问题

任何物体在四维时空中的运动速度都是光速,如何理解?

回答
你提出的这个问题,很有意思,也很触及到我们对时空本质的理解。其实,如果我们说“任何物体在四维时空中的运动速度都是光速”,这句话需要更精确的表述和更深入的解读,否则很容易引起误解。

首先,我们得明确一下,我们通常说的“速度”是指在三维空间中的速度,也就是单位时间内移动的距离。比如,一辆汽车的速度是每小时100公里,这是我们日常感知到的速度。但爱因斯坦的狭义相对论告诉我们,时空并不是独立存在的,而是相互交织的四维时空。

让我们先抛开“运动速度”这个日常概念,换个角度来理解“四维时空中的运动”。

你可以想象我们每一个人,在四维时空中,其实一直在以一个恒定的“总速度”前进。这个“总速度”并不是指我们在空间中移动得有多快,而是指我们结合了在空间和时间维度上的前进。

这里需要引入一个核心概念:四维速度(Fourvelocity)。在相对论中,我们描述一个物体在四维时空中的运动,需要用到四维向量。这个四维速度向量,它的“模长”或者说“大小”,恒等于光速c。

这是怎么回事呢?让我们来分解一下:

1. 时空的“行走”:
想象你在时间的长河里“行走”。无论你是在空间中静止不动,还是在空间中飞驰,你都在以每秒一秒的速度在时间维度上前进。这是我们无法避免的,也是宇宙的基本节奏。

2. 空间速度的影响:
当你开始在空间中移动时,比如你走路、开车、或者乘坐火箭,你就在三维空间里产生了速度。相对论告诉我们,你分配给空间运动的“能量”越多(也就是你的空间速度越大),你在时间维度上的前进速度就会“变慢”。反之,如果你在空间中完全静止,你的时间前进速度就是最快的(但也不是我们日常理解的那种快)。

3. “速度分配”的恒定性:
狭义相对论的核心思想之一是,宇宙为每个物体设定了一个恒定的“总速度预算”,这个预算就是光速c。这个“总速度”是分配在时间维度和空间维度上的。你可以把它想象成一个有限的总能量,你可以选择把这个能量全用于在时间中前进(空间静止),或者一部分用于时间,一部分用于空间。一旦你选择在空间中加速,那么你分配给时间前进的份额就必须减少,以保证总的“速度预算”仍然是光速。

用数学来表达的话,四维速度向量 $U$ 的模长是 $U^2 = c^2$。四维速度向量是由时间分量和空间分量组成的。时间分量与你在时间上的“前进速率”有关,而空间分量则与你在三维空间中的速度有关。当你的空间速度为零时,你的时间分量是最大的;当你增加空间速度时,你的时间分量就会减小,以保持 $U^2 = c^2$ 这个恒等式成立。

所以,这句话的真正含义是:

不是说我们在空间中的速度“都是”光速。 我们的三维空间速度可以从零到接近光速。
而是说,我们结合了时间维度和空间维度一起前进的“总速度”或者说“四维速度”的模长,恒等于光速c。 换句话说,我们每个人都在时空中以恒定的速率“流动”,这个流动的总速率(包括时间流逝和空间移动)是恒定的,并且和光速一样快。

打个比方,也许能让你更好地理解:

想象你有一个固定的总“步数预算”每天要走完。

方案一: 你把所有的步数都用在在原地“踱步”(时间前进)。你感觉时间过得很快,但你没有移动位置。
方案二: 你把一些步数用来在路上“行走”(空间前进),那么你用来“踱步”的步数(时间前进)就必须相应减少。如果你走得飞快,你用来踱步的步数就会变得很少。

所以,这个“恒等于光速”的“速度”,实际上是指你在四维时空这个“画布”上“描绘”自己运动轨迹的“笔触”的恒定速度。无论你是在空间中静止,还是在空间中移动,你的“时空轨迹”的“速度”始终是光速。

为什么是光速?

