = 3$, $b = 8$, $c = 3$。
$x = frac{8 pm sqrt{8^2 4(3)(3)}}{2(3)}$
$x = frac{8 pm sqrt{64 + 36}}{6}$
$x = frac{8 pm sqrt{100}}{6}$
$x = frac{8 pm 10}{6}$
我们得到两个不同的驻点：
$x_1 = frac{8 + 10}{6} = frac{2}{6} = frac{1}{3}$
$x_2 = frac{8 10}{6} = frac{18}{6} = 3$
这意味着 $P(x)$ 在 $x = 1/3$ 和 $x = 3$ 这两个点有极值。由于 $P'(x)$ 是一个开口向上的抛物线，并且有两个根，所以：
当 $x < 3$ 时，$P'(x) > 0$， $P(x)$ 单调递增。
当 $3 < x < 1/3$ 时，$P'(x) < 0$， $P(x)$ 单调递减。
当 $x > 1/3$ 时，$P'(x) > 0$， $P(x)$ 单调递增。
第三步：评估极值点的函数值，判断根的存在
一个三次多项式，如果其局部最大值大于零，并且局部最小值小于零，那么它一定有三个实根。我们现在来计算在这些驻点处的函数值：
计算 $P(3)$（局部最大值）：
$P(3) = (3)^3 + 4(3)^2 3(3) 1$
$P(3) = 27 + 4(9) + 9 1$
$P(3) = 27 + 36 + 9 1$
$P(3) = 9 + 9 1 = 17$
所以，在 $x = 3$ 处，函数 $P(x)$ 取得局部最大值 $17$。
计算 $P(1/3)$（局部最小值）：
$P(1/3) = (1/3)^3 + 4(1/3)^2 3(1/3) 1$
$P(1/3) = 1/27 + 4(1/9) 1 1$
$P(1/3) = 1/27 + 4/9 2$
为了计算方便，我们找到公分母 $27$：
$P(1/3) = 1/27 + (4 imes 3)/(9 imes 3) (2 imes 27)/27$
$P(1/3) = 1/27 + 12/27 54/27$
$P(1/3) = (1 + 12 54)/27 = (13 54)/27 = 41/27$
所以，在 $x = 1/3$ 处，函数 $P(x)$ 取得局部最小值 $41/27$。
第四步：综合分析，得出结论
我们已经知道：
1. $P(x)$ 在 $x < 3$ 时单调递增，并且当 $x o infty$ 时，$P(x) o infty$。
2. 在 $x = 3$ 时，$P(3) = 17$（局部最大值）。
3. 在 $3 < x < 1/3$ 时，$P(x)$ 单调递减。
4. 在 $x = 1/3$ 时，$P(1/3) = 41/27$（局部最小值）。
5. 在 $x > 1/3$ 时，$P(x)$ 单调递增，并且当 $x o +infty$ 时，$P(x) o +infty$。
现在我们可以应用介值定理 (Intermediate Value Theorem) 来确定根的存在：
根的区域一：$(infty, 3)$
因为 $P(x) o infty$ 当 $x o infty$，且 $P(3) = 17 > 0$，根据介值定理，在区间 $(infty, 3)$ 上必定存在至少一个实根。由于 $P(x)$ 在此区间单调递增，这个根是唯一的。
根的区域二：$(3, 1/3)$
因为 $P(3) = 17 > 0$，且 $P(1/3) = 41/27 < 0$，根据介值定理，在区间 $(3, 1/3)$ 上必定存在至少一个实根。由于 $P(x)$ 在此区间单调递减，这个根是唯一的。
根的区域三：$(1/3, +infty)$
因为 $P(1/3) = 41/27 < 0$，且 $P(x) o +infty$ 当 $x o +infty$，根据介值定理，在区间 $(1/3, +infty)$ 上必定存在至少一个实根。由于 $P(x)$ 在此区间单调递增，这个根是唯一的。
综合以上分析，我们证明了三次多项式 $P(x) = x^3 + 4x^2 3x 1 = 0$ 拥有三个不同的实根。
第五步：最终结论
我们最初将原方程 $x^4 + 4x^3 3x^2 x = 0$ 分解为 $x(x^3 + 4x^2 3x 1) = 0$。
我们已经证明了：
1. $x = 0$ 是原方程的一个实根。
2. $x^3 + 4x^2 3x 1 = 0$ 有三个实根，并且这三个根都不等于 $0$（因为 $P(0) = 1 eq 0$）。
