有人在p-adic数域Qp上研究过类似球堆积这样的几何数论问题吗？
padic 数域 $mathbb{Q}_p$ 上的几何数论，尤其是在球堆积（sphere packing）这一类问题上的研究，确实是一个引人入胜且正在蓬勃发展的领域。虽然它不像欧几里得空间中的球堆积那样拥有悠久的历史和广泛的群众基础，但随着 padic 分析和 padic 几何的深入发展，它已经成为数论几何中一个重要的研究方向。
要详细探讨这个问题，我们首先需要理解 padic 数域 $mathbb{Q}_p$ 的结构以及它与传统欧几里得空间在几何上的显著差异。
padic 数域 $mathbb{Q}_p$ 的几何特性
1. 度量和拓扑：
padic 数域 $mathbb{Q}_p$ 由 padic 范数 $| cdot |_p$ 定义。这个范数与我们熟悉的欧几里得范数（或称 L2 范数）完全不同。对于一个非零的 padic 数 $x in mathbb{Q}_p$，将其表示为 $x = p^v cdot u$，其中 $p$ 是一个素数，$v = v_p(x)$ 是 $x$ 的 padic 整数，$u$ 是一个 padic 单位（即 $|u|_p = 1$）。padic 范数定义为 $|x|_p = p^{v_p(x)}$。特别地，$|0|_p = 0$。
这个范数满足 超度量性质 (ultrametric property)：对于任意 $x, y in mathbb{Q}_p$，有 $|x+y|_p le max(|x|_p, |y|_p)$。这与欧几里得空间的三角不等式 $|x+y| le |x| + |y|$ 有着本质的区别。
2. 超度量空间的几何：
超度量性质导致了 $mathbb{Q}_p$ 及其上的单位球具有非常“奇怪”的几何性质。
所有点之间的距离都相同： 在 $mathbb{Q}_p$ 的单位球 $B_p(0, 1) = {x in mathbb{Q}_p : |x|_p le 1}$ 中，任意两个不同点的距离 $|xy|_p$ 只能取 $p^{k}$ 的形式，其中 $k$ 是一个非负整数。而且，任何一个点到其他所有点的距离都是相同的。
球体的“胖”： 在超度量空间中，任何一个点都可以被看作是它所处的球的中心。更重要的是，如果一个点 $c$ 在一个球 $B(a, r)$ 中，那么 $B(a, r)$ 就是 $B(c, r)$。这意味着在超度量空间中，球体的“边界”实际上包含了球体本身。
“圆”的性质： 在 $mathbb{Q}_p$ 中，所有“圆”都是“球”。而且，在任何一个给定的半径下，所有球体之间要么是完全分离的，要么是完全重合的。没有“部分重叠”的概念。
3. 整数环：
$mathbb{Z}_p = {x in mathbb{Q}_p : |x|_p le 1}$ 是 $mathbb{Q}_p$ 的整数环，它是一个局部环。$mathbb{Z}_p$ 的结构可以被看作是 padic 整数的集合，其因子由 $p$ 的幂决定。
padic 球堆积问题
在 $mathbb{Q}_p$ 上研究球堆积问题，其核心在于如何在 $mathbb{Q}_p$ 的某种“区域”内，用“球”来填充，并最大化球体的体积占比（或最小化重叠）。这里，“球”通常是指以 $mathbb{Q}_p$ 的范数定义的闭球 $B(c, r) = {x in mathbb{Q}_p : |xc|_p le r}$，其中 $c in mathbb{Q}_p$ 是中心，$r > 0$ 是半径。
1. 什么是“区域”？
在 $mathbb{Q}_p$ 上，我们通常考虑的是 $mathbb{Z}_p$ 的“子集”，或者是 $mathbb{Q}_p$ 中的“紧集”。一个自然的选择是考虑 $mathbb{Z}_p$ 本身，或者 $mathbb{Z}_p$ 的某个“网格”或者“晶格”。
2. 球的体积：
