多元回归为什么总可以转为多元线性回归？
多元回归和多元线性回归，听起来似乎是两种不同的技术，但实际上，大部分我们日常所说的“多元回归”，其底层逻辑和最终实现方式，很大程度上是建立在“多元线性回归”的基础上的。 很多时候，人们会混用这两个概念，或者认为“多元回归”是一个更宽泛的术语，而“多元线性回归”是其一个重要的实现形式。
为什么说“多元回归”可以“转为”多元线性回归？
这里需要澄清一个概念：“转为”。与其说“转为”，不如说 “多元回归”的概念本身就包含了“多元线性回归”这一核心模型，并且我们可以通过一些数学上的转换和处理，将很多非线性的多元回归问题，近似地或者精确地转化为可以用多元线性回归模型来处理的形式。
我们先来梳理一下这两个概念：
多元线性回归 (Multiple Linear Regression): 这是最基础、最经典的模型。它假设因变量 $Y$ 与多个自变量 $X_1, X_2, dots, X_k$ 之间存在 线性关系。数学表达式为：
$Y = eta_0 + eta_1 X_1 + eta_2 X_2 + dots + eta_k X_k + epsilon$
其中：
$Y$ 是因变量（我们想要预测或解释的变量）。
$X_1, X_2, dots, X_k$ 是自变量（用来预测或解释 $Y$ 的变量）。
$eta_0$ 是截距项。
$eta_1, eta_2, dots, eta_k$ 是回归系数，表示当其他自变量不变时，对应自变量每变化一个单位，因变量 $Y$ 平均变化的量。
$epsilon$ 是误差项，代表模型无法解释的随机变异。
关键在于“线性”：这里的“线性”指的是因变量 $Y$ 与自变量 $X_i$ 之间的关系是线性的，或者说，因变量 $Y$ 是自变量 $X_i$ 的系数加权线性组合。
多元回归 (Multiple Regression): 这个词本身更像是一个广义的术语，指的是一个模型中包含一个因变量和两个或两个以上自变量的回归分析。根据自变量和因变量之间关系的性质，多元回归可以有很多种形式：
多元线性回归：如上所述，自变量与因变量是线性关系。
多元非线性回归：自变量与因变量之间存在非线性关系。例如，$Y = eta_0 + eta_1 X_1 + eta_2 X_1^2 + eta_3 X_2 + epsilon$ 这种形式，尽管有 $X_1^2$ 这样的非线性项，但它依然可以被看作是线性模型在参数 $eta_i$ 上的线性，只是自变量的形式发生了变化。
更复杂的非线性模型：例如，使用指数函数、对数函数、多项式等等，甚至是一些非常复杂的机器学习模型（如支持向量机、神经网络等）在某种程度上也属于广义的“多元回归”范畴，因为它们都涉及多个自变量来预测因变量。
为什么说“多元回归”可以“转为”多元线性回归？
这里的“转为”主要体现在以下几个方面：
1. 将非线性关系“线性化”：
很多看似非线性的关系，通过对自变量进行数学变换，就可以转化为一个可以用多元线性回归模型来处理的形式。这是最核心的“转化”方式。
多项式回归：例如，我们认为 $Y$ 与 $X$ 之间存在二次关系，$Y = eta_0 + eta_1 X + eta_2 X^2 + epsilon$。这看起来是非线性的。但是，如果我们定义新的自变量 $X_2 = X^2$，那么这个模型就可以写成 $Y = eta_0 + eta_1 X_1 + eta_2 X_2 + epsilon$ (其中 $X_1 = X$)。这是一个标准的多元线性回归模型，只是我们引入了一个新的自变量 $X_2$，它是原始自变量 $X_1$ 的平方。
交互项：如果认为 $Y$ 的变化不仅受 $X_1$ 和 $X_2$ 的影响，还受到它们乘积的影响（即存在交互作用），比如 $Y = eta_0 + eta_1 X_1 + eta_2 X_2 + eta_3 (X_1 imes X_2) + epsilon$。同样，我们可以定义一个新的自变量 $X_3 = X_1 imes X_2$。那么模型就变成了 $Y = eta_0 + eta_1 X_1 + eta_2 X_2 + eta_3 X_3 + epsilon$，这同样是一个多元线性回归模型。
