积分不就是找反导数吗，为什么还有稀奇古怪的积分技巧？
积分，听起来挺简单，不就是找到一个函数的“反导数”嘛。这话说对了一半，但如果以为找到反导数就是积分的全部，那就太小看它了。咱们生活中遇到的很多问题，比如计算不规则形状的面积、曲线的长度、物体的体积，甚至是概率，都离不开积分。可实际操作起来，很多时候你对着一个函数挠头半天，就是找不到那个“直接”的反导数。这不就催生了各种各样稀奇古怪的积分技巧了吗？这就像学武功，基本招式是抓、打、踢，但要对付千变万化的对手，还得有降龙十八掌、黯然销魂掌这些绝招。
咱们先说说，为什么找反导数有时候会这么难。
反导数，并非总能“简单”找到
理论上，如果一个函数 $f(x)$ 是另一个函数 $F(x)$ 的导数，那么 $f(x)$ 的不定积分就是 $F(x) + C$。我们中学里学过各种函数的导数，比如多项式、指数函数、三角函数。求它们的反导数，通常也很直接，比如 $(sin x)' = cos x$，所以 $int cos x , dx = sin x + C$。 $(frac{1}{2}x^2)' = x$，所以 $int x , dx = frac{1}{2}x^2 + C$。这些都是“基本款”，一眼就能看出来。
但是，一旦函数稍微复杂一点，比如：
$int e^{x^2} , dx$
$int frac{sin x}{x} , dx$
$int sqrt{1 + x^3} , dx$
这些函数，你翻遍你认识的“标准导数公式表”，也找不到一个直接对应的反导数。不是说它们没有反导数，而是它们的反导数无法用我们熟悉的初等函数（多项式、指数、对数、三角函数、反三角函数以及它们的有限次复合）来表示。
这就像什么呢？就像我们知道猫有爪子、狗有牙齿，但如果你看到一条狼，你可能很难立刻说出它“具体”有哪些“独门绝技”。狼的咬合力强，皮毛厚实，这些是它的特性，但不是一个简单的、可以套用的“公式”。
所以，即便从理论上知道积分就是找反导数，当被积函数不属于“基本款”时，我们手里的“直接反导数”工具就失灵了。这时候，我们就需要一些“技巧”来“驯服”这些不听话的函数，把它们变成我们能识别的、或者更容易处理的形式。
那些“稀奇古怪”的积分技巧，到底在干什么？
这些积分技巧，本质上都是为了转化问题，把一个难以直接求解的积分，变成一个我们能处理的、或者说“更简单”的积分。就好比你面对一块石头，直接搬不动，你可以把它砸碎，或者找个杠杆把它撬起来。积分技巧就是这些“砸碎”和“撬动”的工具。
主要有这么几类常用的技巧：
1. 换元积分法 (Substitution Rule)
核心思想： 改变积分的变量，把复杂的函数“变身”成简单的形式。这就像你原本要搬一座山，太难了，你换了个思路，把山的一部分挖掉，或者用小车运，这样就好办多了。
为什么管用： 这个技巧是基于链式法则的逆运算。如果我们要计算 $int f(g(x)) g'(x) , dx$，我们可以令 $u = g(x)$，那么 $du = g'(x) , dx$。原积分就变成了 $int f(u) , du$，如果 $f(u)$ 的反导数容易求，那问题就解决了。
例子： 计算 $int x cos(x^2) , dx$。
直接找反导数，看着 $x$ 和 $cos(x^2)$ 怎么也配不起来。
但我们注意到 $x^2$ 的导数是 $2x$（或者 $x$）。这提醒我们可以做个替换。
令 $u = x^2$，则 $du = 2x , dx$。所以 $x , dx = frac{1}{2} du$。
原积分就变成了 $int cos(u) frac{1}{2} du = frac{1}{2} int cos(u) , du$。
$cos(u)$ 的反导数是 $sin(u)$。所以结果是 $frac{1}{2} sin(u) + C$。
最后把 $u=x^2$ 代回去，得到 $frac{1}{2} sin(x^2) + C$。
“稀奇古怪”之处： 有时候，我们选择的替换变量 $u$ 可能不是直接由被积函数的一部分导数构成，而是需要更巧妙的设计。比如，遇到 $sqrt{a^2 x^2}$ 这样的形式，我们可能会想到三角换元 $x = a sin heta$。这就像是认识到“当遇到困难的石头时，把它变成圆的可能更好搬”。
2. 分部积分法 (Integration by Parts)
核心思想： 将一个乘积的积分，转化为另一个乘积的积分加上一个“简单些”的积分。它的理论基础是乘积法则的逆运算。
为什么管用： 乘积法则告诉我们 $(uv)' = u'v + uv'$。整理一下就是 $uv' = (uv)' u'v$。对两边积分，就得到 $int uv' , dx = uv int u'v , dx$。
