以下量子力学中平均值计算中为什么会出现一个矛盾的结果？
在我看来，你提到的“矛盾结果”更像是一种对量子力学平均值计算中概率的理解偏差，或者是在特定情境下误解了“平均”的含义，而非一个真正的逻辑矛盾。量子力学中的计算是严谨且自洽的，不存在数学上的矛盾。
让我们来深入剖析一下量子力学中平均值的计算，以及可能让你产生“矛盾”感觉的几个关键点。
量子力学中平均值计算的基础：波函数和算符
在量子力学中，一个系统的状态由波函数 $psi(mathbf{r}, t)$ 来描述。这个波函数包含了系统所有可能状态的信息。我们关心的某个可观测量（比如位置、动量、能量等）在量子力学中对应一个数学算符（Operator），我们称之为 $hat{A}$。
计算一个可观测量 $A$ 在某个状态 $psi$ 下的平均值（期望值），其核心公式是：
$$ langle A angle = int psi^(mathbf{r}, t) hat{A} psi(mathbf{r}, t) dmathbf{r} $$
其中：
$psi^(mathbf{r}, t)$ 是波函数 $psi(mathbf{r}, t)$ 的复共轭。
$hat{A}$ 是对应可观测量 $A$ 的算符。
$dmathbf{r}$ 是对空间所有变量的积分（一维就是 $dx$，三维就是 $dx dy dz$）。
为什么这个公式会让你觉得“矛盾”？这里可能藏着几个误解：
1. “平均”不等于“可能值中的一个”： 这是最核心的误解来源。在经典物理学里，我们测量一个量，比如一个球的速度，它就有一个确定的值。平均值是多次测量同一状态下的值的算术平均。但在量子力学中，情况完全不同。
叠加态： 一个量子系统可以处于多个状态的叠加。例如，一个电子可能同时处于“自旋向上”和“自旋向下”两种状态的叠加。当我们测量它的自旋时，我们只会得到“向上”或“向下”这两个确定的结果之一，但绝不会是介于两者之间的值。
概率幅： 波函数 $psi(mathbf{r}, t)$ 本身并不是一个可以直接测量的物理量，它是一个“概率幅”。 $|psi(mathbf{r}, t)|^2$ 才代表在位置 $mathbf{r}$ 处找到粒子的概率密度。这意味着，即使我们多次准备处于完全相同的状态 $psi$ 的粒子，每次测量某个可观测量时，我们可能会得到不同的结果。
平均值是统计概念： 量子力学中的平均值（期望值）$langle A angle$ 是对无数次重复测量同一个系统（在相同初始状态下）所得到结果的统计平均。它代表的是一个预期的结果，这个平均值可能不是任何一次单次测量可能得到的值。
举例说明： 想象一个硬币。抛一次可能是正面，一次可能是反面。如果你抛 100 次，你可能会得到 50 次正面和 50 次反面（理想情况）。这里的“平均值”是 0.5 次正面（或者说，正面出现的概率是 0.5）。但你单次抛硬币，得到的永远是“正面”或“反面”，不会是“0.5 个正面”。量子力学的平均值就是那个“0.5”——一个概率意义上的预期值，而不是实际测量可能出现的值。
2. 算符的作用和本征态： 算符 $hat{A}$ 的作用 $hat{A}psi$ 可能不会得到一个与 $psi$ 完全相同的波函数，而是在不同状态上投影。只有当 $psi$ 是算符 $hat{A}$ 的本征态（Eigenstate）时，即 $hat{A}psi = apsi$，其中 $a$ 是一个常数（本征值），那么平均值计算就会简化为：
$$ langle A angle = int psi^(mathbf{r}, t) (apsi) dmathbf{r} = a int psi^(mathbf{r}, t) psi(mathbf{r}, t) dmathbf{r} $$
由于波函数是归一化的（总概率为 1），即 $int |psi|^2 dmathbf{r} = 1$，所以此时 $langle A angle = a$。这意味着，当系统处于某个可观测量 $A$ 的本征态时，对 $A$ 的测量必然得到其对应的本征值 $a$，此时平均值就等于这个本征值。