在 $mathbb{Q}_p$ 上，我们也可以定义球的“测度”或“体积”。对于半径为 $r$ 的闭球 $B(c, r)$，其测度可以定义为 $mu(B(c, r)) = r^d$，其中 $d$ 是我们在考虑的空间的维度。如果我们在 $mathbb{Q}_p$ 上讨论的是“点”，那么这里的维度可以看作是 1。但是，在 padic 几何中，我们常常会考虑 $mathbb{Q}_p^n$ 空间，这时维度就是 $n$。
3. padic 空间中的“堆积”：
由于超度量性质，padic 空间中的球堆积与欧几里得空间中的堆积有着截然不同的表现。
不重叠的球： 在 $mathbb{Q}_p$ 中，两个半径相同的球 $B(c_1, r)$ 和 $B(c_2, r)$，如果它们的中心不同，那么要么它们是完全分离的（即 $|c_1c_2|_p > r$），要么它们是完全重合的（即 $c_1 = c_2$）。不存在部分重叠的情况。
“填满”的直觉： 这意味着我们不能像在欧几里得空间中那样，通过让球体相互“挤压”来提高密度。在 $mathbb{Q}_p$ 中，任何两个不重合的球，即使它们的距离非常小（但大于某个阈值），它们之间也存在一个“空隙”，这个空隙的“大小”由它们的距离决定。
4. “堆积”的真正含义：
在 $mathbb{Q}_p$ 上研究球堆积，更准确的说法是研究 “点集”的覆盖 或者 “晶格”的结构。例如，我们可以问：
在 $mathbb{Z}_p$ 中，能否用若干个半径为 $r$ 的球来覆盖？
在 $mathbb{Z}_p$ 中，可以放置多少个不重叠的半径为 $r$ 的球？
考虑 $mathbb{Z}_p^n$ 空间，能否用“球”（更准确地说是 $mathbb{Z}_p^n$ 的“子集”）来填充，并研究填充密度？
5. 与 Lattice 的联系：
在 $mathbb{Q}_p^n$ 中，一个重要的概念是 padic 晶格 (lattices)。一个 padic 晶格可以被看作是 $mathbb{Q}_p^n$ 的一个子群，它可以由 $n$ 个 $mathbb{Q}_p$ 中的线性无关的向量生成。更具体地说，我们常常考虑的是在 $mathbb{Z}_p^n$ 中的晶格，或者说是 $mathbb{Q}_p^n$ 中的一个“紧凑”的子群，例如 $L = { sum_{i=1}^n a_i v_i : a_i in mathbb{Z}_p }$，其中 $v_i in mathbb{Q}_p^n$ 是线性无关的。
padic 晶格的结构与 padic 范数密切相关。例如，我们可能会研究一个晶格 $L$ 的 密勒单位 (Minkowski units) 或者 晶格常数，这可以类比欧几里得空间中的晶格。
6. 相关的研究方向和概念：
padic Minkowski 理论： Minkowski 理论是欧几里得几何数论的核心，它研究晶格在凸集中的分布。在 padic 领域，也有类似的思想，研究 padic 晶格与 padic 凸集（例如 padic 球）的交集。
padic theta 函数和 padic modular forms： 这些是 padic 分析中的重要工具，它们在研究 padic 几何和数论问题中起着至关重要的作用，也可能与 padic 球堆积的密度或枚举有关。
padic Harmonic Analysis： Fourier 变换在 padic 空间上的推广，这可以用来分析 padic 空间上的函数，包括那些描述球体或晶格的函数。
padic Lattices and Codes： 在编码理论中，也存在与 padic 结构相关的研究，虽然不直接是球堆积，但涉及到“距离”和“密度”的概念。
7. 研究的挑战和不同之处：
超度量性质的挑战： 欧几里得空间的几何直觉在 padic 空间中往往失效。例如，球体内部的点并非“周围”的。
“体积”的定义： 如何在 $mathbb{Q}_p$ 的抽象空间中定义有意义的“体积”和“密度”是关键。通常会依赖于 Haar 测度。
“最佳堆积”的概念： 在欧几里得空间中，我们讨论的是达到最高密度的堆积（如 Kepler conjecture）。在 padic 空间中，由于球体之间要么不重叠要么完全重合，我们可能讨论的是“最紧密的覆盖”，或者在 $mathbb{Z}_p$ 中放置最多的不重叠球。
