为什么人人都说数学有用/很重要, 但似乎大多数人(非数学专业)并不会去证明他们用到的数学?
确实，这是一个非常有意思的现象，也是很多人心中的疑问。一方面，我们从小就被灌输“数学有用”、“数学重要”的理念；另一方面，当我们走出校园，进入社会，会发现身边大多数人，即使是在各自的专业领域里，也几乎不会主动去“证明”他们使用的数学原理。
这其中的原因，要从几个层面来细致地分析。
1. “有用”与“证明”是两个层面的需求
首先，我们要区分清楚“有用”和“证明”这两个概念。
“有用” 更多指的是数学的工具性和应用性。数学为我们理解世界、解决实际问题提供了强大的语言和方法。从基本的加减乘除到复杂的微积分、统计学，它们都像是我们手中的工具，帮助我们建造房屋、计算收益、分析数据、理解物理定律，甚至优化算法、设计产品。当我们说数学有用时，我们是在说它的结果或者说它所提供的解决方案对我们的生活和工作有实际价值。
“证明” 则关乎数学的基础和严谨性。它是在探索数学概念的内在逻辑，是回答“为什么这个定理是对的？”“为什么这个方法有效？”这样的问题。证明是数学家们构建整个数学体系的基石，是保证数学知识的可靠性和普适性的关键。
绝大多数人使用数学，只是为了达到一个应用性的目的。他们需要的是“怎么用”，而不是“为什么这么用”。就好比我们开车，需要知道油门刹车怎么用，而不需要去证明内燃机的工作原理，或者汽车动力学的那些复杂公式。只要这个工具能安全有效地载着我们到达目的地，对我们来说就足够了。
2. 应用的“抽象性”和“封装性”
数学在传播和应用的过程中，经历了高度的抽象和封装。
抽象： 很多被广泛应用的数学知识，比如微积分，其产生和发展是一个漫长而艰辛的证明过程，包含了对无穷小、极限等概念的深刻理解。但当它被应用到工程领域时，我们看到的更多是它的公式和算法，比如求面积、求变化率。这些公式和算法本身，已经浓缩了背后大量的证明工作。使用者直接调用这些成熟的工具，而无需重走一遍证明的弯路。
封装： 现代社会分工极细。在教育体系中，数学知识被层层传递和“封装”。小学教你算数，初中教你代数几何，高中教你函数、三角、微积分初步。大学时，如果你不是数学相关专业，很多专业（如经济、管理、生物）会将必要的数学工具以“应用数学”、“统计学”、“运筹学”等课程的形式教授给你，这些课程更侧重于“如何应用”这些工具解决本领域的问题。这些课程的教材、教学方式，本身就是对数学证明的进一步封装，它们的目标是让你掌握解决实际问题的“方法”，而不是让你成为数学证明的专家。
你可以想象一下，如果每次使用一个数学公式都要从最基本的公理出发，进行严密的推导，那将是多么耗时耗力的事情。社会的发展不可能等待每个人都去复现几百年的数学成果。
3. 不同角色的需求差异
人与人之间的需求是不同的，这决定了他们对数学的关注点也不同。
数学家/理论研究者： 他们的工作就是探索数学的边界，发现新的数学真理，证明新的定理。对他们而言，证明就是生命线，是他们的核心工作内容。
工程师/科学家： 他们利用数学来建模、预测和解决科学难题。他们需要理解数学的原理，但更重要的是掌握将这些原理应用于具体问题的技巧。他们可能需要理解某个定理的推导逻辑，以便在特殊情况下调整或修改模型，但大多数时候，他们是直接应用现成的数学工具。
经济学家/金融分析师： 他们使用统计模型、概率论来分析市场趋势、评估风险。他们需要理解统计方法的假设条件，但未必需要去证明这些统计方法的收敛性或渐近性质。
普通大众： 绝大多数人使用数学解决日常生活中的问题，比如购物计算折扣、管理家庭预算、理解新闻中的数据。他们需要的只是最基础的算术能力，或者是在特定场景下（如使用股票软件、导航软件）被“封装”好的数学计算结果。
正如一个木匠不需要知道木材的细胞结构是如何形成，他只需要知道木材的硬度、纹理如何影响他的切割和打磨；一个厨师不需要知道面粉里的蛋白质是如何形成面筋，他只需要知道揉面和发酵的比例和时间会影响口感。
4. 教学的侧重点和学习者的目标
当前的数学教育，尤其是在非数学专业领域，其目标往往是培养具有一定数学素养和应用能力的人才，而不是纯粹的数学研究者。
