一根 1m 长的玻璃棒，摔倒地上断成 3 段，最短一段的平均值是多少？
首先，我们得承认，这个“最短一段的平均值是多少”这个问题，其实有点小小的“套路”。因为我们并不知道它到底是怎么摔的，断成了什么样子。玻璃棒断成三段，这就像我们生活中的很多事情一样，结果往往是出乎意料，而且没有一个固定的“正确答案”。
想象一下，这根 1 米长的玻璃棒，它曾经是个完整的整体，就像我们每个人的生活，都有一个起点。它的长度是固定的 100 厘米。然后，它遇到了“意外”——从地上摔落。这个摔落的过程，以及地面的材质、力度，都会影响最终的结果。它可能就是“咔嚓”一声，利落地断成三截；也可能摔得很碎，出现很多细小的碎片。
但题目说的是断成了 3 段，这就意味着它至少是出现了三个相对完整的、能够被称之为“一段”的长度。
那么，这三段的长度加起来，总长度还是那 1 米，也就是 100 厘米。我们假设这三段的长度分别是 L1, L2, 和 L3。那么，L1 + L2 + L3 = 100 厘米。
现在的问题来了：“最短一段的平均值是多少？”
这里面有两个关键点：
1. “最短一段”： 这就意味着我们需要比较 L1, L2, L3 这三个长度，然后找出最小的那一个。比如，如果三段是 20cm, 30cm, 50cm，那么最短的就是 20cm。如果三段是 33cm, 33cm, 34cm，那么最短的就是 33cm（实际上有两段都是最短的）。
2. “平均值”： 当我们说“最短一段的平均值”时，如果只考虑这一次摔碎的情况，那么“最短一段”只有一个确定的长度，比如说 20cm。这时候，“最短一段的平均值”就等于它本身的长度，也就是 20cm。
但是，这里隐藏着一个更深层次的思考。
“平均值”这个词，通常用在我们有很多数据点的时候，用来概括这些数据的集中趋势。比如，我们把这根玻璃棒反复摔很多次，每次都得到三段，我们就可以计算出每次的最短一段的长度，然后把这些“最短一段”的长度加起来，再除以摔的次数，这才叫“最短一段的平均值”。
而题目只描述了 一次 摔碎的过程。所以，如果你非要问“最短一段的平均值是多少”，在 仅有一次摔碎的场景下，它就等于 这次摔碎过程中最短那一段的实际长度。
那么，这个最短一段的长度，到底是多少呢？
这就是问题的魅力所在了！因为我们不知道玻璃棒是怎么摔的，所以：
最极端的情况： 假设玻璃棒在非常精确的某个点上断裂，比如在距离一端 1cm 的地方断了第一截，再往另一端 1cm 的地方断了第二截，那么第三段就是 98cm。这时候，最短的就是 1cm。
更平均的情况： 比如断成了 30cm, 35cm, 35cm。最短是 30cm。
或者断成了 10cm, 40cm, 50cm。 最短是 10cm。
或者断成了 1cm, 1cm, 98cm。 最短是 1cm。
结论是：
在 只考虑一次摔碎 的情况下，题目问的“最短一段的平均值是多少”，其实就是问 “这次摔碎后，最短的那一段长度是多少”。
而这个长度，是 不确定的。它可以是任意一个大于零，并且小于等于 100/3 厘米（因为如果三段都一样长，就是 33.33...cm，任何一段都不可能比 100/3 更长，否则就不是最短了）的长度。
所以，从数学上来说，我们无法给出一个确切的数值，除非我们事先知道玻璃棒是如何断裂的。
我们只能说：
这三段的总长度是 100 厘米。
设最短一段的长度为 $L_{min}$。
那么，$0 < L_{min} le 33.33...$ 厘米。
如果你问我一个“最可能”或者“平均下来”的答案，那可能是三段大致均分的情况，也就是接近 33.33 厘米。但那是在我们对摔碎的过程没有任何信息的情况下，对所有可能情况做的一种“平均”的想象，而不是基于实际数据计算出来的平均值。
所以，下次当你听到这个问题，就可以明白，它不是在考验一个简单的计算，而是在考察你对“不确定性”和“平均值”的理解。就像生活中的很多“意外”，结果都是多种多样的，我们只能根据已有的信息去推测，却很难给出一个绝对精确的答案。这根玻璃棒的故事，其实也反映了生活中的不少道理呢！
网友意见
现有的大部分回答，要么用积分，要么用编程，这些都是高等教育中才会学的方法，但本问题其实是初一数学可以解决的。
问题： ， ，求 的期望。
解：实际上 是由 和 确定的，变量数为 2，且由于 ，故有
在直角坐标系中，画出 和 的曲线
易见，两条直线的交点是 (1/3,1/3)。
并且所有满足条件的 x,y 都在三角形 OBC 中。
所求的 x,y 的期望值即三角形 OBC 的「重心」。
根据「重心」的性质，它在顶点和另一边中点连线的 2/3 处。
D (0,1/4)，C(1/3,1/3) => G (1/9, 5/18)
所以最短一段的平均值是 1/9（次短为 5/18，最长为 11/18）。
当然了对于本问题的一般化（3->m），作图会没有那么直观，用积分算会更加直观。
彩蛋：突然发现，我 6 年前竟然回答过类似的问题。
给一个比较常规的做法，事实上有
考虑 (为什么？)
这里是因为。
.
