机器学习中的优化理论，需要学习哪些资料才能看懂？
第一步：数学基础的“基石”
别看到“数学”两个字就头大，这块儿是真绕不过去的坎儿。优化理论本质上就是数学的一个分支，而且是跟微积分、线性代数深度绑定的。
微积分 (Calculus):
导数和偏导数: 机器学习模型通常是要最小化一个“损失函数”（cost function 或 loss function），这个损失函数会告诉你模型预测得有多差。要找到损失函数最低点，就得知道怎么求导数。损失函数可能有很多参数，所以偏导数就显得尤为重要，它告诉我们改变某个参数会对损失函数产生多大的影响。
梯度: 梯度就是所有偏导数组成的向量，它指向函数增长最快的方向。优化算法（比如梯度下降）就是要朝着梯度的反方向前进，以求最快地下降损失函数。理解梯度是理解绝大多数优化算法的核心。
链式法则 (Chain Rule): 这是深度学习中“反向传播”（backpropagation）算法的理论基石。一个复杂的损失函数往往是层层嵌套的，链式法则就是告诉你如何把大函数的导数拆解成一层一层小函数的导数相乘，从而计算出每一层参数对最终损失的影响。
泰勒展开 (Taylor Expansion): 有时候，我们为了分析或者设计算法，需要用多项式来近似复杂的函数。泰勒展开就是一种非常强大的工具，特别是二阶泰勒展开，它能帮助我们理解函数的局部形状，这对理解像牛顿法（Newton's method）这样的二阶优化方法至关重要。
线性代数 (Linear Algebra):
向量和矩阵: 机器学习中的数据、模型的参数、梯度等等，大部分都可以用向量和矩阵来表示。你需要熟悉向量的加减乘除、内积、范数（如L1、L2范数），以及矩阵的乘法、转置、求逆、特征值和特征向量。
线性方程组: 很多优化问题归根结底是要解一个线性方程组，或者是在一个线性空间中寻找最优解。
二次型 (Quadratic Forms): 很多损失函数在局部可以近似为二次型，例如 $f(x) = x^T A x + b^T x + c$。理解二次型，特别是矩阵 $A$ 的正定性等概念，对于理解凸优化和一些高级优化算法（如共轭梯度法）非常有帮助。
推荐资料（数学基础）：
书籍:
《普林斯顿微积分读本》(Calculus: An Intuitive and Physical Approach) 如果你觉得传统微积分教材枯燥，这本会很有帮助，讲解非常直观。
《线性代数及其应用》(Linear Algebra and Its Applications) by Gilbert Strang 这本书是线性代数的经典之作，讲解透彻，也包含了许多实际应用。
吴恩达的《机器学习》课程（Coursera/Stanford）中的数学回顾部分，或者他的《深度学习专项课程》中的数学基础课程。
第二步：理解“优化”这个概念本身
在机器学习语境下，优化意味着找到一组参数，使得某个目标函数（通常是损失函数）的值最小化。
目标函数 (Objective Function/Loss Function): 了解不同类型的损失函数，比如均方误差（MSE）、交叉熵（CrossEntropy）等，以及它们各自的特点和适用场景。
优化算法分类: 大体上，优化算法可以分为两类：
无约束优化 (Unconstrained Optimization): 直接在整个参数空间中寻找最优解，比如梯度下降、牛顿法。
约束优化 (Constrained Optimization): 参数需要满足一定的限制条件，比如L1、L2正则化就是在参数上加了约束。这里会涉及到拉格朗日乘子法（Lagrange Multipliers）和KKT条件。
第三步：核心的优化算法
这是最关键的一步，你需要深入理解各种优化算法的原理、优缺点以及适用场景。
梯度下降 (Gradient Descent GD):
基本原理: 沿着负梯度方向更新参数。
步长 (Learning Rate): 如何选择合适的步长是GD的关键。步长太大会震荡甚至发散，太小会收敛太慢。
批量梯度下降 (Batch GD): 使用全部训练数据计算梯度。
随机梯度下降 (Stochastic Gradient Descent SGD): 每次只使用一个样本计算梯度。效率高，但收敛不稳定。
小批量梯度下降 (Minibatch GD): 这是最常用的折衷方案，使用一小批数据计算梯度。
改进的梯度下降算法 (Advanced GD Variants):
Momentum (动量): 引入“惯性”，加速在正确方向上的前进，并抑制在错误方向上的震荡。
Nesterov Accelerated Gradient (NAG): Momentum的改进版，先预测下一步的位置，再计算梯度。
Adagrad (Adaptive Gradient): 根据参数的历史梯度大小自适应调整学习率，对稀疏梯度效果好，但学习率可能衰减过快。
