两点之间线段最短是公理吗？
你问的这个问题很有意思，它触及到了数学中最基础、最核心的一些概念。
简单来说，“两点之间线段最短”在欧几里得几何中，既不是一个被直接赋予的“公理”，也不是一个被证明出来的“定理”。它更像是一个基于公理系统的基本概念和性质的自然推论，或者说是一种我们对“距离”的定义方式。
为了详细解释这一点，我们需要稍微深入地聊聊几何学的基石——公理。
什么是公理？
公理是几何学（以及其他数学分支）的起点。它们是那些被认为是不证自明、无需证明就必须接受的基本陈述。它们是我们构建整个理论体系的“积木块”。就像盖房子需要地基一样，数学需要公理来立足。
欧几里得在他那本影响了世界两千多年的《几何原本》中，提出了一系列公理（也称为公设）。我们来回顾一下其中一些与你问题相关的：
公理1：从任意一点到任意一点可以画一条直线。 这告诉我们，只要有两个点，我们就能连接它们。
公理2：一条有限的直线可以继续画成一条直线。 这意味着直线是无限延伸的。
公理3：以任意点为圆心，任意长为半径可以画一个圆。
公理4：一切直角都相等。
公理5（平行公理）：如果一条直线与两条直线相交，并且在同一侧的内角和小于两个直角，那么这两条直线在内侧的延长线上必定相交。 这个公理后来被证明是最有争议的，并催生了非欧几何。
那么，“两点之间线段最短”和这些公理的关系是什么？
你可以发现，欧几里得的公理中，并没有直接陈述“两点之间线段最短”。但这些公理构建了一个我们理解空间和距离的基础框架。
1. 定义“直线”： 公理1告诉我们可以连接两点。我们在实践中知道，也通过更基础的定义（例如，由“点”和“线段”组成的无限延伸的“直线”），来刻画“直线”这种几何对象。我们默认“直线”就是最“直”的那个东西，没有弯曲。
2. 定义“距离”： 在欧几里得几何中，我们定义了“距离”的概念。两个点 $A$ 和 $B$ 之间的距离通常就被定义为连接 $A$ 和 $B$ 的那条线段的长度。这是我们对“距离”的约定俗成的理解方式。
3. 勾股定理和向量： 当我们进入解析几何（将几何问题转化为代数问题）时，我们用坐标来表示点。例如，点 $A$ 是 $(x_1, y_1)$，点 $B$ 是 $(x_2, y_2)$。它们之间的距离（线段长度）可以通过勾股定理计算：$d = sqrt{(x_2x_1)^2 + (y_2y_1)^2}$。这个公式本身就是基于欧几里得几何的度量性质，而欧几里得几何的度量性质又是建立在那些看似简单却非常深刻的公理之上的。
为什么我们感觉“线段最短”？
这是因为我们生活在一个（近似）欧几里得的空间里，我们的直觉和我们对“长度”的度量方式都是围绕着欧几里得几何构建的。
直觉的引导： 想象一下你要从家走到商店，最快捷方便的方式自然是沿着一条直线走。任何绕路或者弯曲的走法都会增加你行走的距离。
数学上的证明（在特定框架下）： 在我们熟悉的欧几里得平面（或三维空间）中，“两点之间线段最短”是一个可以被证明的性质，但它的证明依赖于更深层的数学概念和工具，比如微积分中的变分法，或者利用向量和内积的性质。这些工具和证明，其根基仍然是欧几里得的公理系统。
例如，在解析几何中，我们可以考虑连接 $A$ 和 $B$ 的任意一条曲线，并计算其长度。通过数学分析，可以证明只有当这条曲线是连接 $A$ 和 $B$ 的直线段时，其长度才最短。但这已经超出了欧几里得最初公理的范畴，进入了更高阶的数学领域。
总结一下：
不是直接的公理： 欧几里得的公理集里没有直接说“两点之间线段最短”。
是度量方式的定义： 在欧几里得几何中，连接两点的线段长度就是我们定义的两点之间的“距离”。
是基础性质的推论： “两点之间线段最短”是建立在欧几里得公理系统之上，通过进一步的定义和推导（如勾股定理、解析几何等）可以证明的性质。它反映了欧几里得空间中“距离”的内在属性。
与直觉一致： 这个性质非常符合我们日常生活中的经验和直觉。
所以，我们可以说，在欧几里得几何的框架下，“两点之间线段最短”是它最基本、最核心的属性之一，是支撑我们理解空间和度量方式的基石，但它不是从零开始的“第一块积木”（公理），而是由第一块积木和其他一些基本积木搭建起来的坚实“墙体”。
