为什么数学里非要写「当且仅当」，而不是「仅当」？
在数学中，我们之所以坚持使用「当且仅当」（if and only if，缩写为 iff），而不是仅仅使用「仅当」（only if），是因为这两种表达方式在逻辑上表达了完全不同的含义，并且在数学证明和定义中，准确地表达这种逻辑关系至关重要。
让我们详细地分析一下「当且仅当」和「仅当」各自的含义，以及为什么数学需要前者。
1. 「仅当」（Only If）的含义
「仅当」表达的是一个必要条件。用逻辑符号表示，如果说“A 仅当 B”，或者「如果 A 那么 B」（If A, then B），这可以写作 $A implies B$。
这意味着：
如果 A 成立，那么 B 也必然成立。
但是，B 的成立，并不能保证 A 也一定成立。 B 可能是由其他原因造成的，或者 A 只是 B 成立的众多充分条件之一。
举个例子：
命题： “如果一个人被任命为总统，那么他至少要年满35岁。”
这里的逻辑是：（被任命为总统）仅当（年满35岁）。或者说，如果一个人被任命为总统，那么他年满35岁。
用符号表示： $总统 implies 年满35岁$
解释： 年满35岁是成为总统的必要条件。没有这个条件，你不可能成为总统。
反之不成立： 但是，仅仅年满35岁，并不能保证你就能成为总统。还有很多其他条件需要满足（例如国籍、健康状况、当选等）。
为什么「仅当」不够用？
在数学中，我们经常需要建立两个概念或命题之间的等价关系。简单地说，就是证明 A 和 B 完全绑定在一起，一个成立，另一个也一定成立；一个不成立，另一个也一定不成立。
如果只说「仅当」，我们只建立了一个单向的联系。就像上面总统的例子，我们只知道当选总统需要年满35岁，但我们不知道年满35岁是不是就等于当选总统。
2. 「当且仅当」（If and Only If）的含义
「当且仅当」表达的是一个充要条件，也就是等价关系。它包含了两层含义：
当 A 时，B （If A, then B），即 $A implies B$ (A 是 B 的充分条件，B 是 A 的必要条件)
仅当 A 时，B （Only If A, then B），即 $B implies A$ (B 是 A 的充分条件，A 是 B 的必要条件)
只有当这两个条件都成立时，我们才能说 A 和 B 是“当且仅当”的关系。这可以用逻辑符号表示为 $A iff B$ 或 $A leftrightarrow B$。
为什么「当且仅当」是必需的？
数学的严谨性在于精确地定义概念和定理。一个数学定义（例如，一个概念的定义）必须是充要的，也就是说，它必须能够完全捕捉该概念的本质，并且能够区分出哪些事物属于该概念，哪些不属于。
数学中的例子：
偶数的定义： 一个整数 $n$ 是偶数，当且仅当存在一个整数 $k$，使得 $n = 2k$。
这里用到了「当且仅当」，这意味着：
充分性（If）： 如果一个整数 $n$ 是偶数，那么一定存在一个整数 $k$，使得 $n = 2k$。($偶数 implies n=2k$)
必要性（Only If）： 如果一个整数 $n$ 可以表示为 $n = 2k$ 的形式（其中 $k$ 是整数），那么 $n$ 就是偶数。（$n=2k implies 偶数$）
这两个方向的陈述结合起来，就构成了偶数这个概念的完整定义。
三角形全等的判定（SAS）： 两个三角形 $ riangle ABC$ 和 $ riangle DEF$ 全等，当且仅当 $AB = DE$, $BC = EF$, 且 $angle ABC = angle DEF$。
充分性： 如果边 $AB$ 等于边 $DE$，边 $BC$ 等于边 $EF$，且夹角 $angle ABC$ 等于 $angle DEF$，那么两个三角形全等。（SAS 推导出全等）
必要性： 如果两个三角形全等，那么它们一定存在一组边和它们之间的夹角分别对应相等。（全等推导出 SAS）
同样，这个「当且仅当」确保了我们对三角形全等的理解是完整和准确的，它不是一个单向的推导，而是两者之间的等价关系。
总结区别与必要性：
1. 单向性 vs. 双向性：
