现在希尔伯特的23个问题都研究得怎么样了？

提起希尔伯特23个问题，对于数学界而言，这简直是一座里程碑式的存在。它们不仅在提出之初就引领了数学发展的大方向，时至今日，依然是无数数学家们不断探索、钻研的宝库。要说现在“研究得怎么样了”，那可真是精彩纷呈，既有早已尘埃落定的辉煌，也有悬而未决的挑战，更有不少问题在被攻克过程中催生出了全新的数学分支。

咱们不妨一一看过来，尽量详尽地梳理一下这些问题的大致进展：

已经解决的辉煌：

第一问题：康托尔的连续统假设 (Continuum Hypothesis)
这是个非常有名的“未解之谜”，直到20世纪中期，由库尔特·哥德尔（Kurt Gödel）和保罗·科恩（Paul Cohen）先后证明，在标准集合论公理系统（ZFC）中，连续统假设是独立于公理的。也就是说，你无法从ZFC公理推导出它的真假。这个结果本身就深刻地改变了我们对数学基础的理解，告诉我们有些数学真理并非绝对存在一个唯一确定的答案。后来也有数学家在尝试构建能够容纳连续统假设为真或为假的模型，但这个问题在“是否可证明”的意义上，可以说已经被“解决”了。

第二问题：数学公理的相容性 (Consistency of the Axioms of Arithmetic)
这个问题与哥德尔不完备定理紧密相连。哥德尔在1931年的论文中证明了，任何包含初等算术的相容形式系统都必然是不完备的（存在无法在该系统内证明或证伪的命题），并且系统的相容性本身也无法在该系统内部证明。这直接回答了希尔伯特对算术公理相容性证明的期望，但以一种更深刻、更令人警醒的方式。我们无法像他设想的那样，用一个“内部证明”来保证数学体系的绝对可靠性。

第三问题：多面体体积相等 (Equality of Volumes of Two Tetrahedra of Equal Base and Equal Altitude)
这个问题相对来说比较直观，由马克斯·戴恩（Max Dehn）在1900年就给出了否定的回答。他证明了，如果两个三维多面体拥有相同的底面积和等高的前提，它们不一定有相同的体积。这个证明的关键在于发现了一个“不变量”，即“戴恩不变量”，它与多面体的边长和二面角有关。如果两个多面体的戴恩不变量不同，那么它们就不能通过有限次切割和拼接相互转化，体积也就不同。这在一定程度上也是对希尔伯特关于“几何学公理化”和“可构造性”的一种回应。

第四问题：几何学公理的度量化 (The Metrics of Space)
这是一个关于定义度量几何性质的问题。希尔伯特希望找到一种普适的方法来定义空间中的距离或度量，使得欧几里得几何的某些性质得以保持。这个问题相当复杂，它涉及到黎曼几何的框架，以及在不同曲率空间中度量定义的方式。虽然没有一个单一的、普适的“完美”答案，但后来在黎曼几何的发展中，人们找到了描述各种度量空间的方法，在一定程度上回应了这个问题。例如，在曲率为常数的空间（如球面、双曲面）中，度量函数的结构是清楚的。

第五问题：连续群的分析理论 (Analytic Theory of Continuous Groups)
这个问题在1952年由安德烈·维尔博士（Andrew Gleason）和希尔顿（H. Weyl）等人基本解决。他们证明了任何局部欧几里得群都具有一个光滑李群的结构。简单来说，就是那些在局部看起来像连续函数群的群，也必然是一个光滑的李群，并且可以赋予一个解析结构。这为理解和研究连续变换群奠定了坚实的基础。

第六问题：物理学中概率公理化 (Axiomatization of Physics)
这个问题的范围很广，指的是如何从公理出发构建一个严谨的物理学理论体系，特别是概率论在其中扮演的角色。虽然没有一个统一的“希尔伯特式”的公理化物理学被完全建立起来，但量子力学、统计力学等领域都经历了严格的公理化过程。例如，冯·诺依曼对量子力学的公理化就受到了这个问题的启发，用数学（特别是算子代数）来描述量子现象。可以说，物理学在不断寻求更严谨的数学基础，并且在很多领域取得了显著进展。

