如何理解希尔伯特空间？
想象一下，我们从最熟悉的东西开始：三维欧几里得空间。你坐在这里，面前有桌子，桌子上有个杯子，你可以用三个坐标 (x, y, z) 来描述杯子在空间中的位置。这是我们直观感受到的“空间”。
什么是“空间”？
在数学里，“空间”是一个更广阔的概念。它不仅仅是指我们眼睛看到的那个三维世界。我们可以把“空间”看作是一个集合，里面装着各种各样的“点”或者“元素”。这些元素可以是数字、函数、向量，甚至是更抽象的东西。
但仅仅是个集合还不够，我们还需要在这个集合上定义一些“结构”，让这些元素之间可以进行运算，可以衡量它们之间的“距离”和“方向”。
希尔伯特空间：不止是长度，更是“关系”
希尔伯特空间，顾名思义，是基于“希尔伯特”这个名字的数学家提出的。它是在更基础的“向量空间”和“内积空间”概念之上，进一步完善和“完备化”得到的。
要理解希尔伯特空间，我们先看看它的“前身”：
1. 向量空间： 这是最基础的。想象一下，我们有一堆可以“相加”和“缩放”的元素。比如，你可以把两个向量相加得到一个新的向量，也可以把一个向量乘以一个数字得到一个更长或更短的向量（方向不变）。我们熟悉的二维平面上的向量 (x, y) 就是一个最简单的向量空间。
2. 内积空间： 在向量空间的基础上，我们引入了一个叫做“内积”（dot product，点乘）的概念。内积运算有两个重要的作用：
衡量“方向”和“相似度”： 两个向量的内积，尤其是它们夹角的余弦，告诉我们这两个向量有多么“方向一致”。如果内积是零，意味着它们互相垂直。
定义“长度”（范数）： 通过内积，我们可以定义向量的“长度”。对于一个向量 $v$，它的长度（范数）通常表示为 $||v|| = sqrt{langle v, v angle}$，其中 $langle v, v angle$ 就是 $v$ 和它自己的内积。
想想我们熟悉的二维或三维空间，两个向量 $vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$ 和 $vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$ 的点乘就是 $a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$。根据这个，我们就能算出向量的长度，也能算出两个向量之间的夹角。
为什么要有“完备化”？
现在，我们有了集合、可以相加缩放的向量、还有衡量“长度”和“方向”的内积。这听起来已经很强大了，但还不够“坚固”。
想象一下，在一个“不完备”的空间里，我们有一系列的点（或者向量），它们似乎在“收敛”到一个地方，但那个“地方”在这个空间里并不真实存在。这就像你在一个不完整的数字系统里，尝试计算 $1/3$ 的小数表示，你会得到 $0.333...$，这是一个无限循环的数字，但如果我们只允许有限位数的表示，那么这个“极限”点就不存在。
完备性是希尔伯特空间的关键特征。它保证了：如果有一列“点”（向量）在这个空间里“越来越接近”（形成一个柯西序列），那么它们一定会收敛到这个空间里的某一个点。
换句话说，希尔伯特空间不会有“空缺”。所有“看起来应该存在的”极限点，在这个空间里都是真实存在的。这对于我们处理极限、收敛、微积分相关的概念至关重要，尤其是在处理函数这类无穷维的对象时。
希尔伯特空间的“点”可以是什么？
二维平面上的向量： $(x, y)$。内积就是 $x_1x_2 + y_1y_2$。
三维空间里的向量： $(x, y, z)$。内积就是 $x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$。