这看起来是不是有点奇怪？我们把一个积分 $int uv' , dx$ 变成了 $uv int u'v , dx$。如果选择的 $u$ 和 $v'$ 恰当，使得 $int u'v , dx$ 比原积分更容易计算，那就奏效了。
例子： 计算 $int x sin x , dx$。
我们不能直接找到 $x sin x$ 的反导数。
这里有两个“部分”：$x$ 和 $sin x$。我们可以把其中一部分看作 $u$，另一部分看作 $v'$。
选择1： 令 $u = x$，则 $du = dx$；令 $dv' = sin x , dx$，则 $v = cos x$。
套用公式：$int x sin x , dx = x(cos x) int (cos x) , dx = x cos x + int cos x , dx$。
$int cos x , dx = sin x + C$。
所以结果是 $x cos x + sin x + C$。
选择2： 令 $u = sin x$，则 $du = cos x , dx$；令 $dv' = x , dx$，则 $v = frac{1}{2}x^2$。
套用公式：$int x sin x , dx = (sin x)(frac{1}{2}x^2) int (cos x)(frac{1}{2}x^2) , dx = frac{1}{2}x^2 sin x frac{1}{2} int x^2 cos x , dx$。
这个新积分 $int x^2 cos x , dx$ 比原来的 $int x sin x , dx$ 看起来更复杂了！所以这个选择不好。
“稀奇古怪”之处： 选择合适的 $u$ 和 $dv'$ 是分部积分法的关键。有时候，需要连续使用分部积分法多次，才能最终将积分化简。比如 $int x^2 e^x , dx$。而且，有些看似很难的积分，比如 $int e^x sin x , dx$，通过两次分部积分，最后会回到原积分，然后通过移项就能解出来，这有点像“英雄回到原点，然后从另一个角度解决了问题”。
3. 三角恒等式与三角换元
核心思想： 利用三角函数的恒等关系，或者直接用三角函数来替换变量，以消除根式、平方项，或者将复杂的三角函数化简。
为什么管用： 很多积分中的根式结构，比如 $sqrt{a^2 x^2}$, $sqrt{a^2 + x^2}$, $sqrt{x^2 a^2}$，在进行特定的三角换元后，会变成非常简化的形式，比如 $a cos heta$, $a sec heta$, $a an heta$，而这些形式的积分，通常是我们熟知的。
例子： 计算 $int frac{1}{sqrt{1 x^2}} , dx$。
这已经是标准公式了，结果是 $arcsin x + C$。
但如果我们不知道这个公式，可以尝试三角换元。
令 $x = sin heta$，则 $dx = cos heta , d heta$。
$sqrt{1 x^2} = sqrt{1 sin^2 heta} = sqrt{cos^2 heta} = |cos heta|$。如果我们限定 $ heta$ 在 $[frac{pi}{2}, frac{pi}{2}]$ 之间，那么 $cos heta ge 0$，所以 $sqrt{1 x^2} = cos heta$。
原积分变成 $int frac{1}{cos heta} (cos heta , d heta) = int 1 , d heta = heta + C$。
因为 $x = sin heta$，所以 $ heta = arcsin x$。
结果是 $arcsin x + C$。
“稀奇古怪”之处： 选择哪种三角换元（sin, cos, tan, sec 等）需要根据被积函数中根号下的表达式形式来判断，这需要经验积累。
4. 部分分式分解 (Partial Fraction Decomposition)
核心思想： 将一个复杂的有理函数（多项式除以多项式）分解成若干个更简单的（通常是线性的或二次的）有理函数的和。
为什么管用： 很多有理函数的积分，关键在于把分母因式分解，然后用待定系数法求出部分分式。这些部分分式通常是 $frac{A}{ax+b}$ 或 $frac{Bx+C}{ax^2+bx+c}$ 的形式，它们的积分是简单的对数函数或反正切函数。
例子： 计算 $int frac{2x+1}{x^21} , dx$。
分母是 $x^21 = (x1)(x+1)$。
我们尝试将其分解为 $frac{A}{x1} + frac{B}{x+1}$。
通分后得到 $frac{A(x+1) + B(x1)}{(x1)(x+1)} = frac{(A+B)x + (AB)}{(x1)(x+1)}$。
对比分子，有 $A+B = 2$ 和 $AB = 1$。解得 $A = frac{3}{2}, B = frac{1}{2}$。
