请问如何推导矢积的行列式表达呢？
好的，我们来详细推导矢积（向量积，叉乘）的行列式表达。
什么是矢积？
首先，我们明确一下矢积的定义。对于三维空间中的两个向量 $mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)$ 和 $mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)$，它们的矢积 $mathbf{a} imes mathbf{b}$ 是一个新的向量，它满足以下性质：
1. 方向： $mathbf{a} imes mathbf{b}$ 的方向垂直于 $mathbf{a}$ 和 $mathbf{b}$ 所在的平面，并且遵循右手定则（用右手拇指指向 $mathbf{a}$ 的方向，食指指向 $mathbf{b}$ 的方向，则中指指向的方向就是 $mathbf{a} imes mathbf{b}$ 的方向）。
2. 大小： $|mathbf{a} imes mathbf{b}| = |mathbf{a}| |mathbf{b}| sin heta$，其中 $ heta$ 是向量 $mathbf{a}$ 和 $mathbf{b}$ 之间的夹角。这个大小也等于由 $mathbf{a}$ 和 $mathbf{b}$ 张成的平行四边形的面积。
矢积的分量表示
矢积最直接的定义是它的分量形式：
$$
mathbf{a} imes mathbf{b} = (a_2 b_3 a_3 b_2, a_3 b_1 a_1 b_3, a_1 b_2 a_2 b_1)
$$
现在，我们的目标就是找到一个可以通过行列式计算出这个结果的方法。
行列式与向量的联系
我们知道，一个 $2 imes 2$ 的行列式可以表示为：
$$
egin{vmatrix} x & y \ z & w end{vmatrix} = xw yz
$$
这正好是矢积第一个分量 $a_2 b_3 a_3 b_2$ 的形式，如果我们把 $x=a_2$, $y=a_3$, $z=b_3$, $w=b_2$ 似乎有些不对。
关键在于，我们不能直接将向量的各个分量直接填入一个简单的行列式，因为矢积的结果是一个向量，而一个简单的行列式计算的结果是一个标量。
我们需要引入一个工具，将向量与行列式联系起来，同时又能得到一个向量作为结果。这个工具就是单位向量和行列式的性质。
引入单位向量
在三维直角坐标系中，我们有三个互相垂直的单位向量：
$mathbf{i} = (1, 0, 0)$
$mathbf{j} = (0, 1, 0)$
$mathbf{k} = (0, 0, 1)$
任何一个向量都可以表示为这三个单位向量的线性组合。例如，向量 $mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)$ 可以写成：
$$
mathbf{a} = a_1 mathbf{i} + a_2 mathbf{j} + a_3 mathbf{k}
$$
同理，向量 $mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)$ 可以写成：
$$
mathbf{b} = b_1 mathbf{i} + b_2 mathbf{j} + b_3 mathbf{k}
$$
利用分配律计算矢积
我们可以利用矢积的分配律和单位向量之间的特殊乘法规则来计算 $mathbf{a} imes mathbf{b}$：
$$
mathbf{a} imes mathbf{b} = (a_1 mathbf{i} + a_2 mathbf{j} + a_3 mathbf{k}) imes (b_1 mathbf{i} + b_2 mathbf{j} + b_3 mathbf{k})
$$
展开这个式子，我们需要知道单位向量之间的矢积规则：
$mathbf{i} imes mathbf{i} = mathbf{j} imes mathbf{j} = mathbf{k} imes mathbf{k} = mathbf{0}$ （因为向量与自身平行，夹角为0，sin(0)=0）
$mathbf{i} imes mathbf{j} = mathbf{k}$
$mathbf{j} imes mathbf{k} = mathbf{i}$
$mathbf{k} imes mathbf{i} = mathbf{j}$
$mathbf{j} imes mathbf{i} = mathbf{k}$ （矢积的反交换律）
$mathbf{k} imes mathbf{j} = mathbf{i}$
$mathbf{i} imes mathbf{k} = mathbf{j}$
现在，我们展开 $mathbf{a} imes mathbf{b}$:
$$
mathbf{a} imes mathbf{b} = a_1 b_1 (mathbf{i} imes mathbf{i}) + a_1 b_2 (mathbf{i} imes mathbf{j}) + a_1 b_3 (mathbf{i} imes mathbf{k}) + \
