有没有可能把 π 或 e 等无理数当成 1，这样就能使许多定理显而易见？
这是一个非常有趣且富有启发性的问题！答案是：理论上是可能的，但在数学体系中这样做会带来巨大的混乱和不一致，使得我们现有的数学大厦崩塌。
让我们来详细探讨一下这个想法，以及它为什么可行（在非常有限和人为的意义上）以及为什么是灾难性的。
为什么会想到将 π 或 e 当成 1？
你提到的“许多定理显而易见”，这触及到了数学中“定义”和“公理”的本质。在数学中，我们通过定义和公理来构建整个理论体系。如果改变一个基本的定义或公理，整个体系的推导结果都会随之改变。
π 的性质： π 是圆的周长与其直径之比。它是一个超越数，意味着它不是任何整系数多项式的根。它的值大约是 3.14159...
e 的性质： e 是自然对数的底数，它是极限 $lim_{n o infty} (1 + frac{1}{n})^n$ 的值。它也是一个超越数，大约是 2.71828...
这两个数在数学中扮演着极其重要的角色，尤其是在几何（π）和微积分、复变函数（e）中。
如果我们强行定义 π = 1 或 e = 1 会发生什么？
让我们分别来看：
情况一：定义 π = 1
如果我们强制定义 π = 1，这意味着我们彻底推翻了关于圆和角度测量的所有现有定义和定理。
1. 圆的定义会彻底改变：
周长公式： 原本是 $C = 2 pi r$。如果 π = 1，那么 $C = 2r$。这意味着一个圆的周长等于它的直径的两倍。这与我们对圆的直观理解完全相悖。
面积公式： 原本是 $A = pi r^2$。如果 π = 1，那么 $A = r^2$。一个半径为 1 的圆的面积将是 1，而我们知道一个边长为 1 的正方形面积也是 1。这意味着一个圆的面积竟然和它的半径一样大？这完全颠覆了我们对面积的几何概念。
角度测量： 弧度制是基于圆的。一圈是 $2pi$ 弧度。如果我们定义 π = 1，那么一圈就是 2 弧度。这使得弧度制变得极其不直观和难以理解。我们习惯的 360 度、180 度等概念将需要重新定义，并且与圆的几何性质失去联系。
2. 三角函数会变得非常奇怪：
三角函数（sin, cos, tan）的定义与角度和圆密切相关。例如，$sin(pi/2) = 1$ 是因为在单位圆上，角度为 $pi/2$（90度）的点是 (0, 1)。如果 π = 1，那么 $pi/2 = 1/2$。这意味着 $sin(1/2) = 1$？这完全不符合三角函数的性质，也使得许多三角恒等式失效，例如 $sin( heta + 2pi) = sin( heta)$ 变成了 $sin( heta + 2) = sin( heta)$。
傅里叶分析、周期函数等概念都依赖于 π 的周期性。如果 π = 1，这些分析的基础将不复存在。
3. 许多数学和物理定理失效：
高斯积分（高斯函数）： $int_{infty}^{infty} e^{x^2} dx = sqrt{pi}$。如果 π = 1，这个公式将变成一个整数，但这会使得整个积分的计算和意义发生根本性改变。
斯特林公式： $n! approx sqrt{2pi n} (frac{n}{e})^n$。这个公式用于估算阶乘的增长速度，在统计学和组合学中非常重要。如果 π=1，这个公式会失去其形式的优美性和近似的准确性。
物理学中的许多公式： 波动方程、电磁学、量子力学等等，都离不开 π 的身影。将 π 替换为 1，会使得这些描述自然规律的公式变得面目全非，甚至完全错误。例如，谐振子的周期 $T = 2pisqrt{frac{m}{k}}$，如果 π=1，那么 $T = 2sqrt{frac{m}{k}}$。
情况二：定义 e = 1
如果我们强制定义 e = 1，那么我们将要颠覆的是指数函数、对数和微积分的核心。
1. 指数函数和对数：
自然对数： $ln(x)$ 的定义是使得 $e^{ln(x)} = x$。如果 e = 1，那么 $1^{ln(x)} = x$。因为任何数的 1 次方都是它本身，所以 $1 = x$。这意味着只有当 $x=1$ 时，这个关系才成立。那么 $ln(x)$ 的定义将只对 $x=1$ 有意义，而对其他数则不存在。
指数函数： $e^x$ 是一个增长速度与自身成正比的函数。如果 e = 1，那么 $1^x = 1$。这意味着指数函数变成了一个常函数，它的值始终是 1。这会使所有涉及指数增长或衰减的模型失效。
2. 微积分的核心概念会动摇：