又体积有平移不变性，所以
接下来我们完成计算
设最短的长x，中间的长y，最长的长z，由总长1m消去一个自由度，那么在xyz相图中只剩下一个二维区域，再以长短关系对该区域做约束，由于约束都是线性的，所以约束出来是一个2维的锥形，锥顶对应所有段都长1/3，由于n维锥的重心处在高的1/（n+1）处，所以答案是1/9。
把3换成n可易得答案是1/n²。
更新
随手写的东西没想到有人看，那就再尝试从一个角度解释一下这个答案吧，其实从这个过程中可以看出来如果多碎一段，带来的影响就是，最短段的长度每变化一点，这一点向其他几段的分配方式就会多一个维度，维度越高，情况数就会越向最短一段的短处聚集。
Mathematica 虽迟但到！
两个断点是符合随机分布的有序分布的，故
In [ 1 ] := Expectation [ Min [{ x1 , x2 - x1 , 1 - x2 }], { x1 , x2 } [ Distributed ] OrderDistribution [{ UniformDistribution [], 2 }, { 1 , 2 }]] Out [ 1 ] = 1 / 9
看来从数学角度考虑的答主很多了，我来写个物理性更强的。
首先，我们将问题理想化：把玻璃棒看做长L，质量m的均匀杆，它与地面碰撞时以垂直地面的速度v，角速度omega运动，且与地面成θ角度。假设地面光滑，给的冲量垂直地面向上且大小为I。
而我们可以计算出，玻璃棒内部不同位置受的冲量大小是不一样的。
把玻璃棒受的冲量沿垂直杆和平行杆两个方向分解。沿杆冲量的作用效果不是使杆折断，而是拉伸或压缩这个杆；只有垂直杆方向的冲量起着“折断杆”的作用（想像一下掰一根筷子的情景）
而垂直杆方向冲量取极值的位置有且只有一个，这个位置在杆上距离接触点2/3L处。
所以在这个模型中，它最容易摔成L/3和2L/3两段，而不是题中说的三段→_→
（如果认为垂直方向冲量最大的地方最容易断，其实接触点的冲量最大......但这一点没法“摔断”......)
