有哪些有趣的工具变量？

有趣的工具变量不仅仅是数学上的一个抽象概念，它们常常能揭示隐藏的因果关系，解决现实世界中的难题。这里我将为你详细介绍一些具有代表性的有趣工具变量，并解释它们为何有趣以及如何应用：

什么是工具变量 (Instrumental Variable IV)？

在深入探讨有趣的工具变量之前，我们先快速回顾一下工具变量的核心思想。当我们想要估计一个变量（例如，教育年限）对另一个变量（例如，收入）的影响时，经常会遇到内生性问题。内生性意味着我们关注的解释变量（教育年限）与误差项相关，这可能是因为遗漏了重要的变量（例如，个人能力、家庭背景）或者存在反向因果关系（例如，更高的收入可能导致人们愿意投资更多时间在教育上）。

工具变量（Z）是一种能够帮助我们解决内生性问题的“助手”。它必须满足两个关键条件：

1. 相关性 (Relevance): 工具变量（Z）必须与内生性解释变量（X）相关。也就是说，Z的变化会影响X的变化。
2. 外生性 (Exogeneity): 工具变量（Z）不能直接影响结果变量（Y），只能通过内生性解释变量（X）来影响Y。换句话说，Z与误差项无关。

如果找到了一个满足这两个条件的工具变量，我们就可以通过一个两阶段最小二乘法（2SLS）或其他IV估计方法来获得对X影响Y的无偏估计。

有趣的工具变量案例及其详细解释：

以下是一些在经济学、社会学、政治学等领域中具有代表性且非常有趣的工具变量案例：

1. 随机分配（如彩票、分配到特定班级/医院）作为教育对收入影响的工具变量

情景：经济学家长期以来对教育对收入的真实影响感兴趣。然而，人们选择接受的教育年限受到许多与最终收入相关的因素影响（例如，能力、家庭背景、学习动力）。直接回归教育年限与收入，很可能夸大了教育的影响，因为更聪明、更有动力的人往往能获得更多教育并赚取更高的收入。
有趣的工具变量：
随机分配到的特定项目/课程：在某些大学或项目中，学生可能被随机分配到不同的教学模式、课程组或导师。这种随机性使得分配到的组别与学生的个人能力或家庭背景无关，但可能影响他们获得的具体教育经验（例如，更具实践性的课程、更好的指导）。
摇奖或彩票中奖（例如，越南战争抽签）：在一些研究中，研究者利用了人们被随机分配去服兵役或参加特定项目（如越南战争抽签）来估计教育的影响。例如，如果某项政策规定兵役期间无法继续学业，那么那些被随机抽中服兵役的人就被迫中断了教育，而未被抽中的人则可能继续学业。这种随机性（是否被抽中）与个人的学习能力等无关，但会影响其教育年限。
为何有趣：
模拟了“自然实验”：这种随机分配就像进行了一项随机对照试验（RCT），这是确定因果关系的黄金标准。虽然我们不能真的随机分配人们的教育年限，但某些社会或机构的运作方式无意中创造了这种“自然实验”。
直接解决内生性：分配到的组别本身（Z）与个人的学习能力和收入潜力（与误差项相关）不直接相关，但可能会影响他们实际获得的教育（X）。我们可以通过分析被分配到不同组的人的教育年限差异，然后将这种差异作为教育年限的“纯粹”变化，再看这种变化如何影响收入。
经典的社会科学研究工具：这种方法在劳动力经济学、教育经济学中被广泛应用，是理解教育回报的关键。
应用细节：假设我们关注大学生的专业选择对未来收入的影响。如果某个大学在新生入学时，将一部分学生随机分配到计算机科学专业，另一部分随机分配到历史专业（为了控制其他因素，这里做一个简化假设），那么这个随机分配的专业（Z）就可以作为实际专业选择（X）的工具变量。然后我们可以看专业分配（Z）如何影响了实际学习的专业（X），再看实际学习的专业（X）如何影响收入（Y）。

