力矩、功、能量的单位量纲相同，它们的物理意义有什么不同？
首先来说说力矩 (Torque)。
力矩，可以粗暴地理解为“转动的力”，或者说“引起物体转动的效应”。它描述的是一个力作用在物体上，能够使其绕着某个固定点或轴发生旋转的趋势有多强。咱们可以想象一下拧螺丝钉，光用手捏着螺丝刀，如果螺丝钉纹丝不动，那是没有力矩的。但一旦我们施加一个力，并且这个力不是直接沿着螺丝刀的轴向推拉，而是有一个垂直于螺丝刀的切向分量，螺丝钉就开始转动了。
力矩的定义是：力的大小乘以力臂的长度，并且力臂是力的作用点到转轴的垂直距离。 用公式表示就是 $ au = F cdot r cdot sin( heta)$，其中 $F$ 是力的大小，$r$ 是力作用点到转轴的距离（力臂的长度），而 $ heta$ 是力与力臂方向的夹角。
从定义上，我们可以看到力矩的构成：它不仅和力的大小有关，还和力的作用位置以及作用方向有关。越大的力，作用在越远的地方，并且越是垂直于连接点到轴的连线（即力臂），产生的力矩就越大。
物理意义的关键点：
旋转的“能力”或“趋势”： 力矩本身并不是一种传递或储存的“东西”，它更像是一种“推力”——是作用在物体上，使其产生角加速度的“原因”。就像力是让物体产生线加速度的原因一样。
瞬时效应： 力矩通常是瞬时作用的。你在拧螺丝刀的某一时刻施加了一个力，这个力就产生了力矩，决定了螺丝刀在那一时刻的转动趋势。即使你停止用力，这个力矩也就消失了。
矢量性质： 力矩是一个矢量，它不仅有大小，还有方向。方向通常用右手螺旋法则来确定，表示的是旋转的方向。
与角速度和角加速度的关系： 力矩是产生角加速度的直接原因，就像力产生线加速度一样。牛顿第二定律的转动形式就是 $ au = I alpha$，其中 $I$ 是转动惯量，$alpha$ 是角加速度。
现在，我们来看看功 (Work)。
功，是能量的一种形式，它描述的是一个力在物体发生位移的过程中所做的“贡献”。你推着一个箱子在地上移动了一段距离，你就对这个箱子做了功。如果箱子不动，你用尽了洪荒之力，那也只是做了零功（当然，你本人会消耗能量）。
功的定义是：力的大小乘以物体在力的方向上发生的位移。 如果力是恒定的，并且方向与位移方向一致，那么 $W = F cdot d$。更一般地，当力与位移方向不一致时，是力在位移方向上的分量乘以位移的大小，或者用向量点积表示：$W = vec{F} cdot vec{d}$。
物理意义的关键点：
力的“作用成果”： 功是衡量一个力“有效性”的指标，它代表了力在克服阻碍或改变物体运动状态方面所做的“工作”。
能量的转移： 功是能量转移的一种方式。当你对物体做功时，你实际上是将你的能量转移给了物体，或者将能量从一个形式转换为了另一种形式。例如，你推箱子做的功，一部分会转化为箱子的动能（如果箱子加速了），一部分可能会克服摩擦变成热能。
需要位移： 功的产生必须伴随着位移。没有位移，即便有力的作用，也没有功的产生。
标量性质： 功通常被视为一个标量，只有大小，没有方向。虽然力的方向和位移的方向会影响功的符号（做正功、零功或负功），但功本身并没有一个描述其“指向”的方向。
最后，我们来看能量 (Energy)。
能量，是一个非常广博的概念，它被定义为“做功的能力”。它不是一种力，也不是一种转移过程，而是一种状态，一种储存在物体或系统中，能够引起其发生变化的“内在属性”。能量有多种形式，如动能（运动的能量）、势能（位置的能量）、热能、电能、化学能等等，它们之间可以相互转化。
