两个有理数之间一定存在一个无理数吗？
你这个问题问得很有意思，也触及到了数学中一个非常基础但又很深刻的概念。简单地说，答案是肯定的，两个有理数之间，一定能找到一个无理数。不过，要详细讲明白这一点，需要我们稍微深入地聊聊“有理数”和“无理数”是怎么一回事。
我们先说说有理数。你可以把有理数想象成那些可以用“分数”表示出来的数，当然，这里的“分数”是指一个整数除以另一个非零整数。比如，1/2，3/4，5/7，甚至是像7（可以写成7/1）和2（可以写成2/1）这样的整数，它们都属于有理数。任何一个有理数，把它写成小数形式，要么是有限小数（比如0.5，1.25），要么是无限循环小数（比如1/3是0.333...，1/7是0.142857142857...）。
那无理数呢？无理数就是那些我们怎么也写不成“整数比整数”形式的数。它们的数轴上的“位置”是确定的，但是它们的小数展开却是无限不循环的。最著名的无理数大概就是圆周率π了，它的值约等于3.1415926535...，后面这些数字永远不会重复，也不会停止。还有像√2（2的平方根），它约等于1.41421356...，也是一个无限不循环小数。
好了，有了这两个概念，我们就可以来证明为什么两个有理数之间一定有无理数了。
假设我们有两个任意的有理数，我们把它们叫做a和b。为了方便讨论，我们就假设a比b小（a < b）。现在，我们要做的就是证明，在这a和b之间，肯定能找到一个无理数。
我们可以用一个非常直观的方法来思考。既然a和b是两个不同的数，那么它们之间就存在一个“距离”或者说“间隔”。这个间隔的大小就是 b a。这个间隔本身的大小，我们可以想象成一个“线段”。
现在，我们想在这个“线段”上找一个点，这个点代表的数既不是a，也不是b，而且它是一个无理数。
一个比较直接的想法是，能不能利用一些我们知道的无理数来“构造”出这样一个数？
我们知道√2是一个无理数。那么，我们能不能通过“缩放”或者“平移”√2来找到一个在a和b之间的无理数呢？
比如，我们可以考虑 k √2 这样的数，其中 k 是一个有理数。如果k是0，那就是0，它不一定在a和b之间。但如果k不是0呢？
另一种更一般也更直接的方法是，我们知道有理数集虽然稠密（任意两个有理数之间还有有理数），但是它在实数轴上“留下了空缺”。这些空缺就是由无理数填补的。
想象一下，我们把所有有理数都画在数轴上。你会发现，它们虽然看起来密密麻麻，但它们之间总是有“缝隙”的。这些缝隙，就是由那些无法写成分数形式的无理数占据的。
更具体一点讲，我们可以用一个我们已经知道的无理数，比如说 √2，来进行操作。
假设我们有两个有理数 a 和 b，并且 a < b。
我们可以考虑把 √2 “缩小”一点，让它变得足够小，然后把它“放在”a和b之间的某个位置。
怎么缩小呢？我们可以用一个非常小的有理数乘以 √2。
比如，我们选择一个非常非常小的正有理数 m，使得 m √2 的大小在 a 和 b 之间。
但要怎么保证一定能找到这么一个 m 呢？
这里有个更根本的思路：实数集是“完备”的。这就像说，数轴上没有“洞”。每一条实数线段，哪怕再小，上面都包含着实数。而实数是由有理数和无理数组成的。
我们知道，任意两个不同的实数之间，都存在一个有理数。同时，任意两个不同的实数之间，也存在一个无理数。
让我们换个角度思考：
取两个有理数 a 和 b，设 a < b。
考虑数 b a。这是一个正的有理数。
因为 b a 是一个正的有理数，我们可以找到一个正整数 N，使得 1/N 小于 b a。
也就是说， N (b a) > 1。
现在，我们考虑一个数：a + √2 / N。
这里的 a 是一个有理数，√2 是一个无理数，N 是一个正整数。
那么，√2 / N 是什么？
因为 √2 是无理数，任何一个非零有理数（比如 1/N）乘以或除以一个无理数，结果仍然是一个无理数。所以，√2 / N 是一个无理数。
我们设 c = a + √2 / N。
c 是一个有理数 (a) 加上一个无理数 (√2 / N)。因此，c 是一个无理数。
我们还需要证明 c 落在 a 和 b 之间。
我们知道 √2 > 0，N > 0，所以 √2 / N > 0。
因此，c = a + √2 / N > a。
现在，我们还需要证明 c < b。
也就是说， a + √2 / N < b。
这等价于 √2 / N < b a。
这又等价于 √2 < N (b a)。
我们之前已经找到了一个正整数 N，使得 N (b a) > 1。
因为 √2 大约是 1.414...，它肯定大于 1。
所以，只要我们选取的 N 使得 N (b a) > √2 就可以了。
由于 b a 是一个正数，我们可以选择一个足够大的 N，使得 N (b a) 远大于 √2。
例如，我们可以选择 N > √2 / (b a)。这样的 N 一定存在，因为 b a 是一个固定的正数。
所以，通过这样的构造，我们总能找到一个无理数 c = a + √2 / N，它满足 a < c < b。
总而言之，数学家们也证明了，对于任何两个不同的实数（包括有理数和无理数），它们之间必然存在无数个有理数，也必然存在无数个无理数。这种性质叫做“稠密性”。有理数集在实数集上是稠密的，无理数集在实数集上也是稠密的。
你问的是“两个有理数之间一定存在一个无理数吗”，这个答案是肯定的，而且不只一个。我们上面的构造方法就是一种证明手段，说明了如何找到这样一个数。它依赖于无理数的性质以及实数系的完备性。