所以原积分变成 $int (frac{3/2}{x1} + frac{1/2}{x+1}) , dx$。
这是一个非常容易积分的形式：$frac{3}{2} ln|x1| + frac{1}{2} ln|x+1| + C$。
“稀奇古怪”之处： 分母的因式分解是关键。如果分母有重根或虚根，分解的形式会略有不同，处理起来也更复杂一些，需要一定的代数功底。
5. 其他更高级或特殊的技巧
参数积分 (Integral with Parameters)：积分符号下包含一个或多个参数，通过对参数求导或积分来简化原积分。
利用复数 (Complex Numbers)：将实变函数积分转化为复变函数中的路径积分，有时会大大简化问题。
递推关系 (Reduction Formulas)：对于某些形式的积分，比如含有高次幂的三角函数积分 $int sin^n x , dx$，可以推导出一种递推公式，使得求解高次幂的积分可以转化为求解低次幂的积分，直到最终能够直接计算。
特殊函数 (Special Functions)：有些积分的结果无法用初等函数表示，它们被定义为特殊的数学函数，比如伽马函数、贝塔函数、误差函数 (erf) 等。
为什么我们需要这些“技巧”？
1. 拓展计算范围： 如前所述，很多我们生活中会遇到的数学模型，其核心计算都涉及到积分。如果只有“基本款”的反导数公式，我们将无法解决大量实际问题。这些技巧帮助我们能够计算更多种类的积分。
2. 理论基础： 许多微积分的理论发展，比如微积分基本定理的证明，或者对函数性质的深入研究，都依赖于对不同类型积分的理解和计算能力。
3. 思维训练： 学习这些积分技巧的过程，本身就是一种强大的思维训练。它要求我们具备细致的观察力、敏锐的联想能力、严谨的逻辑推理以及解决复杂问题的耐心。这就像学下棋，你不仅要记住棋谱，更要学会根据局面“走棋”，这锻炼的是你的战略和战术思维。
4. 美学价值： 有时，一个巧妙的积分技巧能将一个看似杂乱无章的问题，化繁为简，最终得到一个优雅简洁的答案。这种“化腐朽为神奇”的过程，本身就蕴含着数学的美感。
所以说，积分不只是找反导数那么简单。找到反导数是积分的“终点”，而那些“稀奇古怪”的积分技巧，则是我们通往这个终点过程中，攀登山峦、越过河流、穿过迷雾的各种“工具”和“方法”。它们让积分这门学问变得既实用又充满智慧，也让数学世界更加迷人。
咱们先说说，为什么找反导数有时候会这么难。
反导数，并非总能“简单”找到
理论上，如果一个函数 $f(x)$ 是另一个函数 $F(x)$ 的导数，那么 $f(x)$ 的不定积分就是 $F(x) + C$。我们中学里学过各种函数的导数，比如多项式、指数函数、三角函数。求它们的反导数，通常也很直接，比如 $(sin x)' = cos x$，所以 $int cos x , dx = sin x + C$。 $(frac{1}{2}x^2)' = x$，所以 $int x , dx = frac{1}{2}x^2 + C$。这些都是“基本款”，一眼就能看出来。
但是，一旦函数稍微复杂一点，比如：
$int e^{x^2} , dx$
$int frac{sin x}{x} , dx$
$int sqrt{1 + x^3} , dx$
这些函数，你翻遍你认识的“标准导数公式表”，也找不到一个直接对应的反导数。不是说它们没有反导数，而是它们的反导数无法用我们熟悉的初等函数（多项式、指数、对数、三角函数、反三角函数以及它们的有限次复合）来表示。
这就像什么呢？就像我们知道猫有爪子、狗有牙齿，但如果你看到一条狼，你可能很难立刻说出它“具体”有哪些“独门绝技”。狼的咬合力强，皮毛厚实，这些是它的特性，但不是一个简单的、可以套用的“公式”。
所以，即便从理论上知道积分就是找反导数，当被积函数不属于“基本款”时，我们手里的“直接反导数”工具就失灵了。这时候，我们就需要一些“技巧”来“驯服”这些不听话的函数，把它们变成我们能识别的、或者更容易处理的形式。
那些“稀奇古怪”的积分技巧，到底在干什么？
这些积分技巧，本质上都是为了转化问题，把一个难以直接求解的积分，变成一个我们能处理的、或者说“更简单”的积分。就好比你面对一块石头，直接搬不动，你可以把它砸碎，或者找个杠杆把它撬起来。积分技巧就是这些“砸碎”和“撬动”的工具。
主要有这么几类常用的技巧：
1. 换元积分法 (Substitution Rule)
核心思想： 改变积分的变量，把复杂的函数“变身”成简单的形式。这就像你原本要搬一座山，太难了，你换了个思路，把山的一部分挖掉，或者用小车运，这样就好办多了。