能量的单位量纲与功相同，是因为根据定义，能量就是做功的能力，而功的产生往往伴随着能量的转移或转化。例如，一个运动的物体具有动能，它的动能可以用来对另一个物体做功。一个被拉伸的弹簧储存了弹性势能，释放时可以将这部分能量转化为动能，然后做功。
物理意义的关键点：
“可做功的量”： 能量是衡量物体或系统能够完成多少“工作”的尺度。一个能量越高的系统，它改变自身状态或影响其他系统做出“功”的能力就越强。
储存的“状态”： 能量是储存在物体或系统中的一种属性，它不像力那样是瞬时作用的，也不像功那样是转移的过程。它是一种“拥有”的东西。
守恒性： 能量是守恒的，在孤立系统中，能量的总量不会改变，只会从一种形式转化为另一种形式。这是物理学中最基本的定律之一。
形式多样： 能量有多种形式，但它们的总和在过程中是恒定的。
将它们放在一起对比，理解区别：
力矩 vs 功： 力矩是产生转动趋势的“原因”，而功是力在位移过程中所做的“成果”。力矩是作用在某个点上的力与力臂的结合，描述的是“推向”转动的力；功是力作用在物体上使其产生位移，描述的是“完成”了多少工作。
功 vs 能量： 功是能量转移的过程，而能量是做功的能力或储存的状态。你可以说你“做了多少功”，但这功最终会以某种形式的能量储存在物体中（比如动能），或者以其他形式释放（比如热能）。能量是一种“拥有”，而功是“转移”或“转换”的载体。
力矩 vs 能量（间接联系）： 力矩本身不直接等于能量，但它可以改变物体的动能。一个持续作用的力矩，如果使物体转动（发生角位移），就会做功，这个功就会转化为物体的转动动能。例如，引擎输出的力矩经过一系列转化，最终增加了汽车的动能。所以，力矩是引起能量变化的“驱动力”。
举个例子：
假设你正在用扳手拧一个螺丝。
力矩： 你施加在扳手上的力，与扳手到螺丝中心的距离相乘，就产生了力矩。这个力矩决定了螺丝转动的“劲头”有多大。
功： 当螺丝在力矩的作用下转动了一段角度时，这个力矩就做了功。你用力拧动扳手，使螺丝转动的过程，就是你做功的过程。
能量： 你消耗的化学能（来自食物），通过肌肉的力量转化为机械能，其中一部分用于产生力矩，而力矩做的功则会转移为螺丝和螺丝刀的微小形变所储存的弹性势能，或者转化为克服摩擦产生的热能，也可能随着螺丝的整体运动转化为动能（如果螺丝加速了）。如果螺丝是一个飞轮，你做的功就会增加飞轮的转动动能，这飞轮就“储存”了能量。
所以，虽然它们的单位量纲都是 $[M L^2 T^{2}]$，但力矩是关于“转动效应”的瞬时描述，功是关于“力做事的成果”的过程描述，而能量是“做事情的能力”的状态描述。它们从不同的角度揭示了物体运动和相互作用的物理规律。这种量纲的巧合，更像是大自然在不同物理现象中，对相似运动和变化规律的一种共用“语言”的表达。
网友意见
力做功，力还产生力矩，但是力是怎么分清楚这两份工作的？如果力自己都做不到，那我该怎么办？我上初中时就觉得这地方有点儿不对劲，但是我们的中学、大学、研究生的物理课本对此问题都视而不见。其实，当力矢量 F 遇上位移矢量 dx 的时候，那个乘法 Fdx 天然地就是几何积，而这样的学问是1870年代就有了的。我们的中学生都能明白，只是没有人教。
撰文 | 曹则贤（中国科学院物理研究所）
I am not and grieve not.
