可以只控制单刀双掷开关（电键）就改变串并混联的电路最少要多少个开关？
这个问题很有意思，它触及了电路设计和逻辑控制的核心。要回答“只控制单刀双掷开关（电键），最少要多少个开关才能改变串并混联电路”，我们需要先理解一下几个关键概念。
1. 单刀双掷开关（电键）
你可以想象一下家里的灯的开关。它只有一个“刀”（也就是连接点），但有两个“掷”（也就是两个可以连接的触点）。当你拨动开关时，它会在两个触点之间切换连接。这就像一个分配器，决定电流流向哪个方向。
2. 串联电路
就像一串珠子，电流必须依次通过每一个元件才能形成回路。如果其中任何一个元件断开，整个电路就不通了。
3. 并联电路
就像多条平行的道路，电流会在某个节点分成几股，分别流过不同的支路，最后在另一个节点汇合。即使其中一个支路断开了，其他支路仍然可以工作。
4. 串并混联电路
顾名思义，就是混合了串联和并联的电路。电流可能先在某个部分串联，然后在另一个部分并联，再在其他地方串联，如此反复。
5. “改变电路”是什么意思？
这就是问题的关键所在。当我们说“改变电路”时，可能意味着：
改变电流的通路： 让电流从一个路径流向另一个路径。
改变电路的等效阻抗： 从而改变电流的大小（如果电压不变）。
改变电路的连接方式： 例如，将原本串联的两个部分变成并联，或者反过来。
对于只用单刀双掷开关来“改变”一个串并混联电路，最直接的理解通常是指改变电流的流向，或者改变电路的整体连接拓扑结构，使其呈现出不同的工作状态。
来思考一个最简化的场景
假设我们有一个非常基础的串并混联电路。我们可以从一个简单的例子开始，看看需要多少开关。
情景一：两个电阻，一个串联一个并联
想象一下，我们有两个电阻 R1 和 R2。
初始状态： R1 和 R2 串联。
我们想通过开关达到的目的： 切换成 R1 和 R2 并联，或者让其中一个电阻被旁路（短接）。
尝试用开关控制：
情况 A：只想实现 R1 串联 R2 和 R1 并联 R2 之间的切换
要实现 R1 和 R2 的并联，我们需要一个地方让电流分流，然后在另一个地方汇合。如果 R1 和 R2 已经串联，要变成并联，需要改变连接点。
考虑一个简单的方案：我们有一条主电路。
R1 串联在主电路上。
然后，在 R1 之后，有一个分叉点。
其中一个分支接 R2，另一个分支直接连到后面的汇合点（相当于 R2 被旁路了）。
在 R2 的分支末端，需要连接回主电路。
如果我们只有一个单刀双掷开关，它只能在一个地方改变连接。这不足以同时控制 R1 和 R2 的串并关系。
如果我们要实现 R1 串联 R2 和 R1 并联 R2 的切换，并且只能用单刀双掷开关，我们至少需要两个单刀双掷开关。
开关 1 (S1): 控制 R1 的接入。
开关 2 (S2): 控制 R2 的连接方式。
举个例子，我们可以设计成这样：
1. 电流进入一个节点。
2. 通过 S1 接入 R1。S1 的一个触点是闭合（R1 接入），另一个触点是断开（R1 不接入）。
3. 在 R1 的另一端，又有一个节点。
4. 从这个节点，电流有两个选择：
直接流向电路的下一个部分（如果 S2 在某个位置）。
流经 R2，然后再流向电路的下一个部分（如果 S2 在另一个位置）。
这样，通过 S1 和 S2 的组合，我们可以实现：
R1 串联 R2： S1 闭合，S2 连接到 R2 的一端。
R1 并联 R2： 这个需要更巧妙的设计。我们需要一个“节点”允许分流，然后再汇合。
让我们换个思路，直接从“改变连接方式”来思考。
最少多少个开关？
要“改变”一个串并混联电路，并且我们只能使用单刀双掷开关，最核心的问题是：我们需要多少个独立的“切换”操作才能达到不同的电路状态？
一个单刀双掷开关可以看作是提供了一个“是/否”或者“A/B”的选择。
假设我们有一个电路，其中包含多个电阻。我们想通过开关来决定：
哪些电阻被接入电路。
接入的电阻是串联还是并联。
考虑最精简的“改变”：
想象一个电路，有两个电阻 R1 和 R2。
状态 1： R1 串联 R2。
状态 2： R1 和 R2 并联。
要实现从 R1 串联 R2 到 R1 并联 R2 的切换，或者反过来，需要改变连接点。
答案是：至少需要 2 个单刀双掷开关。
为什么是 2 个？
让我们来设计一个只有 2 个单刀双掷开关（S1, S2）的电路，并尝试实现串联和并联的切换：
