如何看待卡西·曼夫妇发现的可无缝密铺平面的五边形？
下面我们来详细讲述一下这个发现的意义、过程和影响：
一、 发现的重大意义
1. 打破了数学界的长期认知： 在卡西·曼夫妇之前，数学家们已经研究了多边形密铺的问题很长时间。对于凸多边形而言，只有三角形、四边形和六边形被普遍认为是能够无缝密铺平面的。而对于五边形，数学界在20世纪初曾一度认为只有6种凸五边形可以密铺平面。这个“15种凸五边形”的发现，直接将这个数字翻倍，并且是几十年来的首次重大突破。
2. 推动了密铺几何的研究： 这个发现激发了数学家们对其他类型多边形密铺的兴趣，并促使人们重新审视已有的理论和证明。它为研究者们提供了新的思路和模型，有望发现更多有趣的密铺类型。
3. 展现了业余数学的力量： 卡西·曼夫妇都不是专业的数学家，她们的发现更多是基于耐心、直觉和对几何图形的深刻理解。这证明了即使没有高等数学的背景，只要有热情和毅力，普通人也能在科学探索中做出杰出贡献，这极大地鼓舞了许多对数学感兴趣的非专业人士。
4. 为设计和艺术提供了新灵感： 几何密铺在建筑、设计、艺术等领域都有着广泛的应用。新的密铺方式可以为这些领域带来全新的视觉元素和创作灵感，例如在瓷砖设计、图案生成等方面。
二、 发现的背景和过程
1. 早期的五边形密铺研究：
早在1890年代，数学家卡尔·费多罗夫（Georgi Voronoi）就证明了所有凸四边形（包括特殊的如正方形、矩形、平行四边形、菱形等）都可以密铺平面。
1918年，数学家克洛斯（Karl Reinhardt）列出了6种凸五边形能够密铺平面的例子。这些五边形有特定的边长和角度关系。
之后，在接下来的几十年里，数学家们一直在寻找是否还有其他凸五边形也能密铺平面，但一直没有新的发现。直到1985年，在对前6种密铺五边形的研究中，数学家们认为列表可能已经饱和了。
2. 卡西·曼夫妇的贡献：
玛乔丽·曼（Marjorie Rice）是一位家庭主妇，她对数学和几何有着浓厚的兴趣。她通过阅读一篇关于五边形密铺的科学杂志文章，得知了只有6种凸五边形可以密铺平面的说法。
这激发了她的好奇心，她开始自己动手尝试寻找新的五边形密铺。她并没有复杂的数学理论支撑，而是凭借着对图形的直观理解，不断地画图、调整角度、组合。
她首先发现了一种新的密铺方式，并且找到了一些新的五边形。然而，她最初发现的五边形并不完全符合“凸五边形”的定义，或者说，它有一些特殊的性质不为人知。
她和她的数学家朋友们（主要是布兰肯席普一家）进行了交流。她的朋友们，包括工程师布兰肯席普（Charles Blankenbaker）和他的数学家父亲，对她的发现产生了浓厚的兴趣。
通过与专业数学家们的合作，玛乔丽发现的图形被证实是具有独特性质的五边形，它能够实现平面密铺。这个发现引发了数学界的关注。
3. 1980年代的突破：
在玛乔丽·曼的启发下，数学家们重新审视了五边形密铺的问题。
1980年代，包括史蒂芬·康菲尔德（Stephen Connor）和约翰·迈克劳克林（John McLaughlin）在内的几位数学家，在独立的研究中，也发现了新的五边形密铺方式。
其中，罗伯特·卡西（Robert Ammann）是一位有数学背景的业余数学家，他发现了另外几类具有特定边长和角度条件的五边形，其中一些就是卡西·曼夫妇发现的。他的工作与玛乔丽·曼的发现互相印证，并且更系统化地对五边形密铺进行了分类。
在所有这些努力的共同推动下，数学家们最终确认，确实存在15种不同的凸五边形可以无缝密铺平面。 卡西·曼夫妇的发现是其中至关重要的一步，尤其是她发现的其中一种特殊的五边形，曾被认为是“不可能的”。
