二次型的惯性定理中「惯性」是什么意思？
在二次型的研究中，提到惯性定理时，“惯性”这个词，其实指的是一种不变性。它揭示了二次型在经过一系列特定的线性变换后，其某些关键性质保持不变的本质。要理解这一点，我们得先聊聊二次型是什么，以及它为什么会被“变换”。
二次型是怎么回事？
你可以把二次型想象成一个多项式，但它只包含变量的平方项和交叉项。比如，对于两个变量 $x_1, x_2$，一个二次型可能是 $Q(x_1, x_2) = ax_1^2 + bx_2^2 + cx_1x_2$。更一般地，对于 $n$ 个变量 $x_1, x_2, dots, x_n$，一个二次型可以写成：
$Q(x_1, dots, x_n) = sum_{i=1}^n sum_{j=1}^n a_{ij} x_i x_j$
其中，$a_{ij}$ 是系数。我们还可以用矩阵来简洁地表示它。如果我们定义一个列向量 $x = egin{pmatrix} x_1 \ vdots \ x_n end{pmatrix}$，并且构造一个对称矩阵 $A$，使得 $a_{ii}$ 是二次型中 $x_i^2$ 项的系数，而 $a_{ij} = a_{ji}$ 是 $x_ix_j$ 和 $x_jx_i$ 项系数和的一半，那么这个二次型就可以写成一个非常漂亮的矩阵形式：
$Q(x) = x^T A x$
这个矩阵 $A$ 就被称为二次型的矩阵。
为什么要进行“变换”？
我们对二次型进行变换，通常是为了让它变得更“简单”，或者说更易于分析。想象一下我们有一个倾斜的椭圆方程，我们想要让它变成一个轴对称的椭圆，这样我们就能更容易地确定它的长短轴和方向。这正是线性变换的作用。
如果我们对变量进行一个可逆的线性变换，也就是说，我们用新的变量 $y$ 来表示旧的变量 $x$：
$x = P y$
其中 $P$ 是一个可逆的矩阵。那么，原来的二次型 $Q(x) = x^T A x$ 就会变成关于新变量 $y$ 的一个二次型：
$Q(y) = (P y)^T A (P y) = y^T P^T A P y$
新的二次型的矩阵就是 $A' = P^T A P$。
这里的关键在于，$P$ 是一个可逆的线性变换。这意味着它不会“压扁”空间，也不会“销毁”信息。就好比你只是把一张地图给重新投影了一下，地图上的所有地点都还在，只是它们的坐标和方向发生了变化。
“惯性”在哪里体现？
惯性定理告诉我们，无论你进行什么样的可逆线性变换（比如上面提到的 $x = Py$），一个二次型经过化简后（化简到对角形），其正的平方项的个数、负的平方项的个数以及零平方项的个数是不会改变的。
什么意思呢？任何一个二次型，通过一个合适的可逆线性变换，都可以化简成一个只有平方项的对角形二次型。也就是说，我们可以找到一个可逆矩阵 $P$，使得：
$y^T D y = sum_{i=1}^n d_i y_i^2$
其中，$D = P^T A P$ 是一个对角矩阵，对角线上的元素 $d_i$ 就是化简后的二次型的系数。
惯性定理（也称为西尔维斯特惯性定理）的核心就是说：
正惯性指数： 对角化后的二次型中，系数 $d_i > 0$ 的平方项 $y_i^2$ 的个数，这个个数是一个不变的量。
负惯性指数： 对角化后的二次型中，系数 $d_i < 0$ 的平方项 $y_i^2$ 的个数，这个个数也是一个不变的量。
零惯性指数： 对角化后的二次型中，系数 $d_i = 0$ 的平方项 $y_i^2$ 的个数，这个个数也是一个不变的量。
这三个指数加起来，总是等于变量的个数 $n$。
为什么叫“惯性”？
这个“惯性”的说法，是一种形象的比喻。你可以理解为，二次型的“形状”或“性质”在经过可逆线性变换时，就像一个物体的质量或惯性质量一样，虽然它的位置、速度会变，但其“本身固有的”某种量是不变的。
对于二次型来说，这个“固有的量”就是它在化简后所呈现出的“正”、“负”、“零”平方项的“数量”。无论你怎么旋转、缩放、剪切（只要是可逆的），它最终能被化简成的“基本形态”中的这些“正”、“负”、“零”的数量是固定的。
