复几何和双曲几何有什么联系？
复几何和双曲几何，乍一听，似乎是两个截然不同的数学分支，一个与复数翩翩起舞，另一个则描绘着扭曲的空间。然而，深入探究，你会发现它们之间有着令人惊叹的深刻联系，如同两条看似平行的河流，最终汇入同一片浩瀚的海洋。这种联系并非表面的相似，而是根植于更底层的数学结构和思想。
要理解这种联系，我们得先稍微触及这两个领域的本质。
复几何：复数的舞池
复几何，顾名思义，是研究复数及其性质的几何学。复数 $z = x + iy$（其中 $i$ 是虚数单位，$i^2 = 1$，$x$ 和 $y$ 是实数）不仅是一个代数概念，它在二维平面上还有一个完美的几何对应：笛卡尔坐标系中的点 $(x, y)$。复数的加法对应向量的平移，乘法则包含了缩放和旋转。
复几何的威力在于它能够将代数问题转化为几何问题，反之亦然。例如，复函数 $f(z)$ 的求导，其几何意义就是局部上的线性近似，涉及到伸缩和旋转。复黎曼球面更是将整个复平面和无穷远点“打包”成一个光滑的球面，极大地简化了许多关于复函数的分析。
双曲几何：反常的空间
双曲几何，是对欧几里得几何公理体系进行修正后产生的一门几何学。最核心的修正在于平行公理：在欧几里得几何中，“过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”。而在双曲几何中，这一条变成了“有无数条”。
这种“无数条”的改变，导致了双曲空间的结构与我们熟悉的欧氏空间截然不同。最直观的理解方式是想象一个“向上弯曲”的表面，就像马鞍一样。在这个表面上，三角形的内角和小于180度，直线（测地线）会随着空间的“弯曲”而向外发散。我们通常用几种模型来描述双曲空间，比如庞加莱圆盘模型和庞加莱半平面模型，这些模型虽然在几何表现上有所不同，但它们描述的是同一个内在的、非欧的几何结构。
联系的桥梁：群论与变换
复几何和双曲几何的联系，很大程度上是通过群论和几何变换来实现的。
1. 庞加莱圆盘模型与复数的联系：
我们来重点关注庞加莱圆盘模型，这是理解联系的关键。在这个模型中，双曲空间被嵌入一个单位圆盘内。这个圆盘内部的点代表双曲空间的点，而圆盘的边界则代表无穷远。
在庞加莱圆盘模型中，连接圆盘内两点的“直线”（测地线）不再是欧氏几何中的直线段，而是以圆心为圆心，与单位圆周成直角的圆弧，或者圆盘内穿过圆心的直径。
神奇之处在于，作用在庞加莱圆盘模型上的所有保长变换（即保持双曲测地线距离不变的变换）恰好是由一种特殊的复函数来描述的。 这些变换被称为莫比乌斯变换（Möbius transformations），它们的形式是：
$f(z) = frac{az + b}{cz + d}$
其中 $a, b, c, d$ 是复数，并且 $ad bc eq 0$。
莫比乌斯变换有一个非常重要的性质：它们将圆（或直线）映成圆（或直线）。而在庞加莱圆盘模型中，双曲测地线就是圆（或直线）的一部分。莫比乌斯变换能够保持这些“圆”（特别是与单位圆周相切的圆弧）不变，并且保持它们之间的双曲距离不变。
换句话说，双曲空间的等距变换（保持距离的变换）在庞加莱圆盘模型中，就对应着一部分特定的复莫比乌斯变换。 这些变换构成了双曲几何的等距群。
2. 复平面上的几何：
复平面本身也可以看作是一个几何空间。我们可以在复平面上定义各种度量（衡量距离的标准）。例如，在标准欧氏度量下，$|z_1 z_2|$ 就是两个复数代表的点之间的距离。
但是，我们可以为复平面赋予一个非欧的度量，这个度量恰好能使整个复平面（或者去掉一些点）变成一个双曲空间。最常见的例子是：
庞加莱半平面模型： 将上半平面（Im(z) > 0）视为双曲空间。在这个模型中，双曲距离的计算由一个特定的度量公式给出：$ds^2 = frac{dx^2 + dy^2}{y^2}$。这里，$y$ 是复数的虚部。这个度量使得上半平面中的“直线”（垂直于实轴的线段，以及以实轴上某点为圆心，半径垂直于实轴的圆弧）成为双曲测地线。