设计思路：
1. 电流进入主干道。
2. 第一个开关 S1 (单刀双掷):
触点 A: 连接到 R1。
触点 B: 直接连接到下一个关键节点，相当于旁路了 R1。
3. 在 R1 的另一端（或 S1 的触点 A 的后续节点）:
R1 的另一端连接到一个新节点。
4. 第二个开关 S2 (单刀双掷):
触点 C: 连接到 R2。
触点 D: 连接到另一个地方，需要与 R2 的连接方式配合。
实现串联和并联的策略：
我们可以这样设计：
目标：R1 串联 R2
S1 拨到连接 R1 的触点（让 R1 接入）。
R1 的另一端连接到 S2。
S2 拨到连接 R2 的触点，R2 的另一端接到电路的输出端。
目标：R1 并联 R2
我们需要一个“分流点”和一个“汇流点”。
让电流先经过 S1，S1 确保 R1 接入（拨到连接 R1 的触点）。
在 R1 的另一端，设置一个节点。
从这个节点，用 S2 来控制 R2 的接入和连接方式。
S2 的一个触点（比如触点 C）连接 R2。R2 的另一端接到主干道的汇流点。
S2 的另一个触点（比如触点 D）直接连接到主干道的汇流点，相当于旁路了 R2。
为了实现 R1 和 R2 的并联，我们需要 S1 接入 R1，然后 R1 的另一端与 R2 的另一端汇合。S2 可以用来控制 R2 的接入。
S1 (连接 R1): 拨到连接 R1 的触点。
S2 (控制 R2):
触点 C: 连接 R2。
触点 D: 直接接到 R1 另一端的下游节点。
这样，当 S1 接入 R1，并且 S2 拨到触点 C 连接 R2 时，R1 和 R2 就并联了。
举个更具体的电路图示例：
假设我们有一个电源 Vcc。
Vcc > S1 (触点 A)。
S1 (触点 A) > R1。
R1 > Node X。
Node X > S2 (触点 C)。
S2 (触点 C) > R2。
R2 > Ground (GND)。
为了实现并联：
我们需要让电流能分流经过 R1 和 R2。
Vcc > Node Y。
Node Y > S1 (触点 A) > R1 > Node X。
Node Y > S2 (触点 C) > R2 > Node Z。
Node X > Node Z > Ground。
这样设计，需要 2 个单刀双掷开关：
1. S1: 控制 R1 是否接入。
触点 1: 连接 R1。
触点 2: 不连接（R1 被断开）。
2. S2: 控制 R2 是否接入，以及与 R1 的连接方式。
一个更清晰的 2 开关实现思路（同时控制串并）：
输入端 > S1 (单刀双掷)
S1 触点 1: > R1
S1 触点 2: > R2
R1 的另一端 > S2 (单刀双掷)
S2 触点 1: > R2 的一端，R2 的另一端 > 输出端
S2 触点 2: > 输出端 (R2 被旁路)
这个方案可以实现：
R1 串联 R2： S1 拨到触点 1 (接 R1)，R1 的另一端接到 S2 的触点 1 (接 R2)，R2 连到输出。
R1 并联 R2： 这个设计还需要调整，因为上面的设计只是串联了 R1 和 R2，或者旁路了 R2。
回到最根本的：
要实现“改变”一个串并混联电路，意味着我们要能够通过开关来选择不同的连接路径，从而改变电流的分布和等效阻抗。
考虑最基础的“选择”：
一个电阻 R。
一个单刀单掷开关 (SPST) 可以控制 R 是否接入。
一个单刀双掷开关 (SPDT) 可以控制电流流向 R，或者流向旁路。
现在我们有 R1 和 R2。
情况 1： R1 串联 R2。
情况 2： R1 并联 R2。
要实现从情况 1 到情况 2 的切换，或者反过来，我们需要至少两个独立的“连接选择”。
开关 1 (S1): 可以用来决定电流是直接流过，还是先经过 R1。
开关 2 (S2): 可以用来决定电流在经过 R1 之后，是直接流向输出（不经过 R2），还是流向 R2 再到输出。
示例电路：
电源 > Node A
Node A > S1 (单刀双掷)
S1 触点 1: > R1 > Node B
S1 触点 2: > Node B (R1 被旁路)
Node B > S2 (单刀双掷)
S2 触点 1: > R2 > 输出端
S2 触点 2: > 输出端 (R2 被旁路)