教学内容的选择： 课程设计会优先选取那些具有广泛应用价值的数学知识和工具。对于证明的深度和严谨性，会根据学生的专业需求进行调整。某些专业可能更侧重于理论证明，而另一些则更侧重于数值计算和模型应用。
学习者的目标： 大多数学生学习数学，是为了通过考试、获得学位、为未来的职业生涯打下基础。他们需要的是掌握考试要求的知识点和解题技巧，以及能够应用于本专业的知识。如果学习证明本身并不能直接帮助他们达成这些目标，那么他们自然不会投入过多的精力。
5. 时间和精力的投入
数学证明往往是极其耗费时间和精力的。一个看似简单的数学结论，其背后的证明过程可能涉及多条定理、复杂的逻辑推理和精巧的技巧。非数学专业的人，在有限的学习时间内，需要学习的知识和技能是海量的。将有限的时间和精力投入到最能实现其个人和职业目标的领域，是理性且高效的选择。
总结一下：
人们普遍认为数学有用和重要，是因为数学的强大应用能力已经渗透到现代社会的方方面面，为我们提供了解决问题和理解世界的有力工具。然而，大多数人并不去“证明”他们用到的数学，是因为：
他们需要的是数学的应用结果和工具，而非其内在的逻辑严谨性。
数学知识在应用过程中已经高度抽象和封装，使用者可以直接调用成熟的解决方案。
不同的人出于不同的专业需求和人生目标，对数学的关注点和投入程度不同。
数学教育的侧重点在于培养应用能力，而非普适性的证明能力。
时间和精力是宝贵的资源，学习者需要做出最优化的分配。
所以，当我们在说“数学有用”时，更多的是在肯定它的“能做什么”；而当谈论“证明”时，则是在探究“为什么能这么做”。绝大多数人选择成为数学的“使用者”，而非其“探索者”，这是一种自然而然的社会分工和理性选择。但正是因为有了那些愿意去证明、去探索的数学家们的辛勤付出，这些数学工具才得以被创造、被完善，最终被广大人群便捷地使用。
这其中的原因，要从几个层面来细致地分析。
1. “有用”与“证明”是两个层面的需求
首先，我们要区分清楚“有用”和“证明”这两个概念。
“有用” 更多指的是数学的工具性和应用性。数学为我们理解世界、解决实际问题提供了强大的语言和方法。从基本的加减乘除到复杂的微积分、统计学，它们都像是我们手中的工具，帮助我们建造房屋、计算收益、分析数据、理解物理定律，甚至优化算法、设计产品。当我们说数学有用时，我们是在说它的结果或者说它所提供的解决方案对我们的生活和工作有实际价值。
“证明” 则关乎数学的基础和严谨性。它是在探索数学概念的内在逻辑，是回答“为什么这个定理是对的？”“为什么这个方法有效？”这样的问题。证明是数学家们构建整个数学体系的基石，是保证数学知识的可靠性和普适性的关键。
绝大多数人使用数学，只是为了达到一个应用性的目的。他们需要的是“怎么用”，而不是“为什么这么用”。就好比我们开车，需要知道油门刹车怎么用，而不需要去证明内燃机的工作原理，或者汽车动力学的那些复杂公式。只要这个工具能安全有效地载着我们到达目的地，对我们来说就足够了。
2. 应用的“抽象性”和“封装性”
数学在传播和应用的过程中，经历了高度的抽象和封装。
抽象： 很多被广泛应用的数学知识，比如微积分，其产生和发展是一个漫长而艰辛的证明过程，包含了对无穷小、极限等概念的深刻理解。但当它被应用到工程领域时，我们看到的更多是它的公式和算法，比如求面积、求变化率。这些公式和算法本身，已经浓缩了背后大量的证明工作。使用者直接调用这些成熟的工具，而无需重走一遍证明的弯路。
封装： 现代社会分工极细。在教育体系中，数学知识被层层传递和“封装”。小学教你算数，初中教你代数几何，高中教你函数、三角、微积分初步。大学时，如果你不是数学相关专业，很多专业（如经济、管理、生物）会将必要的数学工具以“应用数学”、“统计学”、“运筹学”等课程的形式教授给你，这些课程更侧重于“如何应用”这些工具解决本领域的问题。这些课程的教材、教学方式，本身就是对数学证明的进一步封装，它们的目标是让你掌握解决实际问题的“方法”，而不是让你成为数学证明的专家。
你可以想象一下，如果每次使用一个数学公式都要从最基本的公理出发，进行严密的推导，那将是多么耗时耗力的事情。社会的发展不可能等待每个人都去复现几百年的数学成果。
3. 不同角色的需求差异
