有什么很牛逼的无理数？
首当其冲的，那绝对是 圆周率 π。你说它牛逼不牛逼？从古希腊人开始，多少数学家为了精确计算它费尽心思。π 不仅是圆的周长和直径之比这个简单而又深刻的定义，它的背后隐藏着无穷无尽的奥秘。
它为什么是无理数？ 这一点本身就很有意思。这意味着你永远无法用两个整数的比值来表示 π。你永远无法写出一个像 22/7 这样精确的“分数”来代表它。它的十进制展开是 3.1415926535... 永无止境，而且没有重复的规律。想象一下，一个如此简单的几何概念——圆，它的核心属性居然是一个永远写不完、摸不透的无理数，这本身就很奇妙。
它的“牛逼”之处体现在哪里？
无处不在： π 几乎出现在所有与圆、球体、周期性现象相关的数学公式里。物理学中的波动、振荡，工程学中的信号处理，甚至在概率论里，你都能看到 π 的身影。它就像数学世界里的万金油，又像是一个潜藏的宇宙常数。
超越性： π 不仅是无理数，它还是一个超越数。这意味着它不是任何整系数代数方程的根。举个例子，像 $sqrt{2}$ 是方程 $x^2 2 = 0$ 的根，它是一个代数数。但 π 不是任何由整数系数组成的、次数有限的方程的解。这让它更加神秘，也更难被“驯服”。证明 π 是超越数是数学史上一个重大的成就，它直接否定了用尺规作图来“化圆为方”的可能性，这可是古代几何学上的一个千古难题。
复杂而优美的计算方法： 为了计算 π，人们发展出了层出不穷的方法，从级数展开（如莱布尼茨级数 $1 1/3 + 1/5 1/7 + dots = pi/4$），到连分数，再到现代计算机算法，每一次计算的进步都伴随着数学理论的革新。
另一个不得不提的“牛逼”无理数是 自然对数的底数 e。如果你觉得 π 的故事够精彩，那么 e 的故事同样精彩绝伦，甚至在某些方面更具颠覆性。
它的定义： e 的定义有很多种，但最经典也最能体现其“牛逼”之处的，是它作为复利增长的极限。想象一下，你有一笔钱，每年增长一个固定的百分比。如果每年复利一次，那增长是线性的。如果每半年复利一次，增长会快一些。如果你让复利的次数趋于无穷，那么你最终的增长率就非常接近 e。它的定义式是：
$$e = lim_{n o infty} left(1 + frac{1}{n} ight)^n$$
这个看似简单的极限，却蕴含着连续增长的本质。
它的“牛逼”之处：
增长的国王： e 是自然界中许多增长和衰减过程的基石。人口增长、放射性衰变、甚至某些金融模型，都与 e 的指数函数 $e^x$ 紧密相关。$e^x$ 的一个非常特别的性质是，它的导数就是它本身。这意味着它的变化率与它自身的值成正比，这是描述自然增长和衰减的最简洁、最普遍的方式。
欧拉恒等式： 如果说哪个数学公式最能体现数学的优美和深刻，那非欧拉恒等式莫属：$e^{ipi} + 1 = 0$。这个公式将数学中最基本的五个常数：0, 1, i (虚数单位), π, e，用一种极其简洁优雅的方式连接起来。e 在这里扮演着连接实数和虚数世界的关键角色，通过其指数函数，它能够优雅地描述周期性现象，并与圆周率 π 和虚数单位 i 产生如此神奇的联系。
超越性： 和 π 一样，e 也是一个超越数。这意味着它无法用任何有限的代数运算从有理数那里构造出来。
除了 π 和 e，还有一些“牛逼”的无理数，它们可能不像前两者那样家喻户晓，但在数学界有它们独特的地位：