想象一下，你有一个弹簧系统，它有几个自由度。你改变系统的“坐标系”，比如用不同的角度来描述各个方向的运动。但无论你怎么描述，这个系统有多少个方向的运动会产生“向外的力”（对应正的平方项），有多少个方向会产生“向内的力”（对应负的平方项），有多少个方向不受力的影响（对应零的平方项），这些“数量”本身是不会因为你选择的描述方式而改变的。
举个例子：
考虑二次型 $Q(x_1, x_2) = x_1^2 x_2^2$。它的矩阵是 $A = egin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 end{pmatrix}$。
这是对角形的，正惯性指数是 1（来自 $x_1^2$），负惯性指数是 1（来自 $x_2^2$），零惯性指数是 0。
现在，我们做一个可逆的线性变换：
$x_1 = y_1 + y_2$
$x_2 = y_1 y_2$
对应的矩阵 $P = egin{pmatrix} 1 & 1 \ 1 & 1 end{pmatrix}$。
代入原二次型：
$Q(y_1, y_2) = (y_1 + y_2)^2 (y_1 y_2)^2$
$= (y_1^2 + 2y_1y_2 + y_2^2) (y_1^2 2y_1y_2 + y_2^2)$
$= 4y_1y_2$
等等，这里我选择了一个不是把二次型化为对角形的例子，这是为了说明变换后的形式！不过，惯性定理说的是可以化简为对角形后的个数不变。
让我们换一个更符合惯性定理的例子。
考虑 $Q(x_1, x_2) = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2$。
矩阵 $A = egin{pmatrix} 1 & 1 \ 1 & 1 end{pmatrix}$。
经过一个变换（比如 $y_1 = x_1+x_2, y_2 = x_1x_2$），我们可以化简它。
或者更直接地，找到特征值。这个矩阵的特征值为 $2$ 和 $0$。对应的特征向量可以构成一个正交矩阵 $P$。$P^T A P$ 会是对角矩阵 $egin{pmatrix} 2 & 0 \ 0 & 0 end{pmatrix}$。
所以化简后的二次型是 $2y_1^2$。
这里，正惯性指数是 1，负惯性指数是 0，零惯性指数是 1。
现在，让我们考虑另一个二次型：$R(x_1, x_2) = x_1^2$。
矩阵 $A = egin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 0 end{pmatrix}$。
它已经是对角形了。正惯性指数是 1，负惯性指数是 0，零惯性指数是 1。
我们来看惯性定理的意义：
即使是像 $Q(x_1, x_2) = (x_1+x_2)^2$ 和 $R(x_1, x_2) = x_1^2$ 这样看起来不同的二次型，如果它们都经过某种可逆线性变换能够化简成一个正的平方项和一个零的平方项，那么它们就具有相同的“惯性”。
换句话说，惯性定理告诉我们，对于一个二次型，无论你怎样变换坐标系，它在“简化之后”的“正”、“负”、“零”项的“数量”是它的内在属性，不随坐标系的改变而改变。
所以，“惯性”在这里就是指二次型在经过化简为对角形后，其对角线上非零元素的符号（正、负）以及零元素的个数所确定的组合，是该二次型在可逆线性变换下不变的属性。 它反映了二次型“本质的结构”或“内在的定性特征”。
二次型是怎么回事？
你可以把二次型想象成一个多项式，但它只包含变量的平方项和交叉项。比如，对于两个变量 $x_1, x_2$，一个二次型可能是 $Q(x_1, x_2) = ax_1^2 + bx_2^2 + cx_1x_2$。更一般地，对于 $n$ 个变量 $x_1, x_2, dots, x_n$，一个二次型可以写成：
$Q(x_1, dots, x_n) = sum_{i=1}^n sum_{j=1}^n a_{ij} x_i x_j$