2. 地理距离或历史机遇作为特定文化/制度影响的工具变量

情景：研究者想知道某个特定文化习俗（例如，高度的信任、勤劳的文化）或制度（例如，私有产权制度）对经济发展、创新能力或社会结果（例如，犯罪率）的影响。然而，这些习俗和制度往往与地理、历史等多种因素交织在一起，很难分离出其独立的影响。
有趣的工具变量：
河流的自然存在或地理位置：恩格斯曾提到，河流的航行便利性对早期贸易和城市发展至关重要。在一些研究中，河流的自然存在（Z），例如古代商道上的河流，可以被视为影响了某个地区早期贸易（X）和接触新思想的程度。如果河流的地理位置（Z）与该地区后来的经济发展（Y）只是通过贸易和思想传播（X）间接相关，它就可以作为研究贸易对经济发展影响的工具变量。
殖民历史的偶然性：在研究殖民化对后殖民国家制度和发展的影响时，殖民国的选择（例如，荷兰人在印度尼西亚的统治时期和方式，英国人在印度等地的统治方式）有时带有一定的偶然性或历史机遇。例如，如果某个地区在某个时期恰好被某个特定殖民国统治（Z），而这个统治模式导致了更强的法治或特定的经济政策（X），进而影响了长期的经济发展（Y），那么殖民国的类型或统治时长（Z）就可以作为研究制度影响的工具变量。
历史上的瘟疫或自然灾害：历史上大规模的瘟疫或自然灾害可能导致人口的大幅变化，进而影响劳动力供给、土地价格和权力结构。例如，黑死病在中世纪欧洲的爆发，导致劳动力严重短缺，削弱了贵族的权力，可能促使了向更市场化和更自由的经济制度转变。瘟疫的发生（Z）可以作为研究劳动力稀缺性（X）对制度变迁（Y）影响的工具变量。
为何有趣：
捕捉历史的“随机性”：很多地理和历史因素的出现，在当时看来是偶然的，但它们却深刻地影响了社会经济的长期发展轨迹。这些“历史的偶然性”成为了研究者分离因果关系的宝贵工具。
跨越时空的解释力：这些工具变量能够帮助我们理解古老的历史事件如何影响当下，揭示制度和文化习俗的深层根源。
揭示深层结构性力量：它们有助于我们认识到，很多重要的社会经济结果，并非仅仅是个体选择的结果，而是历史、地理和制度等深层结构性力量的产物。
应用细节：研究者想知道早期教会的普及对地方治理和经济增长的影响。他们可能会将距离某个古代朝圣地或重要宗教中心的地理距离（Z）作为教会影响力的工具变量。这个距离（Z）本身不直接影响经济增长，但它影响了当地教会的影响力（X），进而可能影响了地方的社会资本、公共品供给和经济活动。