高维欧几里得空间： $(x_1, x_2, ..., x_n)$。
函数空间： 这才是希尔伯特空间真正大放异彩的地方！
平方可积函数： 比如在某个区间 $[a, b]$ 上的所有函数 $f(x)$，满足 $int_a^b |f(x)|^2 dx < infty$。
示例： 考虑区间 $[0, 2pi]$ 上的所有函数。我们可以定义函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的内积为 $langle f, g angle = frac{1}{pi} int_0^{2pi} f(x) overline{g(x)} dx$ (这里的 $overline{g(x)}$ 是 $g(x)$ 的复共轭，对于实函数就等于 $g(x)$)。
“长度”： 函数的“长度”就是 $sqrt{langle f, f angle} = sqrt{frac{1}{pi} int_0^{2pi} |f(x)|^2 dx}$。
“正交”： 如果 $langle f, g angle = 0$，我们就说这两个函数是“正交”的。这就像在三维空间里，两个互相垂直的向量。
为什么函数空间是希尔伯特空间？
因为函数可以被看作是“无穷维向量”。就像一个三维向量有三个分量 $(x, y, z)$，一个函数 $f(x)$ 在每一个点 $x$ 上都有一个值 $f(x)$。如果我们把定义域离散化，想象成无数个点，那么函数就像一个有无穷多个分量的向量。
而对于平方可积函数，它们在这个内积下构成了“完备”的向量空间，所以它们就组成了希尔伯特空间。
希尔伯特空间的重要性：
1. 统一的数学语言： 它可以用来描述和研究各种数学对象，从基本的向量到复杂的函数，甚至量子力学中的态。
2. 几何直觉的推广： 希尔伯特空间让我们能用熟悉的几何概念（长度、角度、投影、正交）来理解函数及其性质。
3. 数学分析的基石： 很多高级分析工具，比如傅里叶级数、傅里叶变换，都建立在希尔伯特空间理论之上。它们将复杂的函数分解为一系列更简单的“正交”函数（如正弦和余弦函数）的线性组合。这就像将一个复杂的声波分解成一系列纯净的音符。
4. 量子力学： 这是希尔伯特空间最著名的应用之一。在量子力学中，一个系统的状态（比如一个电子的自旋）就被描述为一个希尔伯特空间中的向量（称为“态向量”）。可观测量（比如能量、动量）则对应于作用在这些向量上的“算符”。内积则用来计算“概率幅”，预测测量结果的可能性。
打个比方：
你可以把希尔伯特空间想象成一个“超级音乐厅”。
普通音乐厅（欧几里得空间）： 里面有固定的座位，你可以准确找到每个座位的位置，知道座位之间的距离。
稍微好一点的音乐厅（内积空间）： 除了位置，你还能知道不同座位（向量）之间的“和谐程度”（内积），甚至能判断它们是否“互不干扰”（正交）。
一个完美无瑕的超级音乐厅（希尔伯特空间）： 这里不仅有座位，而且座位排列得极其规整、完备。无论你想象出一组“逐渐靠近”的座位（柯西序列），总能找到一个真实的座位（极限点）来对应。更重要的是，这个音乐厅可以容纳无数种“乐器”（函数），每种乐器都可以用一组“音符”（基函数，类似正弦余弦）来精确描述，而且这些音符是“正交”的，不会互相干扰。
总结一下：
希尔伯特空间是一个完备的内积向量空间。
向量空间 提供了加法和数乘的结构。
内积 赋予了“长度”、“角度”和“正交性”的概念，让我们能讨论“距离”和“相似度”。
完备性 保证了空间的“完整性”，没有“洞”，极限点总是在空间内。
通过理解希尔伯特空间，我们能用几何化的语言来处理函数，研究无穷序列的收敛性，并且建立起像傅里叶分析和量子力学这样的强大理论。它就像一张精密的数学地图，让我们能 navigat 在抽象的数学世界中，并发现其中深刻的联系和规律。
