如何使用函数极限？
函数极限，这东西听起来挺高大上的，但说白了，就是看一个函数在某个点附近，它的值会“靠拢”哪个数。就好像你在追踪一个人的踪迹，他可能一直在你眼前晃悠，但总也抓不住，你只能说，“嘿，他大概就在那块儿。” 函数极限就是这么个意思。
咱们就从最直观的点说起，怎么个“靠拢”法。
什么叫“靠拢”？
想象一下，你有一张图，上面画着一个函数的图像。你现在关注的是 x 轴上的一个特定点，咱们叫它 “a”。你想知道，当 x 越来越接近 a 的时候，y 的值会变成什么样。
“越来越接近”，这个说法是关键。它不是说 x 必须等于 a，而是说 x 离 a 越来越近，越来越近，近到几乎就是一个值了。但它也可以是从左边靠近，也可以是从右边靠近。
从左边靠近 (x → a⁻)： 这意味着 x 的值比 a 小，但是越来越大，离 a 越来越近。比如，如果你想知道 x=2 的极限，从左边靠近就是 x=1.9, 1.99, 1.999, 1.9999……
从右边靠近 (x → a⁺)： 这意味着 x 的值比 a 大，但是越来越小，离 a 越来越近。比如，你想知道 x=2 的极限，从右边靠近就是 x=2.1, 2.01, 2.001, 2.0001……
如果一个函数在 x=a 的时候，无论你是从左边靠近 a，还是从右边靠近 a，y 的值都稳定地朝着同一个数值“靠拢”，那么我们就说，这个函数在 x=a 处存在极限，而且这个极限就是那个“靠拢”的值。
怎么把这个“靠拢”写出来？
数学家们喜欢把事情写得简洁明了，所以他们给这个“靠拢”的过程起了个名字，叫做“极限”，并用符号表示：
$$ lim_{x o a} f(x) = L $$
这句符号的意思就是：“当 x 越来越接近 a 的时候，函数 f(x) 的值越来越接近 L。”
或者，更具体一点：
$$ lim_{x o a^} f(x) = L_1 $$
和
$$ lim_{x o a^+} f(x) = L_2 $$
如果 $L_1 = L_2 = L$，那么我们就可以说 $lim_{x o a} f(x) = L$。
什么时候会“靠拢”不到一个值？
有时候，函数在 x=a 的时候，情况会有点复杂，可能会出现几种情况：
1. 左右极限不相等: 就像前面说的，从左边靠拢到一个值，从右边靠拢到另一个值。那这个函数在 x=a 处就没有一个“唯一”的极限。
2. 函数值“飞”到天上去或者“掉”到地下去： 也就是说，当 x 越来越接近 a 的时候，f(x) 的值越来越大（或者越来越小），没有一个固定的数值可以“靠拢”。这时候我们说极限是无穷大 ($infty$) 或无穷小 ($infty$)，或者说极限不存在。
3. 函数值在几个值之间跳来跳去： 根本没有一个稳定的“靠拢”方向。
函数极限到底有什么用？
别看这东西听起来有点抽象，它可是好多厉害数学概念的基础，比如：
连续性: 一个函数在某一点连续，就意味着它的极限值等于函数在该点的实际值。也就是说，图像在那点是连着的，没有断开。
导数: 导数是用来衡量函数变化率的，它的定义就离不开极限。导数就是函数在某一点的“瞬时变化率”，而这个“瞬时”就是通过极限来定义的，我们让一个“变化区间”越来越小，趋近于零。
积分: 积分是用来求面积的，它也是通过将一个区域划分成无数个越来越小的部分，然后将它们的面积加起来，这个“加起来”的过程，最终也需要极限来精确定义。
怎么计算函数极限？
计算函数极限，有很多方法，最直接的当然是代入法，但也不是所有情况都行。
1. 直接代入法: 如果你要求的极限的函数在那个点是有定义的，并且代入后不是 0/0 或者无穷大/无穷大这种“不确定形式”，那直接把 x 的值代进去，算出来的就是极限。
比如，求 $lim_{x o 2} (x^2 + 3)$。 直接把 x=2 代进去：$2^2 + 3 = 4 + 3 = 7$。所以极限是 7。
2. 约分（因式分解）法: 当直接代入出现 0/0 的情况时，通常意味着分子和分母都有导致它们为零的那个因式。这时候，我们可以尝试把分子和分母都进行因式分解，然后约掉那个共同的因式，再代入。
比如，求 $lim_{x o 1} frac{x^2 1}{x 1}$。
直接代入 x=1，得到 0/0。
分子 $x^2 1$ 可以分解成 $(x1)(x+1)$。
所以，原式变成 $lim_{x o 1} frac{(x1)(x+1)}{x 1}$。
当 x 趋近于 1 时，x1 不等于 0，我们可以约掉 (x1)。
变成 $lim_{x o 1} (x+1)$。
现在再代入 x=1，得到 $1+1=2$。所以极限是 2。
