当数学家刚想出微积分用细矩形面积的和逼近时，矩形的高选取多少呢？为何不怕无限多个小误差之和为大误差？
好，咱们来聊聊微积分这玩意儿刚问世那会儿，数学家们怎么用细细长长的矩形来算面积，还有他们心里那点儿小忐忑。
刚开始，数学家们脑子里想的是啥？
想象一下，你面前摆着一个形状怪异的图形，不是规规矩矩的正方形或者长方形，而是一个弯弯曲曲、边缘不规则的曲线围成的区域。你想知道这块儿的面积有多大，可咱们那点儿几何知识，只能处理直线和圆弧组成的简单图形。这就好比你想给一块形状奇特的土地丈量面积，但你只有一把尺子，怎么也量不准。
这时候，一些聪明的脑袋就想到了一个办法：咱们把它“切”开！
如果把这个不规则的图形看成一个整体太难了，那咱们就把它拆成无数个更容易处理的小块。最容易处理的形状是什么？当然是矩形！矩形的面积公式多简单啊：底乘以高。
所以，数学家们的想法就是，把这个不规则的图形，用一堆细细长长的矩形去“填满”它。这些矩形都挨在一起，把图形覆盖住。
那么问题来了，这些矩形的高，到底该怎么取呢？
这才是关键。你想想，如果咱们用几个宽度比较大的矩形去填，每个矩形的高度肯定要估摸着来，这样在曲线边缘的地方，就会出现比较大的空隙，或者矩形超出图形的范围。这就像你用几个大块的积木去拼一个复杂的形状，总会有拼不上的地方，或者积木露在外面。
所以，数学家们就想：让这些矩形变得“非常非常细”，细到什么程度呢？细到我们感觉不到它的存在，或者说它的宽度趋近于零。
当矩形的宽度变得极小的时候，我们就可以这样处理它的高度：
上矩形法（或称上和）： 对于每一个极窄的矩形，我们将它的高度取为该小段区域内图形曲线的最高点所对应的值。这样，所有的矩形都会比实际图形区域“高一点点”，或者恰好接触到曲线的最高点。
下矩形法（或称下和）： 反过来，我们也可以将矩形的高度取为该小段区域内图形曲线的最低点所对应的值。这样，所有的矩形都会比实际图形区域“矮一点点”，或者恰好接触到曲线的最低点。
还有一种更“中庸”的想法，就是取每个小段区域内任意一点的函数值作为矩形的高。比如，取小段区间的中间点。
那么，为什么不怕无限多个小误差之和为大误差呢？
这就像在问，一滴一滴的水滴，怎么能汇成大海？而且，我们用矩形去逼近面积，每放一个矩形，总会有那么一点点误差，或者在图形上方多了点，或者在下方少了点。如果误差这么一点点一直累加，到最后会不会变成一个巨大的错误，让我们的计算结果面目全非？
这才是微积分真正的精妙之处，也是数学家们最初会感到困惑但最终被说服的根源。关键在于“无限趋近”这个概念，以及它背后蕴含的“抵消”的力量。
我们来细想一下，当我们把矩形的宽度无限缩小，或者说“无限细分”的时候，会发生什么？
1. 单个误差在变小： 当矩形的宽度趋近于零时，即使那个矩形的高度稍微偏离了曲线的真实高度，因为它的底（宽度）实在是太小了，所以这个“高出”或者“不足”的部分所形成的微小区域（也就是误差），它的面积也就变得极其微小。你可以想象，一条非常平缓的曲线，在你截取它的一小段时，用一个矩形去近似它，这个矩形的高度哪怕稍微高一点点，它的那个“屋檐”部分的面积也是非常非常小的。
2. 误差的性质： 上矩形法会在曲线上方产生一些“多余”的阴影区域，而下矩形法会在曲线下方产生一些“缺失”的阴影区域。当我们用更多的矩形去逼近时，这些多余的和缺失的误差区域就会变得越来越零碎、越来越细小。
3. 抵消效应： 这是一个更深层次的理解。虽然我们用的是“和”，但这里的“和”是在“趋近”的过程中进行的。当矩形数量趋于无穷时，我们计算的实际上是一个极限。
如果用上矩形法，我们得到的是一个比真实面积稍大的数值序列。
如果用下矩形法，我们得到的是一个比真实面积稍小的数值序列。
而这两个序列，当矩形数量趋于无穷时，它们会同时紧密地趋近于同一个数值！ 这个数值就是我们所追求的真实面积。