其中，$a_{ij}$ 是系数。我们还可以用矩阵来简洁地表示它。如果我们定义一个列向量 $x = egin{pmatrix} x_1 \ vdots \ x_n end{pmatrix}$，并且构造一个对称矩阵 $A$，使得 $a_{ii}$ 是二次型中 $x_i^2$ 项的系数，而 $a_{ij} = a_{ji}$ 是 $x_ix_j$ 和 $x_jx_i$ 项系数和的一半，那么这个二次型就可以写成一个非常漂亮的矩阵形式：
$Q(x) = x^T A x$
这个矩阵 $A$ 就被称为二次型的矩阵。
为什么要进行“变换”？
我们对二次型进行变换，通常是为了让它变得更“简单”，或者说更易于分析。想象一下我们有一个倾斜的椭圆方程，我们想要让它变成一个轴对称的椭圆，这样我们就能更容易地确定它的长短轴和方向。这正是线性变换的作用。
如果我们对变量进行一个可逆的线性变换，也就是说，我们用新的变量 $y$ 来表示旧的变量 $x$：
$x = P y$
其中 $P$ 是一个可逆的矩阵。那么，原来的二次型 $Q(x) = x^T A x$ 就会变成关于新变量 $y$ 的一个二次型：
$Q(y) = (P y)^T A (P y) = y^T P^T A P y$
新的二次型的矩阵就是 $A' = P^T A P$。
这里的关键在于，$P$ 是一个可逆的线性变换。这意味着它不会“压扁”空间，也不会“销毁”信息。就好比你只是把一张地图给重新投影了一下，地图上的所有地点都还在，只是它们的坐标和方向发生了变化。
“惯性”在哪里体现？
惯性定理告诉我们，无论你进行什么样的可逆线性变换（比如上面提到的 $x = Py$），一个二次型经过化简后（化简到对角形），其正的平方项的个数、负的平方项的个数以及零平方项的个数是不会改变的。
什么意思呢？任何一个二次型，通过一个合适的可逆线性变换，都可以化简成一个只有平方项的对角形二次型。也就是说，我们可以找到一个可逆矩阵 $P$，使得：
$y^T D y = sum_{i=1}^n d_i y_i^2$
其中，$D = P^T A P$ 是一个对角矩阵，对角线上的元素 $d_i$ 就是化简后的二次型的系数。
惯性定理（也称为西尔维斯特惯性定理）的核心就是说：
正惯性指数： 对角化后的二次型中，系数 $d_i > 0$ 的平方项 $y_i^2$ 的个数，这个个数是一个不变的量。
负惯性指数： 对角化后的二次型中，系数 $d_i < 0$ 的平方项 $y_i^2$ 的个数，这个个数也是一个不变的量。
零惯性指数： 对角化后的二次型中，系数 $d_i = 0$ 的平方项 $y_i^2$ 的个数，这个个数也是一个不变的量。
这三个指数加起来，总是等于变量的个数 $n$。
为什么叫“惯性”？
这个“惯性”的说法，是一种形象的比喻。你可以理解为，二次型的“形状”或“性质”在经过可逆线性变换时，就像一个物体的质量或惯性质量一样，虽然它的位置、速度会变，但其“本身固有的”某种量是不变的。
对于二次型来说，这个“固有的量”就是它在化简后所呈现出的“正”、“负”、“零”平方项的“数量”。无论你怎么旋转、缩放、剪切（只要是可逆的），它最终能被化简成的“基本形态”中的这些“正”、“负”、“零”的数量是固定的。
想象一下，你有一个弹簧系统，它有几个自由度。你改变系统的“坐标系”，比如用不同的角度来描述各个方向的运动。但无论你怎么描述，这个系统有多少个方向的运动会产生“向外的力”（对应正的平方项），有多少个方向会产生“向内的力”（对应负的平方项），有多少个方向不受力的影响（对应零的平方项），这些“数量”本身是不会因为你选择的描述方式而改变的。
举个例子：
考虑二次型 $Q(x_1, x_2) = x_1^2 x_2^2$。它的矩阵是 $A = egin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 end{pmatrix}$。
这是对角形的，正惯性指数是 1（来自 $x_1^2$），负惯性指数是 1（来自 $x_2^2$），零惯性指数是 0。