3. 通分法: 如果函数形式是几个分数相加减，出现不确定形式，可以先通分，再尝试其他方法。
4. 分子有理化/分母有理化: 当函数中包含根式，并且代入后出现不确定形式时，可以使用有理化技巧，通过乘以共轭表达式来消除根式，然后再尝试计算。
5. 洛必达法则 (L'Hôpital's Rule): 这是个很强大的工具，但只能用在出现 0/0 或 $infty/infty$ 的不确定形式时。它的意思是，如果 $lim_{x o a} frac{f(x)}{g(x)}$ 是不确定形式，那么它等于 $lim_{x o a} frac{f'(x)}{g'(x)}$，也就是分子和分母分别求导后，再计算极限。
比如，还是上面那个例子 $lim_{x o 1} frac{x^2 1}{x 1}$。
因为是 0/0，我们可以用洛必达法则。
分子 $f(x) = x^2 1$，导数 $f'(x) = 2x$。
分母 $g(x) = x 1$，导数 $g'(x) = 1$。
所以，原极限等于 $lim_{x o 1} frac{2x}{1}$。
代入 x=1，得到 $21 / 1 = 2$。结果是一样的。
6. 利用重要极限: 有些极限是非常重要的，经常会遇到，比如：
$lim_{x o 0} frac{sin x}{x} = 1$
$lim_{x o 0} (1 + x)^{1/x} = e$
这些重要的极限可以作为工具，用来推导其他更复杂的极限。
一些实际操作中的体会
不要怕“看不懂”: 极限的定义本身就有点绕，多看看例子，多自己动手算算，慢慢就理解了。
图形辅助: 有时候，画个大概的函数图像，能帮你直观地理解函数是怎么“靠拢”的。
关注“趋近”: 重点是 x 趋近 于 a，而不是 x 等于 a。函数在 x=a 的值本身是什么，有时候反而不那么重要（除非我们讨论的是连续性）。
多做题: 数学这东西，练得多了，自然就熟练了。遇到不同的题目类型，尝试用不同的方法去解决。
总而言之，函数极限就是关于“靠近”的学问。它不是看函数在某一点“到底是多少”，而是看它在这一点的“邻居们”是怎么表现的，从而推断出它“应该”是多少。理解了这一点，再去看那些公式和计算方法，就会觉得没那么难以捉摸了。
咱们就从最直观的点说起，怎么个“靠拢”法。
什么叫“靠拢”？
想象一下，你有一张图，上面画着一个函数的图像。你现在关注的是 x 轴上的一个特定点，咱们叫它 “a”。你想知道，当 x 越来越接近 a 的时候，y 的值会变成什么样。
“越来越接近”，这个说法是关键。它不是说 x 必须等于 a，而是说 x 离 a 越来越近，越来越近，近到几乎就是一个值了。但它也可以是从左边靠近，也可以是从右边靠近。
从左边靠近 (x → a⁻)： 这意味着 x 的值比 a 小，但是越来越大，离 a 越来越近。比如，如果你想知道 x=2 的极限，从左边靠近就是 x=1.9, 1.99, 1.999, 1.9999……
从右边靠近 (x → a⁺)： 这意味着 x 的值比 a 大，但是越来越小，离 a 越来越近。比如，你想知道 x=2 的极限，从右边靠近就是 x=2.1, 2.01, 2.001, 2.0001……
如果一个函数在 x=a 的时候，无论你是从左边靠近 a，还是从右边靠近 a，y 的值都稳定地朝着同一个数值“靠拢”，那么我们就说，这个函数在 x=a 处存在极限，而且这个极限就是那个“靠拢”的值。
怎么把这个“靠拢”写出来？
数学家们喜欢把事情写得简洁明了，所以他们给这个“靠拢”的过程起了个名字，叫做“极限”，并用符号表示：
$$ lim_{x o a} f(x) = L $$
这句符号的意思就是：“当 x 越来越接近 a 的时候，函数 f(x) 的值越来越接近 L。”
或者，更具体一点：
$$ lim_{x o a^} f(x) = L_1 $$
和
$$ lim_{x o a^+} f(x) = L_2 $$
如果 $L_1 = L_2 = L$，那么我们就可以说 $lim_{x o a} f(x) = L$。
什么时候会“靠拢”不到一个值？
有时候，函数在 x=a 的时候，情况会有点复杂，可能会出现几种情况：
1. 左右极限不相等: 就像前面说的，从左边靠拢到一个值，从右边靠拢到另一个值。那这个函数在 x=a 处就没有一个“唯一”的极限。
2. 函数值“飞”到天上去或者“掉”到地下去： 也就是说，当 x 越来越接近 a 的时候，f(x) 的值越来越大（或者越来越小），没有一个固定的数值可以“靠拢”。这时候我们说极限是无穷大 ($infty$) 或无穷小 ($infty$)，或者说极限不存在。