这就好比，你往左边挪一点点，再往左边挪一点点，你总会无限接近一个点。而你的误差，就是你每挪动一次，那一点点偏离的距离。但如果你挪动的步子越来越小，你就能非常精确地到达那个点。
更具体地说，假设真实面积是A。上矩形法的总面积记为S_上，下矩形法的总面积记为S_下。
S_上 = ∑ (Δx_i y_i_max)
S_下 = ∑ (Δx_i y_i_min)
真实面积 A = ∑ (Δx_i f(x_i))，这里 f(x_i) 是在区间 [x_i, x_{i+1}] 上的真实“平均高度”。
误差是：
误差_上 = S_上 A = ∑ (Δx_i (y_i_max f(x_i)))
误差_下 = A S_下 = ∑ (f(x_i) y_i_min) Δx_i
关键在于，当 Δx_i 趋于零时，每个区间 (y_i_max f(x_i)) 和 (f(x_i) y_i_min) 所代表的“高出”或“不足”的部分，相对于 Δx_i 本身来说，其占的比例是趋于零的。
可以想象，在曲线非常“平滑”的地方，一个极窄的矩形，其最高点和最低点的高度差几乎可以忽略不计。
随着矩形数量趋于无穷，这些极其微小的误差不会简单地叠加成一个巨大的误差，反而会在趋近于零的精细划分中，其总和也趋于零。你可以理解为，那些多余的部分和不足的部分，它们的“总量”在无穷细分之后，最终会相互抵消，或者说它们的总和被挤压到了一个可以忽略不计的范围。
所以，数学家们不怕这个“无限多个小误差之和为大误差”吗？
一开始，这确实是个非常深刻的问题，让很多数学家感到不安。他们知道“无限”和“误差”这两个词放在一起就很容易出问题。直到后来，经过严谨的数学定义和证明（比如黎曼积分的定义），才让这个过程变得有理有据。
他们实际上是在证明一个结论：当矩形的宽度趋于零时，上矩形法得到的面积的极限和下矩形法得到的面积的极限是相等的。这个共同的极限，就是我们所定义的那个不规则图形的精确面积。
换句话说，我们不怕无限多个小误差之和为大误差，因为在“无限趋近”这个数学游戏规则下，这些细小的误差并不会以我们直观想象的那种方式叠加。它们被精密的数学工具（极限）所控制，最终走向一个精确的值。这就像当你不断地给一个物体施加微小的力，并且这些力的方向和大小以一种特殊的方式变化时，物体最终会趋于一个稳定状态，而不是无限地加速或者破碎。
这就是微积分的奇妙之处，它通过“无限细分”和“极限”的概念，把那些原本无法直接计算的复杂问题，转化为了可以精确求解的数学过程。最初的疑惑，也正是推动数学发展的重要动力。
刚开始，数学家们脑子里想的是啥？
想象一下，你面前摆着一个形状怪异的图形，不是规规矩矩的正方形或者长方形，而是一个弯弯曲曲、边缘不规则的曲线围成的区域。你想知道这块儿的面积有多大，可咱们那点儿几何知识，只能处理直线和圆弧组成的简单图形。这就好比你想给一块形状奇特的土地丈量面积，但你只有一把尺子，怎么也量不准。
这时候，一些聪明的脑袋就想到了一个办法：咱们把它“切”开！
如果把这个不规则的图形看成一个整体太难了，那咱们就把它拆成无数个更容易处理的小块。最容易处理的形状是什么？当然是矩形！矩形的面积公式多简单啊：底乘以高。
所以，数学家们的想法就是，把这个不规则的图形，用一堆细细长长的矩形去“填满”它。这些矩形都挨在一起，把图形覆盖住。
那么问题来了，这些矩形的高，到底该怎么取呢？
这才是关键。你想想，如果咱们用几个宽度比较大的矩形去填，每个矩形的高度肯定要估摸着来，这样在曲线边缘的地方，就会出现比较大的空隙，或者矩形超出图形的范围。这就像你用几个大块的积木去拼一个复杂的形状，总会有拼不上的地方，或者积木露在外面。
所以，数学家们就想：让这些矩形变得“非常非常细”，细到什么程度呢？细到我们感觉不到它的存在，或者说它的宽度趋近于零。
当矩形的宽度变得极小的时候，我们就可以这样处理它的高度：