导数： $e^x$ 的导数是 $e^x$。如果 $e^x = 1$，那么它的导数是 0。这意味着 $e^x$ 的导数不是它本身了，这彻底打破了指数函数在微积分中的特殊地位。
泰勒级数： $e^x = sum_{n=0}^{infty} frac{x^n}{n!} = 1 + x + frac{x^2}{2!} + frac{x^3}{3!} + dots$。如果 e = 1，那么这个公式变成了 $1 = 1 + x + frac{x^2}{2} + frac{x^3}{6} + dots$。要使这个等式成立，只能是 $x=0$。这表明泰勒级数对于 e 的定义是至关重要的，一旦 e 的值改变，这个级数就会失去其普遍的有效性。
复数和欧拉公式： $e^{ipi} + 1 = 0$ (欧拉恒等式)。这是一个连接了数学中几个最基本常数的优美公式。如果 π = 1 且 e = 1，那么 $1^{i cdot 1} + 1 = 0$ 变为 $1^i + 1 = 0$。$1$ 的任何次方都是 $1$，所以 $1 + 1 = 0$，即 $2=0$。这是一个绝对的矛盾。
3. 许多数学和物理模型失效：
复利计算： $A = P(1 + frac{r}{n})^{nt}$。当 $n o infty$ 时，连续复利变成 $A = Pe^{rt}$。如果 e=1，那么 $A = P$。这意味着无论投资多少年，本金都不会增长。
概率论： 正态分布（高斯分布）的概率密度函数涉及 $e$。
为什么说“定理显而易见”？
你提到“这样就能使许多定理显而易见”。这可能是一种反讽或者基于一种高度简化的、不自然的系统的想象。
在极其狭窄和抽象的意义上，也许某些关于“1”的性质会变得显而易见地适用于 π 或 e。例如：
如果 π = 1，那么圆的周长 $C = 2r$（直径的两倍）。这在某种程度上比 $2pi r$ 更“直接”，但它完全违背了几何直觉。
如果 e = 1，那么 $1^x = 1$ 总是成立。这可以说是一个极其简单的性质，但它使得 $e^x$ 这个重要的函数消失了。
然而，这种“显而易见”是建立在一个被严重扭曲的数学基础之上的。它不是通过逻辑推导得到的，而是通过强制定义实现的。
数学体系的严谨性
数学的强大之处在于其内在的严谨性和一致性。任何一个看似微小的改变，如果不是从根本上（公理层面）精心设计和推导，都会导致整个体系的崩溃。
公理系统： 我们现在的数学是建立在ZFC集合论等公理系统之上的。π 和 e 的值是这些公理系统以及相关定义（如距离、角度、极限）的自然推论。
定义的力量： 数学中的定义不是任意的。它们是为了描述和建模现实世界（几何形状、增长过程等）或者构建抽象的逻辑结构而精心设计的。π 和 e 的值是它们所代表的几何和分析概念的内在属性。
总结
理论上，你可以在一个新的、完全不同于我们现有数学的体系中，强制定义 π = 1 或 e = 1。 在这个新的体系中，所有基于这些“新定义”的推导都会是“自洽”的。
但是，这样做会：
1. 彻底摧毁我们现有的数学大厦： 所有的几何、微积分、分析、代数以及它们在科学和工程中的应用都将失效或需要完全重写。
2. 失去与现实世界的联系： π 和 e 的值是描述我们所处宇宙中圆和增长过程的重要参数。将它们设为 1，会使得这些描述模型完全失真。
3. 产生极其不直观且矛盾的后果： 你将无法在新的定义下保持我们对数、几何、函数等概念的直觉理解。例如，一个周长等于直径两倍的“圆”是什么样子？一个恒为 1 的“指数函数”有什么意义？
因此，虽然你可以想象一个这样的系统，但它不会让我们现有的“许多定理显而易见”，反而会让我们失去理解和描述世界的能力。 数学的力量在于它能够一致地、严谨地解释和预测现象，而 π 和 e 的精确数值是这种能力的关键组成部分。将它们设为 1，就像是要证明“1+1=2”而先假设“1=0”一样，这是一种破坏性的、非建设性的改变。
让我们来详细探讨一下这个想法，以及它为什么可行（在非常有限和人为的意义上）以及为什么是灾难性的。
为什么会想到将 π 或 e 当成 1？
你提到的“许多定理显而易见”，这触及到了数学中“定义”和“公理”的本质。在数学中，我们通过定义和公理来构建整个理论体系。如果改变一个基本的定义或公理，整个体系的推导结果都会随之改变。
π 的性质： π 是圆的周长与其直径之比。它是一个超越数，意味着它不是任何整系数多项式的根。它的值大约是 3.14159...