我们先说说有理数。你可以把有理数想象成那些可以用“分数”表示出来的数，当然，这里的“分数”是指一个整数除以另一个非零整数。比如，1/2，3/4，5/7，甚至是像7（可以写成7/1）和2（可以写成2/1）这样的整数，它们都属于有理数。任何一个有理数，把它写成小数形式，要么是有限小数（比如0.5，1.25），要么是无限循环小数（比如1/3是0.333...，1/7是0.142857142857...）。
那无理数呢？无理数就是那些我们怎么也写不成“整数比整数”形式的数。它们的数轴上的“位置”是确定的，但是它们的小数展开却是无限不循环的。最著名的无理数大概就是圆周率π了，它的值约等于3.1415926535...，后面这些数字永远不会重复，也不会停止。还有像√2（2的平方根），它约等于1.41421356...，也是一个无限不循环小数。
好了，有了这两个概念，我们就可以来证明为什么两个有理数之间一定有无理数了。
假设我们有两个任意的有理数，我们把它们叫做a和b。为了方便讨论，我们就假设a比b小（a < b）。现在，我们要做的就是证明，在这a和b之间，肯定能找到一个无理数。
我们可以用一个非常直观的方法来思考。既然a和b是两个不同的数，那么它们之间就存在一个“距离”或者说“间隔”。这个间隔的大小就是 b a。这个间隔本身的大小，我们可以想象成一个“线段”。
现在，我们想在这个“线段”上找一个点，这个点代表的数既不是a，也不是b，而且它是一个无理数。
一个比较直接的想法是，能不能利用一些我们知道的无理数来“构造”出这样一个数？
我们知道√2是一个无理数。那么，我们能不能通过“缩放”或者“平移”√2来找到一个在a和b之间的无理数呢？
比如，我们可以考虑 k √2 这样的数，其中 k 是一个有理数。如果k是0，那就是0，它不一定在a和b之间。但如果k不是0呢？
另一种更一般也更直接的方法是，我们知道有理数集虽然稠密（任意两个有理数之间还有有理数），但是它在实数轴上“留下了空缺”。这些空缺就是由无理数填补的。
想象一下，我们把所有有理数都画在数轴上。你会发现，它们虽然看起来密密麻麻，但它们之间总是有“缝隙”的。这些缝隙，就是由那些无法写成分数形式的无理数占据的。
更具体一点讲，我们可以用一个我们已经知道的无理数，比如说 √2，来进行操作。
假设我们有两个有理数 a 和 b，并且 a < b。
我们可以考虑把 √2 “缩小”一点，让它变得足够小，然后把它“放在”a和b之间的某个位置。
怎么缩小呢？我们可以用一个非常小的有理数乘以 √2。
比如，我们选择一个非常非常小的正有理数 m，使得 m √2 的大小在 a 和 b 之间。
但要怎么保证一定能找到这么一个 m 呢？
这里有个更根本的思路：实数集是“完备”的。这就像说，数轴上没有“洞”。每一条实数线段，哪怕再小，上面都包含着实数。而实数是由有理数和无理数组成的。
我们知道，任意两个不同的实数之间，都存在一个有理数。同时，任意两个不同的实数之间，也存在一个无理数。
让我们换个角度思考：
取两个有理数 a 和 b，设 a < b。
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因为 b a 是一个正的有理数，我们可以找到一个正整数 N，使得 1/N 小于 b a。
也就是说， N (b a) > 1。
现在，我们考虑一个数：a + √2 / N。
这里的 a 是一个有理数，√2 是一个无理数，N 是一个正整数。
那么，√2 / N 是什么？
因为 √2 是无理数，任何一个非零有理数（比如 1/N）乘以或除以一个无理数，结果仍然是一个无理数。所以，√2 / N 是一个无理数。
我们设 c = a + √2 / N。
c 是一个有理数 (a) 加上一个无理数 (√2 / N)。因此，c 是一个无理数。
我们还需要证明 c 落在 a 和 b 之间。
我们知道 √2 > 0，N > 0，所以 √2 / N > 0。
因此，c = a + √2 / N > a。
现在，我们还需要证明 c < b。
也就是说， a + √2 / N < b。
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所以，只要我们选取的 N 使得 N (b a) > √2 就可以了。
由于 b a 是一个正数，我们可以选择一个足够大的 N，使得 N (b a) 远大于 √2。
例如，我们可以选择 N > √2 / (b a)。这样的 N 一定存在，因为 b a 是一个固定的正数。
所以，通过这样的构造，我们总能找到一个无理数 c = a + √2 / N，它满足 a < c < b。
总而言之，数学家们也证明了，对于任何两个不同的实数（包括有理数和无理数），它们之间必然存在无数个有理数，也必然存在无数个无理数。这种性质叫做“稠密性”。有理数集在实数集上是稠密的，无理数集在实数集上也是稠密的。
你问的是“两个有理数之间一定存在一个无理数吗”，这个答案是肯定的，而且不只一个。我们上面的构造方法就是一种证明手段，说明了如何找到这样一个数。它依赖于无理数的性质以及实数系的完备性。
网友意见
一定存。
假如a,b是有理数且a<b，
构造c=a+（b-a）/√2
c介于a，b之间，并且是无理数
实际上，任意两个有理数之间有无穷多个无理数，把上式中的√2换成任意一个大于1的无理数即可。
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