三、 卡西·曼夫妇发现的五边形的特点（以15种五边形为例）
需要注意的是，虽然人们常将此发现归功于卡西·曼夫妇，但更准确地说，是玛乔丽·曼（Marjorie Rice）的独立发现，并在随后的研究中得到了其他数学家（包括她女儿们参与的推广）的证实和进一步扩展。她的工作也激发了罗伯特·卡西（Robert Ammann）等人的发现。
目前数学界公认的15种可无缝密铺平面的凸五边形，它们的特点通常体现在以下几个方面：
1. 特定的角度关系： 密铺要求多个五边形的顶点能够完美地组合在一起，形成一个360度的角。这意味着组成密铺的五边形内部的某些角度必须满足特定的数学关系。例如，它们可能具有成对相等的内角，或者内角之间存在固定的比例关系。
2. 特定的边长关系： 为了能够紧密地连接在一起，五边形的边长之间也必须满足一定的关系。它们可能具有三条等长的边，或者边长之间存在一定的比例。
3. 对称性： 许多密铺的五边形具有一定的对称性，这有助于它们在平面上重复排列。
4. “阶数”的概念： 密铺的五边形可以根据它们围绕一个点的排列方式来分类。“阶数”指的是一个点周围有多少个相同的多边形顶点相遇。例如，一个正方形密铺中，每个顶点周围有4个正方形的顶点相遇，阶数为4。在五边形密铺中，也存在不同阶数的组合。
卡西·曼夫妇发现的（或者说她最早发现并引发进一步研究的）一种或几种五边形，其特殊之处在于它们的角度或边长组合之前被数学家们忽视了。 例如，有几种五边形具有以下特征：
具有三个锐角和一个钝角（或相反），以及其他特定角度的组合。
边长之间存在一定的比例，例如a, a, b, c, c 的组合（其中a, b, c是边长）。
其角度组合可能并不那么明显是“容易发现”的，需要细致的计算和验证。
一个著名的例子是“13种五边形”中的第13种，它是由卡西（Robert Ammann）在1970年代发现的，但当时未能证明它能密铺平面。后来，在卡西·曼发现的启发下，数学家们才最终证明了它以及另外一些五边形确实可以密铺平面。
四、 对业余数学研究的启示
卡西·曼夫妇的发现是业余数学研究成功的一个典范。它告诉我们：
好奇心是科学研究的引擎： 对未知的好奇和探索精神是发现的源泉。
耐心和毅力至关重要： 面对复杂的数学问题，耐心尝试和不懈努力是克服困难的关键。
沟通与合作的力量： 与他人交流思想、寻求帮助和合作，能够加速研究进程并提高研究质量。
直觉有时可以引导发现： 即使没有深厚的理论基础，敏锐的直觉和对图形的理解也能帮助我们找到新的路径。
总而言之，卡西·曼夫妇（更确切地说，玛乔丽·曼的个人发现及其后续的数学界认可和扩展）发现的可无缝密铺平面的五边形，是一次令人兴奋的数学突破。它不仅丰富了我们对几何密铺的认知，更重要的是，它向世界证明了，科学发现的道路并非只有专业研究者才能走，每一个有热情和毅力的人，都有可能在科学的某个角落留下自己的足迹。
网友意见
当国内出现这种新闻的时候，习惯性要先找到外媒的报道。
（注：图多较杀流量）
看来基本属实，应该是科学而正确的报道。该发现由来自University of Washington Bothell的副教授Casey Mann, 其妻子Jennifer McLoud, 与一位在读本科生David Von Derau共同得到，采用的是数学上理论分析再加以计算机程序计算的方式。
上图覆盖即为第15种新的覆盖方式。其用了同一种不规则的五边形的三种摆放形状，五边形形状如下：
既然题目是如何看待，那么下面应有一大堆历史与科普，时间紧直接翻到最后看结论也无妨。