简单来说，“两点之间线段最短”在欧几里得几何中，既不是一个被直接赋予的“公理”，也不是一个被证明出来的“定理”。它更像是一个基于公理系统的基本概念和性质的自然推论，或者说是一种我们对“距离”的定义方式。
为了详细解释这一点，我们需要稍微深入地聊聊几何学的基石——公理。
什么是公理？
公理是几何学（以及其他数学分支）的起点。它们是那些被认为是不证自明、无需证明就必须接受的基本陈述。它们是我们构建整个理论体系的“积木块”。就像盖房子需要地基一样，数学需要公理来立足。
欧几里得在他那本影响了世界两千多年的《几何原本》中，提出了一系列公理（也称为公设）。我们来回顾一下其中一些与你问题相关的：
公理1：从任意一点到任意一点可以画一条直线。 这告诉我们，只要有两个点，我们就能连接它们。
公理2：一条有限的直线可以继续画成一条直线。 这意味着直线是无限延伸的。
公理3：以任意点为圆心，任意长为半径可以画一个圆。
公理4：一切直角都相等。
公理5（平行公理）：如果一条直线与两条直线相交，并且在同一侧的内角和小于两个直角，那么这两条直线在内侧的延长线上必定相交。 这个公理后来被证明是最有争议的，并催生了非欧几何。
那么，“两点之间线段最短”和这些公理的关系是什么？
你可以发现，欧几里得的公理中，并没有直接陈述“两点之间线段最短”。但这些公理构建了一个我们理解空间和距离的基础框架。
1. 定义“直线”： 公理1告诉我们可以连接两点。我们在实践中知道，也通过更基础的定义（例如，由“点”和“线段”组成的无限延伸的“直线”），来刻画“直线”这种几何对象。我们默认“直线”就是最“直”的那个东西，没有弯曲。
2. 定义“距离”： 在欧几里得几何中，我们定义了“距离”的概念。两个点 $A$ 和 $B$ 之间的距离通常就被定义为连接 $A$ 和 $B$ 的那条线段的长度。这是我们对“距离”的约定俗成的理解方式。
3. 勾股定理和向量： 当我们进入解析几何（将几何问题转化为代数问题）时，我们用坐标来表示点。例如，点 $A$ 是 $(x_1, y_1)$，点 $B$ 是 $(x_2, y_2)$。它们之间的距离（线段长度）可以通过勾股定理计算：$d = sqrt{(x_2x_1)^2 + (y_2y_1)^2}$。这个公式本身就是基于欧几里得几何的度量性质，而欧几里得几何的度量性质又是建立在那些看似简单却非常深刻的公理之上的。
为什么我们感觉“线段最短”？
这是因为我们生活在一个（近似）欧几里得的空间里，我们的直觉和我们对“长度”的度量方式都是围绕着欧几里得几何构建的。
直觉的引导： 想象一下你要从家走到商店，最快捷方便的方式自然是沿着一条直线走。任何绕路或者弯曲的走法都会增加你行走的距离。
数学上的证明（在特定框架下）： 在我们熟悉的欧几里得平面（或三维空间）中，“两点之间线段最短”是一个可以被证明的性质，但它的证明依赖于更深层的数学概念和工具，比如微积分中的变分法，或者利用向量和内积的性质。这些工具和证明，其根基仍然是欧几里得的公理系统。
例如，在解析几何中，我们可以考虑连接 $A$ 和 $B$ 的任意一条曲线，并计算其长度。通过数学分析，可以证明只有当这条曲线是连接 $A$ 和 $B$ 的直线段时，其长度才最短。但这已经超出了欧几里得最初公理的范畴，进入了更高阶的数学领域。
总结一下：
不是直接的公理： 欧几里得的公理集里没有直接说“两点之间线段最短”。
是度量方式的定义： 在欧几里得几何中，连接两点的线段长度就是我们定义的两点之间的“距离”。
是基础性质的推论： “两点之间线段最短”是建立在欧几里得公理系统之上，通过进一步的定义和推导（如勾股定理、解析几何等）可以证明的性质。它反映了欧几里得空间中“距离”的内在属性。
与直觉一致： 这个性质非常符合我们日常生活中的经验和直觉。
所以，我们可以说，在欧几里得几何的框架下，“两点之间线段最短”是它最基本、最核心的属性之一，是支撑我们理解空间和度量方式的基石，但它不是从零开始的“第一块积木”（公理），而是由第一块积木和其他一些基本积木搭建起来的坚实“墙体”。
网友意见
我就当成是二维欧氏空间的结果吧。更高维也是一样的。
结论：不是。
设可求长曲线 的起点是 ，终点是 。则问题等价于证明
由柯西不等式 代进去就证出来了。
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