a_2 b_1 (mathbf{j} imes mathbf{i}) + a_2 b_2 (mathbf{j} imes mathbf{j}) + a_2 b_3 (mathbf{j} imes mathbf{k}) + \
a_3 b_1 (mathbf{k} imes mathbf{i}) + a_3 b_2 (mathbf{k} imes mathbf{j}) + a_3 b_3 (mathbf{k} imes mathbf{k})
$$
应用单位向量矢积的规则：
$$
mathbf{a} imes mathbf{b} = a_1 b_1 (mathbf{0}) + a_1 b_2 (mathbf{k}) + a_1 b_3 (mathbf{j}) + \
a_2 b_1 (mathbf{k}) + a_2 b_2 (mathbf{0}) + a_2 b_3 (mathbf{i}) + \
a_3 b_1 (mathbf{j}) + a_3 b_2 (mathbf{i}) + a_3 b_3 (mathbf{0})
$$
将非零项合并，并按 $mathbf{i}, mathbf{j}, mathbf{k}$ 的顺序排列：
$$
mathbf{a} imes mathbf{b} = (a_2 b_3 a_3 b_2) mathbf{i} + (a_3 b_1 a_1 b_3) mathbf{j} + (a_1 b_2 a_2 b_1) mathbf{k}
$$
这与我们之前给出的矢积分量形式完全一致。
构建行列式
现在，我们的目标是找到一个 $3 imes 3$ 的行列式，它的计算结果能自然地得到这个向量。
我们知道一个 $3 imes 3$ 的行列式可以表示为：
$$
egin{vmatrix} x_{11} & x_{12} & x_{13} \ x_{21} & x_{22} & x_{23} \ x_{31} & x_{32} & x_{33} end{vmatrix} = x_{11} egin{vmatrix} x_{22} & x_{23} \ x_{32} & x_{33} end{vmatrix} x_{12} egin{vmatrix} x_{21} & x_{23} \ x_{31} & x_{33} end{vmatrix} + x_{13} egin{vmatrix} x_{21} & x_{22} \ x_{31} & x_{32} end{vmatrix}
$$
仔细观察矢积分量形式的每一项：
第一个分量是 $(a_2 b_3 a_3 b_2)$
第二个分量是 $(a_3 b_1 a_1 b_3)$
第三个分量是 $(a_1 b_2 a_2 b_1)$
我们可以看到，第一分量是 $a_2, a_3$ 和 $b_3, b_2$ 的组合。第二分量是 $a_3, a_1$ 和 $b_1, b_3$ 的组合。第三分量是 $a_1, a_2$ 和 $b_2, b_1$ 的组合。
巧妙的构造
为了得到这个结构，我们可以将第一行设置为单位向量 $mathbf{i}, mathbf{j}, mathbf{k}$。然后，我们如何将向量 $mathbf{a}$ 和 $mathbf{b}$ 的分量巧妙地放置在第二行和第三行，使得计算出来的结果符合矢积的形式？
让我们尝试如下的行列式构造：
$$
egin{vmatrix} mathbf{i} & mathbf{j} & mathbf{k} \ a_1 & a_2 & a_3 \ b_1 & b_2 & b_3 end{vmatrix}
$$
现在，我们按照第一行进行展开：
$$
= mathbf{i} egin{vmatrix} a_2 & a_3 \ b_2 & b_3 end{vmatrix} mathbf{j} egin{vmatrix} a_1 & a_3 \ b_1 & b_3 end{vmatrix} + mathbf{k} egin{vmatrix} a_1 & a_2 \ b_1 & b_2 end{vmatrix}
$$
计算每个 $2 imes 2$ 的行列式：
$$
= mathbf{i} (a_2 b_3 a_3 b_2) mathbf{j} (a_1 b_3 a_3 b_1) + mathbf{k} (a_1 b_2 a_2 b_1)
$$
将负号移入第二项的括号内：
$$
= mathbf{i} (a_2 b_3 a_3 b_2) + mathbf{j} (a_3 b_1 a_1 b_3) + mathbf{k} (a_1 b_2 a_2 b_1)
$$
这个结果正是我们之前通过分配律计算得到的 $mathbf{a} imes mathbf{b}$ 的向量形式！
为什么这个行列式有效？
这个行列式的有效性源于其形式与我们对矢积分量的推导方式非常相似。
第一行是单位向量： 它确保了展开后结果是一个向量，并且每个分量都由对应的 $2 imes 2$ 子行列式乘以相应的单位向量。
第二行是向量 $mathbf{a}$ 的分量： 当我们计算 $mathbf{i}$ 的代数余子式时（即去掉 $mathbf{i}$ 所在的行和列），我们得到了由 $mathbf{a}$ 的其余分量和 $mathbf{b}$ 的相应分量组成的行列式 $egin{vmatrix} a_2 & a_3 \ b_2 & b_3 end{vmatrix} = a_2 b_3 a_3 b_2$，这正好是矢积的第一个分量。