8. 具体的研究实例（可能涉及）：
尽管直接称为“padic 球堆积”的研究可能不如欧几里得空间那样普遍，但一些领域的研究结果可以被看作是其对等物：
padic 晶格的约化（Reduction of padic Lattices）： 类似于欧几里得空间中的晶格约化，旨在找到晶格的“最佳”表示，这与选择球心的位置有关。
padic 空间上的某些优化问题： 例如，如何在 $mathbb{Z}_p$ 的单位球中放置最多的不相交的“小球”，或者以最小的半径覆盖。
padic 空间中的“离散化”问题： 许多 padic 研究涉及将连续的 padic 空间离散化，并研究这些离散结构，这与放置“球”有些相似。
总结：
padic 数域 $mathbb{Q}_p$ 上的几何数论问题，尤其是在球堆积方面的研究，是一个非常具有挑战性但同时也非常有趣的领域。其核心在于理解 padic 范数的超度量性质如何重塑了我们对“距离”、“体积”和“堆积”的认知。研究通常会围绕 padic 晶格、覆盖问题 和 密度优化 展开，并借助 padic 分析和 padic Harmonic Analysis 等工具。
虽然没有直接以“padic 球堆积”命名的大量经典文献，但许多与 padic 晶格、padic 覆盖和 padic 几何相关的研究，实际上就是在探索与欧几里得空间球堆积类似的问题，只是其表现形式和数学工具都截然不同。这个领域仍然在不断发展，许多问题仍待深入探索。
要详细探讨这个问题，我们首先需要理解 padic 数域 $mathbb{Q}_p$ 的结构以及它与传统欧几里得空间在几何上的显著差异。
padic 数域 $mathbb{Q}_p$ 的几何特性
1. 度量和拓扑：
padic 数域 $mathbb{Q}_p$ 由 padic 范数 $| cdot |_p$ 定义。这个范数与我们熟悉的欧几里得范数（或称 L2 范数）完全不同。对于一个非零的 padic 数 $x in mathbb{Q}_p$，将其表示为 $x = p^v cdot u$，其中 $p$ 是一个素数，$v = v_p(x)$ 是 $x$ 的 padic 整数，$u$ 是一个 padic 单位（即 $|u|_p = 1$）。padic 范数定义为 $|x|_p = p^{v_p(x)}$。特别地，$|0|_p = 0$。
这个范数满足 超度量性质 (ultrametric property)：对于任意 $x, y in mathbb{Q}_p$，有 $|x+y|_p le max(|x|_p, |y|_p)$。这与欧几里得空间的三角不等式 $|x+y| le |x| + |y|$ 有着本质的区别。
2. 超度量空间的几何：
超度量性质导致了 $mathbb{Q}_p$ 及其上的单位球具有非常“奇怪”的几何性质。
所有点之间的距离都相同： 在 $mathbb{Q}_p$ 的单位球 $B_p(0, 1) = {x in mathbb{Q}_p : |x|_p le 1}$ 中，任意两个不同点的距离 $|xy|_p$ 只能取 $p^{k}$ 的形式，其中 $k$ 是一个非负整数。而且，任何一个点到其他所有点的距离都是相同的。
球体的“胖”： 在超度量空间中，任何一个点都可以被看作是它所处的球的中心。更重要的是，如果一个点 $c$ 在一个球 $B(a, r)$ 中，那么 $B(a, r)$ 就是 $B(c, r)$。这意味着在超度量空间中，球体的“边界”实际上包含了球体本身。
“圆”的性质： 在 $mathbb{Q}_p$ 中，所有“圆”都是“球”。而且，在任何一个给定的半径下，所有球体之间要么是完全分离的，要么是完全重合的。没有“部分重叠”的概念。
3. 整数环：
$mathbb{Z}_p = {x in mathbb{Q}_p : |x|_p le 1}$ 是 $mathbb{Q}_p$ 的整数环，它是一个局部环。$mathbb{Z}_p$ 的结构可以被看作是 padic 整数的集合，其因子由 $p$ 的幂决定。