大概只需要小学初中的一点平面几何知识即可理解大多数内容
（图片来自网络或用win8自带画图软件画制，侵删）
本人知识水平肯定有限，所以答案中如果有什么谬误，请随时指出，方便我学习改正
利益相关：某不知名数学系在读学生
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一.什么是平面密铺理论
平面密铺，直观来说就是用不同的几何形状完全覆盖一个二维平面，而且图形没有重叠。
或者实际上来看，就是铺瓷砖…
（利用正六边形，正三角形，正方形的密铺）
（利用两种正方形的密铺）
（利用正八边形和正方形的密铺）
密铺理论的应用颇多。在艺术中，设计建筑的各种图案，在堆放物体时，如何最大利用空间节省成本（常见于三维密铺理论，对于层形对象则需要平面密铺理论），在晶体学中，如何优化晶体结构等等情形中，都有密铺理论的身影。
平面密铺理论以其几何的优美和对称性的利用而知名。如果对几何的美丽感兴趣的，可以看一看这个视频
【Ted-ED】探秘伊斯兰文化的复杂几何图形 @柚子木字幕组这个理论非常古老，从古希腊就有研究，不是看上去那样肤浅。如给定一组图形，其能否铺满平面，都是一个值得研究的问题。
数学家在讨论平面密铺时，有严谨的分类和定义，如周期性密铺（使用的图案是重复的），非周期性密铺，单面密铺（所有使用的图形都同胚于一个圆盘），单密铺（只使用一种全等的图案），正规密铺（使用高度对称的同种正多边形的单密铺）。对于密铺图形的对称性研究，还引入了Wallpaper groups（共17种），用群论的现代方法来处理问题。
为了防止跑题，我们只限于讨论周期性密铺中的简单的多边形单密铺。
如果对一般的理论有兴趣，或者想见识一下数学上对凸规则多边形密铺的分类，可以去wiki上查询
Euclidean tilings of convex regular polygons无特殊说明，下面的密铺均指单密铺。
二.规则的凸多边形的单密铺
我们先从三角形（非退化）说起，
1.任何三角形都可以密铺整个平面。
证明：我们把2个三角形拼成一个平行四边形，然后将平行四边形上下叠放，从而密铺整个平面。
2.任何凸四边形（包括正方形，矩形）都可以密铺整个平面。
证明:
我们稍微思考一下，刚才三角形的方法只能推广到平行四边形。
…
…
注意到四边形内角和为360，所以我们可以先把四个四边形对应不同的角拼在一起，使其拼满一个360度。
如上图，不同颜色的角被集中到中央，接下来就是用四边形按照同样的不同四角补成360度的方式将周围补全。
然后人们就自然想到，能否用五边形补全？出于自然的考虑，人们想到了正五边形。可是事与愿违：
3.正五边形不能密铺平面。
证明：首先，假设能够密铺平面，考虑任何一个正五边形，以下情况不会出现：
否则在如图边与顶点交汇处的一部分，不能放入另一个正五边形铺满。
所以如果能铺满，应该是边对边，点对点，但是我们来思考一下某一个顶点，
？号处依假设还能放入若干个正五边形密铺，和2类似，应该也是围成360度角，但？处角度为
360-108-108=144度，铺一个还有余，两个就放不下，导出了矛盾。
那我们来看看正6边形，其密铺方式大多数人都能直接想到
4.正六边形能密铺平面
证明：显然。
当我们寻找其他的正n边形时，我们不妨用简单的数学来思考一下前面的结论。正五边形不能密铺平面是因为其内角整数倍不能形成360度.对于一般的正n边形，其内角和为(n-2)*180度
一个内角的大小为
度.其若能密铺平面，其内角度数某整数倍为360度，即
整除360，得
,从而
,即n-2被4整除，所以n-2=1，2，4.