第三行是向量 $mathbf{b}$ 的分量： 同样，对于 $mathbf{j}$，我们得到 $egin{vmatrix} a_1 & a_3 \ b_1 & b_3 end{vmatrix} = a_1 b_3 a_3 b_1$。这里的符号是负号（由于 $mathbf{j}$ 在第一行的位置），所以结果是 $(a_1 b_3 a_3 b_1) = a_3 b_1 a_1 b_3$，这是矢积的第二个分量。对于 $mathbf{k}$，我们得到 $egin{vmatrix} a_1 & a_2 \ b_1 & b_2 end{vmatrix} = a_1 b_2 a_2 b_1$，这是矢积的第三个分量。
总结
因此，向量 $mathbf{a}$ 和 $mathbf{b}$ 的矢积可以用如下的行列式来表示：
$$
mathbf{a} imes mathbf{b} =
egin{vmatrix}
mathbf{i} & mathbf{j} & mathbf{k} \
a_1 & a_2 & a_3 \
b_1 & b_2 & b_3
end{vmatrix}
$$
其中 $mathbf{i}, mathbf{j}, mathbf{k}$ 是标准正交基向量。
需要注意的地方：
1. 必须是三维向量： 矢积只定义在三维空间中。
2. 单位向量在第一行： 这是表示结果为向量的关键。
3. 向量分量的位置： $mathbf{a}$ 的分量在第二行，$mathbf{b}$ 的分量在第三行。调换这两行的顺序会改变矢积的方向（产生负号）。
4. 这个“行列式”结果是一个向量： 虽然我们使用行列式的形式，但由于第一行是向量，整个表达式的结果也是一个向量。
希望这个详细的推导过程能够帮助您理解矢积的行列式表达！
什么是矢积？
首先，我们明确一下矢积的定义。对于三维空间中的两个向量 $mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)$ 和 $mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)$，它们的矢积 $mathbf{a} imes mathbf{b}$ 是一个新的向量，它满足以下性质：
1. 方向： $mathbf{a} imes mathbf{b}$ 的方向垂直于 $mathbf{a}$ 和 $mathbf{b}$ 所在的平面，并且遵循右手定则（用右手拇指指向 $mathbf{a}$ 的方向，食指指向 $mathbf{b}$ 的方向，则中指指向的方向就是 $mathbf{a} imes mathbf{b}$ 的方向）。
2. 大小： $|mathbf{a} imes mathbf{b}| = |mathbf{a}| |mathbf{b}| sin heta$，其中 $ heta$ 是向量 $mathbf{a}$ 和 $mathbf{b}$ 之间的夹角。这个大小也等于由 $mathbf{a}$ 和 $mathbf{b}$ 张成的平行四边形的面积。
矢积的分量表示
矢积最直接的定义是它的分量形式：
$$
mathbf{a} imes mathbf{b} = (a_2 b_3 a_3 b_2, a_3 b_1 a_1 b_3, a_1 b_2 a_2 b_1)
$$
现在，我们的目标就是找到一个可以通过行列式计算出这个结果的方法。
行列式与向量的联系
我们知道，一个 $2 imes 2$ 的行列式可以表示为：
$$
egin{vmatrix} x & y \ z & w end{vmatrix} = xw yz
$$
这正好是矢积第一个分量 $a_2 b_3 a_3 b_2$ 的形式，如果我们把 $x=a_2$, $y=a_3$, $z=b_3$, $w=b_2$ 似乎有些不对。
关键在于，我们不能直接将向量的各个分量直接填入一个简单的行列式，因为矢积的结果是一个向量，而一个简单的行列式计算的结果是一个标量。
我们需要引入一个工具，将向量与行列式联系起来，同时又能得到一个向量作为结果。这个工具就是单位向量和行列式的性质。
引入单位向量
在三维直角坐标系中，我们有三个互相垂直的单位向量：
$mathbf{i} = (1, 0, 0)$
$mathbf{j} = (0, 1, 0)$
$mathbf{k} = (0, 0, 1)$
任何一个向量都可以表示为这三个单位向量的线性组合。例如，向量 $mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)$ 可以写成：
$$
mathbf{a} = a_1 mathbf{i} + a_2 mathbf{j} + a_3 mathbf{k}
$$
同理，向量 $mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)$ 可以写成：
$$
mathbf{b} = b_1 mathbf{i} + b_2 mathbf{j} + b_3 mathbf{k}