对数、指数变换：有时候，因变量和自变量之间的关系可能是对数或指数关系。例如，$ln(Y) = eta_0 + eta_1 X + epsilon$。通过对 $Y$ 取对数，我们就把一个指数关系转化成了对数线性关系，从而可以应用线性回归。或者，$Y = e^{eta_0 + eta_1 X + epsilon}$，取对数后得到 $ln(Y) = eta_0 + eta_1 X + epsilon$。
其他函数变换：只要自变量的函数形式是已知的，我们都可以将这些函数看作是新的自变量，然后构建多元线性回归模型。例如，三角函数、样条函数等都可以作为自变量的变换。
核心思想： 将原有的非线性关系，通过对自变量进行变换，使得模型在参数 $eta$ 上依然保持线性。 这样，我们就可以利用求解线性方程组的方法（如最小二乘法）来估计这些参数。
2. “线性”的定义范围：
在统计学和计量经济学中，当我们说“线性模型”时，通常是指模型关于参数 $eta$ 是线性的，而不是模型关于自变量 $X$ 是线性的。
$Y = eta_0 + eta_1 X_1 + eta_2 X_2 + epsilon$ 是关于 $eta_0, eta_1, eta_2$ 线性。
$Y = eta_0 + eta_1 X_1 + eta_2 X_1^2 + epsilon$ 尽管有 $X_1^2$，但它依然是关于 $eta_0, eta_1, eta_2$ 线性。这就是为什么多项式回归被归类为“线性模型”的扩展。
3. 广义线性模型 (Generalized Linear Models, GLMs):
即使当因变量的分布不是正态分布（例如，泊松分布用于计数数据，二项分布用于二元数据），我们也可以使用广义线性模型。GLMs 也常常被视为“多元回归”的一种更广泛形式，而它们的核心也包含着一个“线性预测器”，这个线性预测器就是由自变量的线性组合构成：
$g(mu) = eta_0 + eta_1 X_1 + dots + eta_k X_k$
其中 $g(cdot)$ 是连接函数（link function），$mu$ 是因变量的期望。
虽然不是严格意义上的“多元线性回归”，但其核心的线性预测器部分，依然是多元线性回归的思想。许多统计软件在处理各种回归问题时，底层都会调用类似的线性代数和优化算法。
总结一下，为什么多元回归“总可以”转为多元线性回归？
“多元回归”是一个更宽泛的概念： 它涵盖了因变量和多个自变量之间的关系分析。
“多元线性回归”是其基础和核心： 许多非线性关系可以通过对自变量进行数学变换（如平方、交互项、对数、指数等）来“线性化”，使其符合多元线性回归的形式。
“线性”的定义在于参数： 统计学中，线性模型关注的是模型关于参数（系数）的线性。只要模型结构是参数的线性组合，即使自变量是原始变量的函数，也属于线性模型的范畴。
重要的边界和注意点：
1. 并非所有“非线性”都可以完美线性化： 有些非常复杂的、未知的、或者非参数的非线性关系，可能无法通过简单的函数变换来精确地拟合。这时可能需要非线性回归方法（如非线性最小二乘法）、或者更高级的机器学习模型。
2. “转化”的代价： 进行自变量变换可能会增加模型的复杂性，并且需要对变换后的变量有清晰的解释。过度变换也可能导致模型过拟合。
3. 模型选择： 即使很多问题可以转化为线性模型，但选择最合适的模型（包括是否需要变换、变换的类型）仍然是一个需要经验和判断的过程。
因此，更准确地说，许多类型的多元回归问题，可以通过将自变量进行数学变换，从而转化为可以用多元线性回归框架来解决。多元线性回归是构建和分析多元关系的一个基础且强大的工具，它的灵活性通过自变量的变换得到了极大的扩展。 在很多情况下，“多元回归”被使用时，尤其是在初级的统计学课程或应用中，其核心模型往往就是多元线性回归，或者能够方便地转化为多元线性回归。
为什么说“多元回归”可以“转为”多元线性回归？
这里需要澄清一个概念：“转为”。与其说“转为”，不如说 “多元回归”的概念本身就包含了“多元线性回归”这一核心模型，并且我们可以通过一些数学上的转换和处理，将很多非线性的多元回归问题，近似地或者精确地转化为可以用多元线性回归模型来处理的形式。