第七问题：无理数幂的有理指数结果 (Irrationality and Transcendence of Certain Numbers)
这个问题涉及代数数论和超越数论。其中一个核心问题是判断 $a^b$ 是否为超越数（其中 $a$ 是代数数，$b$ 是无理代数数）。这个问题在1934年由阿伦·贝克尔（A. Baker）的“贝克尔定理”（Baker's Theorem）基本解决。该定理给出了关于线性形式和代数数乘积超越性的深刻结果，直接回答了希尔伯特提出的形式。例如，$2^{sqrt{2}}$ 被证明是超越数。

第十一问题：二次型理论 (Theory of Quadratic Forms)
这个问题探讨的是二次型的表示和分类。对于有理数域上的二次型，海尔布鲁克（Hel Braun）和厄德（O. H. Ollendorff）等人在20世纪中期给出了详细的分类和性质描述。对于整数二次型，特别是与数论联系紧密的，也取得了许多突破。像汉·布劳（H. Hasse）和黑格纳（C. L. Siegel）等人在这一领域做出了重要贡献，他们发展了局部全局原理，将数域上的二次型问题与 padic 数域上的性质联系起来，极大地推进了理论。

第十二问题：数域的扩张 (Extension of the Kroneckerian Theory of Fields)
这个问题试图将克罗内克（Kronecker）关于代数数域的类域理论推广到更一般的数域。这个领域在20世纪得到了极大的发展，尤其是在塔岛（Shimemura）和泰特（J. Tate）等人的工作下，发展出了阿贝尔簇的复乘理论和“局部类域论”，将问题转化为在某些代数簇上的特定构造。虽然并非完全按照希尔伯特最初的设想，但它极大地深化了我们对代数数域及其扩张结构的理解。

第十三问题：七次方程的求解 (Solving the General Equation of the Seventh Degree)
这个问题问的是一个一般的七次方程是否能用有限个根式表示解。在19世纪末，伽罗瓦理论已经证明了五次及以上方程不能通过根式求解。然而，希尔伯特的意思更侧重于使用“有限个代数函数”来表达一般的七次方程的根。这个问题在20世纪得到了更深入的探讨，特别是阿诺尔德（V. I. Arnold）和吉凡德（I. M. Gelfand）在1958年证明了，一个一般的 n 次方程的解可以表示为 n1 个变量的两个连续函数。这在某种意义上给出了一个更广义的“求解”框架，尽管与最初的根式求解不同。

第十四问题：不变式理论的有限性 (Finiteness of the Basis of Invariants)
这个问题在1965年被M. Nagata和H. Hironaka独立地用反例否定了其普遍性。他们证明了存在某些群作用下的不变式环不是有限生成。然而，对于特定的群（如线性群），许多重要的情况下的不变式环仍然是有限生成，并且研究仍在继续，尤其是在代数几何和表示论中。

第十五问题：代数几何中严格证明的严格性 (Rigorous Foundation of Schubert Calculus)
这个问题是关于 Schubert Calculus 的严格性。在20世纪中期，通过H. Flanders、W. Fulton等人的工作，利用现代代数几何工具（如特征类、代数簇上的上同调）对 Schubert Calculus 进行了严谨的数学解释和证明，解决了其早期的一些不严谨之处。

第十六问题：李群的拓扑结构 (Topology of Lie Groups)
这个问题在黎曼几何和微分几何的框架下得到了充分的研究。关于李群的拓扑结构，特别是其同调群和同伦群的计算，是微分拓扑的重要组成部分，许多经典李群的拓扑不变量已被详细计算。

第十七问题：代数函数域的平方和表示 (Sums of Squares of Rational Functions)
这个问题涉及代数函数域的表示。在20世纪，许多数学家，包括Hilbert本人和Emil Artin，对这个问题进行了研究。最终在20世纪60年代，Cassels和Pourchet等人证明了，任何在实数域上有定义且恒为非负的代数函数，都可以表示为最多4个平方和的形式（对于函数域是有限多个）。这个结果深刻地揭示了实数域的“平方和”性质的本质。