上矩形法（或称上和）： 对于每一个极窄的矩形，我们将它的高度取为该小段区域内图形曲线的最高点所对应的值。这样，所有的矩形都会比实际图形区域“高一点点”，或者恰好接触到曲线的最高点。
下矩形法（或称下和）： 反过来，我们也可以将矩形的高度取为该小段区域内图形曲线的最低点所对应的值。这样，所有的矩形都会比实际图形区域“矮一点点”，或者恰好接触到曲线的最低点。
还有一种更“中庸”的想法，就是取每个小段区域内任意一点的函数值作为矩形的高。比如，取小段区间的中间点。
那么，为什么不怕无限多个小误差之和为大误差呢？
这就像在问，一滴一滴的水滴，怎么能汇成大海？而且，我们用矩形去逼近面积，每放一个矩形，总会有那么一点点误差，或者在图形上方多了点，或者在下方少了点。如果误差这么一点点一直累加，到最后会不会变成一个巨大的错误，让我们的计算结果面目全非？
这才是微积分真正的精妙之处，也是数学家们最初会感到困惑但最终被说服的根源。关键在于“无限趋近”这个概念，以及它背后蕴含的“抵消”的力量。
我们来细想一下，当我们把矩形的宽度无限缩小，或者说“无限细分”的时候，会发生什么？
1. 单个误差在变小： 当矩形的宽度趋近于零时，即使那个矩形的高度稍微偏离了曲线的真实高度，因为它的底（宽度）实在是太小了，所以这个“高出”或者“不足”的部分所形成的微小区域（也就是误差），它的面积也就变得极其微小。你可以想象，一条非常平缓的曲线，在你截取它的一小段时，用一个矩形去近似它，这个矩形的高度哪怕稍微高一点点，它的那个“屋檐”部分的面积也是非常非常小的。
2. 误差的性质： 上矩形法会在曲线上方产生一些“多余”的阴影区域，而下矩形法会在曲线下方产生一些“缺失”的阴影区域。当我们用更多的矩形去逼近时，这些多余的和缺失的误差区域就会变得越来越零碎、越来越细小。
3. 抵消效应： 这是一个更深层次的理解。虽然我们用的是“和”，但这里的“和”是在“趋近”的过程中进行的。当矩形数量趋于无穷时，我们计算的实际上是一个极限。
如果用上矩形法，我们得到的是一个比真实面积稍大的数值序列。
如果用下矩形法，我们得到的是一个比真实面积稍小的数值序列。
而这两个序列，当矩形数量趋于无穷时，它们会同时紧密地趋近于同一个数值！ 这个数值就是我们所追求的真实面积。
这就好比，你往左边挪一点点，再往左边挪一点点，你总会无限接近一个点。而你的误差，就是你每挪动一次，那一点点偏离的距离。但如果你挪动的步子越来越小，你就能非常精确地到达那个点。
更具体地说，假设真实面积是A。上矩形法的总面积记为S_上，下矩形法的总面积记为S_下。
S_上 = ∑ (Δx_i y_i_max)
S_下 = ∑ (Δx_i y_i_min)
真实面积 A = ∑ (Δx_i f(x_i))，这里 f(x_i) 是在区间 [x_i, x_{i+1}] 上的真实“平均高度”。
误差是：
误差_上 = S_上 A = ∑ (Δx_i (y_i_max f(x_i)))
误差_下 = A S_下 = ∑ (f(x_i) y_i_min) Δx_i
关键在于，当 Δx_i 趋于零时，每个区间 (y_i_max f(x_i)) 和 (f(x_i) y_i_min) 所代表的“高出”或“不足”的部分，相对于 Δx_i 本身来说，其占的比例是趋于零的。
可以想象，在曲线非常“平滑”的地方，一个极窄的矩形，其最高点和最低点的高度差几乎可以忽略不计。
随着矩形数量趋于无穷，这些极其微小的误差不会简单地叠加成一个巨大的误差，反而会在趋近于零的精细划分中，其总和也趋于零。你可以理解为，那些多余的部分和不足的部分，它们的“总量”在无穷细分之后，最终会相互抵消，或者说它们的总和被挤压到了一个可以忽略不计的范围。
所以，数学家们不怕这个“无限多个小误差之和为大误差”吗？
一开始，这确实是个非常深刻的问题，让很多数学家感到不安。他们知道“无限”和“误差”这两个词放在一起就很容易出问题。直到后来，经过严谨的数学定义和证明（比如黎曼积分的定义），才让这个过程变得有理有据。