padic 球堆积问题
在 $mathbb{Q}_p$ 上研究球堆积问题，其核心在于如何在 $mathbb{Q}_p$ 的某种“区域”内，用“球”来填充，并最大化球体的体积占比（或最小化重叠）。这里，“球”通常是指以 $mathbb{Q}_p$ 的范数定义的闭球 $B(c, r) = {x in mathbb{Q}_p : |xc|_p le r}$，其中 $c in mathbb{Q}_p$ 是中心，$r > 0$ 是半径。
1. 什么是“区域”？
在 $mathbb{Q}_p$ 上，我们通常考虑的是 $mathbb{Z}_p$ 的“子集”，或者是 $mathbb{Q}_p$ 中的“紧集”。一个自然的选择是考虑 $mathbb{Z}_p$ 本身，或者 $mathbb{Z}_p$ 的某个“网格”或者“晶格”。
2. 球的体积：
在 $mathbb{Q}_p$ 上，我们也可以定义球的“测度”或“体积”。对于半径为 $r$ 的闭球 $B(c, r)$，其测度可以定义为 $mu(B(c, r)) = r^d$，其中 $d$ 是我们在考虑的空间的维度。如果我们在 $mathbb{Q}_p$ 上讨论的是“点”，那么这里的维度可以看作是 1。但是，在 padic 几何中，我们常常会考虑 $mathbb{Q}_p^n$ 空间，这时维度就是 $n$。
3. padic 空间中的“堆积”：
由于超度量性质，padic 空间中的球堆积与欧几里得空间中的堆积有着截然不同的表现。
不重叠的球： 在 $mathbb{Q}_p$ 中，两个半径相同的球 $B(c_1, r)$ 和 $B(c_2, r)$，如果它们的中心不同，那么要么它们是完全分离的（即 $|c_1c_2|_p > r$），要么它们是完全重合的（即 $c_1 = c_2$）。不存在部分重叠的情况。
“填满”的直觉： 这意味着我们不能像在欧几里得空间中那样，通过让球体相互“挤压”来提高密度。在 $mathbb{Q}_p$ 中，任何两个不重合的球，即使它们的距离非常小（但大于某个阈值），它们之间也存在一个“空隙”，这个空隙的“大小”由它们的距离决定。
4. “堆积”的真正含义：
在 $mathbb{Q}_p$ 上研究球堆积，更准确的说法是研究 “点集”的覆盖 或者 “晶格”的结构。例如，我们可以问：
在 $mathbb{Z}_p$ 中，能否用若干个半径为 $r$ 的球来覆盖？
在 $mathbb{Z}_p$ 中，可以放置多少个不重叠的半径为 $r$ 的球？
考虑 $mathbb{Z}_p^n$ 空间，能否用“球”（更准确地说是 $mathbb{Z}_p^n$ 的“子集”）来填充，并研究填充密度？
5. 与 Lattice 的联系：
在 $mathbb{Q}_p^n$ 中，一个重要的概念是 padic 晶格 (lattices)。一个 padic 晶格可以被看作是 $mathbb{Q}_p^n$ 的一个子群，它可以由 $n$ 个 $mathbb{Q}_p$ 中的线性无关的向量生成。更具体地说，我们常常考虑的是在 $mathbb{Z}_p^n$ 中的晶格，或者说是 $mathbb{Q}_p^n$ 中的一个“紧凑”的子群，例如 $L = { sum_{i=1}^n a_i v_i : a_i in mathbb{Z}_p }$，其中 $v_i in mathbb{Q}_p^n$ 是线性无关的。
padic 晶格的结构与 padic 范数密切相关。例如，我们可能会研究一个晶格 $L$ 的 密勒单位 (Minkowski units) 或者 晶格常数，这可以类比欧几里得空间中的晶格。
6. 相关的研究方向和概念：
padic Minkowski 理论： Minkowski 理论是欧几里得几何数论的核心，它研究晶格在凸集中的分布。在 padic 领域，也有类似的思想，研究 padic 晶格与 padic 凸集（例如 padic 球）的交集。