因此，原方程 $x^4 + 4x^3 3x^2 x = 0$ 共有 $1 + 3 = 4$ 个实根。
总结一下证明思路：
1. 因式分解： 将方程提取公因式 $x$，得到 $x=0$ 是一个根，并将问题转化为证明一个三次多项式方程有三个实根。
2. 导数分析： 对三次多项式求导，找到其导数的零点（即原函数极值点的位置）。
3. 极值计算： 计算三次多项式在极值点处的函数值。
4. 介值定理应用： 根据极值点的函数值符号和函数在无穷远处的行为，结合介值定理判断根的存在区间。如果存在一个局部最大值大于零且一个局部最小值小于零，那么该三次多项式必有三个实根。
5. 最终组合： 将之前得到的 $x=0$ 的根与三次多项式方程的三个实根合并，得出原方程总共有四个实根。
这个过程展示了微积分工具（导数和介值定理）在解决多项式方程根的问题上的强大威力。
第一步：初步观察与简化方程
首先，我们注意到方程的左边各项都包含因子 $x$。这是一个非常关键的起点，我们可以很容易地将 $x$ 提出来：
$x(x^3 + 4x^2 3x 1) = 0$
从这里我们立刻可以看到，方程的一个根是 $x = 0$。
现在，我们的任务就转化为了证明另一个三次多项式方程 $P(x) = x^3 + 4x^2 3x 1 = 0$ 拥有三个实根。如果能证明这一点，那么原方程就有了 $x=0$ 和 $P(x)$ 的三个实根，总共就是四个实根。
第二步：利用导数分析三次多项式 $P(x)$ 的性质
对于一个三次多项式，要判断它有多少个实根，最有效的方法之一就是利用其导数来分析函数的单调性。
我们设 $P(x) = x^3 + 4x^2 3x 1$。
求其导数 $P'(x)$:
$P'(x) = 3x^2 + 8x 3$
导数 $P'(x)$ 是一个二次函数。我们知道，二次函数有零点时，原函数（在这里是 $P(x)$）就会有极值点（局部最大值或局部最小值）。如果一个三次函数有两个不同的极值点，那么它至少会有三个实根。
我们来找到 $P'(x) = 0$ 的根，也就是 $P(x)$ 的驻点：
$3x^2 + 8x 3 = 0$
这是一个标准的二次方程，我们可以使用求根公式来求解：
$x = frac{b pm sqrt{b^2 4ac}}{2a}$
在这里，$a = 3$, $b = 8$, $c = 3$。
$x = frac{8 pm sqrt{8^2 4(3)(3)}}{2(3)}$
$x = frac{8 pm sqrt{64 + 36}}{6}$
$x = frac{8 pm sqrt{100}}{6}$
$x = frac{8 pm 10}{6}$
我们得到两个不同的驻点：
$x_1 = frac{8 + 10}{6} = frac{2}{6} = frac{1}{3}$
$x_2 = frac{8 10}{6} = frac{18}{6} = 3$
这意味着 $P(x)$ 在 $x = 1/3$ 和 $x = 3$ 这两个点有极值。由于 $P'(x)$ 是一个开口向上的抛物线，并且有两个根，所以：
当 $x < 3$ 时，$P'(x) > 0$， $P(x)$ 单调递增。
当 $3 < x < 1/3$ 时，$P'(x) < 0$， $P(x)$ 单调递减。
当 $x > 1/3$ 时，$P'(x) > 0$， $P(x)$ 单调递增。
第三步：评估极值点的函数值，判断根的存在
一个三次多项式，如果其局部最大值大于零，并且局部最小值小于零，那么它一定有三个实根。我们现在来计算在这些驻点处的函数值：
计算 $P(3)$（局部最大值）：
$P(3) = (3)^3 + 4(3)^2 3(3) 1$
$P(3) = 27 + 4(9) + 9 1$
$P(3) = 27 + 36 + 9 1$
$P(3) = 9 + 9 1 = 17$
所以，在 $x = 3$ 处，函数 $P(x)$ 取得局部最大值 $17$。
计算 $P(1/3)$（局部最小值）：
$P(1/3) = (1/3)^3 + 4(1/3)^2 3(1/3) 1$
$P(1/3) = 1/27 + 4(1/9) 1 1$
$P(1/3) = 1/27 + 4/9 2$
为了计算方便，我们找到公分母 $27$：
$P(1/3) = 1/27 + (4 imes 3)/(9 imes 3) (2 imes 27)/27$
$P(1/3) = 1/27 + 12/27 54/27$
$P(1/3) = (1 + 12 54)/27 = (13 54)/27 = 41/27$
所以，在 $x = 1/3$ 处，函数 $P(x)$ 取得局部最小值 $41/27$。