——克利福德的墓志铭
1
疑 惑
我初中二年级时开始有了物理课，从力学(theory of force)入手，往后在大学到研究生阶段又学了各种力学(mechanics)，以及一些动力学(dynamics)的理论。这么说吧，力估计是人们学物理结识的第一个对象。力的概念来自一种生理学的感知，提、拉、拽、扔都会让手臂有紧张感，你就感觉到力的存在了。力，被当作一个重要的物理因素率先进入人类的认知活动。亚里士多德说力是造成运动的原因，你不费力拉车，那车子就不动弹。伽利略说不对，一个物体没有外力它能一直保持原来的状态，照样往前运动，力是运动被改变的原因。牛顿说再具体一点儿吧，让力与速度被改变的剧烈程度，即加速度，成正比吧，于是有了牛顿第二定律
。到了牛顿第二定律这儿，微分的概念就是必须的了。牛顿发明了微积分，首先是自己要用。这是1680年前后的事儿。
然而，对于天平、杆秤来说，平衡是测度为零的事件，是例外而非常态，更多的时候体系会被弄得围绕着支点转了起来。那么，这个一般情况下施压加一个力所产生的、与平衡或者转动有关的物理效应该怎么描述呢？为此，教科书里突然就冒出来了力矩的概念，M=r×F ，并且强调 r 是参照点到着力点的空间矢量，× 这个乘法与 2×3.14=6.28 中的算术积不同了，叫叉乘 (cross product)，乘出来的这个结果，力矩M，也是矢量，并且按照 r→F→M 的顺序构成右手定则。有许多高中、大学的教科书在那里努力阐述如何使用右手定则，却不去问这叉乘是个什么乘法、哪儿来的啊？又，r→F→M 构成右手定则，不对啊，在平面里可没有什么右手定则，力加到恰当的地方一样引起转动啊？
图1. 天平与杆秤
力矩 M=r×F 引出了一种力和距离的乘法，那么做功呢？为了表示力陪伴一定距离所做的功，人们引入了新的乘法，
，这里 dx 是多维空间里的位移矢量， F·dx 之间的乘法被称为标量积，有些地方又叫点乘、内积 (这儿有点乱)。这下子，问题好像清楚了：“力矢量和位移矢量之间有两种乘积，点乘和叉乘，点乘同做功有关，而叉乘同力矩有关。用哪个，看你考虑什么问题。” 可是，不对啊，力怎么知道什么情况下做功什么情况下产生力矩 (图2)，什么情况下该点乘什么情况下该差乘啊？这个问题让我从中学起一直很困惑。让我更困惑的是，那些大学教科书给我的印象是编者们一点儿都不困惑，这让我很自卑。我一直小心翼翼地把这个困惑藏在心里。我教过某些大学本科的力学辅导课，给某大学力学教研室的教授们讲过如何讲经典力学，但我也忍着不提这茬儿。昨天，我忍不住了。
图2. 这推的人是在做功呢还是在产生力矩呢？
其实，相关的内容，严谨的内容、成体系的内容，在1840年代就初步成型了。到了1878年，Applications of Grassmann's extensive algebra 一文横空出世，类似力与位移矢量乘法的问题不仅没有了身份不同的问题，没了空间维度的限制，还有了除法！要是学会了的话，接下来去学经典力学、电动力学、量子力学、相对论和规范场论还感觉畅通无阻呢。意外不？
2
外积、内积与标量积、矢量积与点乘、叉乘
外积、内积的概念来自德国中学老师格拉斯曼 (Hermann Graßmann, 1809-1877)，一开始是关于线段之间的乘积。设想正方形是由两条线段张开的，面积等于 S=aa 。若把思想扩展一下，线段是有取向的，而平行四边形也是由两个线段张开的，这两个有方向的线段的乘积不就决定了这个平行四边形的面积和取向？于是，格拉斯曼定义了两矢量的外积(exterior product, outer product)，a∧b ，这个乘法满足反对称性，a∧b=-b∧a ，其结果是个二矢量 (bivector)，比矢量高一个层次, 可从几何上理解为面是比线高一个层次的存在。然而面积与取向并不能完全确定这个平行四边形。格拉斯曼还注意到，当一个线段从另一个共点的线段上出发，扫过一个角度去张开一个平行四边形时，它在另一个线段上的投影也一直在变——从出发处的整个长度变为相互垂直时的0。这个投影与投影在其上的线段之积显然是一种新的积，一种对称的乘积(interior product, inner product)， a·b=b·a (图3)。外积出现于内积之前。
图3. 量矢量的内积与外积
可以从共点的两线段从重合时将其一逐渐打开张成一个平行四边形的过程来看外积和内积。外积对应所张的有取向的平行四边形的面积，为交换反对称的，过程开始时对应的外积为0。内积为两线段之一与另一者在其上投影的乘积，过程开始时应取极大值，为交换对称的。内积为0是两线段 (矢量) 垂直的判据；外积为0是两线段 (矢量) 平行的判据。