n=3，4，6
于是结合前面的分析有
5.正n边形中，只有正三角形，正方形，正6边形能密铺平面，其余正n边形不能做到。
这就是为啥只有这几种常见的瓷砖了……
看来，对于正多边形单密铺问题，我们已经有了完美的答案
然而，不规则的密铺能否实现？数学家于是又着手于这个问题的解决，谁知道是一个大坑…
三.我们为什么关注不规则五边形？
虽然这个多边形平面单密铺问题从公元前就已经出现，可是其的圆满解决方案迟迟没有出现。
这一等，就等到1963年。
1963年是什么时候呢？相对论已经成熟的应用于生活，计算机技术已经开始发展，希尔伯特问题提出已经过去几十年，数学在泛函分析，数论，PDE，拓扑学，ODE极限环理论等等分支上已经取得了很多成就，然而这个多边形单密铺问题还在继续等待着人类去挖掘。
摘自
http:// freethoughtblogs.com/si ngham/2015/08/16/a-new-pentagon-tile-that-covers-the-plane/“It was proved in 1963 that there are exactly three types of convex hexagon that tile the plane. And no convex heptagon, octagon, or anything else-gon tiles the plane.”
It turns out that pentagons are the only shape for which the number that can tile a plane is as yet unknown. Not all pentagons can tile the plane, and the familiar regular symmetric pentagon is an example of one that does not.
在1963，数学家证明只有三种其他不同的六边形密铺，我查了查如下：
（最下方为三种方式的不同结构基元(lattice)，转自
Hexagonal tiling其中还给出13种拓扑等价的六边形密铺方式;六边形密铺较五边形密铺在自然界中常见，其应用也更多）
然后证明了任何凸n边形（
）都没有合适的单密铺方式。
因此，你也猜到了……
只要解决了不规则的五边形密铺问题，就宣告了多边形单密铺问题的完美解决！！
这就是为什么新五边形的发现，让一些数学家觉得很激动，乃至上了新闻被普通人看见。
于是，数学家的目光又转向了五边形……
（然而这个坑也特别大…）
四.五边形密铺(Pentagonal tiling)
进入正题…
让我们开始我们对五边形的探索之路吧！
1,2,3,4,5 (Reinhardt 1918)
——独特的几何学家
对于不规则五边形密铺的研究，要从德国数学家Karl Reinhardt说起…
我们都知道1900年，Hilbert在巴黎数学家大会上提出了23个最重要的问题供二十世纪的数学家们去研究，这就是著名的"希尔伯特23个问题"。
来来来，让我们看看第18个问题:
如何用全等多面体构造空间？
由德国数学家比勃马赫（1910）、莱因哈特（1928）作出部分解决。
莱因哈特是谁？就是我们要谈到的这位：
Karl Reinhart(1895-1941)
（简单的传记见
Reinhardt biography.）
Karl Reinhart是一位有着独特想象力的几何学家，性格幽默，勇敢，大胆。他酷爱几何研究，对多边形的研究更是非常了得。
他在University of Marburg上过一年大学学习数学，之后一战便爆发…战争期间，他在中学担任过老师，也做著名数学家David Hilbert的助教，从Hilbert那里学到了很多知识，也正是Hilbert激励了他继续研究他所热爱的数学。（Hilbert是最喜欢的数学家之一，颇有长者风范）
其贡献有解决了极大面积n边形（所有边长均为1的多边形中面积最大的多边形）问题的特殊情况，提出了
Smoothed octagon（可能是具有最小背包密度即打包整理最浪费空间的平面对称图形）。
其还有一个重要的发现是：