庞加莱圆盘模型： 将单位圆盘（|z| < 1）视为双曲空间。其度量为 $ds^2 = frac{4|dz|^2}{(1|z|^2)^2}$。
在这些模型中，复数本身就提供了定义几何空间和度量的工具。 复数的乘法（旋转和缩放）以及一些线性变换，在特定的度量下，就变成了保持双曲结构的变换。
3. 复结构与双曲结构：
更深层次的联系在于，复数可以赋予空间一种复结构，使其局部上看起来像 $mathbb{C}^n$（n个复数组成的n维复向量空间）。而双曲空间则是一种凯勒流形（Kähler manifold），它同时拥有黎曼度量和复结构，并且复结构与度量之间存在一种特殊的相容性。
对于二维双曲空间，它可以用复数来自然地描述。一个紧致曲面（比如亏格大于1的曲面）上的黎曼度量，如果它是双曲的，那么这个双曲度量就与曲面上的一个复结构紧密相关。莫德里（Moduli）空间，即所有具有相同拓扑和几何性质的黎曼曲面的集合，在很多情况下可以被理解为复域上的某种双曲空间。
例如，对于一个亏格为 $g$ 的紧致可定向曲面，如果其欧拉示性数为负（例如，亏格大于1的曲面），那么它就拥有一个唯一的（在共轭下）标准的双曲度量。而这个曲面上的所有可能的复结构（在共轭下）的集合，即是模空间。这些模空间本身就具有丰富的几何结构，而且它们常常被看作是多重复变量空间中的有界域（bounded domain），而有界域上的几何通常与双曲几何有关。
科达伊（Kodaira）和戴维斯（Davis）等人的工作表明，许多紧致双曲流形可以通过在复几何的框架下进行构造，例如通过某些格（group）作用在复数域上的有界域而得到。
总结一下，复几何和双曲几何的联系体现在：
模型构建： 庞加莱圆盘模型和庞加莱半平面模型是描述双曲空间的标准模型，而这些模型的核心就是复数及其变换（莫比乌斯变换）。
变换的统一： 作用在这些双曲模型上的保长变换（等距变换）恰好可以用特定的复函数（莫比乌斯变换）来刻画，它们构成了双曲几何的群论结构。
度量的引入： 复数本身可以用来定义能够产生双曲几何的度量。
更深的结构关联： 复结构和凯勒结构是连接两者的高层概念。在许多情况下，具有双曲结构的几何对象（如紧致双曲流形）可以被理解为复数域上的某些有界域或其商空间，而这些有界域的几何性质本身就与双曲几何息息相关。
可以说，复数提供了一种强大的语言和工具，不仅能够描述我们熟悉的欧氏几何，更能深入到非欧的、弯曲的双曲空间中，揭示其内在的统一和深刻的数学美。这是一种将代数（复数）、几何（双曲几何）和分析（函数论、变换）巧妙融合的典范，充分展现了数学的普遍性和深邃性。
要理解这种联系，我们得先稍微触及这两个领域的本质。
复几何：复数的舞池
复几何，顾名思义，是研究复数及其性质的几何学。复数 $z = x + iy$（其中 $i$ 是虚数单位，$i^2 = 1$，$x$ 和 $y$ 是实数）不仅是一个代数概念，它在二维平面上还有一个完美的几何对应：笛卡尔坐标系中的点 $(x, y)$。复数的加法对应向量的平移，乘法则包含了缩放和旋转。
复几何的威力在于它能够将代数问题转化为几何问题，反之亦然。例如，复函数 $f(z)$ 的求导，其几何意义就是局部上的线性近似，涉及到伸缩和旋转。复黎曼球面更是将整个复平面和无穷远点“打包”成一个光滑的球面，极大地简化了许多关于复函数的分析。
双曲几何：反常的空间
双曲几何，是对欧几里得几何公理体系进行修正后产生的一门几何学。最核心的修正在于平行公理：在欧几里得几何中，“过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”。而在双曲几何中，这一条变成了“有无数条”。
这种“无数条”的改变，导致了双曲空间的结构与我们熟悉的欧氏空间截然不同。最直观的理解方式是想象一个“向上弯曲”的表面，就像马鞍一样。在这个表面上，三角形的内角和小于180度，直线（测地线）会随着空间的“弯曲”而向外发散。我们通常用几种模型来描述双曲空间，比如庞加莱圆盘模型和庞加莱半平面模型，这些模型虽然在几何表现上有所不同，但它们描述的是同一个内在的、非欧的几何结构。