为什么管用： 这个技巧是基于链式法则的逆运算。如果我们要计算 $int f(g(x)) g'(x) , dx$，我们可以令 $u = g(x)$，那么 $du = g'(x) , dx$。原积分就变成了 $int f(u) , du$，如果 $f(u)$ 的反导数容易求，那问题就解决了。
例子： 计算 $int x cos(x^2) , dx$。
直接找反导数，看着 $x$ 和 $cos(x^2)$ 怎么也配不起来。
但我们注意到 $x^2$ 的导数是 $2x$（或者 $x$）。这提醒我们可以做个替换。
令 $u = x^2$，则 $du = 2x , dx$。所以 $x , dx = frac{1}{2} du$。
原积分就变成了 $int cos(u) frac{1}{2} du = frac{1}{2} int cos(u) , du$。
$cos(u)$ 的反导数是 $sin(u)$。所以结果是 $frac{1}{2} sin(u) + C$。
最后把 $u=x^2$ 代回去，得到 $frac{1}{2} sin(x^2) + C$。
“稀奇古怪”之处： 有时候，我们选择的替换变量 $u$ 可能不是直接由被积函数的一部分导数构成，而是需要更巧妙的设计。比如，遇到 $sqrt{a^2 x^2}$ 这样的形式，我们可能会想到三角换元 $x = a sin heta$。这就像是认识到“当遇到困难的石头时，把它变成圆的可能更好搬”。
2. 分部积分法 (Integration by Parts)
核心思想： 将一个乘积的积分，转化为另一个乘积的积分加上一个“简单些”的积分。它的理论基础是乘积法则的逆运算。
为什么管用： 乘积法则告诉我们 $(uv)' = u'v + uv'$。整理一下就是 $uv' = (uv)' u'v$。对两边积分，就得到 $int uv' , dx = uv int u'v , dx$。
这看起来是不是有点奇怪？我们把一个积分 $int uv' , dx$ 变成了 $uv int u'v , dx$。如果选择的 $u$ 和 $v'$ 恰当，使得 $int u'v , dx$ 比原积分更容易计算，那就奏效了。
例子： 计算 $int x sin x , dx$。
我们不能直接找到 $x sin x$ 的反导数。
这里有两个“部分”：$x$ 和 $sin x$。我们可以把其中一部分看作 $u$，另一部分看作 $v'$。
选择1： 令 $u = x$，则 $du = dx$；令 $dv' = sin x , dx$，则 $v = cos x$。
套用公式：$int x sin x , dx = x(cos x) int (cos x) , dx = x cos x + int cos x , dx$。
$int cos x , dx = sin x + C$。
所以结果是 $x cos x + sin x + C$。
选择2： 令 $u = sin x$，则 $du = cos x , dx$；令 $dv' = x , dx$，则 $v = frac{1}{2}x^2$。
套用公式：$int x sin x , dx = (sin x)(frac{1}{2}x^2) int (cos x)(frac{1}{2}x^2) , dx = frac{1}{2}x^2 sin x frac{1}{2} int x^2 cos x , dx$。
这个新积分 $int x^2 cos x , dx$ 比原来的 $int x sin x , dx$ 看起来更复杂了！所以这个选择不好。
“稀奇古怪”之处： 选择合适的 $u$ 和 $dv'$ 是分部积分法的关键。有时候，需要连续使用分部积分法多次，才能最终将积分化简。比如 $int x^2 e^x , dx$。而且，有些看似很难的积分，比如 $int e^x sin x , dx$，通过两次分部积分，最后会回到原积分，然后通过移项就能解出来，这有点像“英雄回到原点，然后从另一个角度解决了问题”。
3. 三角恒等式与三角换元
核心思想： 利用三角函数的恒等关系，或者直接用三角函数来替换变量，以消除根式、平方项，或者将复杂的三角函数化简。
为什么管用： 很多积分中的根式结构，比如 $sqrt{a^2 x^2}$, $sqrt{a^2 + x^2}$, $sqrt{x^2 a^2}$，在进行特定的三角换元后，会变成非常简化的形式，比如 $a cos heta$, $a sec heta$, $a an heta$，而这些形式的积分，通常是我们熟知的。
例子： 计算 $int frac{1}{sqrt{1 x^2}} , dx$。
这已经是标准公式了，结果是 $arcsin x + C$。
但如果我们不知道这个公式，可以尝试三角换元。
令 $x = sin heta$，则 $dx = cos heta , d heta$。