3. 政治任命的随机性（如部长轮岗、立法委员会的偶然组成）作为政策效应的工具变量

情景：研究者想评估某项政府政策（例如，税收减免、福利改革、环境法规）对经济或社会结果的影响。然而，政策的制定和实施往往受到政治博弈、利益集团影响等因素的干扰，导致政策本身可能与最终结果存在内生性（例如，经济不景气时政府更倾向于出台刺激政策）。
有趣的工具变量：
政治人物的任期或轮岗：在一些国家，部长或重要官员的任期可能受到政治周期的影响，或者他们会定期轮岗。如果某个政策的推行（X）很大程度上取决于某个特定部门的部长是否在任或其个人风格，而部长的任期或轮岗（Z）具有一定的随机性（不受具体经济状况影响），那么部长的身份或轮岗（Z）就可以作为政策实施力度（X）的工具变量。
立法机构的投票或委员会组成：议会或立法机构的投票结果或委员会的组成，有时会受到一些偶然因素的影响，例如议员的缺席、会议时间的临时变动、或者投票程序的细微差别。如果某项法律或政策的出台（X）取决于一次关键的投票结果，而该投票结果受到了议员偶然的缺席（Z）的影响，那么议员的偶然缺席（Z）就可以作为政策出台（X）的工具变量。
政治派别的轮替：在某些情况下，不同政党轮流执政可能导致政策的连续性中断或调整。如果一个政党上台后推行某项改革（X），而该政党上台本身在某种程度上受到选民情绪或偶然政治事件的影响（Z），那么该政党上台（Z）就可以作为改革效果（Y）的工具变量。
为何有趣：
捕捉政治过程中的“噪音”：政治过程往往是复杂的，充满了妥协和偶然。这些偶然因素有时能为研究者提供一个分离政策“纯粹”影响的机会。
评估“非最优”政策的效果：很多政策并非基于最优的经济模型，而是政治妥协的结果。工具变量能够帮助我们评估这些“真实世界”中发生的政策的效果，即使它们不是理论上最理想的。
揭示政治驱动因素：通过识别这些工具变量，我们也能反过来理解政治力量是如何影响政策制定和执行的。
应用细节：研究者想评估某个城市新修地铁线对周边房价的影响。如果地铁线的选址（Z）很大程度上是由市政府内部的一次偶然的交通规划委员会投票决定的，而这次投票又受到某位关键委员临时缺席（X）的影响，那么这位委员的缺席（Z）就可以作为地铁线是否建成的工具变量，来研究地铁建设对房价的影响。

4. 遗传变异（如DNA标记）作为行为或健康结果的工具变量

情景：研究者想了解某种基因（例如，与多巴胺受体相关的基因变异）是否影响某种行为（例如，风险偏好、成瘾行为）或健康结果（例如，罹患某种疾病）。基因本身是在出生时就随机遗传的，并且通常不直接受后天环境影响（除了一些非常特殊的基因编辑情况）。
有趣的工具变量：
特定的DNA单核苷酸多态性 (SNP): 科学家可以通过全基因组关联研究（GWAS）等方法，找到与某个特定性状（例如，身高、教育年限、风险承担能力）高度相关的基因变异（SNP）。这些基因变异（Z）是随机传递的，与后天的生活方式或环境因素不相关，但它们可以影响个体的某些特征（X），进而影响最终结果（Y）。例如，某个与血清素代谢相关的基因变异（Z）可能影响情绪稳定性（X），进而影响抑郁症的发生（Y）。
孟德尔随机化 (Mendelian Randomization MR): 这是利用遗传变异作为工具变量来推断暴露（如吸烟、饮酒、饮食习惯）与疾病结果之间因果关系的一种方法。在这种方法中，与暴露相关的基因变异被用作暴露的工具变量。
为何有趣：
利用“自然实验”的终极形式：基因变异是生物学上的“随机分配”，它在出生时就被固定，且不受个体后天选择或环境影响。这是最接近理想RCT的工具变量。
克服生命周期内的混淆因素：很多行为和健康结果受到一生中各种复杂因素的影响，很难隔离。遗传变异作为工具变量，能够绕过这些后天的混淆因素，更清晰地揭示遗传与结果之间的关系。
揭示生物学机制：通过识别特定的基因变异，可以帮助我们理解某些行为或疾病背后的生物学机制。
应用细节：研究者想了解吸烟（X）是否导致肺癌（Y）。他们可以找到与尼古丁成瘾性高度相关的基因变异（Z），例如与尼古丁受体相关的SNP。这些基因变异（Z）不直接导致肺癌，但它们会影响一个人开始吸烟和吸烟量的多少（X）。通过分析携带这些基因变异的人群，可以更纯粹地估计吸烟对肺癌的影响。