$sqrt{2}$： 虽然它不像 π 和 e 那样神秘，但 $sqrt{2}$ 的发现可以说是数学史上的一个里程碑，它直接导致了无理数的概念的诞生。在古希腊数学中，一切都可以用整数的比例来表示，直到毕达哥拉斯学派发现正方形对角线长度与边长之比 ($sqrt{2}$) 无法用分数表示，这打破了他们基于整数的哲学体系，引起了巨大的数学危机。想想看，一个如此基本的几何量，它的长度竟然无法用有理数描述，这无疑是当年的一件“大事”。
黄金分割比 $phi$： $phi = frac{1 + sqrt{5}}{2}$，它也是一个无理数。黄金分割比出现在许多自然现象和艺术作品中，例如向日葵的花盘、鹦鹉螺的壳，以及一些古典建筑和绘画的构图。虽然有些关于它在自然界中的普遍性存在一些夸大，但它作为数学上的一个重要常数，连接了斐波那契数列，并在几何学和代数中有许多有趣的应用。它的定义式是 $x^2 x 1 = 0$ 的正根。
这些无理数之所以“牛逼”，是因为它们不仅仅是数字本身，它们是数学思想的载体，是解决难题的钥匙，是连接不同数学分支的桥梁，更是我们理解世界的一种独特视角。它们的存在，让数学的世界变得更加广阔、更加深邃、也更加迷人。
网友意见
就不说 欧拉常数 那些老生常谈的了
来说几个比较著名的但貌似没人提的
1. 卡塔兰常数
注：这里的卡塔兰常数不是我国古代数学家明安图发现的那个卡塔兰数
这是一个不常用的常数，定义式特别漂亮：
当然，这个数目前还没有被证明是否无理
（卡塔兰常数的定义还和Direchlet β函数有关）
这个常数应用并不是特别广，除了在组合数学中的应用以外，比较出名的只有Simon Plouffe给出的无穷多个含有 和三γ函数的恒等式，这些恒等式也很漂亮，下面列出两个：
找资料的时候看到了这个很不错的文章，推一下
2. 塑胶数
塑胶数，又名塑料数、银数， （不知道为什么要取这么个名字，银数或许是为了跟黄金分割数进行区分吧，他俩都是重要数列的邻项比）
看到这个数的时候我吓了一跳：它是一元三次方程 的唯一实数根（由此得出它是代数数）也是Pandovan数列（ ）和Perrin数列（除起始数外形式和Pandovan数列相同的数列）相邻两项比值的极限，同时也是最小的Pisot数（翻了一下Mathworld终于把这个东西搞明白了：指的所有共轭元素的绝对值小于1，且范数等于 的二次或三次代数整数）
形式如下：
这个数还挺神秘的，目前没找到关于它的应用
3. Khinchin常数
这是数学中最神秘的常数之一，被某平台誉为“你不知道你数学就白学了”的五大常数之一（doge）它与几乎所有的实数都有关，但人们还没能完全认识它
在1964年，苏联数学家Khinchin证明了：对于几乎所有实数x（除了有理数、实系数二次方程的解，以及自然对数的底e等特殊情况之外），其连分数表示式的系数 的几何平均数会收敛到一个相同的数，且与实数x的数值无关
也就是
表达式如下：
但因为 计算难度极大，目前人类只算出了它的7035位，并且对于它的无理性目前还没有定论（但好像看到有人说它是超越数）
还有就是，虽然几乎所有实数之连分数系数的几何平均都趋近于辛钦常数，但除了特意建构的实数外，并没有实数被严格证明有此性质，仅有一些数值上的证据，如 和Euler-Mascheroni常数
3.1 Khinchin-Levy常数
闲着没事翻Knowpia发现了这么一个东西，是Khinchin的早期成果，算是在Khinchin常数的证明过程中的一个阶段性结论吧
本来Khinchin在这个阶段证得的东西是下面这样的：
右侧的γ最后被法国数学家Paul Pierre Lévy证得是这么个东西
所以γ就被称为Khinchin-Levy常数，或者是Levy常数
注：有时Levy常数还指
4. Brun常数
1919年，挪威数学家Viggo Brun证明了所有孪生质数的倒数之和收敛于一个常数 ，也就是：