联系的桥梁：群论与变换
复几何和双曲几何的联系，很大程度上是通过群论和几何变换来实现的。
1. 庞加莱圆盘模型与复数的联系：
我们来重点关注庞加莱圆盘模型，这是理解联系的关键。在这个模型中，双曲空间被嵌入一个单位圆盘内。这个圆盘内部的点代表双曲空间的点，而圆盘的边界则代表无穷远。
在庞加莱圆盘模型中，连接圆盘内两点的“直线”（测地线）不再是欧氏几何中的直线段，而是以圆心为圆心，与单位圆周成直角的圆弧，或者圆盘内穿过圆心的直径。
神奇之处在于，作用在庞加莱圆盘模型上的所有保长变换（即保持双曲测地线距离不变的变换）恰好是由一种特殊的复函数来描述的。 这些变换被称为莫比乌斯变换（Möbius transformations），它们的形式是：
$f(z) = frac{az + b}{cz + d}$
其中 $a, b, c, d$ 是复数，并且 $ad bc eq 0$。
莫比乌斯变换有一个非常重要的性质：它们将圆（或直线）映成圆（或直线）。而在庞加莱圆盘模型中，双曲测地线就是圆（或直线）的一部分。莫比乌斯变换能够保持这些“圆”（特别是与单位圆周相切的圆弧）不变，并且保持它们之间的双曲距离不变。
换句话说，双曲空间的等距变换（保持距离的变换）在庞加莱圆盘模型中，就对应着一部分特定的复莫比乌斯变换。 这些变换构成了双曲几何的等距群。
2. 复平面上的几何：
复平面本身也可以看作是一个几何空间。我们可以在复平面上定义各种度量（衡量距离的标准）。例如，在标准欧氏度量下，$|z_1 z_2|$ 就是两个复数代表的点之间的距离。
但是，我们可以为复平面赋予一个非欧的度量，这个度量恰好能使整个复平面（或者去掉一些点）变成一个双曲空间。最常见的例子是：
庞加莱半平面模型： 将上半平面（Im(z) > 0）视为双曲空间。在这个模型中，双曲距离的计算由一个特定的度量公式给出：$ds^2 = frac{dx^2 + dy^2}{y^2}$。这里，$y$ 是复数的虚部。这个度量使得上半平面中的“直线”（垂直于实轴的线段，以及以实轴上某点为圆心，半径垂直于实轴的圆弧）成为双曲测地线。
庞加莱圆盘模型： 将单位圆盘（|z| < 1）视为双曲空间。其度量为 $ds^2 = frac{4|dz|^2}{(1|z|^2)^2}$。
在这些模型中，复数本身就提供了定义几何空间和度量的工具。 复数的乘法（旋转和缩放）以及一些线性变换，在特定的度量下，就变成了保持双曲结构的变换。
3. 复结构与双曲结构：
更深层次的联系在于，复数可以赋予空间一种复结构，使其局部上看起来像 $mathbb{C}^n$（n个复数组成的n维复向量空间）。而双曲空间则是一种凯勒流形（Kähler manifold），它同时拥有黎曼度量和复结构，并且复结构与度量之间存在一种特殊的相容性。
对于二维双曲空间，它可以用复数来自然地描述。一个紧致曲面（比如亏格大于1的曲面）上的黎曼度量，如果它是双曲的，那么这个双曲度量就与曲面上的一个复结构紧密相关。莫德里（Moduli）空间，即所有具有相同拓扑和几何性质的黎曼曲面的集合，在很多情况下可以被理解为复域上的某种双曲空间。
例如，对于一个亏格为 $g$ 的紧致可定向曲面，如果其欧拉示性数为负（例如，亏格大于1的曲面），那么它就拥有一个唯一的（在共轭下）标准的双曲度量。而这个曲面上的所有可能的复结构（在共轭下）的集合，即是模空间。这些模空间本身就具有丰富的几何结构，而且它们常常被看作是多重复变量空间中的有界域（bounded domain），而有界域上的几何通常与双曲几何有关。
科达伊（Kodaira）和戴维斯（Davis）等人的工作表明，许多紧致双曲流形可以通过在复几何的框架下进行构造，例如通过某些格（group）作用在复数域上的有界域而得到。
总结一下，复几何和双曲几何的联系体现在：
