复决定系数和复相关系数是一个说法吗？
好的，我们来聊聊复决定系数和复相关系数，它们听起来很相似，但其实描述的是不同的概念，虽然它们之间有着紧密的联系。
首先，我们要明确一点：在统计学和回归分析中，我们通常使用的是复相关系数（Multiple Correlation Coefficient）。而“复决定系数”这个说法，更像是对“复相关系数”在解释方差方面的引申理解。所以，通常情况下，当我们谈论一个多元回归模型能够解释多少因变量的变异时，我们是在谈论与复相关系数相关的概念。
我们先来梳理一下复相关系数。
复相关系数（Multiple Correlation Coefficient），通常用符号 $R$ 表示。
它衡量的是一个或多个自变量线性地预测或解释因变量的强度和方向。简单来说，它告诉你一组自变量（比如广告投入、促销活动、节假日等）与你的目标变量（比如产品销量）之间的整体线性关系有多强。
数值范围： 复相关系数 $R$ 的取值范围是 0 到 1。
$R=0$ 表示自变量和因变量之间没有任何线性关系。
$R=1$ 表示自变量和因变量之间存在完美的线性关系。
$R$ 越接近 1，说明这组自变量对因变量的线性解释能力越强；越接近 0，则解释能力越弱。
计算方法： 复相关系数 $R$ 是从一个多元回归模型中计算出来的。假设我们有一个模型：
$Y = eta_0 + eta_1 X_1 + eta_2 X_2 + dots + eta_k X_k + epsilon$
其中，$Y$ 是因变量，$X_1, X_2, dots, X_k$ 是 $k$ 个自变量，$eta_i$ 是对应的回归系数，$epsilon$ 是误差项。
复相关系数 $R$ 是因变量 $Y$ 与由所有自变量 $X_1, X_2, dots, X_k$ 线性组合预测出的值 $(hat{Y})$ 之间的简单相关系数。
即：$R = ext{cor}(Y, hat{Y})$
我们也可以用平方和来计算：
$R^2 = frac{ ext{SSR}}{ ext{SST}} = frac{sum (hat{Y}_i ar{Y})^2}{sum (Y_i ar{Y})^2}$
其中，SSR 是回归平方和（Sum of Squares due to Regression），SST 是总平方和（Total Sum of Squares）。
你也可以通过对单自变量简单相关系数的平方进行操作来得到：
$R^2 = 1 frac{ ext{SSE}}{ ext{SST}} = 1 frac{sum (Y_i hat{Y}_i)^2}{sum (Y_i ar{Y})^2}$
其中，SSE 是残差平方和（Sum of Squares of Errors）。
含义： 复相关系数 $R$ 本身关注的是预测的准确性，它是一个方向性的度量，但通常我们关注的是它的平方 $R^2$ 来衡量解释力。
现在我们来看复决定系数（Coefficient of Multiple Determination）。
复决定系数，通常用符号 $R^2$ 表示。
它衡量的是在一个多元回归模型中，因变量的总变异有多少比例可以被模型中的所有自变量线性地解释。它解释的是模型的拟合优度。
数值范围： 复决定系数 $R^2$ 的取值范围也是 0 到 1。
$R^2=0$ 表示模型中的自变量完全不能解释因变量的变异。
$R^2=1$ 表示模型中的自变量能够完美地解释因变量的全部变异。
$R^2$ 的值越高，说明模型的拟合效果越好，自变量对因变量的解释能力越强。
计算方法： 如上文所述，复决定系数 $R^2$ 就是复相关系数 $R$ 的平方。
$R^2 = R^2$
含义： 复决定系数 $R^2$ 是一个非负的度量，它关注的是解释力，告诉你模型的“好坏”程度。它代表了因变量方差中被模型解释的比例。
它们的关系与区别：
1. 根本上是同一个东西的两种说法： “复决定系数”这个词，本质上就是对“复相关系数平方”（$R^2$）的另一种描述。当你听到“复决定系数”时，你可以直接理解为 $R^2$。
2. 关注点不同：
复相关系数 ($R$)：更侧重于衡量整体线性关系的强度和方向。虽然它本身可以有正负，但在多元回归中，通常我们只关注其绝对值作为整体关系的强度，或者说，它描述了 $Y$ 与 $hat{Y}$ 之间的简单相关程度。
复决定系数 ($R^2$)：更侧重于衡量模型的解释能力或拟合优度。它是一个比例，表示因变量的总变异中，有多少百分比能被模型中的自变量解释。
3. 用途：