$$
利用分配律计算矢积
我们可以利用矢积的分配律和单位向量之间的特殊乘法规则来计算 $mathbf{a} imes mathbf{b}$：
$$
mathbf{a} imes mathbf{b} = (a_1 mathbf{i} + a_2 mathbf{j} + a_3 mathbf{k}) imes (b_1 mathbf{i} + b_2 mathbf{j} + b_3 mathbf{k})
$$
展开这个式子，我们需要知道单位向量之间的矢积规则：
$mathbf{i} imes mathbf{i} = mathbf{j} imes mathbf{j} = mathbf{k} imes mathbf{k} = mathbf{0}$ （因为向量与自身平行，夹角为0，sin(0)=0）
$mathbf{i} imes mathbf{j} = mathbf{k}$
$mathbf{j} imes mathbf{k} = mathbf{i}$
$mathbf{k} imes mathbf{i} = mathbf{j}$
$mathbf{j} imes mathbf{i} = mathbf{k}$ （矢积的反交换律）
$mathbf{k} imes mathbf{j} = mathbf{i}$
$mathbf{i} imes mathbf{k} = mathbf{j}$
现在，我们展开 $mathbf{a} imes mathbf{b}$:
$$
mathbf{a} imes mathbf{b} = a_1 b_1 (mathbf{i} imes mathbf{i}) + a_1 b_2 (mathbf{i} imes mathbf{j}) + a_1 b_3 (mathbf{i} imes mathbf{k}) + \
a_2 b_1 (mathbf{j} imes mathbf{i}) + a_2 b_2 (mathbf{j} imes mathbf{j}) + a_2 b_3 (mathbf{j} imes mathbf{k}) + \
a_3 b_1 (mathbf{k} imes mathbf{i}) + a_3 b_2 (mathbf{k} imes mathbf{j}) + a_3 b_3 (mathbf{k} imes mathbf{k})
$$
应用单位向量矢积的规则：
$$
mathbf{a} imes mathbf{b} = a_1 b_1 (mathbf{0}) + a_1 b_2 (mathbf{k}) + a_1 b_3 (mathbf{j}) + \
a_2 b_1 (mathbf{k}) + a_2 b_2 (mathbf{0}) + a_2 b_3 (mathbf{i}) + \
a_3 b_1 (mathbf{j}) + a_3 b_2 (mathbf{i}) + a_3 b_3 (mathbf{0})
$$
将非零项合并，并按 $mathbf{i}, mathbf{j}, mathbf{k}$ 的顺序排列：
$$
mathbf{a} imes mathbf{b} = (a_2 b_3 a_3 b_2) mathbf{i} + (a_3 b_1 a_1 b_3) mathbf{j} + (a_1 b_2 a_2 b_1) mathbf{k}
$$
这与我们之前给出的矢积分量形式完全一致。
构建行列式
现在，我们的目标是找到一个 $3 imes 3$ 的行列式，它的计算结果能自然地得到这个向量。
我们知道一个 $3 imes 3$ 的行列式可以表示为：
$$
egin{vmatrix} x_{11} & x_{12} & x_{13} \ x_{21} & x_{22} & x_{23} \ x_{31} & x_{32} & x_{33} end{vmatrix} = x_{11} egin{vmatrix} x_{22} & x_{23} \ x_{32} & x_{33} end{vmatrix} x_{12} egin{vmatrix} x_{21} & x_{23} \ x_{31} & x_{33} end{vmatrix} + x_{13} egin{vmatrix} x_{21} & x_{22} \ x_{31} & x_{32} end{vmatrix}
$$
仔细观察矢积分量形式的每一项：
第一个分量是 $(a_2 b_3 a_3 b_2)$
第二个分量是 $(a_3 b_1 a_1 b_3)$
第三个分量是 $(a_1 b_2 a_2 b_1)$
我们可以看到，第一分量是 $a_2, a_3$ 和 $b_3, b_2$ 的组合。第二分量是 $a_3, a_1$ 和 $b_1, b_3$ 的组合。第三分量是 $a_1, a_2$ 和 $b_2, b_1$ 的组合。
巧妙的构造
为了得到这个结构，我们可以将第一行设置为单位向量 $mathbf{i}, mathbf{j}, mathbf{k}$。然后，我们如何将向量 $mathbf{a}$ 和 $mathbf{b}$ 的分量巧妙地放置在第二行和第三行，使得计算出来的结果符合矢积的形式？
让我们尝试如下的行列式构造：
$$