模型构建： 庞加莱圆盘模型和庞加莱半平面模型是描述双曲空间的标准模型，而这些模型的核心就是复数及其变换（莫比乌斯变换）。
变换的统一： 作用在这些双曲模型上的保长变换（等距变换）恰好可以用特定的复函数（莫比乌斯变换）来刻画，它们构成了双曲几何的群论结构。
度量的引入： 复数本身可以用来定义能够产生双曲几何的度量。
更深的结构关联： 复结构和凯勒结构是连接两者的高层概念。在许多情况下，具有双曲结构的几何对象（如紧致双曲流形）可以被理解为复数域上的某些有界域或其商空间，而这些有界域的几何性质本身就与双曲几何息息相关。
可以说，复数提供了一种强大的语言和工具，不仅能够描述我们熟悉的欧氏几何，更能深入到非欧的、弯曲的双曲空间中，揭示其内在的统一和深刻的数学美。这是一种将代数（复数）、几何（双曲几何）和分析（函数论、变换）巧妙融合的典范，充分展现了数学的普遍性和深邃性。
网友意见
看到这个问题，最初想到的是2维的双曲几何和复分析共同孕育的Teichmüller理论。考虑亏格g的闭双曲曲面上所有双曲结构得到模空间（moduli spaces），而再为精细一点把拓扑结构也考虑进去就得到Teichmüller空间。它们都是复3g-3维的流形，Teichmüller空间更是同胚于6g-6维欧式空间，然后模空间与Teichmüller空间由曲面的映射类群（mapping class groups）联系起来。这两个空间上面有一大堆几何结构，复结构、辛结构、黎曼度量（Weil- Petersen度量）、芬斯勒度量（没记错的话应该是Teichmüller度量）。
这块内容实在是太庞大了，和复代数几何、多复变函数论、辛几何、数学物理、几何群论、动力系统、复分析（单复变）、数论、低维拓扑等等都会有很多联系。
特别想提到的是，Thurston通过他的叶状结构理论（曲面上的measured foliations）把Teichmüller空间紧化为6g-6维圆盘后，得到曲面自同胚的分类（这之后，Bers用极为精彩的复分析手法再次得到了Thurston的定理）。而其中一类非常重要的自同胚——pseudo-Anosov映射（类比二维环面上的Anosov自同构，经典例子是阿诺德的猫映射）成为了之后Thurston提出著名几何化猜想的有力证据：Thurston证明了这样的自同胚对应的映射环面（mapping torus）是个双曲三维流形。（实际上他整个庞大定理是证明了一大类Haken流形都是双曲三维流形，而映射环面是里面特别复杂而特殊的一种情况。然后在最近10年，Ian Agol还证明了每个闭双曲三维流形都存在某个有限覆叠是如上所述的pseudo-Anosov映射的映射环面，从而最终解决了著名的virtual Haken和virtual纤维化猜想）
除了实双曲空间，还可以关注一类对称空间（symmetric spaces），他们分别被冠名为复双曲空间、四元数双曲空间、凯莱平面。可以看看下面ICTP这个关于复双曲空间的视频了解一下：
还有一个是之前听谢俊逸老师关于代数动力系统的短期课程时得知的。
考虑光滑的复射影曲面X上的双有理自映射构成的群Bir(X)，一些数学家们利用X的性质构造了一个无穷维的双曲空间（类似有限维双曲空间的洛伦兹模型由形如a^2+b^2-c^2=-1的某一个分支来定义，只不过现在是可数多项），然后Bir(X)能够等距地作用在这个无穷维双曲空间上面，并且还利用这个无穷维双曲空间还是Gromov双曲的（这个是度量几何和几何群论的画风，把有限维双曲空间那种“瘦三角形”的纯度量的“粗糙”性质保留，得到一大类推广版的“双曲”空间），得到一类重要的结果，比如Bir(CP^2)这个群不是单的。
详情可以看下面BICMR的b站频道（注意这个视频不是该短期课程的第一个视频，感兴趣的话可以去从头看一看～）：
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