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问题

希尔伯特空间、内积空间的定义有什么关系和区别？

回答
好的，让我们来聊聊希尔伯特空间和内积空间这两个数学概念，它们之间既有紧密的联系，也存在着重要的区别。我会尽量用一种自然、深入的方式来解释，希望能让你理解透彻。

想象一下我们想在数学中处理“向量”的概念，但又想扩展到更抽象的领域，比如函数。我们熟悉的欧几里得空间（我们生活的三维空间）就是我们最早接触的向量空间。在欧几里得空间里，我们不仅可以进行加法和数乘（这是向量空间的基本性质），还能做两件事：

1. 衡量长度/大小： 我们可以算出向量有多长。
2. 衡量角度/方向的关联： 我们可以算出两个向量之间的夹角，或者它们是否“正交”（垂直）。

内积就是一种非常重要的工具，它能够捕捉到这两方面的信息。

内积空间：有了“测量”能力的向量空间

首先，我们来看看内积空间（Inner Product Space）。你可以把它理解为一个“稍微升级了的向量空间”。它是在向量空间的基础上，增加了一个叫做内积（Inner Product）的运算。

一个实数域（或者复数域）上的向量空间 $V$ 如果定义了一个满足以下性质的二元运算（记作 $langle u, v angle$，其中 $u, v in V$）：

1. 共轭对称性（或对称性）： 对于任意 $u, v in V$，有 $langle u, v angle = overline{langle v, u angle}$。（如果是实数域，就是 $langle u, v angle = langle v, u angle$）。
2. 线性性（或半线性性）： 对于任意 $u, v, w in V$ 和标量 $alpha$（来自实数域或复数域）：
$langle u+v, w angle = langle u, w angle + langle v, w angle$
$langle alpha u, v angle = alpha langle u, v angle$
（如果是复数域，第二个性质叫做“半线性”，在第二个参数上是线性的：$langle u, alpha v angle = overline{alpha} langle u, v angle$）
3. 正定性： 对于任意 $v in V$，有 $langle v, v angle ge 0$，并且当 $langle v, v angle = 0$ 时，必然有 $v = 0$（零向量）。

一旦我们定义了这样的内积，这个向量空间就变成了一个内积空间。

内积空间有什么用？

内积让我们可以从向量空间里“测量”出很多有用的东西：

长度（范数）： 我们可以定义向量 $v$ 的长度（或者说范数）为 $|v| = sqrt{langle v, v angle}$。这很重要，因为范数让我们知道向量“有多大”。
距离： 两个向量 $u$ 和 $v$ 之间的距离可以定义为 $|uv|$。
角度： 当内积是非负的时候，我们可以定义向量 $u$ 和 $v$ 之间的夹角 $ heta$ 使得 $cos heta = frac{langle u, v angle}{|u| |v|}$。（在复数域里定义夹角会稍微复杂一些，但核心思想是它衡量了方向的“一致性”）。
正交性： 如果 $langle u, v angle = 0$，我们就说向量 $u$ 和 $v$ 是正交的（或者垂直的）。这是内积最直接和有用的几何概念之一。

举例：

欧几里得空间 $mathbb{R}^n$：标准内积是 $langle u, v angle = u cdot v = sum_{i=1}^n u_i v_i$。这正是我们熟悉的点积，它给出了长度和角度的信息。
复数向量空间 $mathbb{C}^n$：标准内积是 $langle u, v angle = sum_{i=1}^n u_i overline{v_i}$。注意这里的共轭。
函数空间： 如果我们考虑定义在区间 $[a, b]$ 上的连续函数构成的向量空间 $C[a, b]$，我们可以定义内积为 $langle f, g angle = int_a^b f(x) g(x) dx$ (如果是实值函数) 或者 $langle f, g angle = int_a^b f(x) overline{g(x)} dx$ (如果是复值函数)。这个内积也允许我们谈论函数的“长度”（平方积分）和“正交性”（积分积等于零）。

希尔伯特空间：完备的内积空间

现在我们有了内积空间，它已经很强大了，可以做很多事情。但是，在数学分析和许多应用领域（比如量子力学、信号处理）中，我们经常需要“收敛性”的概念。一个序列的向量（或函数）是否能收敛到一个极限？这个极限是否也“存在”在这个空间里？

这就引入了完备性（Completeness）的概念。你可以把完备性想象成一个“没有洞”的空间。在一个完备空间里，任何一个“有希望收敛”的序列，它的极限都确实存在于这个空间内部。

完备的内积空间就是希尔伯特空间。

所以，希尔伯特空间（Hilbert Space）是在内积空间的基础上，增加了一个重要的性质：完备性。

数学上，完备性是通过柯西序列（Cauchy Sequence）来定义的。一个空间是完备的，如果其中每一个柯西序列在该空间内都有一个极限。

柯西序列： 一个序列 ${v_n}$ 是柯西序列，如果随着 $n, m$ 趋于无穷，序列中的项之间的距离 $|v_n v_m|$ 趋于零。直观上，就是序列后面的项越来越靠近。