「仅当」（Only If）表达的是一个单向的蕴含关系（$A implies B$）。
「当且仅当」（If and Only If）表达的是一个双向的蕴含关系（$A iff B$），即 $A implies B$ 和 $B implies A$。
2. 必要条件 vs. 充要条件：
「仅当」描述的是一个必要条件。
「当且仅当」描述的是一个充要条件，表明两个事物在逻辑上是等价的。
3. 定义与定理的完备性：
在数学中，定义一个概念或者陈述一个定理（尤其是一些等价判定定理）时，我们要求它的描述是完备的。这意味着它不仅要说明“什么情况下会发生”，还要说明“只有在什么情况下才会发生”。
如果只使用「仅当」，就无法建立这种完整的等价关系，会导致定义不清晰、定理不准确，最终损害数学的严谨性。
举一个使用「仅当」但会产生问题的例子：
假设我们说：“如果一个数能被 4 整除，那么它能被 2 整除。”
这是正确的（$n$ 能被 4 整除 $implies$ $n$ 能被 2 整除）。
如果我们写成：“一个数能被 4 整除，仅当它能被 2 整除。”
这意味着：如果一个数能被 4 整除，那么它能被 2 整除。 （$4|n implies 2|n$）
这仍然是正确的。
但是，如果我们写成：“一个数能被 2 整除，仅当它能被 4 整除。”
这意味着：如果一个数能被 2 整除，那么它能被 4 整除。 （$2|n implies 4|n$）
这是错误的！ 比如 6 能被 2 整除，但不能被 4 整除。
正确的说法应该是：“一个数能被 4 整除，当且仅当它能被 2 整除。” （错误示范）
正确的说法应该是：“一个数能被 4 整除，当且仅当它可以被表示为 $4k$ 的形式（其中 $k$ 是整数）。”
又或者：“一个数能被 2 整除，当且仅当它可以被表示为 $2k$ 的形式（其中 $k$ 是整数）。”
只有通过「当且仅当」，我们才能精确地表达出两者之间的相互依存、完全等价的关系，这是数学逻辑和证明体系的基石。因此，「当且仅当」绝不是多余的，它是数学精确性的体现。
让我们详细地分析一下「当且仅当」和「仅当」各自的含义，以及为什么数学需要前者。
1. 「仅当」（Only If）的含义
「仅当」表达的是一个必要条件。用逻辑符号表示，如果说“A 仅当 B”，或者「如果 A 那么 B」（If A, then B），这可以写作 $A implies B$。
这意味着：
如果 A 成立，那么 B 也必然成立。
但是，B 的成立，并不能保证 A 也一定成立。 B 可能是由其他原因造成的，或者 A 只是 B 成立的众多充分条件之一。
举个例子：
命题： “如果一个人被任命为总统，那么他至少要年满35岁。”
这里的逻辑是：（被任命为总统）仅当（年满35岁）。或者说，如果一个人被任命为总统，那么他年满35岁。
用符号表示： $总统 implies 年满35岁$
解释： 年满35岁是成为总统的必要条件。没有这个条件，你不可能成为总统。
反之不成立： 但是，仅仅年满35岁，并不能保证你就能成为总统。还有很多其他条件需要满足（例如国籍、健康状况、当选等）。
为什么「仅当」不够用？
在数学中，我们经常需要建立两个概念或命题之间的等价关系。简单地说，就是证明 A 和 B 完全绑定在一起，一个成立，另一个也一定成立；一个不成立，另一个也一定不成立。
如果只说「仅当」，我们只建立了一个单向的联系。就像上面总统的例子，我们只知道当选总统需要年满35岁，但我们不知道年满35岁是不是就等于当选总统。
2. 「当且仅当」（If and Only If）的含义
「当且仅当」表达的是一个充要条件，也就是等价关系。它包含了两层含义：
当 A 时，B （If A, then B），即 $A implies B$ (A 是 B 的充分条件，B 是 A 的必要条件)
仅当 A 时，B （Only If A, then B），即 $B implies A$ (B 是 A 的充分条件，A 是 B 的必要条件)
只有当这两个条件都成立时，我们才能说 A 和 B 是“当且仅当”的关系。这可以用逻辑符号表示为 $A iff B$ 或 $A leftrightarrow B$。