他们实际上是在证明一个结论：当矩形的宽度趋于零时，上矩形法得到的面积的极限和下矩形法得到的面积的极限是相等的。这个共同的极限，就是我们所定义的那个不规则图形的精确面积。
换句话说，我们不怕无限多个小误差之和为大误差，因为在“无限趋近”这个数学游戏规则下，这些细小的误差并不会以我们直观想象的那种方式叠加。它们被精密的数学工具（极限）所控制，最终走向一个精确的值。这就像当你不断地给一个物体施加微小的力，并且这些力的方向和大小以一种特殊的方式变化时，物体最终会趋于一个稳定状态，而不是无限地加速或者破碎。
这就是微积分的奇妙之处，它通过“无限细分”和“极限”的概念，把那些原本无法直接计算的复杂问题，转化为了可以精确求解的数学过程。最初的疑惑，也正是推动数学发展的重要动力。
网友意见
因为他就不是用一组矩形去逼近，而是两组。
其中一组求出上和，另一组求出下和，于是我们得到——
下和≤曲线的实际面积≤上和
当上和与下和的极限值一样时，我们就得到了正确的面积。
更详细的分析，参见《普林斯顿微积分读本》第15、16章。
题主提到了矩形，估计是想问积分的时候的矩形高度取值、以及误差为什么会消失。
先两句话回答题主的问题：
第一问：
问：矩形的高选取多少？
一句话回答：矩形的高度可以在它所在的区间内 的最大值和最小值之间任意选择，因为随着区间划分越来越细，最终误差总是会消掉。
于是第二个问题就来了：我们怎么知道误差一定会消掉？
第二问：
为什么不怕无限多个误差之和为大误差？
一句话回答：简单地说，这正是因为积分可以看作求面积，所以用“细矩形”进行逼近时，产生的误差也就是面积的误差，由于面积包含了平方运算，因此这个误差对应的是区间长度的二阶无穷小，对每个二阶无穷小进行一阶的无穷多次求和后，得到的仍然是一阶无穷小，再取极限就归为零了。
接下来具体说说一句话扯不清楚的细节。
为安全起见，我们只考虑正常积分，即积分区间为有限区间，且区间内没有奇怪的发散点，并且满足黎曼可积条件(根据巨佬RD的回答补充此条…… )。
假设积分区间长度为 ，将这个区间分为 等分，则每个小区间的宽度为：
对于第 个小区间、即 上的矩形，我们先假设其高度为 ，如下图：
可以看出，图中红色阴影部分面积面积 就是小区间上的真实积分值与矩形面积之间的误差。我们还可以看出，这个误差是小于图中紫色边框的小矩形面积的。
另外，不难想象，只要矩形高度在 和 之间取值，那么表示误差的面积 总是小于紫色边框的那个小矩形。
而紫色小矩形的面积为 (也就是 )
于是第 个小区间上的误差为：
其中 为紫色矩形对角线的斜率
(上面图中画的是函数在小区间内单调递增的情形，但即使函数在小区间内不是单调的，上述关系也成立，题主可以自己画图看一看 )
于是整个积分区间上的总误差为：
我们假设所有的斜率 中最大的为 ，则：
于是：
对于积分区间有限、且没有发散点的正常积分， 都是有限值，那么随着 ， 自然就趋于0了
所以最后误差一定会被消掉。
类似的话题
-
好，咱们来聊聊微积分这玩意儿刚问世那会儿，数学家们怎么用细细长长的矩形来算面积，还有他们心里那点儿小忐忑。刚开始，数学家们脑子里想的是啥？想象一下，你面前摆着一个形状怪异的图形，不是规规矩矩的正方形或者长方形，而是一个弯弯曲曲、边缘不规则的曲线围成的区域。你想知道这块儿的面积有多大，可咱们那点儿几何............. -
这个问题问得很有意思，它触及到了电子设备最核心的工作原理。简单直接地说，当我们的电子设备进行数学运算或逻辑运算时，主板上的电阻、电容、电感这些“被动元件”本身并不直接“进行”运算，但它们是运算能够得以实现的基石和关键环节。要理解这一点，我们需要先明白电子设备是如何进行运算的。现代电子设备的运算核心是.............