egin{vmatrix} mathbf{i} & mathbf{j} & mathbf{k} \ a_1 & a_2 & a_3 \ b_1 & b_2 & b_3 end{vmatrix}
$$
现在，我们按照第一行进行展开：
$$
= mathbf{i} egin{vmatrix} a_2 & a_3 \ b_2 & b_3 end{vmatrix} mathbf{j} egin{vmatrix} a_1 & a_3 \ b_1 & b_3 end{vmatrix} + mathbf{k} egin{vmatrix} a_1 & a_2 \ b_1 & b_2 end{vmatrix}
$$
计算每个 $2 imes 2$ 的行列式：
$$
= mathbf{i} (a_2 b_3 a_3 b_2) mathbf{j} (a_1 b_3 a_3 b_1) + mathbf{k} (a_1 b_2 a_2 b_1)
$$
将负号移入第二项的括号内：
$$
= mathbf{i} (a_2 b_3 a_3 b_2) + mathbf{j} (a_3 b_1 a_1 b_3) + mathbf{k} (a_1 b_2 a_2 b_1)
$$
这个结果正是我们之前通过分配律计算得到的 $mathbf{a} imes mathbf{b}$ 的向量形式！
为什么这个行列式有效？
这个行列式的有效性源于其形式与我们对矢积分量的推导方式非常相似。
第一行是单位向量： 它确保了展开后结果是一个向量，并且每个分量都由对应的 $2 imes 2$ 子行列式乘以相应的单位向量。
第二行是向量 $mathbf{a}$ 的分量： 当我们计算 $mathbf{i}$ 的代数余子式时（即去掉 $mathbf{i}$ 所在的行和列），我们得到了由 $mathbf{a}$ 的其余分量和 $mathbf{b}$ 的相应分量组成的行列式 $egin{vmatrix} a_2 & a_3 \ b_2 & b_3 end{vmatrix} = a_2 b_3 a_3 b_2$，这正好是矢积的第一个分量。
第三行是向量 $mathbf{b}$ 的分量： 同样，对于 $mathbf{j}$，我们得到 $egin{vmatrix} a_1 & a_3 \ b_1 & b_3 end{vmatrix} = a_1 b_3 a_3 b_1$。这里的符号是负号（由于 $mathbf{j}$ 在第一行的位置），所以结果是 $(a_1 b_3 a_3 b_1) = a_3 b_1 a_1 b_3$，这是矢积的第二个分量。对于 $mathbf{k}$，我们得到 $egin{vmatrix} a_1 & a_2 \ b_1 & b_2 end{vmatrix} = a_1 b_2 a_2 b_1$，这是矢积的第三个分量。
总结
因此，向量 $mathbf{a}$ 和 $mathbf{b}$ 的矢积可以用如下的行列式来表示：
$$
mathbf{a} imes mathbf{b} =
egin{vmatrix}
mathbf{i} & mathbf{j} & mathbf{k} \
a_1 & a_2 & a_3 \
b_1 & b_2 & b_3
end{vmatrix}
$$
其中 $mathbf{i}, mathbf{j}, mathbf{k}$ 是标准正交基向量。
需要注意的地方：
1. 必须是三维向量： 矢积只定义在三维空间中。
2. 单位向量在第一行： 这是表示结果为向量的关键。
3. 向量分量的位置： $mathbf{a}$ 的分量在第二行，$mathbf{b}$ 的分量在第三行。调换这两行的顺序会改变矢积的方向（产生负号）。
4. 这个“行列式”结果是一个向量： 虽然我们使用行列式的形式，但由于第一行是向量，整个表达式的结果也是一个向量。
希望这个详细的推导过程能够帮助您理解矢积的行列式表达！
网友意见
谢邀。
设两向量在标准正交基下坐标为：
α = xi + yj + zk
β = ui + vj + wk
那么
α x β = (xi + yj + zk ) ⊗ (ui + vj + wk)
根据外积的性质：
i ⊗ i = 0，j ⊗ j = 0，k ⊗ k = 0
i ⊗ j = k，j ⊗ k = i，k ⊗ i = j
以及外积的反交换律性质，将上述叉乘式括号打开，按外积分配律化简得：
α ⊗ β = (zv - yw )i - (xw - zu)j + (xv - yu)k
最后这些式子很容易化为行列式形式（按第一行展开的拉普拉斯定理）：
顺便把二重积分中雅可比行列式的证明列出来：
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西点军校，作为美国最负盛名的军事学府之一，其近期爆发的大规模作弊丑闻无疑是一个极其令人震惊且具有深远影响的事件。这不仅仅是一起孤立的学生作弊事件，而是触及了军校的诚信基石、人才培养目标以及其在国家安全体系中的角色。要详细看待这一事件，需要从多个层面进行分析：一、 丑闻的性质与规模： 大规模性质：.............
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