复相关系数 $R$（或其绝对值）可以用来比较不同模型中，自变量与因变量整体线性关系的强弱。
复决定系数 $R^2$ 是评估回归模型质量最常用的指标之一。它直接告诉你模型解释了多少“变数”。
举个例子：
假设你正在研究影响房屋价格（$Y$）的因素，你选择了房屋面积 ($X_1$) 和到市中心的距离 ($X_2$) 这两个自变量。
你构建了一个多元回归模型。
如果你计算出复相关系数 $R = 0.85$，这表示房屋面积和到市中心的距离这两个自变量整体上与房屋价格存在一个很强的线性关系。如果 $R = 0.85$，同样表示很强的线性关系，只是方向不同（但通常在多元回归中，我们关注的是其绝对值，因为 $Y$ 和 $hat{Y}$ 的关系不一定有明确的“方向性”如果 $X$ 们是混杂的）。
如果你计算出复决定系数 $R^2 = 0.85^2 approx 0.72$，这表示72%的房屋价格变异可以被房屋面积和到市中心的距离这两个自变量的线性组合所解释。剩下的 28% 的变异则可能由模型未包含的其他因素（如装修、学区等）或随机误差引起。
总结一下：
复相关系数 $R$ 是衡量一组自变量与因变量之间整体线性关系的强度。
复决定系数 $R^2$ 是衡量模型中自变量对因变量总变异的解释比例。
“复决定系数”这个说法，就是对“复相关系数平方 $R^2$”的另一种称呼。它们描述的是同一个量——模型的拟合优度或解释力。
所以，从严格的统计学术语上讲，我们更常说“复相关系数”，而其平方就是我们常说的“决定系数”（在多元回归中就是“复决定系数”）。如果有人使用“复决定系数”这个词，他指的就是 $R^2$ 这个值，而不是 $R$ 本身。
首先，我们要明确一点：在统计学和回归分析中，我们通常使用的是复相关系数（Multiple Correlation Coefficient）。而“复决定系数”这个说法，更像是对“复相关系数”在解释方差方面的引申理解。所以，通常情况下，当我们谈论一个多元回归模型能够解释多少因变量的变异时，我们是在谈论与复相关系数相关的概念。
我们先来梳理一下复相关系数。
复相关系数（Multiple Correlation Coefficient），通常用符号 $R$ 表示。
它衡量的是一个或多个自变量线性地预测或解释因变量的强度和方向。简单来说，它告诉你一组自变量（比如广告投入、促销活动、节假日等）与你的目标变量（比如产品销量）之间的整体线性关系有多强。
数值范围： 复相关系数 $R$ 的取值范围是 0 到 1。
$R=0$ 表示自变量和因变量之间没有任何线性关系。
$R=1$ 表示自变量和因变量之间存在完美的线性关系。
$R$ 越接近 1，说明这组自变量对因变量的线性解释能力越强；越接近 0，则解释能力越弱。
计算方法： 复相关系数 $R$ 是从一个多元回归模型中计算出来的。假设我们有一个模型：
$Y = eta_0 + eta_1 X_1 + eta_2 X_2 + dots + eta_k X_k + epsilon$
其中，$Y$ 是因变量，$X_1, X_2, dots, X_k$ 是 $k$ 个自变量，$eta_i$ 是对应的回归系数，$epsilon$ 是误差项。
复相关系数 $R$ 是因变量 $Y$ 与由所有自变量 $X_1, X_2, dots, X_k$ 线性组合预测出的值 $(hat{Y})$ 之间的简单相关系数。
即：$R = ext{cor}(Y, hat{Y})$
我们也可以用平方和来计算：
$R^2 = frac{ ext{SSR}}{ ext{SST}} = frac{sum (hat{Y}_i ar{Y})^2}{sum (Y_i ar{Y})^2}$
其中，SSR 是回归平方和（Sum of Squares due to Regression），SST 是总平方和（Total Sum of Squares）。
你也可以通过对单自变量简单相关系数的平方进行操作来得到：
$R^2 = 1 frac{ ext{SSE}}{ ext{SST}} = 1 frac{sum (Y_i hat{Y}_i)^2}{sum (Y_i ar{Y})^2}$
其中，SSE 是残差平方和（Sum of Squares of Errors）。
含义： 复相关系数 $R$ 本身关注的是预测的准确性，它是一个方向性的度量，但通常我们关注的是它的平方 $R^2$ 来衡量解释力。
现在我们来看复决定系数（Coefficient of Multiple Determination）。
复决定系数，通常用符号 $R^2$ 表示。