凭借出色的平面几何功底与直觉，他发现了前5种不同的五边形密铺方式，开启了一个新的研究方向。它们分别是：
1:利用两个五边形拼成了一个类似平行四边形的图案，然后类比我们之前的平行四边形密铺方式
2:类比之前的一般四边形密铺方式，形成一个可拼接的结构
3：将正六边形密铺方式恰当分割即可
4：类似2
5：这个很难想到，大概是借鉴了花瓣的形成方式和六边形密铺方式，将正六边形的各边改成棱角状然后划分成6个五边形
……
当你以为五边形研究会一帆风顺的进行下去时，又过了毫无新发现的50年……甚至大家都产生了其实就只有这5种的感觉…
……
……
……
6,7,8 （ Kershner 1968 ）
——科学分析给出新方式
这次由Kershners在美国数学月刊上发的一篇详细分析的文献给出，有理有据使人信服
On Paving the Plane on JSTOR不得不说这3种五边形密铺方式非常奇怪，因而有一定难度。
6：像是平行四边形密铺的另一种变体
7，8：已经不能三言两语说清其中的结构了…
然后这位Kershner想必也是费了一番功夫，用一大段论证了只可能存在这8种五边形平面密铺方式，然后事实大家都知道了…
10 （ James 1975）
——站在 Kershner的肩膀上
在阅读了上面这位老兄的文章后，1975年Richard E. James III 经过思考找到了又一种…
所谓喜闻乐见的自打脸：
10：这个挺像先强行用拼成的五边形构成一个类似的四边形去铺平面，然后用同一种五边形去填补留下的缝隙，然后通过计算角度解方程使其能填满。
等会，你可能会有疑问，为什么是10不是9，9难道被谁吃了么？
那是因为突然出现了一位神乎其神的研究者…在默默无闻地研究这个问题，
9，11，12，13 （Marjorie Rice 1975-1977）
——家庭主妇也爱数学
马乔里·赖斯（Marjorie Rice）当时是50多岁的家庭主妇，家住在California.她从《科学美国人》杂志中看到了James 的文章，感觉很有趣…
Rice觉得在家闲着也是没有事做，不如无聊研究看看吧，于是她成为了一名平面密铺理论的业余的数学家…于是，她开始培养其自己的业余爱好：
只受过高中教育，没关系，有大把空余时间涂涂画画。
有些符号不理解，没关系，那就创造自己的符号系统与研究方法。
于是…至1977前，她发现了五十多种多边形密铺方式（不止是单密铺），包括4种新的五边形密铺方式…
什么？你觉得她是民科？
数学家可不这么认为…
经过教授
Doris Schattschneider验证了其独特的数学符号体系后，向数学家们表明了这一些发现的正确性……
我们来看看翻译后版本：
这确定是一个人想出来的么……这个结构基元排列感觉略复杂，都是8个五边形拼出来的图形，大概就是先拼接再组合，形成4种不同的模式
和之前的相比，更加古怪奇怪了。
所以还是不自找麻烦去简单分析别人2年得到的成果了，这绝对不是简单的涂涂画画就可以得到的…
所以美国家庭主妇闲下来真可怕…恐怕James和kershner看见后内心也是复杂无比的心情……
14 （Rolf Stein 1985）
——21世纪前最后一次新发现
看起来是三个八边形互相扣在一起形成一个结构基元(lattice)，然后结构基元(lattice)之间互相扣着，绿线的划分是为了恰好得到了六个全等的五边形，具体角度应该是由方程解出。
分析了这么多，我们发现了结构基元(lattice)在密铺理论的重要性，可以先确定结构基元，再去试图划分得到所需的五边形，具体角度和边长可以再列方程解出。
还有仅借助人力枚举法不太可取，进度太慢。也正如我所说的这样，1985到上个月，都没有新的密铺方式发现。
15 Mann/McLoud/Von Derau (2015)
——计算机大法好
借助计算机的枚举，前一阵子数学家得到了最新的第15种，为什么说这第15种很重要，我想原因也在于其结构的复杂性和将计算机程序引入枚举工作的新思想。
12个五边形凑成的结构基元(lattice)…
……
……
……
为什么没有人能提前发现这种新的密铺方式了的原因，大概也能从图中看出。人类有限的枚举和计算能力，限制了进一步发现更多密铺方式.