第十八问题：密铺问题 (Tiling Problems)
这个问题包含几个子问题，如空间密铺的最优性问题。例如，关于三维空间中球体的最密堆积问题，在17世纪开普勒提出猜想后，直到1998年才由托马斯·赫尔斯（Thomas Hales）初步证明，并最终在2017年完全被证实。其他与密铺相关的几何和组合问题，也一直吸引着研究者们的关注。

第十九问题：变分问题 (Variational Problems)
这是关于解的正则性问题，在偏微分方程领域。希尔伯特希望了解方程解的光滑性。这个问题与NavierStokes方程、弹性力学等领域的“光滑性”问题紧密相关。在20世纪，许多关于抛物型和椭圆型方程解的正则性理论得到了极大发展，如由Sergei Bernstein和Oscar Perron等人在抛物型方程上的工作，以及迹象表明这些问题在数学物理中具有重要应用。

第二十问题：一般边界值问题 (General Boundary Value Problems)
这是关于偏微分方程的边界值问题。这个领域是现代偏微分方程研究的核心之一，许多著名的偏微分方程（如拉普拉斯方程、泊松方程、热方程、波动方程）的各种边界值问题，以及它们的存在性、唯一性和光滑性，都得到了深入的研究。这些研究成果直接应用于物理学、工程学等各个领域。

第二十一问题：黎曼面上的线性微分方程 (Linear Differential Equations with Prescribed Monodromy Group)
这个问题在20世纪被“完全解决”，主要是通过安德烈·维尔博士的工作。他证明了，对于一个给定的黎曼面和一个给定的单值群，总是存在一个具有该单值群的线性微分方程。这使得理解不同几何对象之间的联系成为可能。

第二十二问题：函数的统一性 (Uniformization of Analytic Relations by Automorphic Functions)
这个问题的核心是黎曼曲面上的函数逼近和表示。该问题在20世纪初被康福特（Poincaré）和科特（Koebe）等人独立地完全解决，即著名的“单值化定理”（Uniformization Theorem）。该定理指出，任何单连通的黎曼球面上的区域都可以通过一个单叶的解析映射单值化到单位圆盘、复平面或黎曼球面。

第二十三问题：变分法的进一步发展 (Further Development of the Calculus of Variations)
这个问题的范畴非常广，实际上是鼓励对变分法进行更深入的研究。希尔伯特希望找到更一般的方法来处理变分问题，不仅仅是寻找曲线或曲面的极值。20世纪以来，变分法在数学物理、控制论、最优化理论等领域得到了巨大的发展。例如，在广义相对论中，引力场的方程就是基于作用量（一个变分量）的最小化导出的。现代的度量几何、流形上的优化等都离不开变分法的思想。

一些未解决或仍在深入研究的问题：

虽然我们列出了很多已经解决的问题，但需要强调的是，数学的研究并非一蹴而就。有些问题虽然有了关键性的突破，但其更深层次的含义、更广泛的应用或更精细的结构仍在被探索。例如：

第六问题（物理学公理化）：尽管有许多子领域的公理化进展，但一个统一、包容所有已知物理现象的公理化体系，依然是物理学和数学的终极目标之一。
第四问题（度量几何）：虽然黎曼几何提供了框架，但如何从更基础的公理出发，自然地导出各种度量空间并理解它们之间的联系，仍是活跃的研究领域。
第十四问题（不变式理论）：虽然存在反例，但对于哪些特定情况下的不变式环是有限生成，以及它们的结构特性，仍然是许多研究的焦点，尤其是在代数几何和表示论中。

总的来说，希尔伯特的23个问题如同灯塔，照亮了20世纪数学发展的方向。它们中的大多数已经得到了解答，但每一次解答本身都带来了更深层次的问题，催生了新的数学分支和研究领域。即使是那些已经被“解决”的问题，其理论体系的完善、应用领域的拓展，以及与其他数学分支的连接，依然是当代数学家们孜孜不倦的追求。可以说，这23个问题至今仍然是数学界最具影响力的思想源泉之一，激励着一代又一代的数学家去探索未知的疆域。