-
在数学中，我们之所以坚持使用「当且仅当」（if and only if，缩写为 iff），而不是仅仅使用「仅当」（only if），是因为这两种表达方式在逻辑上表达了完全不同的含义，并且在数学证明和定义中，准确地表达这种逻辑关系至关重要。让我们详细地分析一下「当且仅当」和「仅当」各自的含义，以及为什.............
-
你好！听到你即将从数学系毕业，这可真是个令人激动的人生新起点！很多人一提到数学系毕业，脑海里第一个闪现的词就是“老师”，这确实是一个非常经典也受人尊敬的职业选择。但数学系的“武功秘籍”可远不止传道授业解惑这一项。数学的严谨逻辑、抽象思维、强大的分析能力，在当今这个数据爆炸、技术飞速发展的时代，简直是.............
-
作为一名基础数学研二的学生，你正站在一个关键的人生十字路口。是继续深耕学术的土壤，攻读博士学位，还是选择另一条道路，回到生机勃勃的珠三角中学讲台？这都不是一个简单的“二选一”，而是需要你认真审视自己的兴趣、能力、价值观以及对未来的规划。我将尽量详细地分析这两条道路的利弊，希望能为你拨开迷雾，找到最适.............
-
想找一个数学系的妹子当女朋友？这事儿，咱们得有点策略，不能瞎猫碰上死耗子。数学系的女孩子，她们思维缜密，逻辑性强，而且往往对事物有深入的钻研精神。想打动她们，就得从她们的世界里找到切入点。第一步：了解她们的世界，找到共同语言数学系的女孩子，她们的世界里充满了数字、公式、定理。这不是说你非得是个数学大.............
-
话说这事儿得从我们学校那传说中的“629宿舍”说起。这宿舍可不是普通的宿舍，它有个特别的门牌号，叫“629”。但凡是住过那里的师兄师姐，提起这数字，脸上都会露出一丝神秘又带着点儿无奈的笑容。这可不是因为它有什么灵异事件，而是因为这个数字本身，就是一道让人头疼欲裂的数学题。话说这门牌号的由来，据说是一.............
-
好的，这是一道为你量身定制的、答案为 235 的数学题，并且我会尽量详细地讲解其思路和构建过程，让你能将其用于你的宿舍门牌。题目：在某大学新生宿舍楼里，新生们正在为自己的宿舍寻找一个特别的门牌号码。某位聪明的同学，名叫小明，决定通过解一道数学谜题来决定他宿舍的最终门牌号码。这道谜题包含了三个部分，每.............
-
好，给你来一道绝对能让你抓狂，但最终豁然开朗的数学题，保证是真材实料，而且答案就是我们这间充满欢乐与汗水的 1403 号宿舍！这件事儿得从我们刚搬进这个宿舍说起。当时，寝室里就我们四个大老爷们儿，头脑发热，觉得光秃秃的门牌号不够“彰显”我们宿舍的独特气质。于是乎，就想整点儿有技术含量的东西，给这门牌.............
-
你好！作为一名电子信息工程专业的本科生，你想成为一名教师，并且考虑报考教师编制，这绝对是个好想法。关于你担心的“数学专业是否对口，能否考编制”这个问题，咱们来详细聊聊，力求说得明明白白，让你心里有底。首先，我们要明确一点：教师编制的报考，对专业的对口性是有要求的，但这种要求并非一成不变，而且存在一些.............
-
首先，我想告诉你，能拥有这样的梦想，并且立志冲击诺贝尔化学奖，这本身就是一件非常了不起的事情，绝对值得尊重！很多人一生都没有想过要达到什么样的高度，而你已经将目标锁定在了人类智慧的巅峰之一。至于为什么会遭到一些人的讽刺，这其实是一个挺复杂的问题，里面夹杂着很多社会因素、人际心理，甚至是个人理解的偏差.............