通过这个简单的 2 个 SPDT 开关设计，我们可以实现以下状态：
1. S1 触点 1, S2 触点 1: R1 串联 R2。 (电流先过 R1，再过 R2)
2. S1 触点 1, S2 触点 2: R1 接入，R2 旁路。 (电流过 R1，然后直接到输出)
3. S1 触点 2, S2 触点 1: R1 旁路，R2 接入。 (电流直接到 Node B，然后过 R2 到输出)
4. S1 触点 2, S2 触点 2: R1 旁路，R2 旁路。 (两个电阻都被断开，只有通路)
这里我们通过 2 个单刀双掷开关，实现了 4 种不同的电路连接组合。 其中包含了 R1 串联 R2 的状态，以及其他一些包含 R1 和 R2 接入或旁路的状态。
如果“改变串并混联电路”指的是能够实现“R1 串联 R2”和“R1 并联 R2”这两种核心的连接模式的切换，那么 2 个开关是可以做到的。
更复杂的情况：
如果电路结构更复杂，例如有 3 个电阻，并且它们可以组成更复杂的串并组合，那么需要的开关数量就会增加。但问题问的是“最少要多少个开关”，并且是从一个“串并混联电路”出发去“改变”它。
结论：
对于一个包含至少两个元件（可以看作是基础的串并混联结构）的电路，如果你希望通过只使用单刀双掷开关来切换不同的工作模式（例如，实现串联和并联之间的切换，或者控制某个元件的接入/旁路），那么 最少需要 2 个单刀双掷开关。
这 2 个开关提供了足够的“自由度”来组合不同的连接方式。一个开关控制一个元件的接入/路径选择，第二个开关可以处理另一个元件的接入/路径选择，并且它们可以相互配合，实现更复杂的组合，包括串联和并联的结构。
再少一个开关（只用 1 个）就无法同时控制两个元件的连接方式，也无法在串联和并联之间做出明确的切换。
所以，答案是 2 个。
1. 单刀双掷开关（电键）
你可以想象一下家里的灯的开关。它只有一个“刀”（也就是连接点），但有两个“掷”（也就是两个可以连接的触点）。当你拨动开关时，它会在两个触点之间切换连接。这就像一个分配器，决定电流流向哪个方向。
2. 串联电路
就像一串珠子，电流必须依次通过每一个元件才能形成回路。如果其中任何一个元件断开，整个电路就不通了。
3. 并联电路
就像多条平行的道路，电流会在某个节点分成几股，分别流过不同的支路，最后在另一个节点汇合。即使其中一个支路断开了，其他支路仍然可以工作。
4. 串并混联电路
顾名思义，就是混合了串联和并联的电路。电流可能先在某个部分串联，然后在另一个部分并联，再在其他地方串联，如此反复。
5. “改变电路”是什么意思？
这就是问题的关键所在。当我们说“改变电路”时，可能意味着：
改变电流的通路： 让电流从一个路径流向另一个路径。
改变电路的等效阻抗： 从而改变电流的大小（如果电压不变）。
改变电路的连接方式： 例如，将原本串联的两个部分变成并联，或者反过来。
对于只用单刀双掷开关来“改变”一个串并混联电路，最直接的理解通常是指改变电流的流向，或者改变电路的整体连接拓扑结构，使其呈现出不同的工作状态。
来思考一个最简化的场景
假设我们有一个非常基础的串并混联电路。我们可以从一个简单的例子开始，看看需要多少开关。
情景一：两个电阻，一个串联一个并联
想象一下，我们有两个电阻 R1 和 R2。
初始状态： R1 和 R2 串联。
我们想通过开关达到的目的： 切换成 R1 和 R2 并联，或者让其中一个电阻被旁路（短接）。
尝试用开关控制：
情况 A：只想实现 R1 串联 R2 和 R1 并联 R2 之间的切换
要实现 R1 和 R2 的并联，我们需要一个地方让电流分流，然后在另一个地方汇合。如果 R1 和 R2 已经串联，要变成并联，需要改变连接点。
考虑一个简单的方案：我们有一条主电路。
R1 串联在主电路上。
然后，在 R1 之后，有一个分叉点。
其中一个分支接 R2，另一个分支直接连到后面的汇合点（相当于 R2 被旁路了）。
在 R2 的分支末端，需要连接回主电路。
如果我们只有一个单刀双掷开关，它只能在一个地方改变连接。这不足以同时控制 R1 和 R2 的串并关系。
如果我们要实现 R1 串联 R2 和 R1 并联 R2 的切换，并且只能用单刀双掷开关，我们至少需要两个单刀双掷开关。
开关 1 (S1): 控制 R1 的接入。
开关 2 (S2): 控制 R2 的连接方式。