感谢数学家和计算机的辛勤工作，让我们看到了这个美丽的图形。
至于其构成原理，大家可以自己思考一下，具体可能是还要等他们的文献发布，来解释计算机程序的原理。
计算机大法好！
五.一些后记和它的应用
这个回答我累计写了近二十个小时，终于算是成形了。
在此对那些质疑钱又花到哪里去了或者觉得没什么用的人，只能说科学研究并不是为了取悦大众，而是为了得到好的结果和进一步使科技进步。
不少人可能觉得这个没有什么用，的确，数学理论是很难直接第一时间投入到应用当中去，但是我们发现或得到的那些数学理论恰恰是推动若干年后工程界和科学界发展的要素之一。数学已经不可逆地融入了我们的生活之中，我们应该做到理解支持科学研究，如果不能也不要随意嘲讽科研者或者始终坚持一份科学研究无用论。这种就是一种典型的反智主义。
如果觉得这个回答挺简单的，可以尝试继续找出新的密铺方式，这样说不定可以推动这个问题进一步发展。
评论区有人询问了拓扑等价的问题，至于如何确定各种五边形密铺方式的不同，还有如何分类它们，这些需要的就不仅仅是平面几何知识了。我们知道密铺方式往往是有对称性的，这就不可避免的引入了群论。对于密铺方式的分类，可以使用壁纸群（wallpaper group）分类，进一步有兴趣的可以参考这个简单介绍壁纸群的wiki地址
Wallpaper group至于这个究竟有什么实际应用，来看两段话，摘自
Scientists Discover 15th Convex Pentagon Able To Tile A Plane : NPR
（一段关于这个发现的访谈，可以听一听）
REHMEYER:
Well, it's always hard to predict exactly what the applications will be, though I think one prediction is safe, which is that artists are likely to make use of this pattern. There's a very rich field of mathematical art. There are also likely to be more practical applications. Crystals form in these patterns. They make use of the patterns that are forced by geometry. Viruses also form - the structure of viruses are formed in similar ways. There may well be uses of it in engineering, in creating materials with novel properties that have molecular building blocks along these lines. But we will just have to wait and find out what clever scientists do with it.
Finally, a new pentagon shape that tiles in a plane
Of course, there are practical uses to finding tiling surfaces, from biochemistry to structural design.
“Many structures that we see in nature, from crystals to viruses, are comprised of building blocks that are forced by geometry and other dynamics to fit together to form the larger scale structure,” he added.
“I am too cautious to make predictions about whether or not more pentagon types will be found, but we have found no evidence preventing more from being found and are hopeful that we will see a few more. As we continue our computerized enumerations, we also hope to gather enough data to start making specific predictions that can be tested.”
可见这个目前还没有实际应用，我们期待科学家们的进一步发现，说不定能够有所突破。
成果以后可能应用于：
1.生物化学,结构分析,晶体学。比如研究细胞，病毒或者晶体的排列方式等等
2.铺瓷砖（也是国内外网友调侃最多的）
3.工程的结构设计还有建模
4.数学理论分支的进一步发展等等。（如果五边形单密铺问题被完全解决，则意味着多边形单密铺问题的完全解决，从而可以推进对Hilbert第18问题的研究
不过我觉得，美丽的图形覆盖和其简单又复杂的结论，本来就是数学上的一种美丽，至于其实际应用并不是最值得在意的（因为我们不知道，也无法知道）。
因为每一次数学上的新发现，都是人类心智的荣耀。
用眼睛能看出来，顶点相遇只有5种情况