人与人之间的需求是不同的，这决定了他们对数学的关注点也不同。
数学家/理论研究者： 他们的工作就是探索数学的边界，发现新的数学真理，证明新的定理。对他们而言，证明就是生命线，是他们的核心工作内容。
工程师/科学家： 他们利用数学来建模、预测和解决科学难题。他们需要理解数学的原理，但更重要的是掌握将这些原理应用于具体问题的技巧。他们可能需要理解某个定理的推导逻辑，以便在特殊情况下调整或修改模型，但大多数时候，他们是直接应用现成的数学工具。
经济学家/金融分析师： 他们使用统计模型、概率论来分析市场趋势、评估风险。他们需要理解统计方法的假设条件，但未必需要去证明这些统计方法的收敛性或渐近性质。
普通大众： 绝大多数人使用数学解决日常生活中的问题，比如购物计算折扣、管理家庭预算、理解新闻中的数据。他们需要的只是最基础的算术能力，或者是在特定场景下（如使用股票软件、导航软件）被“封装”好的数学计算结果。
正如一个木匠不需要知道木材的细胞结构是如何形成，他只需要知道木材的硬度、纹理如何影响他的切割和打磨；一个厨师不需要知道面粉里的蛋白质是如何形成面筋，他只需要知道揉面和发酵的比例和时间会影响口感。
4. 教学的侧重点和学习者的目标
当前的数学教育，尤其是在非数学专业领域，其目标往往是培养具有一定数学素养和应用能力的人才，而不是纯粹的数学研究者。
教学内容的选择： 课程设计会优先选取那些具有广泛应用价值的数学知识和工具。对于证明的深度和严谨性，会根据学生的专业需求进行调整。某些专业可能更侧重于理论证明，而另一些则更侧重于数值计算和模型应用。
学习者的目标： 大多数学生学习数学，是为了通过考试、获得学位、为未来的职业生涯打下基础。他们需要的是掌握考试要求的知识点和解题技巧，以及能够应用于本专业的知识。如果学习证明本身并不能直接帮助他们达成这些目标，那么他们自然不会投入过多的精力。
5. 时间和精力的投入
数学证明往往是极其耗费时间和精力的。一个看似简单的数学结论，其背后的证明过程可能涉及多条定理、复杂的逻辑推理和精巧的技巧。非数学专业的人，在有限的学习时间内，需要学习的知识和技能是海量的。将有限的时间和精力投入到最能实现其个人和职业目标的领域，是理性且高效的选择。
总结一下：
人们普遍认为数学有用和重要，是因为数学的强大应用能力已经渗透到现代社会的方方面面，为我们提供了解决问题和理解世界的有力工具。然而，大多数人并不去“证明”他们用到的数学，是因为：
他们需要的是数学的应用结果和工具，而非其内在的逻辑严谨性。
数学知识在应用过程中已经高度抽象和封装，使用者可以直接调用成熟的解决方案。
不同的人出于不同的专业需求和人生目标，对数学的关注点和投入程度不同。
数学教育的侧重点在于培养应用能力，而非普适性的证明能力。
时间和精力是宝贵的资源，学习者需要做出最优化的分配。
所以，当我们在说“数学有用”时，更多的是在肯定它的“能做什么”；而当谈论“证明”时，则是在探究“为什么能这么做”。绝大多数人选择成为数学的“使用者”，而非其“探索者”，这是一种自然而然的社会分工和理性选择。但正是因为有了那些愿意去证明、去探索的数学家们的辛勤付出，这些数学工具才得以被创造、被完善，最终被广大人群便捷地使用。
网友意见
因为我们国家的教学没有区分数学和算术，所以这就给很多人带来了很大的困惑。
由于我们是后进国家，数学课本里面的实用数学更多更重要。然而很多实用数学章节又过时了，例如三角函数，作为实用数学来讲，没错真的就很多人一辈子也用不上。这就造成了混乱。
数学的学习过程本质上是对理性思维的训练，这才是真的数学。数学不是勾和股代表什么含义，有什么用，也不是勾股定律的形式是怎样的。数学的本质是，如何通过这个方式推导出勾股定律，然后证明我们想要的结论，这一思维过程才是数学的核心。如何通过完全不相干的一些东西通过逻辑推理和理性思辨得出我们想要的结论。
所以，事实上通过数学的学习，你应该掌握的是，不同的事物存在同样的内在规律，如何找出和抽象这个内在的规律，这个技能，才应该是数学这门学科所赋予你的……
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