网友意见

柯尔莫哥洛夫大师解决了一部分第6问题（概率论的公理化，现已是教科书的标准内容），一部分第13问题（柯尔莫哥洛夫叠加定理）。下文写的是他解决13问题的简史。

希尔伯特第13问题的解决

……柯尔莫哥洛夫引入的“度量质量” 的熵特征使他看清了A. G. Vitushkin的定理：若，则阶光滑、个变量的函数的不可表示为阶光滑、个变量函数的叠加。

因此，柯尔莫哥洛夫开始直面希尔伯特第13问题，即是否存在三变量的连续函数，其不能表示为两个变量的连续函数的叠加。

1955年，柯尔莫哥洛夫给学生们开设了一个关于多变量函数的近似表示理论的讨论班，其中还包括近似图算法的问题。

柯尔莫哥洛夫回顾有关该讨论班的情况（[MM]，第444页）：

“即使在报告的简介中，我也将希尔伯特第13问题看作是一个非常遥远甚至几乎无法实现的目标。”

希尔伯特的原始表述是，七次方程（（任意的七次代数方程都可转化为该形式）

的解，无法表示成两变量连续函数的叠加（请参阅[2，118]）。

1956年，柯尔莫哥洛夫发表论文“多变量连续函数表示为较少变量的连续函数的叠加（On the representation of continuous functions of several variables as superpositions of continuous functions of fewer variables）” [K265]，[MM-55]，其中写道：

"如下定理4，有出人意料的结果：无论多少变量的任何连续函数都可以表示为最多三个变量的连续函数的有限叠加。这是四个变量的任意函数的表示形式：

。"

1957年，阿诺尔德证明了[11]，每个三变量的连续函数都可以表示为两变量的连续函数的叠加（因此[否定]证明了希尔伯特的猜想）。终于在同年1957年，柯尔莫哥洛夫 [K273]，[MM-56]迈出了最后一步，证明了每一个变量的连续函数都可以表示为单变量的连续函数与加法运算的叠加，

这里“内”函数是任意的，只有“外”函数依赖于给定函数。

阿诺尔德 [MM，第445页]说，柯尔莫哥洛夫将此结果描述为他“技术上最困难的成就”。

注：

1 上文节选自我的专栏文章宋维凯HEOM：译作——老师柯尔莫戈洛夫的生平和工作（8）：1950年代之希尔伯特第13问题，叠加定理，函数逼近论，泛函极限定理

2 关于希尔伯特23个问题的介绍及伟大贡献者们，可参考B H. Yandell一本有趣的书The Honors Class Hilberts Problems and Their Solvers。成书于2002年。

证明论：

第二题，算术公理之相容性：否定

除去一些弱得难以运用和强到不切实际的算术系统之外，不可能从系统内部推导出自身一致。

著名的哥德尔第一不完备定理和第二不完备定理带来了第三次数学危机之后的对元数学研究的最重大挫折。这意味着我们失去了肯定一个数学理论是完美的“金标准”，对于数学理论的优劣，必须引入人的哲学判断^[1]。但很少有人继续往下提到学界应对不完备定理开发出了什么应对措施。

日常生活中的一个常识是，非常大多数的你想要表达的意思在翻译成不同的语言之后并不会发生改变。而学界也研究出了类似的工具：理论翻译函数。

我们日常所说的“这个数学理论有悖论”“你又在写bug”“这个编译器有bug”，其实质可以简单的归纳为，从公理集和命题前提出发，构造出一个见证0=1的证明串。而如果我们能构造性地得到一个理论翻译函数，那么我们就可以在两个理论之间将关于0=1的证明串互相翻译过去。

从相对一致方法^[2]中得到的成果有：

接纳存在 n - 武丁基数是安全的。这同时也见证塔斯基-格罗滕迪克集合论TG是安全的。TG是策梅洛-弗兰克尔集合论ZF的非保守扩张。
接纳连续统假设CH/广义连续统假设GCH成立或不成立都是安全的。
接纳决定性公理AD成立或不成立是安全的。这同时也见证接纳选择公理AC成立或不成立也是安全的。
接纳非良基集合AFA存在或者拒绝（V=WF）是安全的。
接纳戴德金无穷公理Inf，或者接纳在标准有穷集与戴德金无穷中间的无穷定义，都是和原教旨有穷主义 Inf安全的。