放上计算过程，都是普物力学范围内的推导：
既然对这个问题感兴趣的人挺多，那就再更新一下，换了张更清晰的图展示推导过程，再进行一些极不严谨的讨论。
上面只是显示了玻璃棒在摔落的过程中哪里更容易折断。我们可以看到，杆在不同位置折断的概率一定是不一样的，所以通过纯数学的方式没法做出正确回答。
其次，即便我们知道了应力分布真如上面展示，呈现二次函数分布（在2/3L<λ<L处应力为负，应该理解成它的绝对值，即相反方向的应力），我们也不能简单地假定各处应力正比于在该处折断的概率。
但作为近似（划掉），我们不妨就这么假定。也就是断点概率分布满足：
（上面的概率分布已归一化）
按题目的假设，我们强行让这根玻璃棒再断裂一次（划掉），再假设两次断裂是同时进行的，都满足这样的概率分布（划掉）
我们按这样的概率分布在(0,1)上取两个点，算出最小值的平均：
积分算起来很麻烦，不如直接上程序模拟：
from math import * import random def f(x): if 0<=x and x<=2/3: return (1-9*(x-1/3)**2) else: return (9*(x-1/3)**2-1) def valid(x,y): return y<=f(x) cnt=0 s=0 for i in range(10000000): x1,y1=random.random(),3*random.random() x2,y2=random.random(),3*random.random() if valid(x1,y1) and valid(x2,y2): s+=min(abs(x1-x2),x1,x2,1-x1,1-x2) cnt+=1 print("count:{}
minimum average distance:{}".format(cnt,s/cnt)) 跑了一次的结果：878092个有效数据点，最短距离的平均值为0.086575
如果解答/代码有问题请私聊我，感谢指正
之前解答有错误，在此订正一下。直接将暴力写出所有约束条件，使用几何概型概率模型计算。
原问题转为数学问题如下：
求
更一般地：
求
在满足得到任意 等概率的条件下(忽略材料因素引起的断裂可能性偏差)，此概率问题可视作几何概型概率问题，求解满足条件区域的体积占比即可。对一般情况，
总概率空间为
该概率空间可进一步转化为以下不等式组决定的 维空间：
其中前两个为已知条件，后面 个不等式保证每个元素都不小于 。
考虑事件 , 此时事件 的概率空间由以下不等式组决定，只需把第二个不等式进一步约束为 即可。由此事件 对应的空间 由以下不等式决定：
对于 , 如下图所示。 三条直线围成的区域 表示 。 围成的区域 表示在 最小的情况下， 对应的区域。两个区域公共顶点为 ，其面积比代表了概率 。面积比可利用 得到。
一般情况下， 对应的锥体与 的锥体共顶点 ，锥体体积可由坐标比值得到。具体地，考虑使用 对应维度的坐标，其坐标值(对应上图 点的横坐标)由以下方程组决定：
容易求得此时的坐标值为 (对应上图的 点横坐标)。因此锥体体积比值为： ,
于是有 ，进而求得概率密度
从而
积分
因此即可得到 ，即最短的一段平均值为 。
数学忘光了，代码跑了下。这里设置长度为1亿，我假设分为三段，参照另一回答的计算方式，第一段随机，第二段取剩余值随机，第三段为总长减去其他两个值。如果每一段一定会有一个值，那么第一次取值范围为1~1亿-2，起码留2个单位给后两次取值，以此类推。随机方法如下
private long min(long num) { long a = (long) (Math.random() * (num - 2)) + 1; long b = (long) (Math.random() * (num - a - 1)) + 1; long c = num - a - b; if (a > b) { a = b; } return a > c ? c : a; } 循环10万次求平均值最后打印结果：
平均值为：9425171.1227800000 占比为：0.0942517112 分数分母为：10.6098869397 试了很多次都差不多这个数分母为10.6，和前面大佬分析的1/9有些差距，可能是我一定会分成三段的原因，不是数学极限情况，但是感觉差的有点多。
@xxxq 看到了你的回答，确实取值范围三段是不一致的，看了下其他回答的实现逻辑刚也调整跑了下，补一下代码和结果
private long min(long num) { //a,b为截断点，取值范围为0~1亿,允许重复 long a = (long) (Math.random() * (num + 1)); long b = (long) (Math.random() * (num + 1)); long c; if (a > b) { c = num - a; a = b > a - b ? a - b : b; } else { c = num - b; a = a > b - a ? b - a : a; } return a > c ? c : a; } 平均值为：11105392.2603500000 平均占比为：0.1110539226 分数分母为：9.0046346546 类似的话题
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我来跟你讲讲这个玻璃棒的故事，以及它摔倒地上后，那三段的“平均”情况。首先，我们得承认，这个“最短一段的平均值是多少”这个问题，其实有点小小的“套路”。因为我们并不知道它到底是怎么摔的，断成了什么样子。玻璃棒断成三段，这就像我们生活中的很多事情一样，结果往往是出乎意料，而且没有一个固定的“正确答案”............. -
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