然而，大多数情况下，我们处理的系统处于状态的叠加态，这个叠加态不是任何一个特定可观测量算符的本征态。这时，算符作用后得到的不再是简单的乘以一个数，而是将波函数“变换”到了另一个（可能也是叠加）状态。平均值计算就是将这个“变换后”的波函数与原始波函数进行内积运算，最终得到一个统计上的平均结果。
3. 测量前的叠加态 vs. 测量后的坍缩态：
在测量某个可观测量 $A$ 之前，系统可能处于一个叠加态，例如 $psi = c_1 phi_1 + c_2 phi_2$，其中 $phi_1, phi_2$ 是算符 $hat{A}$ 的本征态，对应的本征值为 $a_1, a_2$，而 $|c_1|^2, |c_2|^2$ 分别是测量时得到 $a_1$ 或 $a_2$ 的概率。
平均值就是通过叠加态的性质计算得出的，它反映了测量可能结果的概率加权平均。对于上述叠加态，如果 $phi_1$ 和 $phi_2$ 是正交的（这在量子力学中是很常见的），那么：
$$ langle A angle = int psi^ hat{A} psi dmathbf{r} = int (c_1^ phi_1^ + c_2^ phi_2^) hat{A} (c_1 phi_1 + c_2 phi_2) dmathbf{r} $$
$$ = int (c_1^ phi_1^ + c_2^ phi_2^) (c_1 a_1 phi_1 + c_2 a_2 phi_2) dmathbf{r} $$
展开后，由于本征态的正交性，交叉项（例如 $phi_1^ phi_2$）会被积分为零，最终得到：
$$ langle A angle = |c_1|^2 a_1 + |c_2|^2 a_2 $$
这就是说，平均值是各个本征值乘以其出现概率的总和。
测量后，波函数会发生“坍缩”，即如果测量结果是 $a_1$，那么测量后系统的状态就变成了 $phi_1$。
这里的“矛盾”可能源于你将测量前的叠加态所计算出的“平均值”（一个统计预测）与单次测量时会坍缩到的某个具体本征值混淆了。平均值描述的是概率分布的整体特征，而单次测量给出的是概率分布中的一个具体样本。
4. 不确定性原理的体现： 有些情况下，平均值看起来“奇怪”是因为它与另一个可观测量（比如动量）的平均值之间存在某种关系，这是不确定性原理的表现。例如，一个粒子的位置平均值可能在一个区域，而动量平均值也可能在一个范围，但你不可能同时精确知道它的位置和动量。这些看似“矛盾”的关系，恰恰是量子世界的基本规律。
总结一下，让你产生“矛盾感”的可能原因：
混淆了统计平均值和单次测量值： 量子力学的平均值是一个统计预测，它不一定是单次测量会得到的值。
未区分叠加态和本征态： 在叠加态下计算出的平均值，代表了测量结果的概率分布的加权平均，而非某个特定本征值。
对概率本质的理解不足： 量子力学的“不确定性”是内在的概率性，而非我们认知上的不足。
如果你能提供一个具体的例子，说明你遇到的“矛盾结果”是什么，我或许能更精准地指出问题所在。但请记住，量子力学的计算逻辑本身是坚固的。它呈现的是一种与经典直觉不同的物理图景，理解这一点是关键。
让我们来深入剖析一下量子力学中平均值的计算，以及可能让你产生“矛盾”感觉的几个关键点。
量子力学中平均值计算的基础：波函数和算符
在量子力学中，一个系统的状态由波函数 $psi(mathbf{r}, t)$ 来描述。这个波函数包含了系统所有可能状态的信息。我们关心的某个可观测量（比如位置、动量、能量等）在量子力学中对应一个数学算符（Operator），我们称之为 $hat{A}$。
计算一个可观测量 $A$ 在某个状态 $psi$ 下的平均值（期望值），其核心公式是：
$$ langle A angle = int psi^(mathbf{r}, t) hat{A} psi(mathbf{r}, t) dmathbf{r} $$
其中：