希望这样的解释能让你对希尔伯特空间有一个更立体、更生动的理解，而不是仅仅停留在符号和公式上。它真的是一个非常美妙且强大的数学工具！
网友意见
各种高大上的解释上面大佬都回答了，我个学渣就讲些简明不严谨的。
希尔伯特空间是指完备正交的线性空间，可以是无穷维，也可以是有限维。而日常三维可以称为三维完备正交线性空间。是不是很像？
要明白希尔伯特空间，先从数学物理角度的维度说起。所谓维度，不单单指空间维度和时间，其最基本的概念叫做，描述一个状态的坐标数。因为是正交的，所以是独立坐标数。（正交下文再提）在空间中，描述一个东西的位置状态，需要三个独立坐标，所以有空间三维。如果要描述物体的运动状态，除了空间三维，还需要它在三个空间方向的动量坐标，即共6个独立坐标，构成了一个六维空间，物理上称之为相空间（对，就是你力学书上那个！）。希尔伯特空间就是由若干个（可以是任意数量）独立坐标构成的抽象空间。量子力学里，就是本征矢构成的。
同样用三维空间类比，为了描述三维，我们设定了xyz三个坐标构成一个坐标系，单位坐标是1，这些都是中学物理的内容。在数学上，我们称xyz的单位坐标为基矢量，通过对这三个基矢量的平移，我们能获得一个完整的三维空间。可以说，空间（线性的）都是由基矢量的平移构成的。
希尔伯特空间也不例外，但特别的是，希尔伯特空间的基矢不是定长的，各个基矢的大小不一定是一样的。它的基矢可以是函数！数学上，函数是可以作为广义坐标的，为什么我也不知道，分析数学没学好。。。
综上，希尔伯特空间就是由若干个函数作为独立坐标构成的抽象空间。
最后说说比较细节的东西，一个是正交完备，一个是线性。
所谓正交，很好理解，就是三维中的垂直。我们可以说，直角坐标系构成的空间是一个正交空间，因为xyz三个坐标基矢量相互垂直/正交。当然，没有人能想象高维空间的垂直，改称为正交，其更本质的含义是相互独立。类比于日常三维，就是当一个矢量在x轴方向上延长，它在yz轴上的坐标可以是不发生变化的，相互间互不影响。相互独立可以用内积是否为0判断，在二维三维里，内积就是矢量乘法，中学里学过，相互垂直的矢量，矢积为0。
然后是完备，完备就是说这个空间没有洞，也就是我们所要描述的这类状态的所有可能值都被这个空间包含了。如果这个空间有洞，那洞里的那个状态，我们就不能描述了。日常三维就是个完备的空间。想象一下，我们愉快的生活在一张纸上的世界，以我们2维的视角，这个世界是完备的，所有东西的位置都是可描述的。某一天，一个不可描述的大能拿它沾了口水的手指在纸上戳了个洞。这个洞对我们而言就变成了未知。可能你的小芳本来在洞的那个位置，在那瞬间，emmmm。。。你的小芳不见了，你甚至不知道她在哪里，就像她突然消失了。
最后讲讲线性。1+1=2，这就是线性。线性就是指不同的量之间满足加法规则（减法也行，减法是加法的逆运算）。日常三维是线性的，因为如果你往东先走5m，再走5m，总共走了5+5=10m。绝大部分人能接触到的空间概念，都是线性的，日常三维可以称为三维完备正交线性空间。（所以理工科都要学线性代数，都是泪啊）
PS:我也是学量子才明白啥叫希尔伯特空间的，所以，多做题多想想，多掉头发，你就明白了
看来问主是一个感性很强的人。
从感性层面理解希尔伯特空间，可以去看看黑衣人1结尾的那个外星人打弹珠的小段子。视角快速地从地球上升到太阳系，银河系，室女星团，本宇宙，玻璃珠，一堆玻璃珠，玩弹珠的外星人，一层层的包含关系。
差不多就是这个感觉，希尔伯特空间就是那个外星人所在的世界，初高中教科书上面的XYZ坐标系，应该算是地球那个层级的空间吧。
理性层面的理解，可以按照国学、家庭和牛顿物理三道菜来讲述，看问主喜欢哪个口味的。