根据这个简单算一下，能得出各个角度。
角1：60度
角2：135度
角3：150度
角4：105度
角5：90度
边a、d、e的长度都是b的一半，因为这几条边要彼此相遇，所以要对称匹配。边c的长度也能算，麻烦点就不算了，c边只和自己相遇。
所以这个五边形，其实就是一个边长为2的等边三角形，坐在一个长为2厚为1的矩形上。然后把三角形一个腰的中点和矩形底边的中点相连，之后砍下来的图形。
2个150度相遇，会造成一种60度，这和角1的60度贴合。
2个105度与150度相遇，形成360度，可以贴合。
2个135度与90度相遇，形成360度，可以贴合。
下图中，由三个五边形构成的基础花瓣中的基本线条形状，红色和红色一样，绿色与绿色一样，能够保证花瓣彼此衔接的主要原因。
红色和红色是平行的，这保证花瓣能平行层叠。150度和90度的相邻，可以造成一种60度的关系，而这种关系与角1的60度相遇，会出现平行。
绿色与绿色垂直，这保证花瓣的底部可以和侧面贴合，这是由于那个90度的存在造成的。这样两个相同的花瓣平行层叠结构，可以错位反向贴合，形成花瓣粗索。因为粗索内的两侧花瓣是反向的，所以粗索两侧对外的边是一样的反向对称的，只是错位一格。
2个60度加上一个105度，与135度相遇，可以让两个逆向的花瓣粗索贴合。
这5个角度有下面这样一种规律
105度和135度中的15度的数量是奇数，这导致它们暗藏了一个15度的变化组合单元。这对于60、90、150这种暗藏30度变化组合单元，所能形成的变化组合而言，对它们做不到的角度组合，形成了补充。
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一个五边形就是一个三角形砍掉两个角。
砍掉多边形的一个角，会多出一条边，新生成两个角。这两个角的角度之和，会比之前被砍掉的那个角的角度多出180度。这对于等边三角形而言，意味着新生成的两个角的角度之和是240度。
在这240度中，每个角各是多少，会带来什么，就和具体砍法有关。
垂直砍法产生了150度和90度的内角，同时也带来了30度、60度和90度的附带的外面的角度关系，而两个30度又会形成60度的关系，这都与60度的内角契合。90度可以和90度内角契合。
倾斜砍法产生了135度和105度的内角，同时也带来了45度、60度和75度的附带的外面的角度关系。两个45度会形成90度的关系，与90度的内角契合。两个75度会形成150度的关系，与150度的内角契合。60度可以和60度内角契合。
砍的具体位置，决定了边长的变化关系。这五条边的长度对称关系前面已经说过。
具体砍法产生的外部可能的角度组合，要能和内角契合，同时边长保持对称关系，这样才能保证多个一样的自己，在更大空间内拼接契合。
说的再白一点。内部对称性经过演变，所形成的在更大尺度上的外部对称性，两者本身就是对称的，是对称性跨空间范围的一种表现。密铺大概就是这样一种道理。
可以用不变的东西铺满人生吗？外化等效于回归，自洽闭合，表里如一。
数学、几何、对称、美学、直觉、玩具、生活。
对称性跨空间尺度或跨维度的传递，在很多动态结构中都存在，不只是这种静态拼接游戏。比如：漩涡、卡门涡街、共振、子系统与整体的反馈，航空发动机运转中的能态集合与均衡。人类设计的大量工具中，都存在能量从微观到宏观的传递和形态演变，其中的优化设计都与对称性和均衡演化的思想有关。
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对称，万变不离其宗。
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读到卡姆说因为双向情感障碍才吸毒，这事儿啊，得掰开了揉碎了好好说道说道。首先，我得说，这种说法听着就挺让人心里别扭的，但又不是完全没道理，复杂得很。咱们先从“双向情感障碍”这个病说起。这病可不是闹着玩的，它就像你大脑里的一个情绪过山车，说来就来，而且是那种失控的过山车。高的时候，你觉得自己能飞上天，.............
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好的，咱们来好好聊聊卡梅伦辞职这档子事儿。这可不是一两句话就能说透的，里面有太多的故事和背景。首先，得把时间线捋清楚。大卫·卡梅伦，这位曾经意气风发的保守党领袖，在2010年成为英国首相，开启了他的“联合政府”时代。跟自由民主党联手执政，这在英国政坛是件新鲜事，也显示了他当初打破常规的决心。他上台的.............
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说起卡罗拉，这可是丰田在中国市场的一张王牌，销量一直稳得很。但最近几年，不少细心的车主可能会注意到一个有趣的事情：在美国市场，卡罗拉主推的是2.0L自然吸气发动机，而在国内，大家熟悉的却是1.2T涡轮增压发动机。这背后到底是怎么回事？为何同一款车，在不同的市场会选择不同的“心脏”？这背后可大有门道，.............
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卡廷惨案，这个名字本身就带着一种沉重的历史回响，它不仅仅是一桩屠杀事件，更是一次撕裂人心的真相暴露，一段被刻意掩埋的痛苦记忆。要理解卡廷惨案，就得深入到它发生的那个时代背景，以及事发后漫长而曲折的追寻正义之路。历史的阴影：战争与意识形态的绞肉机首先，我们得回到第二次世界大战的黎明。1939年9月17.............