5. 宗教节日或文化习俗作为消费行为或社会规范的工具变量

情景：研究者想了解某个宗教节日（例如，斋月、圣诞节）或文化习俗（例如，新年庆祝活动）对人们消费行为（例如，食品支出、旅游支出）或社会规范（例如，亲属联系频率）的影响。然而，人们的参与程度和消费水平本身也可能受到其经济状况、个人偏好等因素的影响。
有趣的工具变量：
节日日期的变动或偶然的节日长度：某些宗教节日是按照农历或特定的天文学周期计算的，其日期每年都会有所变动。如果某个节日（Z）被延长或缩短（例如，由于闰月或特殊事件），并且这种变动与人们的经济能力或提前规划无关，那么节日的长度变动（Z）就可以作为节日期间消费行为（X）的工具变量。
某些文化习俗的地域性或历史遗留：某些文化习俗可能在特定地理区域或人群中更为普遍或强制性更强，而这种普遍性可能源于历史上的偶然因素或地理隔离。例如，在某些地区，对某种特定食物的消费习惯（X）可能与当地独特的历史传统（Z）相关。如果这个历史传统（Z）与该地区目前的经济发展水平（与误差项相关）没有直接关系，它就可以作为研究该食物消费习惯影响的工具变量。
为何有趣：
捕捉特定时段的外部冲击：节日和习俗就像是一种外部冲击，强制性地改变了人们的日常节奏和潜在的消费欲望。
隔离个人选择：工具变量能够帮助我们区分是人们“选择”在节日消费，还是节日本身“迫使”人们消费。
理解文化如何塑造经济行为：它们展示了文化和信仰如何在不经意间塑造我们的经济决策。
应用细节：研究者想知道圣诞节（Z）对家庭的礼物支出（X）和家庭聚会（Y）的影响。他们可以考察不同年份圣诞节的日期变动（例如，圣诞节落在周末还是周中）或者某些年份由于特殊原因导致假期延长或缩短（Z）。这些变动可能影响人们的购物时间和消费意愿（X），进而影响家庭聚会的频率和规模（Y）。

总结

这些有趣的工具变量案例告诉我们：

随机性是关键：很多有趣的工具变量都利用了某种形式的“随机性”或“偶然性”，这些因素独立于我们关心的内生性变量和结果变量之间的直接因果关系。
跨学科的联系：从自然科学（基因）到社会科学（历史、政治、文化），工具变量的应用领域非常广泛，并且常常需要跨学科的知识来寻找和论证。
对因果推理的追求：工具变量方法的魅力在于它不断激励研究者去寻找更严谨的方法来理解世界，将相关性推向因果关系。
创造力与批判性：寻找一个好的工具变量需要巨大的创造力，并且在应用时需要非常谨慎地论证其相关性和外生性条件是否成立。

这些案例只是冰山一角，现实世界中还有无数隐藏的“工具变量”等待我们去发现和利用，以更深入地理解世界运行的规律。

网友意见

说到工具变量怎能不提《mostly harmless econometrics》的作者之一Angrist？Wooldridge的教科书《Econometric Analysis of Cross Section and Panel Data》举了两个Angrist使用工具变量的例子。

第一个是1991年QJE上 Angrist&Krueger 的 Does Compulsory School Attendance Affect Schooling and Earnings? 。这篇论文研究的是一个老问题：教育对收入的影响。我们知道，由于有遗漏变量的问题，直接做OLS回归会有内生性问题。这篇论文考虑到，由于美国的义务教育规定是按年龄限制的，不到一定的年龄就不能离开学校，所以一月出生的人在一月份就可以走了，但六月出生的人必须要在学校待到六月，这样出生月份不一样的人结束教育的时间也不一样，但是他们开始教育的时间都是学校开学的时候。结果出生月份就会影响受教育时间的长短。于是这篇论文就用是否出生在第一季度作为教育时间的工具变量，发现用工具变量的结果和用OLS的结果没有显著区别。这个工具变量后来也受到了一些质疑，因为这是一个弱工具变量，出生月份对受教育时间的影响尽管存在但很小，这样即使出生月份和遗漏变量只有很微弱的相关性，估计结果也会有比较大的偏差。

第二个是1990年AER上Angrist的 Lifetime Earnings and the Vietnam Era Draft Lottery: Evidence from Social Security Administrative Records 。这也是他的博士论文工作。这篇论文研究的是参加越战经历对之后收入的影响，这显然也是一个有内生性的问题。作者注意到，国防部征兵的时候是给适龄的男性抽一个号码（Draft Lottery），然后定一个上限，号码小于这个上限的人在征兵范围之内。于是他定义征兵号是否小于这个上限为draft eligibility，显然draft eligibility为1的人更可能参加越战，而这个数字是随机抽的，所以draft eligibility是一个合适的工具变量。这是一个巧妙利用自然实验的例子。