现在，我们做一个可逆的线性变换：
$x_1 = y_1 + y_2$
$x_2 = y_1 y_2$
对应的矩阵 $P = egin{pmatrix} 1 & 1 \ 1 & 1 end{pmatrix}$。
代入原二次型：
$Q(y_1, y_2) = (y_1 + y_2)^2 (y_1 y_2)^2$
$= (y_1^2 + 2y_1y_2 + y_2^2) (y_1^2 2y_1y_2 + y_2^2)$
$= 4y_1y_2$
等等，这里我选择了一个不是把二次型化为对角形的例子，这是为了说明变换后的形式！不过，惯性定理说的是可以化简为对角形后的个数不变。
让我们换一个更符合惯性定理的例子。
考虑 $Q(x_1, x_2) = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2$。
矩阵 $A = egin{pmatrix} 1 & 1 \ 1 & 1 end{pmatrix}$。
经过一个变换（比如 $y_1 = x_1+x_2, y_2 = x_1x_2$），我们可以化简它。
或者更直接地，找到特征值。这个矩阵的特征值为 $2$ 和 $0$。对应的特征向量可以构成一个正交矩阵 $P$。$P^T A P$ 会是对角矩阵 $egin{pmatrix} 2 & 0 \ 0 & 0 end{pmatrix}$。
所以化简后的二次型是 $2y_1^2$。
这里，正惯性指数是 1，负惯性指数是 0，零惯性指数是 1。
现在，让我们考虑另一个二次型：$R(x_1, x_2) = x_1^2$。
矩阵 $A = egin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 0 end{pmatrix}$。
它已经是对角形了。正惯性指数是 1，负惯性指数是 0，零惯性指数是 1。
我们来看惯性定理的意义：
即使是像 $Q(x_1, x_2) = (x_1+x_2)^2$ 和 $R(x_1, x_2) = x_1^2$ 这样看起来不同的二次型，如果它们都经过某种可逆线性变换能够化简成一个正的平方项和一个零的平方项，那么它们就具有相同的“惯性”。
换句话说，惯性定理告诉我们，对于一个二次型，无论你怎样变换坐标系，它在“简化之后”的“正”、“负”、“零”项的“数量”是它的内在属性，不随坐标系的改变而改变。
所以，“惯性”在这里就是指二次型在经过化简为对角形后，其对角线上非零元素的符号（正、负）以及零元素的个数所确定的组合，是该二次型在可逆线性变换下不变的属性。 它反映了二次型“本质的结构”或“内在的定性特征”。
网友意见
先声明一下，你这命题不是正确的。正确的命题应该是这样的：
惯性定理：有限的实二次型（定理所指不是复二次型）的规范形（应该是“形”而非“型”）唯一。
因为惯性定理，所以才定义了正负惯性指数等等概念。
之后，由于实数域上的正定性与复数域的正定性不同，命题的推广受到一定影响。这定理说明对于实二次型，正负惯性指数（或者正惯性指数+秩）便可以完全决定相合类（以相合这个二元关系作为等价关系进行划分，因为二次型矩阵阶数与秩的差就是规范形中系数为0的项个数，系数为1和-1的分别由正负惯性指数唯一确定，二者之和即为矩阵的秩）；但是对于复数域，由于正定性改变，便只需要矩阵的秩了。
所以，对于有限的实二次型，矩阵的秩和正惯性指数完全决定了这个二次型所在的相合类。或者说秩与正惯性指数是相合关系下的完全不变量。
根据A.H.柯斯特利金《代数学引论》第二卷第1章第4目（Page 35）的注解，“二次型的惯性定律归功于Sylvester，起源于力学”，可能是当年老先生的时代“完全不变量”这种几何术语还没有，又加之其研究的是力学问题，这种像是物体固有属性的东西不知道叫什么好，所以就起了一个俗名“惯性”吧。
说这些主要是希望题主明白，所谓惯性定理，只是陈述秩与正惯性指数是相合关系下的完全不变量这件事而已。
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