RMSprop (Root Mean Square Propagation): Adagrad的改进，使用指数加权平均来计算梯度平方的平均值，缓解了学习率衰减过快的问题。
Adam (Adaptive Moment Estimation): 目前最流行、最常用的优化器之一，结合了Momentum和RMSprop的优点，同时估计一阶和二阶矩。
二阶优化算法 (SecondOrder Methods):
牛顿法 (Newton's Method): 利用二阶导数信息（Hessian矩阵的逆）来寻找最优解，收敛速度快（二次收敛），但计算Hessian矩阵及其逆非常昂贵，不适用于参数量巨大的模型。
拟牛顿法 (QuasiNewton Methods): 如BFGS、LBFGS，它们试图用近似的方法代替Hessian矩阵的计算，兼顾了收敛速度和计算效率。在一些情况下（非深度学习），这些方法仍然非常有效。
其他重要概念:
凸优化 (Convex Optimization): 了解凸函数、凸集的概念，以及凸优化问题的性质（局部最优解即全局最优解）。许多机器学习模型训练的目标函数是凸的，这使得优化变得相对容易。
局部最优与全局最优: 对于非凸函数，如何避免陷入局部最优解是优化研究的重要方向。
推荐资料（优化算法）：
书籍:
《最优化方法教程》(Convex Optimization) by Stephen Boyd and Lieven Vandenberghe: 这是圣经级的教材，内容非常全面和深入，适合系统学习凸优化。虽然有中文翻译版，但原文更权威。
《深度学习》(Deep Learning) by Ian Goodfellow, Yoshua Bengio, Aaron Courville: 第8章“优化基础”以及后面章节中介绍的各种优化算法。这本书是深度学习领域的权威参考。
《优化理论与方法》（或者类似名称的国内教材）：可以作为补充，理解一些基础的数学推导和算法实现。
在线课程/讲座:
斯坦福的 CS229 (Machine Learning) 课程中有关于优化算法的讲解。
吴恩达的深度学习课程 中有专门讲优化算法的部分，讲解非常清晰易懂。
各种公开的讲座和技术博客: 搜索“优化算法”、“梯度下降原理”、“Adam优化器”等关键词，能找到大量高质量的讲解和可视化。
第四步：在实践中应用和理解
理论最终是要服务于实践的。你需要通过代码来感受这些算法的威力，并理解它们在实际中的表现。
编程实现: 尝试用Python（配合NumPy、SciPy、PyTorch或TensorFlow）手动实现一些简单的优化算法，比如梯度下降。
调参实践: 在实际的机器学习项目（比如训练一个图像分类模型）中，尝试不同的优化器，调整学习率等超参数，观察模型性能的变化。
可视化: 将训练过程中损失函数的变化、参数的更新过程、梯度的幅度等进行可视化，这有助于更直观地理解算法的工作机制。
理解过拟合与欠拟合: 优化算法的选择和调参也会影响模型的泛化能力，需要与正则化、Early Stopping等技术结合起来理解。
建议的学习路径：
1. 巩固数学基础: 如果你的数学基础不牢固，先花时间系统地复习微积分和线性代数。这块儿偷不得懒。
2. 从基础优化算法开始: 先理解梯度下降（Batch GD, SGD, Minibatch GD）的原理和实现。
3. 学习动量和自适应学习率算法: 掌握Momentum, Adagrad, RMSprop, Adam这些更高级但实际应用更广的算法。重点理解它们各自的设计思想和解决了什么问题。
4. 深入理解凸优化理论: 如果想在理论层面更进一步，或者从事优化算法的研究，务必学习 Boyd 的《Convex Optimization》。
5. 阅读深度学习框架的实现: 了解PyTorch或TensorFlow中优化器的具体实现，可以加深理解。
6. 多做实验，多思考: 在实际项目中应用不同的优化策略，并仔细分析实验结果，总结经验。
心态建议：
不要怕困难: 优化理论涉及很多数学概念，一开始觉得吃力是很正常的。坚持下去，一点一点地啃。
多问为什么: 在学习每个算法时，都要问“为什么它这样设计？”“它解决了什么问题？”“有什么局限性？”
理论与实践结合: 不要只停留在纸上谈兵，通过编程实现和模型训练来验证你的理解。
关注最新进展: 优化领域的研究一直在发展，新的优化器和技术层出不穷，保持学习的热情。
总而言之，要看懂机器学习中的优化理论，是一个由浅入深、由数学到算法、再到实践的过程。打好数学基础，理解核心算法的原理和演进，再通过大量的实践去加深体会，才能真正掌握这个重要的领域。祝你学习顺利！
网友意见
（这是张动图，戳链接查看：http://www.myexception.cn/img/2016/01/17/122257498.gif）