为什么「当且仅当」是必需的？
数学的严谨性在于精确地定义概念和定理。一个数学定义（例如，一个概念的定义）必须是充要的，也就是说，它必须能够完全捕捉该概念的本质，并且能够区分出哪些事物属于该概念，哪些不属于。
数学中的例子：
偶数的定义： 一个整数 $n$ 是偶数，当且仅当存在一个整数 $k$，使得 $n = 2k$。
这里用到了「当且仅当」，这意味着：
充分性（If）： 如果一个整数 $n$ 是偶数，那么一定存在一个整数 $k$，使得 $n = 2k$。($偶数 implies n=2k$)
必要性（Only If）： 如果一个整数 $n$ 可以表示为 $n = 2k$ 的形式（其中 $k$ 是整数），那么 $n$ 就是偶数。（$n=2k implies 偶数$）
这两个方向的陈述结合起来，就构成了偶数这个概念的完整定义。
三角形全等的判定（SAS）： 两个三角形 $ riangle ABC$ 和 $ riangle DEF$ 全等，当且仅当 $AB = DE$, $BC = EF$, 且 $angle ABC = angle DEF$。
充分性： 如果边 $AB$ 等于边 $DE$，边 $BC$ 等于边 $EF$，且夹角 $angle ABC$ 等于 $angle DEF$，那么两个三角形全等。（SAS 推导出全等）
必要性： 如果两个三角形全等，那么它们一定存在一组边和它们之间的夹角分别对应相等。（全等推导出 SAS）
同样，这个「当且仅当」确保了我们对三角形全等的理解是完整和准确的，它不是一个单向的推导，而是两者之间的等价关系。
总结区别与必要性：
1. 单向性 vs. 双向性：
「仅当」（Only If）表达的是一个单向的蕴含关系（$A implies B$）。
「当且仅当」（If and Only If）表达的是一个双向的蕴含关系（$A iff B$），即 $A implies B$ 和 $B implies A$。
2. 必要条件 vs. 充要条件：
「仅当」描述的是一个必要条件。
「当且仅当」描述的是一个充要条件，表明两个事物在逻辑上是等价的。
3. 定义与定理的完备性：
在数学中，定义一个概念或者陈述一个定理（尤其是一些等价判定定理）时，我们要求它的描述是完备的。这意味着它不仅要说明“什么情况下会发生”，还要说明“只有在什么情况下才会发生”。
如果只使用「仅当」，就无法建立这种完整的等价关系，会导致定义不清晰、定理不准确，最终损害数学的严谨性。
举一个使用「仅当」但会产生问题的例子：
假设我们说：“如果一个数能被 4 整除，那么它能被 2 整除。”
这是正确的（$n$ 能被 4 整除 $implies$ $n$ 能被 2 整除）。
如果我们写成：“一个数能被 4 整除，仅当它能被 2 整除。”
这意味着：如果一个数能被 4 整除，那么它能被 2 整除。 （$4|n implies 2|n$）
这仍然是正确的。
但是，如果我们写成：“一个数能被 2 整除，仅当它能被 4 整除。”
这意味着：如果一个数能被 2 整除，那么它能被 4 整除。 （$2|n implies 4|n$）
这是错误的！ 比如 6 能被 2 整除，但不能被 4 整除。
正确的说法应该是：“一个数能被 4 整除，当且仅当它能被 2 整除。” （错误示范）
正确的说法应该是：“一个数能被 4 整除，当且仅当它可以被表示为 $4k$ 的形式（其中 $k$ 是整数）。”
又或者：“一个数能被 2 整除，当且仅当它可以被表示为 $2k$ 的形式（其中 $k$ 是整数）。”
只有通过「当且仅当」，我们才能精确地表达出两者之间的相互依存、完全等价的关系，这是数学逻辑和证明体系的基石。因此，「当且仅当」绝不是多余的，它是数学精确性的体现。
网友意见
A国外交官与某国进行核谈判，试问以下A国外交官的发言，哪条最软弱，哪条最强硬？
- 当A国受到核打击时，A国会对侵略国进行核打击。
- 当且仅当A国受到核打击时，A国会对侵略国进行核打击。
- 仅当A国受到核打击时，A国会对侵略国进行核打击。