举个例子，我们可以设计成这样：
1. 电流进入一个节点。
2. 通过 S1 接入 R1。S1 的一个触点是闭合（R1 接入），另一个触点是断开（R1 不接入）。
3. 在 R1 的另一端，又有一个节点。
4. 从这个节点，电流有两个选择：
直接流向电路的下一个部分（如果 S2 在某个位置）。
流经 R2，然后再流向电路的下一个部分（如果 S2 在另一个位置）。
这样，通过 S1 和 S2 的组合，我们可以实现：
R1 串联 R2： S1 闭合，S2 连接到 R2 的一端。
R1 并联 R2： 这个需要更巧妙的设计。我们需要一个“节点”允许分流，然后再汇合。
让我们换个思路，直接从“改变连接方式”来思考。
最少多少个开关？
要“改变”一个串并混联电路，并且我们只能使用单刀双掷开关，最核心的问题是：我们需要多少个独立的“切换”操作才能达到不同的电路状态？
一个单刀双掷开关可以看作是提供了一个“是/否”或者“A/B”的选择。
假设我们有一个电路，其中包含多个电阻。我们想通过开关来决定：
哪些电阻被接入电路。
接入的电阻是串联还是并联。
考虑最精简的“改变”：
想象一个电路，有两个电阻 R1 和 R2。
状态 1： R1 串联 R2。
状态 2： R1 和 R2 并联。
要实现从 R1 串联 R2 到 R1 并联 R2 的切换，或者反过来，需要改变连接点。
答案是：至少需要 2 个单刀双掷开关。
为什么是 2 个？
让我们来设计一个只有 2 个单刀双掷开关（S1, S2）的电路，并尝试实现串联和并联的切换：
设计思路：
1. 电流进入主干道。
2. 第一个开关 S1 (单刀双掷):
触点 A: 连接到 R1。
触点 B: 直接连接到下一个关键节点，相当于旁路了 R1。
3. 在 R1 的另一端（或 S1 的触点 A 的后续节点）:
R1 的另一端连接到一个新节点。
4. 第二个开关 S2 (单刀双掷):
触点 C: 连接到 R2。
触点 D: 连接到另一个地方，需要与 R2 的连接方式配合。
实现串联和并联的策略：
我们可以这样设计：
目标：R1 串联 R2
S1 拨到连接 R1 的触点（让 R1 接入）。
R1 的另一端连接到 S2。
S2 拨到连接 R2 的触点，R2 的另一端接到电路的输出端。
目标：R1 并联 R2
我们需要一个“分流点”和一个“汇流点”。
让电流先经过 S1，S1 确保 R1 接入（拨到连接 R1 的触点）。
在 R1 的另一端，设置一个节点。
从这个节点，用 S2 来控制 R2 的接入和连接方式。
S2 的一个触点（比如触点 C）连接 R2。R2 的另一端接到主干道的汇流点。
S2 的另一个触点（比如触点 D）直接连接到主干道的汇流点，相当于旁路了 R2。
为了实现 R1 和 R2 的并联，我们需要 S1 接入 R1，然后 R1 的另一端与 R2 的另一端汇合。S2 可以用来控制 R2 的接入。
S1 (连接 R1): 拨到连接 R1 的触点。
S2 (控制 R2):
触点 C: 连接 R2。
触点 D: 直接接到 R1 另一端的下游节点。
这样，当 S1 接入 R1，并且 S2 拨到触点 C 连接 R2 时，R1 和 R2 就并联了。
举个更具体的电路图示例：
假设我们有一个电源 Vcc。
Vcc > S1 (触点 A)。
S1 (触点 A) > R1。
R1 > Node X。
Node X > S2 (触点 C)。
S2 (触点 C) > R2。
R2 > Ground (GND)。
为了实现并联：
我们需要让电流能分流经过 R1 和 R2。
Vcc > Node Y。
Node Y > S1 (触点 A) > R1 > Node X。
Node Y > S2 (触点 C) > R2 > Node Z。
Node X > Node Z > Ground。
这样设计，需要 2 个单刀双掷开关：
1. S1: 控制 R1 是否接入。
触点 1: 连接 R1。
触点 2: 不连接（R1 被断开）。
2. S2: 控制 R2 是否接入，以及与 R1 的连接方式。
一个更清晰的 2 开关实现思路（同时控制串并）：
输入端 > S1 (单刀双掷)
S1 触点 1: > R1
S1 触点 2: > R2
R1 的另一端 > S2 (单刀双掷)
S2 触点 1: > R2 的一端，R2 的另一端 > 输出端