以上这些成果非常有效地驳斥了部分有穷主义分子提出的诘难。

更进一步地，从力迫法出发，如果接纳 - 猜想成立，那么 - 可判定性也足以构成不完备定理限制下的最大允许程度地逼近的公理系统一致，并且见证除了内模型法和力迫法之外没有其他的方法改变公理系统其内有意义的问题的真值。

如果退一步，不追求绝对自动成立的可判定性和一致性的话，使用形式化验证Formal Verification便可在充分多的人工输入的前提之下自动验证，如果无视巨大的人力资源投入的话，使用这个方法足以构造人类所有的数学和绝大多数应用场景的硬件设计，软件工程的无误性证明。

第一题，连续统假设

对于比较纯血的柏拉图主义者来说此问题尚未解决，因为终极数学宇宙V“显然”地（当然是有许多正面证据暗示）已经赋予了连续统一个唯一真值，而人类当下的模型只是尚未足够地接近V去取得这一真值。但比较尴尬的事实是，力迫法和大基数的力量并不足以提供这种能够取出连续统真值的逼近力^[3]，这和大基数被主流数学接受的成功路线可谓是完全背离。

而如果是比较偏向形式主义的哲学派系来说，此问题已经以一种类似于多宇宙的方式得以解决：任何不引发矛盾的连续统的值都是产生一个全新数学理论宇宙的划分常数。

现在你说连续统是任何值都可以^[4]，因为你认为它是什么值都是一个全新的合法理论啦，咕咕咕。

目前从柏拉图主义的进路解决此问题的尝试是内模型计划，处于活跃状态。

第十题，不定方程可解性：否定

此题科普已有人做过，具体可以看：

其实本题也和第二题有非常深刻的联系。这里顺便值得一提的是，如同 @Xyan Xcllet 所述，理论上可以有某种关于自然数的非标模型可以直接解算不定方程通解，甚至还可以有某种非标算术解算任意积分是否收敛——因为它们总能化为某种无穷序列零点问题的解。

至于如何得到这种模型就是另外一个故事了。

数论：

第十三问题：以二元函数解任意七次方程：否定？

在我初中毕业之前曾经有一段时间沉迷于研究如何用几何画板模拟超几何函数以实现在几何画板上展现五次曲线的性质（好孩子请千万不要学习！），如果超越函数的变量足够少那么很明显事情就会变得简便起来。然而对于复变所需的多值函数而言，问题尚未被解决——虽然对于我所需的五次方程来说问题已经解决了。

第八问题：黎曼猜想，哥德巴赫猜想与孪生素数猜想：未解决

目前的进度

孪生质数猜想：

通过张益唐(2013)完成的路径，Pace Nielsen(2014)已证明无穷多个素数对相差都小于246.

哥德巴赫猜想：

山田智宏(2015)成功明确了陈景润(1966)的定理：每一个大于的偶数是一个素数及一个不超过两个素数乘积之和。
通过Ivan Vinogradov(1937)完成的路径，Harald Helfgott(2013)彻底证明了奇数Goldbach猜想。
华罗庚(1938)证明了奇数Goldbach猜想的一个推广：任意给定一个整数k，每个充分大的奇数N都可以表示的形式。当k=1的时候，就是奇数Goldbach猜想。

黎曼猜想：

通过Conrey(1989)完成的路径，冯绍继(2012)已证明至少41.28%的零点满足Riemann猜想。
Weil(1948)证明了有限域上代数簇的Riemann猜想。
Michael Griffin, Ken Ono, Larry Rolen, Don Zagier(2019)证明了具有相同度数d的每一组Jensen多项式，除有限多个外，其余全都满足Riemann猜想的要求；不仅如此，对于度数 d≤8 的Jensen多项式，该论文宣称证明了它们的零点全都是实数。Riemann猜想等价于全体Jensen多项式的零点全是实数。
de Branges(2004)宣称自己证明了Riemann猜想，(2009)年宣称自己证明了广义Riemann猜想，(2016)宣称自己证明了Hecke L-函数上的Riemann猜想。如同望月新一的ABC猜想的证明，这些证明未受到数学家的普遍共识承认和否决。