最近又知道一个很有意思的。1998年AER的 Angrist&Evans 的 Children and Their Parents' Labor Supply: Evidence from Exogenous Variation in Family Size 。这篇论文研究的是子女数目增加对父母劳动市场参与的影响。这里的问题就是找一个影响子女数目的外生冲击。这方面的研究有的用的是双胞胎，有的用的是流产失败。双胞胎的产生当然一般是随机的，而不是预料到设计出来的，所以这是直接增加子女个数的外生冲击。这篇论文考虑了一个间接增加子女个数的因素，就是头两个孩子的性别构成。这为什么会影响子女数量呢？他们的理论是这样的：父母一般希望子女的性别构成多样化，所以如果头两胎都是男孩或女孩，那么他们就希望再生一个性别不一样的，但如果前两胎一个男孩一个女孩，那性别多样化的任务已经完成了，就不会再生了，所以前两个孩子性别一样的家庭会有更多的子女。我觉得这个思路确实很神奇。总之，找工具变量就是要开动脑筋，大胆联想。

怎么没有人提兰小欢的这篇用Chinese Student Protection Act of 1992 （俗称人血馒头法案）的研究啊。

原文
Lan, Xiaohuan. "Permanent visas and temporary jobs: Evidence from postdoctoral participation of foreign PhDs in the US." (2009).

作者研究的题目本身就很有趣，是看美国的博士后劳动力市场的。他想实证的主题是：为什么那么多在美国拿到博士的非美国居民愿意干工资很低的博士后的工作呢？一般有两个可能性，一个是这些博士们本身非常热爱科研而不计较工资报酬，另外一个就是博士后工作可以得到在美国合法居住的身份。
可能大部分人都会直觉上觉得是后者，但是要从实证的角度来证明得到美国合法居留身份就是很多人愿意从事博士后工作的原因其实是很难的。（关于计量里面causal-inference的问题太多了需要另开一贴讨论，在这里就不展开了）。
那么有没有一种可能，就是假设美国政府给所有外国籍博士一毕业就给绿卡，保证他们都可以合法留在美国，然后这样就可以清楚的看到还有多少博士处于科研上的热情愿意去干博士后了嘛！

可是到底有没有这样的事情发生过呢？
有没有呢？

现在视线拉回遥远的东方。在80年代末曾经发生过一个著名的事件（你懂的）。在该事件发生以后，美国在1992年颁布了一项法案，该法案规定，对于所有在1990 年4月11日之前抵达美国的中华人民共和国的居民全部授予永久居留权（绿卡）（具体法案详情请自行搜索Chinese Student Protection Act of 1992 ）。当然当时所有博士毕业的中国学生也包括在内。

他具体操作使用2SLS，然后得出的结论大家大概也能猜得到，当然是证实了大多数人的猜想。这里就不赘述了。

Updated on feb 22th ,2015
搬运一下评论区 @chenqin 的补充：

这篇文章的结论是：当时，中国人在美国读博士的有57%选择继续申请博士后。但是如果博士毕业就能拿绿卡，那么申请的概率就下降到43%。换句话说，在美国申请博后的中国人中，有四分之一是为了绿卡而去的。要是博士毕业就有绿卡的话，他们博士毕业就离开学术界了。

2. Updated on April 15th, 2018

评论区有几个同学问道这篇文章的工具变量到底是什么。我把文章的abstract 贴上来吧。知乎的作用是普及，又不是深入学习经济学的地方。对这篇文章感兴趣的自己去看原文啊。