希尔伯特空间有什么特点？

希尔伯特空间结合了内积提供的“几何”结构（长度、角度、正交性）和完备性带来的“分析”能力（极限、收敛性）。这使得它们成为处理无穷维情况下的“良好行为”的空间。

无穷维向量空间： 许多重要的希尔伯特空间是无穷维的，比如 $L^2$ 空间（平方可积函数的空间），它在很多分析和应用中至关重要。
强大的工具： 完备性保证了我们可以进行很多标准的分析技巧，比如收敛性论证，并且得到的极限总是在空间内。
正交基： 在希尔伯特空间中，我们不仅可以谈论正交性，甚至可以拥有“正交基”。这意味着我们可以将空间中的任何向量（甚至是无穷维的情况）表示为一组（可能无限个）正交向量的线性组合（称为傅里叶级数或广义傅里叶级数）。这极大地简化了许多问题的处理。

举例：

欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 和 $mathbb{C}^n$ 加上标准内积，它们不仅是内积空间，而且是有限维的。有限维向量空间在标准范数下总是完备的。所以，它们既是内积空间，也是希尔伯特空间。
$l^2$ 空间： 这是所有无穷维实数（或复数）平方可和序列的集合。例如，$(x_1, x_2, x_3, dots)$ 这样的序列，满足 $sum_{i=1}^infty |x_i|^2 < infty$。内积定义为 $langle x, y angle = sum_{i=1}^infty x_i overline{y_i}$。这个空间是无穷维的，并且是完备的，所以它是一个希尔伯特空间。
$L^2$ 空间： 这是在某个测度空间上，所有平方可积的函数构成的空间（经过等价类处理）。例如，在实数轴上，平方可积函数 $f(x)$ 满足 $int_{infty}^{infty} |f(x)|^2 dx < infty$。内积定义为 $langle f, g angle = int f(x) overline{g(x)} dx$。这个空间是无穷维的，而且是完备的，所以它是一个希尔伯特空间。

关系与区别的总结

关系：

希尔伯特空间是内积空间的一种。 所有希尔伯特空间都是内积空间。
内积空间提供了处理向量“长度”、“距离”、“角度”和“正交性”的框架。希尔伯特空间继承了这些能力。

区别：

完备性是关键区别。 内积空间不一定完备，而希尔伯特空间必须完备。
应用范围的侧重点：
内积空间强调的是几何结构，即便是在有限维情况下，它已经能很好地描述几何关系。
希尔伯特空间除了几何结构，更侧重于分析性质，尤其是在无穷维情况下处理收敛、极限和展开等问题。许多复杂的数学分析和物理模型都离不开希尔伯特空间的完备性。

举个类比：

你可以把“向量空间”看作是只有加法和数乘的“盒子”。
“内积空间”是给这个盒子装上了一个“尺子和量角器”，让你能测量长度和角度。
“希尔伯特空间”是在有尺子和量角器的盒子里，再确保这个盒子是“完全密封”的，不会因为你无限地逼近某个点而“漏掉”那个点，或者说序列收敛的极限总是在盒子里面。

总而言之，内积空间为向量赋予了几何意义，而希尔伯特空间则在此基础上增加了分析分析的坚实基础（完备性），使其在处理无限过程和复杂的分析问题时，能够保持数学上的严谨性和完备性。希尔伯特空间是许多现代数学和理论物理的基石。

网友意见

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谢邀~

希尔伯特空间（Hilbert space）指的其实就是完备的内积空间（Complete inner product space），两者同义。而非完备的内积空间又称为准希尔伯特空间（pre-Hilbert space）。

那么显然就有如下关系：

即希尔伯特空间是一种特殊的内积空间，其特殊性就体现在其完备性上，因为一个内积空间不一定是完备空间。

那么，这其中包含有两个概念，即：“完备空间”和“内积空间”。而两者的交集即为“完备的内积空间”。下面分开进行解释。

完备空间

在数学分析中，完备空间又称完备度量空间或称柯西空间（Cauchy space）。如果一个度量空间 中的所有柯西序列都收敛在该空间 中的一点，则称该空间 为完备空间。[1]

这个定义中又涉及到两个的概念，即“度量空间（Metric space）”和“柯西序列（Cauchy sequence）”。

度量空间

在数学中，度量空间是个具有距离函数的集合，该距离函数定义集合内所有元素间之距离。此距离函数被称为集合上的度量。度量空间中最符合人们对于现实直观理解的是三维欧几里得空间（Euclidean space）。[2]

这里的“距离”是一个抽象概念，不仅仅指两点间的直线距离，还包括向量距离、函数距离曲面距离等。定义为：

设 是一个非空集合，对中任意两点 ，在度量 的作用下，有一实数 与该两点对应且满足：

  1. 正定性： ，且 当且仅当 成立;
  2. 对称性： ;
  3. 三角不等式： .