S2 触点 2: > 输出端 (R2 被旁路)
这个方案可以实现：
R1 串联 R2： S1 拨到触点 1 (接 R1)，R1 的另一端接到 S2 的触点 1 (接 R2)，R2 连到输出。
R1 并联 R2： 这个设计还需要调整，因为上面的设计只是串联了 R1 和 R2，或者旁路了 R2。
回到最根本的：
要实现“改变”一个串并混联电路，意味着我们要能够通过开关来选择不同的连接路径，从而改变电流的分布和等效阻抗。
考虑最基础的“选择”：
一个电阻 R。
一个单刀单掷开关 (SPST) 可以控制 R 是否接入。
一个单刀双掷开关 (SPDT) 可以控制电流流向 R，或者流向旁路。
现在我们有 R1 和 R2。
情况 1： R1 串联 R2。
情况 2： R1 并联 R2。
要实现从情况 1 到情况 2 的切换，或者反过来，我们需要至少两个独立的“连接选择”。
开关 1 (S1): 可以用来决定电流是直接流过，还是先经过 R1。
开关 2 (S2): 可以用来决定电流在经过 R1 之后，是直接流向输出（不经过 R2），还是流向 R2 再到输出。
示例电路：
电源 > Node A
Node A > S1 (单刀双掷)
S1 触点 1: > R1 > Node B
S1 触点 2: > Node B (R1 被旁路)
Node B > S2 (单刀双掷)
S2 触点 1: > R2 > 输出端
S2 触点 2: > 输出端 (R2 被旁路)
通过这个简单的 2 个 SPDT 开关设计，我们可以实现以下状态：
1. S1 触点 1, S2 触点 1: R1 串联 R2。 (电流先过 R1，再过 R2)
2. S1 触点 1, S2 触点 2: R1 接入，R2 旁路。 (电流过 R1，然后直接到输出)
3. S1 触点 2, S2 触点 1: R1 旁路，R2 接入。 (电流直接到 Node B，然后过 R2 到输出)
4. S1 触点 2, S2 触点 2: R1 旁路，R2 旁路。 (两个电阻都被断开，只有通路)
这里我们通过 2 个单刀双掷开关，实现了 4 种不同的电路连接组合。 其中包含了 R1 串联 R2 的状态，以及其他一些包含 R1 和 R2 接入或旁路的状态。
如果“改变串并混联电路”指的是能够实现“R1 串联 R2”和“R1 并联 R2”这两种核心的连接模式的切换，那么 2 个开关是可以做到的。
更复杂的情况：
如果电路结构更复杂，例如有 3 个电阻，并且它们可以组成更复杂的串并组合，那么需要的开关数量就会增加。但问题问的是“最少要多少个开关”，并且是从一个“串并混联电路”出发去“改变”它。
结论：
对于一个包含至少两个元件（可以看作是基础的串并混联结构）的电路，如果你希望通过只使用单刀双掷开关来切换不同的工作模式（例如，实现串联和并联之间的切换，或者控制某个元件的接入/旁路），那么 最少需要 2 个单刀双掷开关。
这 2 个开关提供了足够的“自由度”来组合不同的连接方式。一个开关控制一个元件的接入/路径选择，第二个开关可以处理另一个元件的接入/路径选择，并且它们可以相互配合，实现更复杂的组合，包括串联和并联的结构。
再少一个开关（只用 1 个）就无法同时控制两个元件的连接方式，也无法在串联和并联之间做出明确的切换。
所以，答案是 2 个。
网友意见
这明显是道披着电路题外衣的数学题…
作为IC硅农我提供一个简单粗暴的上界，
使用递推法，
1个电阻R1，2个节点，0个开关；
新加一个电阻R2，R2的两个端口分别连到先前2个节点中的任意一个，所以需要增加2+2个开关，并且R1+R2构成的电路最多有3个节点；
再加一个电阻R3，新增开关3+3个，R1、R2、R3构成的电路最多有4个节点；
。。。
所以n个电阻构成的网络，最多需要n(n+1)-2个开关，可以配置成所有可能的电路拓扑结构，包括题主题目中没提到的。
e.g.以3电阻为例，Ra和Rb串联，Rc两端都接到Ra和Rb的中间节点上～～～
p.s.
如果不考虑这种一个电路两端接到同一个节点的情况，那么开关数量可以减少为
n(n+1)/2+(n-1)n/2-1 =（n^2-1）个，这仍然是一个上界，非最优解。
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