e 的性质： e 是自然对数的底数，它是极限 $lim_{n o infty} (1 + frac{1}{n})^n$ 的值。它也是一个超越数，大约是 2.71828...
这两个数在数学中扮演着极其重要的角色，尤其是在几何（π）和微积分、复变函数（e）中。
如果我们强行定义 π = 1 或 e = 1 会发生什么？
让我们分别来看：
情况一：定义 π = 1
如果我们强制定义 π = 1，这意味着我们彻底推翻了关于圆和角度测量的所有现有定义和定理。
1. 圆的定义会彻底改变：
周长公式： 原本是 $C = 2 pi r$。如果 π = 1，那么 $C = 2r$。这意味着一个圆的周长等于它的直径的两倍。这与我们对圆的直观理解完全相悖。
面积公式： 原本是 $A = pi r^2$。如果 π = 1，那么 $A = r^2$。一个半径为 1 的圆的面积将是 1，而我们知道一个边长为 1 的正方形面积也是 1。这意味着一个圆的面积竟然和它的半径一样大？这完全颠覆了我们对面积的几何概念。
角度测量： 弧度制是基于圆的。一圈是 $2pi$ 弧度。如果我们定义 π = 1，那么一圈就是 2 弧度。这使得弧度制变得极其不直观和难以理解。我们习惯的 360 度、180 度等概念将需要重新定义，并且与圆的几何性质失去联系。
2. 三角函数会变得非常奇怪：
三角函数（sin, cos, tan）的定义与角度和圆密切相关。例如，$sin(pi/2) = 1$ 是因为在单位圆上，角度为 $pi/2$（90度）的点是 (0, 1)。如果 π = 1，那么 $pi/2 = 1/2$。这意味着 $sin(1/2) = 1$？这完全不符合三角函数的性质，也使得许多三角恒等式失效，例如 $sin( heta + 2pi) = sin( heta)$ 变成了 $sin( heta + 2) = sin( heta)$。
傅里叶分析、周期函数等概念都依赖于 π 的周期性。如果 π = 1，这些分析的基础将不复存在。
3. 许多数学和物理定理失效：
高斯积分（高斯函数）： $int_{infty}^{infty} e^{x^2} dx = sqrt{pi}$。如果 π = 1，这个公式将变成一个整数，但这会使得整个积分的计算和意义发生根本性改变。
斯特林公式： $n! approx sqrt{2pi n} (frac{n}{e})^n$。这个公式用于估算阶乘的增长速度，在统计学和组合学中非常重要。如果 π=1，这个公式会失去其形式的优美性和近似的准确性。
物理学中的许多公式： 波动方程、电磁学、量子力学等等，都离不开 π 的身影。将 π 替换为 1，会使得这些描述自然规律的公式变得面目全非，甚至完全错误。例如，谐振子的周期 $T = 2pisqrt{frac{m}{k}}$，如果 π=1，那么 $T = 2sqrt{frac{m}{k}}$。
情况二：定义 e = 1
如果我们强制定义 e = 1，那么我们将要颠覆的是指数函数、对数和微积分的核心。
1. 指数函数和对数：
自然对数： $ln(x)$ 的定义是使得 $e^{ln(x)} = x$。如果 e = 1，那么 $1^{ln(x)} = x$。因为任何数的 1 次方都是它本身，所以 $1 = x$。这意味着只有当 $x=1$ 时，这个关系才成立。那么 $ln(x)$ 的定义将只对 $x=1$ 有意义，而对其他数则不存在。
指数函数： $e^x$ 是一个增长速度与自身成正比的函数。如果 e = 1，那么 $1^x = 1$。这意味着指数函数变成了一个常函数，它的值始终是 1。这会使所有涉及指数增长或衰减的模型失效。
2. 微积分的核心概念会动摇：