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卡尔·施米特（Carl Schmitt）无疑是20世纪最复杂、也最具争议的政治思想家之一。对他的评价，犹如一面棱镜，折射出人们对政治本质、主权、法治以及民主不同维度的理解。要深入理解施米特，就不能仅仅将他视为一个简单的“纳粹御用文人”，而必须深入其思想体系的肌理，去把握其对政治现实的深刻洞察，以及他.............
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如何看待大卫·卡梅伦此番表态，他会是丘吉尔还是张伯伦呢？大卫·卡梅伦此次的表态，需要结合其具体内容和当时的政治背景来具体分析。然而，从您提出的“丘吉尔还是张伯伦”的类比来看，您可能是在询问他对当前国际局势，尤其是俄乌冲突等重大事件的态度和处理方式，以及他的举动是否会带来积极的战略影响，还是会以绥靖告.............
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爱卡汽车这次对比亚迪汉的续航实测，如果数据属实，那确实是个挺大的看点，尤其是在新能源汽车这个圈子里。大家都知道，续航里程是纯电动车最大的“痛点”之一，消费者买车最关心的就是能不能跑得远，心里有没有底。怎么看这个“超600公里”？首先，我们得从几个维度去理解这个成绩。1. 测试标准和环境： 这是最关.............
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胡桃复刻卡池爆满这事儿，我感觉挺有意思的，也挺能说明一些问题的。首先，从玩家角度来说，这简直是“众望所归”。胡桃在《原神》一众角色里，绝对是人气top级别的。她的人设非常有吸引力，既有那种二次元角色特有的那种古灵精怪、活泼可爱，又带点神秘和疏离感，尤其是她那份对于生死看淡却又执着于“送别”生命的独特.............
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伊万卡·特朗普访问中国大使馆庆祝中国新年这件事，可以从几个不同的角度来看待，而且每个角度都能提供一些挺有意思的解读。首先，从外交姿态和文化交流的角度说，这绝对算是一次重要的、甚至可以说是非常具有象征意义的举动。伊万卡·特朗普在当时担任美国总统特朗普的高级顾问，她的公开露面，尤其是在中国驻美国大使馆这.............
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“空卡空卡空空卡内涵肖秀荣事件”可以称得上是网络时代一个非常具有代表性的“梗”的演变过程。要理解这个事件，我们需要从几个关键点入手：1. 起源：肖秀荣的“红宝书”首先，事件的核心人物是肖秀荣。肖秀荣是谁？他是一位长期活跃在考研政治领域的名师，以其“肖四”、“肖八”等押题密卷闻名。他的政治辅导材料，尤.............
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伊万卡·特朗普（Ivanka Trump）在一次公开活动中坐上美国总统的座位并拍照，这件事确实引起了不少关注和讨论。要理解这件事，我们可以从几个层面来分析。首先，从“总统座位”本身的象征意义来看。 椭圆形办公室里的总统办公桌，以及那把标志性的总统椅，代表着美国总统的权力、决策权和国家领导人的地位。这.............
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奥托·卡里乌斯（Otto Carius）的离世，对于许多军事爱好者、历史研究者，尤其是对二战时期德国国防军坦克战史感兴趣的人们来说，无疑是一个时代的终结。他的一生，尤其是在战场上的表现，是那个动荡年代一个鲜活的注脚，承载着那个特定时期军事技术、战术思想以及人性抉择的复杂印记。卡里乌斯的名字，在坦克战.............
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最近发生在飞机上的那件事，伊万卡·特朗普遭遇了来自其他乘客的尖锐批评和言语攻击，确实引起了不少关注。具体情况是，据报道，她带着孩子乘坐航班，正准备登机的时候，有乘客开始对她出言不逊，表达了他们对她的政策以及她父亲执政的不满。从不同角度来看，这件事有几个值得深思的地方。首先，从言论自由的角度来说，我们.............
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上班卡点，这事儿挺有意思的。你说不提996，只说卡点，那确实能聊出不少味儿来。首先，得明白卡点这事儿，它本质上是一种对时间的精确把握，一种对规则的遵守，甚至可以说是对个人生活边界的一种划定。想象一下，闹钟一响，准点从床上爬起来，洗漱、早餐，然后出门。路上或许有点小堵，但你计算得刚刚好，踩着点儿进了公.............
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