3. 函数值在几个值之间跳来跳去： 根本没有一个稳定的“靠拢”方向。
函数极限到底有什么用？
别看这东西听起来有点抽象，它可是好多厉害数学概念的基础，比如：
连续性: 一个函数在某一点连续，就意味着它的极限值等于函数在该点的实际值。也就是说，图像在那点是连着的，没有断开。
导数: 导数是用来衡量函数变化率的，它的定义就离不开极限。导数就是函数在某一点的“瞬时变化率”，而这个“瞬时”就是通过极限来定义的，我们让一个“变化区间”越来越小，趋近于零。
积分: 积分是用来求面积的，它也是通过将一个区域划分成无数个越来越小的部分，然后将它们的面积加起来，这个“加起来”的过程，最终也需要极限来精确定义。
怎么计算函数极限？
计算函数极限，有很多方法，最直接的当然是代入法，但也不是所有情况都行。
1. 直接代入法: 如果你要求的极限的函数在那个点是有定义的，并且代入后不是 0/0 或者无穷大/无穷大这种“不确定形式”，那直接把 x 的值代进去，算出来的就是极限。
比如，求 $lim_{x o 2} (x^2 + 3)$。 直接把 x=2 代进去：$2^2 + 3 = 4 + 3 = 7$。所以极限是 7。
2. 约分（因式分解）法: 当直接代入出现 0/0 的情况时，通常意味着分子和分母都有导致它们为零的那个因式。这时候，我们可以尝试把分子和分母都进行因式分解，然后约掉那个共同的因式，再代入。
比如，求 $lim_{x o 1} frac{x^2 1}{x 1}$。
直接代入 x=1，得到 0/0。
分子 $x^2 1$ 可以分解成 $(x1)(x+1)$。
所以，原式变成 $lim_{x o 1} frac{(x1)(x+1)}{x 1}$。
当 x 趋近于 1 时，x1 不等于 0，我们可以约掉 (x1)。
变成 $lim_{x o 1} (x+1)$。
现在再代入 x=1，得到 $1+1=2$。所以极限是 2。
3. 通分法: 如果函数形式是几个分数相加减，出现不确定形式，可以先通分，再尝试其他方法。
4. 分子有理化/分母有理化: 当函数中包含根式，并且代入后出现不确定形式时，可以使用有理化技巧，通过乘以共轭表达式来消除根式，然后再尝试计算。
5. 洛必达法则 (L'Hôpital's Rule): 这是个很强大的工具，但只能用在出现 0/0 或 $infty/infty$ 的不确定形式时。它的意思是，如果 $lim_{x o a} frac{f(x)}{g(x)}$ 是不确定形式，那么它等于 $lim_{x o a} frac{f'(x)}{g'(x)}$，也就是分子和分母分别求导后，再计算极限。
比如，还是上面那个例子 $lim_{x o 1} frac{x^2 1}{x 1}$。
因为是 0/0，我们可以用洛必达法则。
分子 $f(x) = x^2 1$，导数 $f'(x) = 2x$。
分母 $g(x) = x 1$，导数 $g'(x) = 1$。
所以，原极限等于 $lim_{x o 1} frac{2x}{1}$。
代入 x=1，得到 $21 / 1 = 2$。结果是一样的。
6. 利用重要极限: 有些极限是非常重要的，经常会遇到，比如：
$lim_{x o 0} frac{sin x}{x} = 1$
$lim_{x o 0} (1 + x)^{1/x} = e$
这些重要的极限可以作为工具，用来推导其他更复杂的极限。
一些实际操作中的体会
不要怕“看不懂”: 极限的定义本身就有点绕，多看看例子，多自己动手算算，慢慢就理解了。
图形辅助: 有时候，画个大概的函数图像，能帮你直观地理解函数是怎么“靠拢”的。
关注“趋近”: 重点是 x 趋近 于 a，而不是 x 等于 a。函数在 x=a 的值本身是什么，有时候反而不那么重要（除非我们讨论的是连续性）。
多做题: 数学这东西，练得多了，自然就熟练了。遇到不同的题目类型，尝试用不同的方法去解决。
总而言之，函数极限就是关于“靠近”的学问。它不是看函数在某一点“到底是多少”，而是看它在这一点的“邻居们”是怎么表现的，从而推断出它“应该”是多少。理解了这一点，再去看那些公式和计算方法，就会觉得没那么难以捉摸了。
网友意见
忽略分母上的 放缩得
作为选择题，已经可以得到答案。如果进一步想要证明极限值确实为 1/3，那么需要更精确地估计：
因为
进而由三角不等式
所以 即为所求.
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