我们先来梳理一下这两个概念：
多元线性回归 (Multiple Linear Regression): 这是最基础、最经典的模型。它假设因变量 $Y$ 与多个自变量 $X_1, X_2, dots, X_k$ 之间存在 线性关系。数学表达式为：
$Y = eta_0 + eta_1 X_1 + eta_2 X_2 + dots + eta_k X_k + epsilon$
其中：
$Y$ 是因变量（我们想要预测或解释的变量）。
$X_1, X_2, dots, X_k$ 是自变量（用来预测或解释 $Y$ 的变量）。
$eta_0$ 是截距项。
$eta_1, eta_2, dots, eta_k$ 是回归系数，表示当其他自变量不变时，对应自变量每变化一个单位，因变量 $Y$ 平均变化的量。
$epsilon$ 是误差项，代表模型无法解释的随机变异。
关键在于“线性”：这里的“线性”指的是因变量 $Y$ 与自变量 $X_i$ 之间的关系是线性的，或者说，因变量 $Y$ 是自变量 $X_i$ 的系数加权线性组合。
多元回归 (Multiple Regression): 这个词本身更像是一个广义的术语，指的是一个模型中包含一个因变量和两个或两个以上自变量的回归分析。根据自变量和因变量之间关系的性质，多元回归可以有很多种形式：
多元线性回归：如上所述，自变量与因变量是线性关系。
多元非线性回归：自变量与因变量之间存在非线性关系。例如，$Y = eta_0 + eta_1 X_1 + eta_2 X_1^2 + eta_3 X_2 + epsilon$ 这种形式，尽管有 $X_1^2$ 这样的非线性项，但它依然可以被看作是线性模型在参数 $eta_i$ 上的线性，只是自变量的形式发生了变化。
更复杂的非线性模型：例如，使用指数函数、对数函数、多项式等等，甚至是一些非常复杂的机器学习模型（如支持向量机、神经网络等）在某种程度上也属于广义的“多元回归”范畴，因为它们都涉及多个自变量来预测因变量。
为什么说“多元回归”可以“转为”多元线性回归？
这里的“转为”主要体现在以下几个方面：
1. 将非线性关系“线性化”：
很多看似非线性的关系，通过对自变量进行数学变换，就可以转化为一个可以用多元线性回归模型来处理的形式。这是最核心的“转化”方式。
多项式回归：例如，我们认为 $Y$ 与 $X$ 之间存在二次关系，$Y = eta_0 + eta_1 X + eta_2 X^2 + epsilon$。这看起来是非线性的。但是，如果我们定义新的自变量 $X_2 = X^2$，那么这个模型就可以写成 $Y = eta_0 + eta_1 X_1 + eta_2 X_2 + epsilon$ (其中 $X_1 = X$)。这是一个标准的多元线性回归模型，只是我们引入了一个新的自变量 $X_2$，它是原始自变量 $X_1$ 的平方。
交互项：如果认为 $Y$ 的变化不仅受 $X_1$ 和 $X_2$ 的影响，还受到它们乘积的影响（即存在交互作用），比如 $Y = eta_0 + eta_1 X_1 + eta_2 X_2 + eta_3 (X_1 imes X_2) + epsilon$。同样，我们可以定义一个新的自变量 $X_3 = X_1 imes X_2$。那么模型就变成了 $Y = eta_0 + eta_1 X_1 + eta_2 X_2 + eta_3 X_3 + epsilon$，这同样是一个多元线性回归模型。
对数、指数变换：有时候，因变量和自变量之间的关系可能是对数或指数关系。例如，$ln(Y) = eta_0 + eta_1 X + epsilon$。通过对 $Y$ 取对数，我们就把一个指数关系转化成了对数线性关系，从而可以应用线性回归。或者，$Y = e^{eta_0 + eta_1 X + epsilon}$，取对数后得到 $ln(Y) = eta_0 + eta_1 X + epsilon$。
其他函数变换：只要自变量的函数形式是已知的，我们都可以将这些函数看作是新的自变量，然后构建多元线性回归模型。例如，三角函数、样条函数等都可以作为自变量的变换。