各位前面已经总结了一些经典的优化方面的教科书——经典的线性规划到凸优化这些是必修的，也是理解从最小二乘到SVM到贝叶斯推断这些经典算法的基础，当然是必读的，这里不再赘述。
我们特别提一提基于梯度下降的方法，或者说，训练神经网络的方法。
• 首先是这篇Overview: An overview of gradient descent optimization algorithms（https://arxiv.org/pdf/1609.04747.pdf 或者http://sebastianruder.com/optimizing-gradient-descent/index.html），这篇文章介绍了现代神经网络训练的主要方法：Gradient Descent, Stochastic Gradient Descent, Mini-batch; SGD+Momentum; SGD+ Nesterov Momentum; Adagrad; Adadelta; RMSprop; Adam. 看完以后应该可以在调参过程中选择优化方法的时候多一些信心。
• 深度神经网络倾向于使用梯度下降的方法的一个重要原因在于可以比较好的应用于反向传播。而反向传播是整个深度学习的基石。在这个方面，最经典的莫过于Hinton在Nature上的这篇Learning representations by back-propagating errors: https://www.iro.umontreal.ca/~vincentp/ift3395/lectures/backprop_old.pdf
• 说到详细分析反向传播的文章，就要数LeCun杨立昆老师的这篇Efficient Backprop了：http://yann.lecun.com/exdb/publis/pdf/lecun-98b.pdf ，这篇文章详尽地介绍了Backprop的一些tricks，并分析了采用梯度下降（一阶方法）和二阶方法（Hessian-based）的收敛性质。这篇文章被Neural Networks- Tricks of the Trade一书收录。
• Bengio的Practical Recommendations for Gradient-Based Training of Deep Architectures (https://arxiv.org/pdf/1206.5533.pdf) 是一篇更加现代的介绍基于梯度的神经网络训练（炼丹）方法（Tricks）的文章，同样被收录进Neural Networks- Tricks of the Trade。
• CNN的反向传播推导（当然，在现代的深度学习平台上因为自动梯度的存在，你基本上不需要知道这些——但是偶尔手动推导一下也不坏，是吧）——还是看杨立昆老师的这篇：Backpropagation applied to handwritten zip code recognition （http://yann.lecun.org/exdb/publis/pdf/lecun-89e.pdf）
• LSTM的反向传播推导：这个不推荐看Hochreiter/Jurgen Schmidhuber 1997的那一篇了，因为这一篇当中的LSTM没有forget gate！比较好的一篇介绍在：LSTM: A Search Space Odyssey (https://arxiv.org/pdf/1503.04069.pdf)
• RNN的训练：基本上，RNN的训练是非常困难的，问题主要在于梯度消失／梯度爆炸，这个问题可以看Bengio的这篇分析：Learning Long-Term Dependencies with Gradient Descent is Difficult. (http://www-dsi.ing.unifi.it/~paolo/ps/tnn-94-gradient.pdf)。比较有意思的是（可能训练RNN确实太难），Bengio在2012年带着Mikolov又做了一篇On the difficulty of training Recurrent Neural Networks (https://arxiv.org/pdf/1211.5063.pdf)
好了，读到这里相信你最少对于神经网络的优化方法有了一个初步的理解——不过在这里特别提醒，基于梯度下降的方法绝对不是唯一的训练方法，对于非凸优化咱们虽然很难有效地寻找全局最优点，但还是有些别的办法的，比如说，基因算法。这个坑就留着等大家来填吧。
本回答来自Emotibot机器学习科学家马永宁。
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