padic theta 函数和 padic modular forms： 这些是 padic 分析中的重要工具，它们在研究 padic 几何和数论问题中起着至关重要的作用，也可能与 padic 球堆积的密度或枚举有关。
padic Harmonic Analysis： Fourier 变换在 padic 空间上的推广，这可以用来分析 padic 空间上的函数，包括那些描述球体或晶格的函数。
padic Lattices and Codes： 在编码理论中，也存在与 padic 结构相关的研究，虽然不直接是球堆积，但涉及到“距离”和“密度”的概念。
7. 研究的挑战和不同之处：
超度量性质的挑战： 欧几里得空间的几何直觉在 padic 空间中往往失效。例如，球体内部的点并非“周围”的。
“体积”的定义： 如何在 $mathbb{Q}_p$ 的抽象空间中定义有意义的“体积”和“密度”是关键。通常会依赖于 Haar 测度。
“最佳堆积”的概念： 在欧几里得空间中，我们讨论的是达到最高密度的堆积（如 Kepler conjecture）。在 padic 空间中，由于球体之间要么不重叠要么完全重合，我们可能讨论的是“最紧密的覆盖”，或者在 $mathbb{Z}_p$ 中放置最多的不重叠球。
8. 具体的研究实例（可能涉及）：
尽管直接称为“padic 球堆积”的研究可能不如欧几里得空间那样普遍，但一些领域的研究结果可以被看作是其对等物：
padic 晶格的约化（Reduction of padic Lattices）： 类似于欧几里得空间中的晶格约化，旨在找到晶格的“最佳”表示，这与选择球心的位置有关。
padic 空间上的某些优化问题： 例如，如何在 $mathbb{Z}_p$ 的单位球中放置最多的不相交的“小球”，或者以最小的半径覆盖。
padic 空间中的“离散化”问题： 许多 padic 研究涉及将连续的 padic 空间离散化，并研究这些离散结构，这与放置“球”有些相似。
总结：
padic 数域 $mathbb{Q}_p$ 上的几何数论问题，尤其是在球堆积方面的研究，是一个非常具有挑战性但同时也非常有趣的领域。其核心在于理解 padic 范数的超度量性质如何重塑了我们对“距离”、“体积”和“堆积”的认知。研究通常会围绕 padic 晶格、覆盖问题 和 密度优化 展开，并借助 padic 分析和 padic Harmonic Analysis 等工具。
虽然没有直接以“padic 球堆积”命名的大量经典文献，但许多与 padic 晶格、padic 覆盖和 padic 几何相关的研究，实际上就是在探索与欧几里得空间球堆积类似的问题，只是其表现形式和数学工具都截然不同。这个领域仍然在不断发展，许多问题仍待深入探索。
网友意见
谢邀。
p-adic域上可以考虑跟实数域上类似的数的几何和丢番图问题。很多经典丢番图逼近问题，比如Littlewood猜想，都有p-adic的类比版本。Anish Ghosh和他的学生们最近做了很多这方面的工作。我想说的是一个更神奇的现象：通过研究p-adic（或者S-adic）域上的数的几何(利用S-adic版本的Minkowski定理)，可以得到实数域上的丢番图逼近问题的一些很漂亮的结果。比如最近Damien Roy的文章：
他通过考虑一个特殊的S-adic凸体上的数的几何，得到了形如 （其中 是满足一些性质的代数数）的向量的一个几乎optimal的丢番图性质（可以得到它们与有理向量的距离总是大于等于 ， 为有理向量的分母）。我的理解是加上S-adic上的凸体相当于在取格点的时候增加了一些同余限制，使得要数的格点变少了。他的具体的证明细节我还没有读，感觉上这个想法可以应用到其他的经典丢番图问题中（当然不是简单的推广，Roy的证明用了指数函数的一个经典逼近公式，所以很依赖于指数函数的性质）。
PS：顺便提一句，我们有幸请了Damien Roy在我们的讨论班讲了这个优美的结果，有兴趣的同学可以在网上找到他报告的录像，喵呜～
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