第四步：综合分析，得出结论
我们已经知道：
1. $P(x)$ 在 $x < 3$ 时单调递增，并且当 $x o infty$ 时，$P(x) o infty$。
2. 在 $x = 3$ 时，$P(3) = 17$（局部最大值）。
3. 在 $3 < x < 1/3$ 时，$P(x)$ 单调递减。
4. 在 $x = 1/3$ 时，$P(1/3) = 41/27$（局部最小值）。
5. 在 $x > 1/3$ 时，$P(x)$ 单调递增，并且当 $x o +infty$ 时，$P(x) o +infty$。
现在我们可以应用介值定理 (Intermediate Value Theorem) 来确定根的存在：
根的区域一：$(infty, 3)$
因为 $P(x) o infty$ 当 $x o infty$，且 $P(3) = 17 > 0$，根据介值定理，在区间 $(infty, 3)$ 上必定存在至少一个实根。由于 $P(x)$ 在此区间单调递增，这个根是唯一的。
根的区域二：$(3, 1/3)$
因为 $P(3) = 17 > 0$，且 $P(1/3) = 41/27 < 0$，根据介值定理，在区间 $(3, 1/3)$ 上必定存在至少一个实根。由于 $P(x)$ 在此区间单调递减，这个根是唯一的。
根的区域三：$(1/3, +infty)$
因为 $P(1/3) = 41/27 < 0$，且 $P(x) o +infty$ 当 $x o +infty$，根据介值定理，在区间 $(1/3, +infty)$ 上必定存在至少一个实根。由于 $P(x)$ 在此区间单调递增，这个根是唯一的。
综合以上分析，我们证明了三次多项式 $P(x) = x^3 + 4x^2 3x 1 = 0$ 拥有三个不同的实根。
第五步：最终结论
我们最初将原方程 $x^4 + 4x^3 3x^2 x = 0$ 分解为 $x(x^3 + 4x^2 3x 1) = 0$。
我们已经证明了：
1. $x = 0$ 是原方程的一个实根。
2. $x^3 + 4x^2 3x 1 = 0$ 有三个实根，并且这三个根都不等于 $0$（因为 $P(0) = 1 eq 0$）。
因此，原方程 $x^4 + 4x^3 3x^2 x = 0$ 共有 $1 + 3 = 4$ 个实根。
总结一下证明思路：
1. 因式分解： 将方程提取公因式 $x$，得到 $x=0$ 是一个根，并将问题转化为证明一个三次多项式方程有三个实根。
2. 导数分析： 对三次多项式求导，找到其导数的零点（即原函数极值点的位置）。
3. 极值计算： 计算三次多项式在极值点处的函数值。
4. 介值定理应用： 根据极值点的函数值符号和函数在无穷远处的行为，结合介值定理判断根的存在区间。如果存在一个局部最大值大于零且一个局部最小值小于零，那么该三次多项式必有三个实根。
5. 最终组合： 将之前得到的 $x=0$ 的根与三次多项式方程的三个实根合并，得出原方程总共有四个实根。
这个过程展示了微积分工具（导数和介值定理）在解决多项式方程根的问题上的强大威力。
网友意见
为什么大家都默认了4个实根是不同的。。。
当然，我们不妨先看这个方程有几个不等的实根。这个问题已经有通用解法了，就是所谓Sturm定理，对于任意的非零次的实系数多项式，可以判断它在一个（边界函数值非0的）闭区间上有几个不同的实根。
同时实系数多项式的实根都是有界的，事实上，任何实根的绝对值均不超过绝对值最大的系数的绝对值比上首项绝对值的商再加一。因此我们可以轻易选出一个合适Sturm定理的闭区间来。
至于Sturm定理的细节，可以表述如下：将上述多项式函数与其导数做辗转相除法，唯一区别在于带余除法所得余式需要反号后代入后续的带余除法。如此，可以得到一个多项式序列，称为标准序列。我们定义标准序列在任一点c的变号数（序列中下一项相比上一项符号改变的次数）是V(c)，则在区间[a,b]上不同的实根数是V(a)-V(b)。
同时，在我们上述的Sturm定理计算的基础上还可以容易地得出原多项式的重根数。事实上，我们所作的调整的辗转相除法与常规的做法只有符号有区别，从而在相伴的意义下是等效的。因此标准序列的最后一项就是原多项式与其导数的一个最大公因式，这个公因式就指示了原多项式的重根情况。事实上，如果这个多项式是个非零常数，表明原多项式没有重根；否则其每个根都是原多项式的重根，同时重根的次数相比原多项式减少1。
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