$psi^(mathbf{r}, t)$ 是波函数 $psi(mathbf{r}, t)$ 的复共轭。
$hat{A}$ 是对应可观测量 $A$ 的算符。
$dmathbf{r}$ 是对空间所有变量的积分（一维就是 $dx$，三维就是 $dx dy dz$）。
为什么这个公式会让你觉得“矛盾”？这里可能藏着几个误解：
1. “平均”不等于“可能值中的一个”： 这是最核心的误解来源。在经典物理学里，我们测量一个量，比如一个球的速度，它就有一个确定的值。平均值是多次测量同一状态下的值的算术平均。但在量子力学中，情况完全不同。
叠加态： 一个量子系统可以处于多个状态的叠加。例如，一个电子可能同时处于“自旋向上”和“自旋向下”两种状态的叠加。当我们测量它的自旋时，我们只会得到“向上”或“向下”这两个确定的结果之一，但绝不会是介于两者之间的值。
概率幅： 波函数 $psi(mathbf{r}, t)$ 本身并不是一个可以直接测量的物理量，它是一个“概率幅”。 $|psi(mathbf{r}, t)|^2$ 才代表在位置 $mathbf{r}$ 处找到粒子的概率密度。这意味着，即使我们多次准备处于完全相同的状态 $psi$ 的粒子，每次测量某个可观测量时，我们可能会得到不同的结果。
平均值是统计概念： 量子力学中的平均值（期望值）$langle A angle$ 是对无数次重复测量同一个系统（在相同初始状态下）所得到结果的统计平均。它代表的是一个预期的结果，这个平均值可能不是任何一次单次测量可能得到的值。
举例说明： 想象一个硬币。抛一次可能是正面，一次可能是反面。如果你抛 100 次，你可能会得到 50 次正面和 50 次反面（理想情况）。这里的“平均值”是 0.5 次正面（或者说，正面出现的概率是 0.5）。但你单次抛硬币，得到的永远是“正面”或“反面”，不会是“0.5 个正面”。量子力学的平均值就是那个“0.5”——一个概率意义上的预期值，而不是实际测量可能出现的值。
2. 算符的作用和本征态： 算符 $hat{A}$ 的作用 $hat{A}psi$ 可能不会得到一个与 $psi$ 完全相同的波函数，而是在不同状态上投影。只有当 $psi$ 是算符 $hat{A}$ 的本征态（Eigenstate）时，即 $hat{A}psi = apsi$，其中 $a$ 是一个常数（本征值），那么平均值计算就会简化为：
$$ langle A angle = int psi^(mathbf{r}, t) (apsi) dmathbf{r} = a int psi^(mathbf{r}, t) psi(mathbf{r}, t) dmathbf{r} $$
由于波函数是归一化的（总概率为 1），即 $int |psi|^2 dmathbf{r} = 1$，所以此时 $langle A angle = a$。这意味着，当系统处于某个可观测量 $A$ 的本征态时，对 $A$ 的测量必然得到其对应的本征值 $a$，此时平均值就等于这个本征值。
然而，大多数情况下，我们处理的系统处于状态的叠加态，这个叠加态不是任何一个特定可观测量算符的本征态。这时，算符作用后得到的不再是简单的乘以一个数，而是将波函数“变换”到了另一个（可能也是叠加）状态。平均值计算就是将这个“变换后”的波函数与原始波函数进行内积运算，最终得到一个统计上的平均结果。
3. 测量前的叠加态 vs. 测量后的坍缩态：
在测量某个可观测量 $A$ 之前，系统可能处于一个叠加态，例如 $psi = c_1 phi_1 + c_2 phi_2$，其中 $phi_1, phi_2$ 是算符 $hat{A}$ 的本征态，对应的本征值为 $a_1, a_2$，而 $|c_1|^2, |c_2|^2$ 分别是测量时得到 $a_1$ 或 $a_2$ 的概率。
平均值就是通过叠加态的性质计算得出的，它反映了测量可能结果的概率加权平均。对于上述叠加态，如果 $phi_1$ 和 $phi_2$ 是正交的（这在量子力学中是很常见的），那么：