答案是1最强硬，A国一定会发动核反击，且不排除其首先进行核打击的可能。
3最软弱，相当于A国既承诺不首先发动核打击，受到核打击时也不一定会发动核反击。
题主可能是这么理解：仅当已经把当的情况包括了，所以说了仅当，就不用说当了。于是“当且”二字显得冗余。
但是这样理解是错误的，依旧不理解可以看下面例子：
当你骂我，我会生气。
意思是你骂我我一定会生气。但反过来不行，你不骂我，我可能也会生气。
仅当你骂我，我会生气。
意思是只有你在骂我时，我才生气。可以推论，我生气的时候，你一定在骂我。但是，你骂我的时候，我也可以不生气。注意这里仅当的情况就不把上面当的情况包含在内了。
所以，上面两句话要合在一起说，才能说明两件事情等价。那么简写就是“当且仅当”。
设：
当： 时，
仅当： 时，
有且仅当： 时，
体会下下面的句子：
当它是一只狗，它发出汪汪的叫声。
指的是狗会发出汪汪的叫声。也就是汪汪叫声的动物包含了狗。其它动物也会汪汪叫，而狗只会汪汪叫。
仅当它是一只狗，它发出汪汪的叫声。
指的是只有狗才能发出汪汪声。也就是狗包含了汪汪叫声的动物。其它动物不会汪汪叫，狗还会其它叫。
当且仅当它是一只狗，它发出汪汪的叫声。
指的是只有狗会汪汪叫，汪汪叫的只有狗，其它动物都不会汪汪叫。
PS.
If and only if作为一个数学符号iff而言据说是P. Halmos发明的。
但if and only if的历史可能会更加久远。不过，根据我查找的资料表示，英语里“if and only if”这个短语使用频率很低，只有搞数学的和法律的人会这么用。
顺着这个思路以前搞经院神学的可能会这么用。但《圣经》全篇是没有任何“if and only if”的用法，只有下面这种连用两个相反的条件状语表示这种bicondition的意思。
Genesis 43:4-5, “If you will send our brother along with us, we will go down… But if you will not send him, we will not go down.”
2 Kings 7:4, “If they spare us, we live; if they kill us, then we die.”
考虑到中世纪的经院学派大多数是用希腊语和拉丁语进行创作的，以及高斯时期的数学家也会使用拉丁语创作。于是我尝试查找了“αν και μόνο αν”、“si et tantum si”、“si et modo si”等短语。依旧是没有任何线索，相近的短语都晚于1955年。之前找到了不少关于条件的诡辩论述。例如：
Si tantum pater est, non tantum pater est。
这点让我极为惊讶。毫无疑问，bicondition这一概念很早就被人发现了，但严谨的语言论述比我们想象中的要晚很多。
这个问题本身不值一哂，当（if）、仅当（only if） 和 当且仅当（if and only if）表达的是至少初中生就应该能够理解的逻辑关系。
但这个问题让我想起了之前读到过的一篇论文，论文的作者是国内一位我很敬重的物理学家。在论文中我惊讶地读到如下表述：
In this paper we are going to show that [……] if and only if [……]. We find that the reverse is also true.
在上面的引用中我隐去了原论文中被 if and only if 连接起来的两个命题。
A if and only if B 为真就意味着命题A和命题B是等价的。因此在证明了A if and only if B 以后，显然完全没有必要再说 “the reverse is also true”。
这个例子或许说明并不是所有人都能在潜意识里正确理解 当（if）、仅当（only if） 和 当且仅当（if and only if）。
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