当然了，有了矢量和矢量的外积，可以构造任意的多矢量 (multivector)，对它们可定义内积、外积、递归积，还可以求补，等等。这套算法适应任意维的矢量空间。这是把思想从三维空间拓展到任意空间，把算法从简单的算术乘法拓展到各种几何乘积的结果，所以格拉斯曼把他的学问称为Ausdehnungslehre (扩展的学问)，第一本书于1844年出版。不过，结局是直到格拉斯曼去世，该门-学问几乎无人喝彩。格拉斯曼后来愤而把时间专注于语言学研究。
1878年，英国数学家克利福德将格拉斯曼的外代数和哈密度的四元数代数结合到一起，创立了几何代数 (geometric algebra)。在几何代数中，两个矢量的几何积定义为 ab=a·b+a∧b，其中 a·b 是格拉斯曼的内积， a∧b 是格拉斯曼的外积， 类似哈密顿的四元数乘法包含标量积和矢量积。但是，克利福德代数克服了四元数代数只适用于三维矢量空间的局限以及其中的一些错误认识，它适用于任意维空间，有除法。更重要的是，它发展了格拉斯曼的扩展的学问，对应任意n维矢量空间的克利福德代数是 2n-维的代数，而且具有强大的计算能力、紧致的表达能力。用它学习经典力学、电动力学、量子力学、相对论和规范场论，让人少了很多迷惑，推导的过程也简化许多。
而那个让我从中学时就疑惑不解的力到底是做功还是产生力矩的问题，也迎刃而解。当力矢量 F 和位移矢量 dx 相遇时，它们的积从一开始就天然地是几何积，Fdx=F·dx+F∧dx ，其中的内积项 F·dx 就是做功，而外积项 F∧dx 就和力矩有关(和 M=dx×F 之间还差个单位赝标量。感兴趣的读者请自行修习相关内容)。这两者，做功与产生力矩，不可割裂！
3
多余的话
作为一个当了25年学生和21年教授的人，关于教科书、教师以及学问，我多少有一些感慨。因为怕得罪人，也一直懒得说出来；可我又希望我们一代一代的少年别这么一直被耽误下去，所以忍不住还想说。那就少说两句吧。我觉得吧，作为教师，好学的姿态和不停地学的实践是起码的任职资格。作为一个教师，我想因为我的一直不学无术，我只欠世界半个道歉，而我若一直固步自封，那我就欠世界一个半道歉，毕竟不学无术可能事关天资不足，是可以自我原谅的，而固步自封那就纯属是思想问题了。
图4. 英国通才型学者克利福德
介绍几句克利福德吧，为了致敬。克利福德 (William Kingdon Clifford, 1845-1879)，一位物理学家+数学家+哲学家+作家型的通才 (polymath)， 一个路过人世仅仅34年的天才(图4)。克利福德15岁考上伦敦国王学院和剑桥三一学院，26岁获聘数学与力学教授，29岁当选英国皇家学会会士。他在格拉斯曼 (Hermann Graßmann, 1809-1877) 之扩展的学问 (Ausdehnungslehre. 格拉斯曼在其中曾提出16种乘法) 基础上建立起了几何代数，即以他的姓名命名的克利福德代数。本文介绍的关于几何积的系统学问，源于他1878年发表的论文 (Applications of Grassmann's extensive algebra, American Journal of Mathematics 1(4), 350–358(1878))。克利福德是顶级的物理学家，他的《动力学原本》光看副标题就足以理解动力学的内涵。那个让爱因斯坦变得伟大的“引力是时空几何的表现”之思想也来自克利福德，他于1876年在“on the space-theory of matter”一文中已确立了广义相对论的主导思想。他在哲学论述中提出的mind-stuff (思维原料) 这一概念，可能震撼过很多人。人啊，长了个脑壳，最好抽空往里面也塞点儿mind-stuff.
顺便说一句，克利福德1875年结婚，婚后有两个孩子，他为孩子写了童话集 “the little people”。克利福德是为数不多的被自己的天才累垮了的人。
克利福德的墓碑上刻着：“I was not, and was conceived. I loved and did a little work. I am not and grieve not.”读来太过心酸，我就不翻译了。
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