$$ langle A angle = int psi^ hat{A} psi dmathbf{r} = int (c_1^ phi_1^ + c_2^ phi_2^) hat{A} (c_1 phi_1 + c_2 phi_2) dmathbf{r} $$
$$ = int (c_1^ phi_1^ + c_2^ phi_2^) (c_1 a_1 phi_1 + c_2 a_2 phi_2) dmathbf{r} $$
展开后，由于本征态的正交性，交叉项（例如 $phi_1^ phi_2$）会被积分为零，最终得到：
$$ langle A angle = |c_1|^2 a_1 + |c_2|^2 a_2 $$
这就是说，平均值是各个本征值乘以其出现概率的总和。
测量后，波函数会发生“坍缩”，即如果测量结果是 $a_1$，那么测量后系统的状态就变成了 $phi_1$。
这里的“矛盾”可能源于你将测量前的叠加态所计算出的“平均值”（一个统计预测）与单次测量时会坍缩到的某个具体本征值混淆了。平均值描述的是概率分布的整体特征，而单次测量给出的是概率分布中的一个具体样本。
4. 不确定性原理的体现： 有些情况下，平均值看起来“奇怪”是因为它与另一个可观测量（比如动量）的平均值之间存在某种关系，这是不确定性原理的表现。例如，一个粒子的位置平均值可能在一个区域，而动量平均值也可能在一个范围，但你不可能同时精确知道它的位置和动量。这些看似“矛盾”的关系，恰恰是量子世界的基本规律。
总结一下，让你产生“矛盾感”的可能原因：
混淆了统计平均值和单次测量值： 量子力学的平均值是一个统计预测，它不一定是单次测量会得到的值。
未区分叠加态和本征态： 在叠加态下计算出的平均值，代表了测量结果的概率分布的加权平均，而非某个特定本征值。
对概率本质的理解不足： 量子力学的“不确定性”是内在的概率性，而非我们认知上的不足。
如果你能提供一个具体的例子，说明你遇到的“矛盾结果”是什么，我或许能更精准地指出问题所在。但请记住，量子力学的计算逻辑本身是坚固的。它呈现的是一种与经典直觉不同的物理图景，理解这一点是关键。
网友意见
前提条件有问题：至少在有限维线性空间中，没有哪两个埃尔米特算符满足这个对易关系的。
由于物理量对应的算符基本上都是厄米算符，所以我们就只讨论厄米算符的情况，这样的话算符既可以作用于左矢量又能作用于右矢量。
题主的问题可以分成两种可能：C是一个算符的时候和C是常数的时候。当C是算符的时候，结果是显然的，在这个本征态下C的平均值是0，位力定理就是用这种方法证明的。
接着考虑C是常数的时候，C是常数时， 应该有以下关系：
下标k表示这是算符A的第k个本征态，本征值为 。
把对易子拆开，可得， 。
再进一步，我们知道 肯定不是算符B的本征态（否则对易子就是0）了，我们用算符A的一系列本征态将其展开：
为了简化起见，这里忽略简并问题，A的所有本征态组成了一组完备的正交基矢量。
然后再把这个展开带入关系式中....
再然后我就傻眼了，因为我发现在算符B的展开系数中除了bk以外所有的系数都是0。可如果是这样的话 岂不也成了B的本征态了？
怎么又矛盾了？
按照反证法的逻辑，如果推演出来的结果与前提假设矛盾，那么问题可能出在前提假设上。
难道并不存在一个和A的对易子是常数的埃尔米特矩阵？
这个时候其实已经和量子力学没太大关系了，这是一个地道的矩阵问题。
再次简化问题，只考虑有限维线性空间，并把所有的系数限定为实数，此时埃尔米特矩阵等于对称矩阵。把矩阵A写成对角矩阵的形式，能不能找到一个对称矩阵B，使得它与矩阵A的对易子是不为0的常数？
坦率的说，我目前为止还找不出来任何一种这样的矩阵。
我想了一下，量子力学中也就只有坐标和动量算符的对易子等于常数，但那已经是在无限维线性空间中的事情了。
个人猜测：从有限到无限这一步中出了什么问题。
能力有限，只能做到这一步了。
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