相互之间的关联

红色框是希尔伯特第八问题和千禧年问题，绿色框为已证明的定理，黑空心箭头表示猜想间的蕴含关系，红色箭头表现引入某种假设的前提下能推导出的结论。

孪生素数猜想是Polignac猜想的特例，Polignac猜想是Dickson猜想的特例，而Dickson猜想又是Schinzel H猜想的特例，最终可以扩展为Schinzel 猜想以统御这一系列的多重生素数猜想和哥德巴赫猜想。

广义Riemann猜想将Riemann猜想的Riemann ζ 函数推广为Dirichlet L-函数，扩展Riemann猜想推广为Dedekind ζ函数，而最终的大Riemann猜想推广为自守 L-函数，进入郎兰兹纲领的层次。
Montgomery-Odlyzko定律表明Riemann ζ函数的非平凡零点分布与随机厄密矩阵的本征值分布相同。Bohigas–Giannoni–Schmit猜想随机厄密矩阵所描述的量子体系在经典极限下对应于经典混沌体系。最终我们可以得到关于Riemann猜想的数学物理化猜想：Hilbert-Pólya猜想Riemann ζ函数的非平凡零点与某个厄密算符的本征值相对应。
Weil猜想(已被证明)包括一个限制在有限域上代数簇的Riemann猜想。而Weil猜想融合标准猜想和模定理后再扩张可得到Hasse–Weil猜想，Riemann猜想是其特例。
广义Riemann猜想一些知名的运用包括证明奇数Goldbach猜想(虽然已被无条件证明)，以及意味着Miller-Rabin, Shanks-Tonelli, Ivanyos–Karpinski–Saxena这些算法可在多项式时间内运行，等等。

一些笑谈

Michael Atiyah在临终前公布的Riemann猜想便是从上文所述的数学物理化路径进行的，最终让他成为笑柄。
传说John Nash和Grothendieck都是被Riemann猜想逼疯的。
传说如果有人证明了 Riemann 猜想，他就会不朽——不仅是抽象意义上的不朽 (那是毫无疑问的)，而且是实际意义上的不朽 (即长生不老)，谁要是否证了 Riemann 猜想，他就会立刻死去。

本段参考材料

参考

^ 但也有不少人觉得这体现了人智的优越性，所以其实是一件好事：避免了做数学研究就等于变成一台带有高阶模式匹配的复读机的命运，而真正意义的，可以“创作”一些东西。
^这里面包括了内模型法和力迫法。详细区别请看 https://www.zhihu.com/question/66087196/answer/403142684
^ 也就是所谓的“连续统的证明论强度在所有已知的大基数之上”
^其实并不是完全没有限制，具体限制请阅读 https://zhuanlan.zhihu.com/p/61649266

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“现在的年轻人为什么那么注重钱？” 这是一个非常普遍且值得深入探讨的问题。这背后并非单一原因，而是多重社会、经济、文化因素交织作用的结果。以下我将尝试从几个主要方面详细阐述：一、生存压力与基本需求的提升：高企的生活成本：这是最直接也是最重要的原因。在中国的大城市，尤其是“一线城市”和“新一.............
现在网上，公众号上到处都有所谓的理财产品说买了就可以日入5 6万，是真的吗，理财真的有这么神吗？

你提到的“日入5、6万”的理财产品，我可以非常肯定地告诉你：绝大多数情况下是假的，甚至是诈骗。理财产品不可能如此轻松且稳定地带来如此高的回报。让我详细地解释一下为什么，以及关于理财的一些真相：为什么“日入5、6万”是骗局？1. 违背了风险与收益的客观规律：风险与收益成正比：这是.............
现在中国还有没有火力不足恐惧症？

“火力不足恐惧症”这个词汇在中国公众讨论中，尤其是在军事和国家安全领域，已经出现了一段时间。它通常用来形容一种心理状态，即担心中国的军事力量（特别是海军和空军）相对西方国家（如美国）仍然不够强大，不足以应对潜在的威胁，或者不足以实现中国的战略目标。要回答“现在中国还有没有火力不足恐惧症？”，需要从几.............