但是本质都是一样的：用来描述某种关系（规律）的好点子或者好架构，而这些个好点子或者好架构都来自于一个相同的微观形态：正交和可转换。
国学
首当其冲的自然是太极图和周易，太极图描绘的是一个整体的两个有机组成，白与黑；周易把太极这个黑与白的微观关系连环使用，又往下打开了6层，也即2³*2³=64，然后用这64个符号来表示农业生产规律，或者叫周期，类似24节气的那种规律。
这里太极的阴和阳，可以理解为最简单的正交关系，XY轴；但是有个问题，阴和阳算下来只有两个状态，只能用来表示对与错这样简单的东西，不够用；于是人们就太极生两仪，两仪分四象，四象裂八方，八方成一斤（十六两），一斤填六合（6*6=36），六合演周易，这样就有足够的数来表示状态了，可用于描述相对复杂的东西。
家庭
其实家庭这个菜，答主比较喜欢，因为它比国学那道菜更加有意思。比如：
首先，问主的诞生离不开一个男人和一个女人；
其次，问主的性别只能在男人，女人，男上加男，女中有女，不男不女，这几种状态中去选择一个；
再者，问主与女娲，盘古之间，按照血统，至少有两条血缘线和一个汇聚点连接在一起，问主是终点，女娲和盘古是始点；（如果真是两条线与一个节点，问主就大发了。呵呵）
还有，问主有父母，有祖辈，有曾祖，直到女娲盘古，定义清晰，回溯有源，无可遗漏；
上面的谱系关系，比较清晰的呈现了血缘的关系，是一种关系学说。这里的男女就是太极里面的阴阳，也是一对正交量；同时它们限制了后代的性别，提供有限的选择；另外，它能描述时间跨度很大的关系。
牛顿物理
牛顿是个牛人，以及同时代的莱布尼茨，他们发现了微积分的玄妙，而微积分的最大特征就是用正交量把研究对象切成无限小，然后把它们再组成大尺寸，有点像把一块石头先分成最小的粒子，然后再按照人们方便的方法再组成石头，这样人们就可以更好的了解石头的性质或者说它身上的各种关系。这种把数学语言和逻辑用于物理研究的方法也正式落定。
国学，家庭和牛顿物理三道菜，其实也有一定的关系：
国学⇔连续时间中的一个完整周期（一个生产周期），符号对应（一个生产周期中的各个节气节点）
家庭⇔没有明确的时间连续要求（分代，上一代产生下一代），无法准确预测下一代的关键特征（性别只能在几种有限可能性中选择一个），完整的描述关系（从最开始的祖先到当下的后代均能清晰定义。）
牛顿物理⇔用数学来描述对象，对象可以是国学，可以是家庭，发现这把千能钥匙很好用，后面的科学家延续他的方法，把千能钥匙变成了万能钥匙。
问主可能会接着问，那为什么一定要用正交来表达，以及为什么一定要进行转换呢？
作为一名编外民科，答主能告诉问主：
正交的效率高，开销小。正交具有不变性，然后通过不变性来描述可变性。
转换呢，其实我们的世界就是一个充满各种关系的世界，而这些关系是通过转换才能被认识。比如要知道温度几何，我们只能用温度计，而温度计也是用液体或者固体对温度的反映来转换，并用数字的转换告诉我们数值。
上面的经验是数百年来，科学家总结出来的方法论，至于这个方法论里面的要点，是否有时间上的强制依赖顺序，比如先要有理论A才会出现它后面的理论B，实际历史上没有强制这样的因果关系，而是科学家发现某个理论更加完善，就会进行替换，用更完善的理论替换掉之前老的理论。比如希尔伯特空间比爱因斯坦的广义相对论要发布的早，但是在相对论出来后，这个空间被发现价值原来如此之大。比如牛顿空间可以描述地球与太阳系的一些关系，爱因斯坦空间可以描述牛顿空间以及更宏观的宇宙，希尔伯特空间更进一步，（估计）可以用于描述前面那个玻璃球甚至那一堆玻璃球。
ps：下面这个科普高赞公众号，个人觉得比较适合普通人看，当然还有其他不错的科普，后面有缘就来更新上来。
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