$sqrt{1 x^2} = sqrt{1 sin^2 heta} = sqrt{cos^2 heta} = |cos heta|$。如果我们限定 $ heta$ 在 $[frac{pi}{2}, frac{pi}{2}]$ 之间，那么 $cos heta ge 0$，所以 $sqrt{1 x^2} = cos heta$。
原积分变成 $int frac{1}{cos heta} (cos heta , d heta) = int 1 , d heta = heta + C$。
因为 $x = sin heta$，所以 $ heta = arcsin x$。
结果是 $arcsin x + C$。
“稀奇古怪”之处： 选择哪种三角换元（sin, cos, tan, sec 等）需要根据被积函数中根号下的表达式形式来判断，这需要经验积累。
4. 部分分式分解 (Partial Fraction Decomposition)
核心思想： 将一个复杂的有理函数（多项式除以多项式）分解成若干个更简单的（通常是线性的或二次的）有理函数的和。
为什么管用： 很多有理函数的积分，关键在于把分母因式分解，然后用待定系数法求出部分分式。这些部分分式通常是 $frac{A}{ax+b}$ 或 $frac{Bx+C}{ax^2+bx+c}$ 的形式，它们的积分是简单的对数函数或反正切函数。
例子： 计算 $int frac{2x+1}{x^21} , dx$。
分母是 $x^21 = (x1)(x+1)$。
我们尝试将其分解为 $frac{A}{x1} + frac{B}{x+1}$。
通分后得到 $frac{A(x+1) + B(x1)}{(x1)(x+1)} = frac{(A+B)x + (AB)}{(x1)(x+1)}$。
对比分子，有 $A+B = 2$ 和 $AB = 1$。解得 $A = frac{3}{2}, B = frac{1}{2}$。
所以原积分变成 $int (frac{3/2}{x1} + frac{1/2}{x+1}) , dx$。
这是一个非常容易积分的形式：$frac{3}{2} ln|x1| + frac{1}{2} ln|x+1| + C$。
“稀奇古怪”之处： 分母的因式分解是关键。如果分母有重根或虚根，分解的形式会略有不同，处理起来也更复杂一些，需要一定的代数功底。
5. 其他更高级或特殊的技巧
参数积分 (Integral with Parameters)：积分符号下包含一个或多个参数，通过对参数求导或积分来简化原积分。
利用复数 (Complex Numbers)：将实变函数积分转化为复变函数中的路径积分，有时会大大简化问题。
递推关系 (Reduction Formulas)：对于某些形式的积分，比如含有高次幂的三角函数积分 $int sin^n x , dx$，可以推导出一种递推公式，使得求解高次幂的积分可以转化为求解低次幂的积分，直到最终能够直接计算。
特殊函数 (Special Functions)：有些积分的结果无法用初等函数表示，它们被定义为特殊的数学函数，比如伽马函数、贝塔函数、误差函数 (erf) 等。
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1. 拓展计算范围： 如前所述，很多我们生活中会遇到的数学模型，其核心计算都涉及到积分。如果只有“基本款”的反导数公式，我们将无法解决大量实际问题。这些技巧帮助我们能够计算更多种类的积分。
2. 理论基础： 许多微积分的理论发展，比如微积分基本定理的证明，或者对函数性质的深入研究，都依赖于对不同类型积分的理解和计算能力。
3. 思维训练： 学习这些积分技巧的过程，本身就是一种强大的思维训练。它要求我们具备细致的观察力、敏锐的联想能力、严谨的逻辑推理以及解决复杂问题的耐心。这就像学下棋，你不仅要记住棋谱，更要学会根据局面“走棋”，这锻炼的是你的战略和战术思维。
4. 美学价值： 有时，一个巧妙的积分技巧能将一个看似杂乱无章的问题，化繁为简，最终得到一个优雅简洁的答案。这种“化腐朽为神奇”的过程，本身就蕴含着数学的美感。
所以说，积分不只是找反导数那么简单。找到反导数是积分的“终点”，而那些“稀奇古怪”的积分技巧，则是我们通往这个终点过程中，攀登山峦、越过河流、穿过迷雾的各种“工具”和“方法”。它们让积分这门学问变得既实用又充满智慧，也让数学世界更加迷人。
网友意见
本文使用 Zhihu On VSCode 创作并发布
的确是求反导数啊，如果你能用算反导数的方法求解以下积分或许能拿菲奖：
其中.
足球不就是把球踢到人家的门里面去吗，为什么还要一大堆什么433、442之类稀奇古怪的战术？
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