核心思想： 将原有的非线性关系，通过对自变量进行变换，使得模型在参数 $eta$ 上依然保持线性。 这样，我们就可以利用求解线性方程组的方法（如最小二乘法）来估计这些参数。
2. “线性”的定义范围：
在统计学和计量经济学中，当我们说“线性模型”时，通常是指模型关于参数 $eta$ 是线性的，而不是模型关于自变量 $X$ 是线性的。
$Y = eta_0 + eta_1 X_1 + eta_2 X_2 + epsilon$ 是关于 $eta_0, eta_1, eta_2$ 线性。
$Y = eta_0 + eta_1 X_1 + eta_2 X_1^2 + epsilon$ 尽管有 $X_1^2$，但它依然是关于 $eta_0, eta_1, eta_2$ 线性。这就是为什么多项式回归被归类为“线性模型”的扩展。
3. 广义线性模型 (Generalized Linear Models, GLMs):
即使当因变量的分布不是正态分布（例如，泊松分布用于计数数据，二项分布用于二元数据），我们也可以使用广义线性模型。GLMs 也常常被视为“多元回归”的一种更广泛形式，而它们的核心也包含着一个“线性预测器”，这个线性预测器就是由自变量的线性组合构成：
$g(mu) = eta_0 + eta_1 X_1 + dots + eta_k X_k$
其中 $g(cdot)$ 是连接函数（link function），$mu$ 是因变量的期望。
虽然不是严格意义上的“多元线性回归”，但其核心的线性预测器部分，依然是多元线性回归的思想。许多统计软件在处理各种回归问题时，底层都会调用类似的线性代数和优化算法。
总结一下，为什么多元回归“总可以”转为多元线性回归？
“多元回归”是一个更宽泛的概念： 它涵盖了因变量和多个自变量之间的关系分析。
“多元线性回归”是其基础和核心： 许多非线性关系可以通过对自变量进行数学变换（如平方、交互项、对数、指数等）来“线性化”，使其符合多元线性回归的形式。
“线性”的定义在于参数： 统计学中，线性模型关注的是模型关于参数（系数）的线性。只要模型结构是参数的线性组合，即使自变量是原始变量的函数，也属于线性模型的范畴。
重要的边界和注意点：
1. 并非所有“非线性”都可以完美线性化： 有些非常复杂的、未知的、或者非参数的非线性关系，可能无法通过简单的函数变换来精确地拟合。这时可能需要非线性回归方法（如非线性最小二乘法）、或者更高级的机器学习模型。
2. “转化”的代价： 进行自变量变换可能会增加模型的复杂性，并且需要对变换后的变量有清晰的解释。过度变换也可能导致模型过拟合。
3. 模型选择： 即使很多问题可以转化为线性模型，但选择最合适的模型（包括是否需要变换、变换的类型）仍然是一个需要经验和判断的过程。
因此，更准确地说，许多类型的多元回归问题，可以通过将自变量进行数学变换，从而转化为可以用多元线性回归框架来解决。多元线性回归是构建和分析多元关系的一个基础且强大的工具，它的灵活性通过自变量的变换得到了极大的扩展。 在很多情况下，“多元回归”被使用时，尤其是在初级的统计学课程或应用中，其核心模型往往就是多元线性回归，或者能够方便地转化为多元线性回归。
网友意见
不是专业人士，但是做过工程师。做经济的好像数学水平要求没那么高。
一般工程师都会有工程经验值一说，相对的就是理论模型或者理论值。
因为工作场景中，追求的是解决问题，而且是有成本优势的解决方法，因此不在乎理论是否完美，只要能做到某些场景中较高的预测准确率，它就是好的可以接受的。所以问主提到的看散点图，就是看趋势关系，快速拿出一个可用的模型，至于方差、误差什么的，作为附件挂在那里即可。
问主关心的转换疑惑，原因是我们是人，生活中最多就只能有三元/三维的空间和视觉认知，超过三元以后，我们会倾向降成三元找锚点，然后将另外一些元用函数封装起来成为另外一个子空间。
个人觉得有兴趣去看看量子力学，这个我感觉才是经济人的升华好渠道。
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