那么就称 为中的一个距离（度量），称为一个对于度量 而言的度量空间。

柯西序列

在数学中，柯西序列、柯西列、柯西数列或基本列是指这样一个数列，它的元素随着序数的增加而愈发靠近。任何收敛数列必然是柯西列，任何柯西列必然是有界序列。[3]

完备性

前面提到“如果一个度量空间 中的所有柯西序列都收敛在该空间 中的一点，则称该空间 为完备空间。”

可以把实数和有理数作为具体的例子。

由实数 定义的序列在通常定义的距离意义下是完备的。

而由有理数 定义的序列在通常定义的距离意义下则不是完备的。例如一个由有理数构成的序列：

，即 。可以用巴比伦方法[4]证明其结果收敛于 。

说了这么多，用一句通俗但不严谨的话来表达就是：通常见到的空间中，实数空间是完备空间。


内积空间

指的是添加了一个“运算方法”（或称“结构”）的向量空间（或称为“线性空间”，两者同义），这个新添加的运算方法即“内积（Inner product）”又称“标量积（Scalar product）”或称“点积（Dot product）”。内积将一对向量与一个纯量连接起来，允许我们严格地谈论向量的“夹角”和“长度”，并进一步谈论向量的正交性。[5]

这其中又涉及了“向量空间（Vector space）”的概念。

而且，内积空间具有基于空间本身的内积所自然定义的范数， ，且其满足平行四边形定理，也就是说内积可以诱导一个范数，所以内积空间一定是“赋范空间”。这其中又涉及了“赋范空间（Normed vector space）”的概念。

一步一步来，先说说向量空间（或称“线性空间”，两者同义）。

向量空间

一般向量空间的定义如下：布于一个域 （例如，实数域 、复数域 ）的向量空间 是由向量组成的一个集合，并赋予该集合向量与向量之间的加法 ： ；和标量与向量之间乘法 ： 。向量 之和为 ，向量 与标量 之积为 。向量空间中向量加法与标量乘法运算满足：
  1. 加法交换律： ；
  2. 加法结合律： ；
  3. 向量单位元：存在唯一的 使得 ；
  4. 逆元：存在唯一的 ，使得 ;
  5. 向量分配律：对于 ;
  6. 标量分配律：对于 ;
  7. 结合律：对于 ;
  8. 标量单位元：对于 .

可见，向量空间的定义中并不包含向量与向量之间的乘法。而这也是正是内积作为区别内积空间与一般向量空间的附加条件的原因。这也是为什么内积空间包含三个运算：向量与向量之间的加法，标量与向量之间的乘法，以及向量与向量之间的乘法。


在了解了向量空间的基础上，再反过头来，补充一下赋范空间的概念和这几个空间之间的关系。由于赋范空间定义在向量空间的基础之上，所以也称为线性赋范空间，简称赋范空间。注意，前面提到，向量空间就是线性空间，两者同义。

（线性）赋范空间

范数常常被用来度量某个向量空间（或矩阵）中的每个向量的长度或大小。其定义是：

设 是布于一个域 （例如，实数域 、复数域 ）的向量空间，函数 作用于，且满足条件：

  1. 正定性：对 ；且 当且仅当；
  2. 齐次性：对，有 ;
  3. 三角不等式：对 ，有 。

称 是上的一个范数，定义了范数 的向量空间 称为（线性）赋范空间。

通过将赋范空间和上面的度量空间相比较，可知“范数”与“距离”之间的区别有：

  1. 距离（或称“度量”）是定义在任意非空集合上的，而范数则定义在向量空间上；
  2. 在向量空间中，范数可以诱导距离（或称“度量”），反之不成立，这也意味着赋范空间一定属于度量空间;
  3. 范数的“齐次性”表明范数可以看做是强化后的距离概念。


下图显示了几个空间之间的包含关系：[6]

总结

说了这么多感觉有点乱，所以再总结一下各个空间之间的关系：


最后补充一句：希尔伯特空间（Hilbert space）是有限维欧几里得空间（Euclidean space）的一个推广，使之不局限于实数的情形和有限的维数，但又不失完备性（不像一般的非欧几里得空间那样破坏了完备性）。

而且从上面的关系可知，希尔伯特空间（Hilbert space）可以看做是增加了内积运算的巴拿赫空间（Banach space）。

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以上です。

———— 西八区 2019.06.30 更新 ————

多承谬赞，略感惶恐。如果大家感兴趣，欢迎各位再看看我的知乎专栏，里面的文章可能比本回答要有趣得多：

参考

  1. ^Complete metric space https://en.wikipedia.org/wiki/Complete_metric_space
  2. ^Metric space https://en.wikipedia.org/wiki/Metric_space
  3. ^Cauchy sequence https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_sequence
  4. ^Babylonian method https://en.wikipedia.org/wiki/Methods_of_computing_square_roots#Babylonian_method
  5. ^Inner product space https://en.wikipedia.org/wiki/Inner_product_space
  6. ^Normed vector space https://en.wikipedia.org/wiki/Normed_vector_space

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