这个常数的发现为孪生质数猜想这个世界难题带来了一个世纪的突破，嗯，或者说阻碍。因为假如上面那个级数发散，那么很容易孪生质数猜想就被证明了，但是它是收敛的……类似地，如果 是无理数，那么孪生质数猜想也会被快速证明，但目前还没有人能证明它的无理性
相关地， 是针对于四胞胎质数的Brun常数，也就是所有的四胞胎质数的倒数之和，即：
5. Erdos-Borwein常数
这个可是确确实实的正统无理数（但貌似不超越），由Erdos本人在1948年证明。它是所有梅森数（即能表示成 的数，此处没有说明是梅森质数）的倒数之和，即：
也可以写成以下四个形式：
（其中 是因子函数，也就是n正因子的数目）
6. Apery常数
这个常数可大有来头了
它的准确定义是黎曼ζ函数（设一复数s的实部>1，则定义 ）的一个值ζ(3)，即：
在1978年Roger Apery证明了它是一个无理数，这个结论史称Apery定理。不久后，一个更为简洁的只需要用到Legendre多项式的证明也被给出了。但是关于其超越性，目前还没被证明
同时，的倒数（也是一个有意义的无理数）也是一个非常nb的常数：如果我们从正整数中随机抽取三个正整数，它们三个两两互质的概率就是的倒数
7. Omega常数
这个数很有意思，它的定义是超越方程的实数根，具有性质，所以可以由e的超越性证明它的超越性（如果是代数数，则是超越数，但又因为，推出矛盾，所以是超越数）。同时它也是Lambert函数的一个值，满足，并且，所以它也被称为“指数黄金比例”
可能会继续更新
只要我能找得到（（
参考资料：
科普一个看其他人没有提到的常数，叫做米尔斯常数
这个常数有什么特殊之处呢？就在于，你对其取任意 次幂，得到的数字下取整，也即考虑数列
这个数列的每一项，都是素数
寻找一个素数的生成公式是多么的困难，但是米尔斯常数居然直接用这么简单的一个二重次幂取整就完成了？
验证一下，
这些整数部分都是质数。
但其实，这个常数不能帮助我们寻找素数，因为它是用存在性证明完成的，其证明过程是根据一列有限个素数、它们可以从某一个小区间里的实数取这样的幂次取整得到，而这个数列可以无穷下去，其对应的可行区间却不会缩减到空集来得到的。换句话说，有点对着飞镖画靶子的意味。
但这并不妨碍它成为一个令人惊叹的常数，毕竟上述事实本身也是有其非平凡性的。
另外，从专业一点的角度说，我们并不能确认上述常数就是真正的米尔斯常数，他只是我们目前已知最小的可能的米尔斯常数。米尔斯常数的存在性基于任意两个立方数之间必有素数的假定，但是目前已知的素数密度估计都不能确保这一点，除非黎曼假设成立，那我们倒是可以很方便地得到这个结论。
有人问怎么算这个常数，其实很简单，我们从2开始，假设三次方的整数部分是2，那么其9次方应该在2的三次方和3的三次方之间，这可以是11到23中的任何一个质数。我们不妨取最小的11，这样就能得到一个近似值为9次根号11。再往下我们知道它的27次方应该在11的三次方到12的三次方之间，这又会有一个最小的素数1361，于是我们进一步得到他的近似为1361的27次根号………
以此类推，我们每次反向构造an的素数取值，则下一个a_n+1一定在an的三次方到（an+1）的三次方之间。这就涉及到前面的问题，即是不是总能在这之中找到一个素数，以及我们每一次选择哪一个素数。如果黎曼假设成立，则我们每次一定可以找到一个素数，如果我们每次都选择这个区间中最小的素数，我们得到的就是标准的米尔斯常数。
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