导数： $e^x$ 的导数是 $e^x$。如果 $e^x = 1$，那么它的导数是 0。这意味着 $e^x$ 的导数不是它本身了，这彻底打破了指数函数在微积分中的特殊地位。
泰勒级数： $e^x = sum_{n=0}^{infty} frac{x^n}{n!} = 1 + x + frac{x^2}{2!} + frac{x^3}{3!} + dots$。如果 e = 1，那么这个公式变成了 $1 = 1 + x + frac{x^2}{2} + frac{x^3}{6} + dots$。要使这个等式成立，只能是 $x=0$。这表明泰勒级数对于 e 的定义是至关重要的，一旦 e 的值改变，这个级数就会失去其普遍的有效性。
复数和欧拉公式： $e^{ipi} + 1 = 0$ (欧拉恒等式)。这是一个连接了数学中几个最基本常数的优美公式。如果 π = 1 且 e = 1，那么 $1^{i cdot 1} + 1 = 0$ 变为 $1^i + 1 = 0$。$1$ 的任何次方都是 $1$，所以 $1 + 1 = 0$，即 $2=0$。这是一个绝对的矛盾。
3. 许多数学和物理模型失效：
复利计算： $A = P(1 + frac{r}{n})^{nt}$。当 $n o infty$ 时，连续复利变成 $A = Pe^{rt}$。如果 e=1，那么 $A = P$。这意味着无论投资多少年，本金都不会增长。
概率论： 正态分布（高斯分布）的概率密度函数涉及 $e$。
为什么说“定理显而易见”？
你提到“这样就能使许多定理显而易见”。这可能是一种反讽或者基于一种高度简化的、不自然的系统的想象。
在极其狭窄和抽象的意义上，也许某些关于“1”的性质会变得显而易见地适用于 π 或 e。例如：
如果 π = 1，那么圆的周长 $C = 2r$（直径的两倍）。这在某种程度上比 $2pi r$ 更“直接”，但它完全违背了几何直觉。
如果 e = 1，那么 $1^x = 1$ 总是成立。这可以说是一个极其简单的性质，但它使得 $e^x$ 这个重要的函数消失了。
然而，这种“显而易见”是建立在一个被严重扭曲的数学基础之上的。它不是通过逻辑推导得到的，而是通过强制定义实现的。
数学体系的严谨性
数学的强大之处在于其内在的严谨性和一致性。任何一个看似微小的改变，如果不是从根本上（公理层面）精心设计和推导，都会导致整个体系的崩溃。
公理系统： 我们现在的数学是建立在ZFC集合论等公理系统之上的。π 和 e 的值是这些公理系统以及相关定义（如距离、角度、极限）的自然推论。
定义的力量： 数学中的定义不是任意的。它们是为了描述和建模现实世界（几何形状、增长过程等）或者构建抽象的逻辑结构而精心设计的。π 和 e 的值是它们所代表的几何和分析概念的内在属性。
总结
理论上，你可以在一个新的、完全不同于我们现有数学的体系中，强制定义 π = 1 或 e = 1。 在这个新的体系中，所有基于这些“新定义”的推导都会是“自洽”的。
但是，这样做会：
1. 彻底摧毁我们现有的数学大厦： 所有的几何、微积分、分析、代数以及它们在科学和工程中的应用都将失效或需要完全重写。
2. 失去与现实世界的联系： π 和 e 的值是描述我们所处宇宙中圆和增长过程的重要参数。将它们设为 1，会使得这些描述模型完全失真。
3. 产生极其不直观且矛盾的后果： 你将无法在新的定义下保持我们对数、几何、函数等概念的直觉理解。例如，一个周长等于直径两倍的“圆”是什么样子？一个恒为 1 的“指数函数”有什么意义？
因此，虽然你可以想象一个这样的系统，但它不会让我们现有的“许多定理显而易见”，反而会让我们失去理解和描述世界的能力。 数学的力量在于它能够一致地、严谨地解释和预测现象，而 π 和 e 的精确数值是这种能力的关键组成部分。将它们设为 1，就像是要证明“1+1=2”而先假设“1=0”一样，这是一种破坏性的、非建设性的改变。