About 75 percent of U.S. -trained, noncitizen PhDs in science and engineering work in the United States after graduation, and 54 percent of those who stay take postdoctoral positions. The probability of postdoctoral participation is substantially higher for tem porary visa holders than for permanent visa holders because of visa-related restrictions in the U.S. labor market. To identify the causal effects of visa status on entry into a postdoctoral position, this paper uses a unique shock to visa status generated by the Chinese Student Protection Act of 1992. Eligibility for the act is used as an instrumental variable for visa status. Two-stage least-square estimates show that permanent visa holders are 24 percent less likely to take postdoctoral positions than temporary visa holders. The effects of a permanent visa vary considerably across research fields, but for most fields, it reduces postdoctoral participation sinigificantly。

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这大概是我最初读得很过瘾并且有“哇塞原来学经济学的脑洞还可以这样开” 的感觉的论文之一吧。虽然后来转行了，但是想起来当初的感觉还在。

这要从 @比利海灵顿讲的一个段子[1]说起。据说二战期间，为了防止德国间谍伪装成美军混入阵地后方，美军曾以此问题盘问过往军人：“伊利诺伊州的首府是哪里？”正确答案是：斯普林菲尔德（春田市）。间谍经过系统培训，自然知道正确答案。但回答斯普林菲尔德的人都要受到严密审问。因为真正的美国当地大头兵受教育程度有限，他们的答案通常是芝加哥。如果对这个段子仅仅是一笑而过，那就亏大了。因为，你可能因此错失了一篇AER；）

看上面这张伊利诺伊州的地图，有两个信息非常明显。首先，最大城市芝加哥不在首府；其次，作为首府的斯普林菲尔德，位置几乎在整个州的正中心。这一点是巧合吗？不是的。Campante和Do 2014年的研究引用了很多政治学的文献，告诉我们：美国建国之初，交通和通讯条件不便。为了平等保障各地的代表权，不要给代表施加太高的参政议政成本，各州都偏向把首府放在整个州的中心[2]。因此，伊利诺伊州的情况不是特例：首府放在中间，也不是州里最大的城市。

利用这一点，前面提到的二位作者漂亮地回答了一个历史相当悠久的问题：要尽可能预防腐败，政治中心和经济中心（通常也是人口最多的地方）的距离应该要多远？有的学者说，两者应该隔得近一点。这样，企业和人民可以更好地参与政治、监督政府；也有学者说应该远一点。这样，政府更超然，盘踞在经济中心的各利益集团更难俘获政府。利用开头段子里提到的“斯普林菲尔德-芝加哥判别法”，二位学者构造了两个很棒的工具变量，证实前一种观点才是正确的。

具体来说，文章要研究的，是州内居民到首府的平均距离（用人口普查数据计算），和各州的腐败率、腐败感知度、政治参与率、公共品供给间的关系。文章采用的工具变量，是“两个中心的距离”：其中一个是人口中心，也就是州的范围内，距离全体居民的平均距离最小的点[3]；另一个是地理上的中心。这个距离和居民到首府的距离高度相关，又不太可能通过以外的途径影响最终的腐败。因此，这是个很棒的工具变量。当然，个人认为：如果算灯光而非人口的中心，就更好了。

简单叙述他们的结论：工具变量法发现，州内居民到首府的平均距离增加，会导致各州的腐败案件数量显著增加、腐败感知度提高、搜索“腐败+州名”的频率上升、公共品开支下降。导致这一结果的渠道，很可能是缺乏监督。作者同时发现：州内居民到首府的平均距离增加，会导致当地媒体报道中政治新闻的比重下降、选举投票率下降、两党竞选开支下降。用一句话概括结果，就是“县官也得现管”。开头提到的伊利诺伊，确实也是美国贪污案件比较多的州，印证了这一结论。

[1] 段子原文请见比利海灵顿：你都见过什么样的地理盲？。

[2] 对这一点的深入讨论和文献列举，请见原文第10-11页。

[3] 为了防止人口数据可能造成的干扰，文章还用农作物适种指数计算了一个中心，替代人口中心。

文献来源：Campante, Filipe R, Quoc-Anh Do. "Isolated capital cities, accountability, and corruption: Evidence from US states." The American Economic Review 104.8 (2014): 2456-2481.

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