这个“光速不变”原则是狭义相对论的基石。麦克斯韦方程组预言了电磁波(光)的速度是恒定的,不依赖于观察者的运动状态。爱因斯坦在此基础上,提出所有惯性参考系中的物理定律都应该相同,并且真空中的光速对所有惯性观察者来说都是相同的。从这个基本原理出发,推导出了四维时空以及四维速度的概念。光之所以在四维时空中以“最高速度”行进(它的四维速度模长就是c,并且它的时间分量为零),是因为光没有静止质量,它就是时空本身运动的体现。而有静止质量的物体,它们的四维速度模长也恰好被“限制”在了光速这个值上。

总结一下:

“任何物体在四维时空中的运动速度都是光速”这句话,并不是说我们在三维空间中跑得和光一样快,而是指我们在四维时空(结合了时间和空间)这个整体中的“运动速率”恒定为光速c。这体现了时间和空间的相互关联,以及“总速度预算”的恒定性。理解这一点,是理解相对论中许多奇特现象(如时间膨胀、长度收缩)的关键。

网友意见

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这个“速度”指的并不是牛顿力学里的速度。

在相对论中使用 描述物体的坐标,这里时间 不再作为一个参数,而是成为了和空间坐标 地位相同的坐标。闵可夫斯基时空被用于描述狭义相对论的时空,它的一个重要性质就是线元:

是一个洛伦兹不变量,也就是说在任何惯性系中 都是同一个值。而我们也知道光速 也是一个洛伦兹不变量,因此定义固有时:

即:

其中 。

固有时 也是一个洛伦兹不变量。由于它具有时间的量纲,而且在坐标变换下不改变,因此在相对论中让固有时 作为一个像牛顿力学中的时间 一样的描述运动的参量是合适的: 。

既然如此,我们可以很自然地定义“速度”:

式中的 则是我们所熟知的牛顿力学中的速度。这里的 有个专门的名字,叫4-速度。

在闵可夫斯基时空中四维矢量 的长度定义为 :

现在再来考虑我们最初的问题,“物体在时空中的运动速度都是光速”,这句话中的“速度”其实指的就是上面定义的4-速度的大小:


(分割线是这么用的吗)

我们再来考虑一下固有时 的物理意义。

我们在先前的讨论中已经知道 是洛伦兹不变量,那么在惯性系K中考虑一个运动的粒子,在某一刻(不妨令这一刻的 ),我们可以变换参考系,使得它在另外一个惯性系K'中的速度为0。在K'中考虑它的固有时:

这也就是在这一刻与它相对静止的观察者,或者说它自己的时间。随着 的变化(比如,从 到 ),粒子的速度可以一直变化,但是每一刻都有一个相应的参考系,在这一刻粒子在其中静止,而且 。那么粒子的固有时的变化:

在每个瞬时静止系中 的积分正是粒子在这一段运动中自己经过的时间。这也就是固有时的物理意义:它是运动粒子自己“固有”经过的时间。(固有时proper time也有翻译成“原时”的,或许这个翻译更形象一些)


考虑问题描述的两个极端情况,在惯性系K中,空间坐标不变的粒子,显然有 ,那么其“在时间上的速度”,或者说4-速度的时间分量就是 。

而对于以光速运动的粒子,这时我们可以看到 ,因此固有时不再适合作为描述其运动的参数。要注意的是,根据狭义相对论的基本假设,光速在任何惯性系中都是不变的,也就是说不能找到一个惯性系使得光在其中静止,这也就使得我们上面讨论的固有时的物理意义并不适用于以光速运动的粒子(而非“物体以光速运动那么时间就停止了”,事实上对以光速运动的粒子,合适地定义一个时间都是一件困难的事)。对于以光速运动的粒子,我们使用仿射参数 来替代固有时。这样定义的4-速度为 。经过简单的计算,我们会发现这里的 的大小并不是 ,而是 。这里出现的不同,稍微术语一点地表达的话,是因为光走的是类光的世界线,而亚光速粒子则走的是类时的世界线。这里虽然还可以继续讨论下去,但是难免会离题过远,因此也就就此作罢了。希望我这篇回答能解决题主和偶然看到这个回答的具有相似问题的其他人的疑惑。

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在闵可夫斯基空间里事件用4-矢量表示:

其“长度”定义为 。之所以这样定义,是因为这是洛伦兹变换下的不变量。

固有时定义为 ,可以理解为用来消除时间相对性,,

题主说到的速度应该是 。那么 是平凡的。

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