网友意见
实际上数学家为此也是努力过的：
- 弧度制：三角函数自变量使用弧度制，实际上就是把 当作单位来处理；
- 自然对数： 有很好的性质，尤其是在求导以及对数方面，以自然对数为底，本质上就是把 当作单位；
- 普朗克常数：量子力学当中好多公式都与 有关……
的确，许多公式在归一化的过程中，简明了不少，但是这种简明仅限于在特定的领域中，反之则未必成立。例如，当一个公式同时涉及 π 和 1，这两者已经是最简的关系了，如果把 当作 1，那么 1 按比例就成了 ，实际上没太大区别。
什么是 1？如果不了解 1 的定义与性质，那么 1 只是一个符号罢了，换作其他符号也是无差别的。在乘法群中，任何元素与之相乘都不改变者，就是被称为单位 1（幺元），这是 1 的本质之一。而在自然数公理中，1 是 0 的后继，2 是 1 的后继……定义 n 的后继为 n + 1（还必须强调，0不是任何数的后继；一个数的后继与自身永不相等；不同的数的后继不相等），于是一种单调又基本的增长模式就被定义了，所谓“道生一，一生二，二生三，三生万物”。
1 被认为是一种普遍的、基本的、抽象的量，原则上是不可分割的。我们说 2 个苹果，2 = 1+1，实际上我们用同一个 1 表示了两个不同的苹果，但是我们在数量的意义上，认为两者是等同的（实际上当我说 2 个苹果时，我们会出于定势思维地脑中浮现出两个一模一样红通通的大苹果。小学的课本上也是这样画的。）
单位 1 的思想在除法中也特别能体现，尤其是抽象代数、拓扑学中商集合、商拓扑，实际上是这一思想的延续。我们说把 mn 件礼物分给 n 个人，平均每个人分得 m 件礼物：mn / n = m ，这当中蕴含的思想是，将每个人获得的 m 件礼物视为一份（一个单位），且这 m 个礼物内部之间视作等同，那么 mn 件礼物总共有多少这样的“一份”？这实际上就是在划分等价类，或者用拓扑的说法，就是将每一份 m 件礼物捏成一个点。
上升到公度量的角度，无论规定以任何线段长度作单位 1，不可公度量一定会存在（也就是说无理数是不可避免的）——一定存在某个量，不存在第三者，可以同时整除单位 1 与不可公度量。所以，想找到一个“万能单位”的梦想，早在古希腊就破灭了。
好多回答围绕着能不能变换原点来回复问主，个人觉得没有get到问主的high点。
问主貌似更在意无理数与世界的关系，或者说无理数向我们传递了什么关于这个宇宙的信息。基于此理解，个人分享下自己的异想天开。
1，目前我们是无法知晓整个宇宙的所涵盖的规则的，因为它仍然在膨胀中，或许我们只有在经历了宇宙膨胀和宇宙收缩后，才能相对全面的知晓宇宙的全部奥秘。这一想法仍然是基于周期论的一个猜测，只是这个周期放大到有与无的极限环境中。（这一点可以去听一听公众号幻海航行的一个科幻作品，讲的是宇宙膨胀奇点前一刻发生的故事。）
2，无理数对世界运行的意义，这里有两点：
第一点，无理数意味着宇宙中误差不可消除，因为误差不可消除，导致了必然世界中的偶然，换成数学描述即是概率空间在某一个维度被创造出来并放大。
第二点，无理数之所以存在，是因为宇宙中各种关系都是全集的表现，即任何一个宇宙的基本组成，同时与宇宙的所有组成相互作用，包括这个基本组成它自己。
无理数的这个意义导致我们的世界在变化，比如动物的进化，某个DNA细节、蛋白质折叠的细微差异，带来了巨大的生物特征差异性。
因为我们的宇宙是一个关系全集的世界，因此我们的原点选择有无数种方法。有一个科幻作品说改变原点，瞬间击败了入侵的外星文明，个人觉得改变原点起不到这样的效果，改变某一个关系，倒是可能出现这样的效果。
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