它衡量的是在一个多元回归模型中，因变量的总变异有多少比例可以被模型中的所有自变量线性地解释。它解释的是模型的拟合优度。
数值范围： 复决定系数 $R^2$ 的取值范围也是 0 到 1。
$R^2=0$ 表示模型中的自变量完全不能解释因变量的变异。
$R^2=1$ 表示模型中的自变量能够完美地解释因变量的全部变异。
$R^2$ 的值越高，说明模型的拟合效果越好，自变量对因变量的解释能力越强。
计算方法： 如上文所述，复决定系数 $R^2$ 就是复相关系数 $R$ 的平方。
$R^2 = R^2$
含义： 复决定系数 $R^2$ 是一个非负的度量，它关注的是解释力，告诉你模型的“好坏”程度。它代表了因变量方差中被模型解释的比例。
它们的关系与区别：
1. 根本上是同一个东西的两种说法： “复决定系数”这个词，本质上就是对“复相关系数平方”（$R^2$）的另一种描述。当你听到“复决定系数”时，你可以直接理解为 $R^2$。
2. 关注点不同：
复相关系数 ($R$)：更侧重于衡量整体线性关系的强度和方向。虽然它本身可以有正负，但在多元回归中，通常我们只关注其绝对值作为整体关系的强度，或者说，它描述了 $Y$ 与 $hat{Y}$ 之间的简单相关程度。
复决定系数 ($R^2$)：更侧重于衡量模型的解释能力或拟合优度。它是一个比例，表示因变量的总变异中，有多少百分比能被模型中的自变量解释。
3. 用途：
复相关系数 $R$（或其绝对值）可以用来比较不同模型中，自变量与因变量整体线性关系的强弱。
复决定系数 $R^2$ 是评估回归模型质量最常用的指标之一。它直接告诉你模型解释了多少“变数”。
举个例子：
假设你正在研究影响房屋价格（$Y$）的因素，你选择了房屋面积 ($X_1$) 和到市中心的距离 ($X_2$) 这两个自变量。
你构建了一个多元回归模型。
如果你计算出复相关系数 $R = 0.85$，这表示房屋面积和到市中心的距离这两个自变量整体上与房屋价格存在一个很强的线性关系。如果 $R = 0.85$，同样表示很强的线性关系，只是方向不同（但通常在多元回归中，我们关注的是其绝对值，因为 $Y$ 和 $hat{Y}$ 的关系不一定有明确的“方向性”如果 $X$ 们是混杂的）。
如果你计算出复决定系数 $R^2 = 0.85^2 approx 0.72$，这表示72%的房屋价格变异可以被房屋面积和到市中心的距离这两个自变量的线性组合所解释。剩下的 28% 的变异则可能由模型未包含的其他因素（如装修、学区等）或随机误差引起。
总结一下：
复相关系数 $R$ 是衡量一组自变量与因变量之间整体线性关系的强度。
复决定系数 $R^2$ 是衡量模型中自变量对因变量总变异的解释比例。
“复决定系数”这个说法，就是对“复相关系数平方 $R^2$”的另一种称呼。它们描述的是同一个量——模型的拟合优度或解释力。
所以，从严格的统计学术语上讲，我们更常说“复相关系数”，而其平方就是我们常说的“决定系数”（在多元回归中就是“复决定系数”）。如果有人使用“复决定系数”这个词，他指的就是 $R^2$ 这个值，而不是 $R$ 本身。
网友意见
不是一回事。
决定系数是相关系数的二次幂。因此，也可以在求得可决系数的基础上计算相关系数，方法是将可决系数开平方，至于平方根的符号，则取与回归方程斜率b相同的符号。正是因为存在这样的关系，用 作为可决系数的符号，而没有另用别的字母。
决定系数意义：拟合优度越大，自变量对因变量的解释程度越高，自变量引起的变动占总变动的百分比高。观察点在回归直线附近越密集。
相关系数意义：用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标。按积差方法计算，同样以两变量与各自平均值的离差为基础，通过两个离差相乘来反映两变量之间相关程度；着重研究线性的单相关系数。
另外要注意另外一个性质，相关系数与回归系数。
相关系数和回归系数的区别：
1、含义不同
相关系数：是研究变量之间线性相关程度的量。
回归系数：在回归方程中表示自变量x 对因变量y 影响大小的参数。
2、应用不同
相关系数：说明两变量间的相关关系。
回归系数：说明两变量间依存变化的数量关系。
3、单位不同
相关系数：一般用字母r表示 ，r没有单位。
回归系数：一般用斜率b表示，b有单位。
不过具体运用的时候，都不用考虑这些，只要关注数据的格式，然后丢到软件运算一下即可。
然后就直接出结果。
具体计算的细节不用追究太深。
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