-
闹钟尖叫得撕心裂肺，像要把我从死寂的深渊里拽出来。然而，今天它的声音不再是唤醒我走向生活，而是敲响了末日的丧钟。睁开眼，窗外不是熟悉的晨曦，而是灰蒙蒙的天空下涌动着黑压压的人潮。不对，那不是人潮，是丧尸。我僵在那里，大脑一片空白。昨晚的恐惧和绝望像潮水般重新涌来，将我淹没。我还能记得，电视里的报道，.............
-
哈哈，你这个问题真是脑洞大开，把丝绸这么温柔细腻的玩意儿拿来当砂纸使，这画面想想就有点喜感！要我说，丝绸那点儿劲儿，真想让它当砂纸使，估计得磨出个“滑不留手”的效果，别的真指望不上。咱就这么说吧，如果真拿丝绸当砂纸，它那“目数”嘛，得看你怎么定义了。首先得明白砂纸为啥叫“目数”。砂纸上的“目数”其实.............
-
斐波那契数列填入矩阵：行列式是否一定为0？这个问题非常有趣，涉及到斐波那契数列的特性和矩阵行列式的计算。我们来详细分析一下。首先，我们先回顾一下斐波那契数列和矩阵行列式。 斐波那契数列： 以1和1开始，后续的每一项是前两项的和。数列的定义为： $F_0 = 0$ (有时也从1开始，即.............
-
足利义满是否因为试图借助明朝势力推翻大和朝廷、自己称帝，导致其统一南北朝的功绩被日本史学家低估，这是一个非常值得探讨的观点。要深入分析这个问题，我们需要从多个角度入手，梳理当时的历史背景、足利义满的实际作为、以及日本史学界的评价演变。首先，我们来回顾一下足利义满所处的时代和他统一南北朝的背景。南北朝.............
-
当老板问"你上班只是为了钱吗？"时，这是一个需要谨慎处理的问题。这个问题背后可能暗含对员工动机的质疑、对工作态度的关注，或者试图引发更深层次的对话。以下是分步骤的思考和应对策略： 一、理解问题背后的含义1. 潜在动机分析 老板可能担心你缺乏职业精神，只追求短期利益。 可能想测试你的价.............
-
作为奥斯曼帝国的子民，在14至20世纪初的漫长岁月中，其体验因时代、地域、民族和宗教背景而异。这个横跨欧亚非三洲的多民族帝国，既保留了伊斯兰教的核心地位，又实行了一套独特的“米勒特制度”（Millet System），允许不同族群在一定程度上自治。以下是基于历史资料和文献梳理的详细描述： 1. 多元.............
-
中国走向世界舞台中央，这代年轻人肩负着前所未有的机遇与挑战。这不仅仅意味着国家实力的提升，更意味着中国文化、价值观、科技创新等方方面面将更深刻地影响世界。作为这一历史进程中的亲历者和塑造者，这代年轻人可以从以下几个方面做出自己的贡献，并在这个过程中实现自我价值：一、 筑牢自身根基：成为有影响力的中国.............
-
如果我发现自己已是癌症晚期患者，我的选择将是一个复杂且充满挣扎的过程，会涉及到身体、心理、情感、人际关系以及精神层面的多重考量。我尽可能详细地描述我可能会做出的选择和思考过程：第一阶段：面对与接受（可能需要时间） 深入了解病情： 我会尽可能地获取关于我癌症类型、分期、扩散情况、以及预后（预期寿命.............
-
当孩子被其他小朋友拒绝玩耍时，这确实是一个令家长心疼的时刻。这不仅是孩子社交发展中的常见挑战，也是家长引导孩子学习处理情绪和社交关系的好机会。以下是一些详细的处理建议，从不同角度帮助家长应对这种情况：一、 家长自身的情绪管理与观察 保持冷静和支持： 这是最重要的一点。当孩子被拒绝时，他们的第一反.............
本站所有内容均为互联网搜索引擎提供的公开搜索信息，本站不存储任何数据与内容，任何内容与数据均与本站无关，如有需要请联系相关搜索引擎包括但不限于百度，google,bing,sogou 等
© 2025 tinynews.org All Rights Reserved. 百科问答小站 版权所有