任何一个群是否都是某个拓扑空间的基本群？
这个问题触及了代数拓扑的核心，它问的是：我们能够想象出一个什么样的拓扑空间，它的“洞”的结构恰好可以用一个给定的群来描述？换句话说，给任意一个群 $G$，我们能否找到一个拓扑空间 $X$，使得 $X$ 的基本群 $pi_1(X)$ 同构于 $G$？
答案是肯定的。任何一个群都可以是一个拓扑空间的基本群。这个结果并非显而易见，它需要借助一些更深入的构造和概念。下面我将尝试以一种更贴近思考过程的方式来详细阐述。
理解基本群的含义
首先，我们需要回顾一下什么是基本群。一个拓扑空间 $X$ 的基本群 $pi_1(X)$，它捕捉了空间中“环路”的形变性质。具体来说，我们考虑空间中所有从某个固定点 $x_0 in X$ 出发，又回到 $x_0$ 的连续路径。两条路径如果可以连续地形变到对方，我们就说它们是同伦的。基本群就是这些同伦等价类的集合，并且这里的运算是路径的连接（将一条路径的终点作为下一条路径的起点）。基本群是一个群，它的群运算就是路径的连接运算，单位元就是常值路径（始点和终点都是 $x_0$）。
基本群的直观意义在于它反映了空间的“洞”。例如，圆的（任何一点作为基点的）基本群是整数群 $mathbb{Z}$，因为你可以绕圆一圈、两圈等等，这些不同的“绕圈数”构成了不同的同伦类。一个二维球面就没有这种“洞”，它的基本群是平凡群，即只包含单位元的群。
构造一个具有任意基本群的拓扑空间
既然我们想证明任何群 $G$ 都可以是某个空间的 $pi_1$，那么我们就需要一种方法，能够根据任意一个群 $G$ 来“制造”出这样的空间。这就像一个代数家给了一个群，然后一个拓扑学家就应该能够画出或构造出对应的空间。
核心的想法是，我们应该用代数结构的元素（群的生成元和关系）来指导空间的构造。
从群的表示开始
任何一个群 $G$ 都可以通过其表示来描述。一个群的表示由一组生成元和一个关系集合组成。生成元可以看作是空间中一些基本的、不可约的“回路”或“路径段”。关系则描述了这些生成元之间如何相互作用，可以被化简成单位元。例如，循环群 $mathbb{Z}_n$ 可以由一个生成元 $a$ 来表示，其关系是 $a^n = e$ (其中 $e$ 是单位元)。整数群 $mathbb{Z}$ 可以由一个生成元 $a$ 来表示，其关系是空集（或者说，没有非平凡的关系）。
让我们假设群 $G$ 的一个表示为 $langle g_1, g_2, dots | r_1, r_2, dots angle$，其中 $g_i$ 是生成元，$r_j$ 是关系。
使用凯莱图（Cayley Graph）
一种构造空间的方法是考虑群的凯莱图。凯莱图是群论中的一个重要工具，它以群的元素作为顶点，生成元定义了顶点之间的边。例如，对于整数群 $mathbb{Z}$，我们可以选择生成元为 $1$ 和 $1$。它的凯莱图就像一个无限长的数轴，从每个整数 $n$，你可以沿着值为 $1$ 的边走到 $n+1$，沿着值为 $1$ 的边走到 $n1$。
但是，直接将凯莱图看作一个拓扑空间，其基本群可能过于简单，或者不容易处理。我们需要更灵活的构造。
构造“细胞复形”（Cell Complex）
更通用的方法是构造一个CW复形（Cell Complex）。CW复形是一种特殊的拓扑空间，它通过一系列“细胞”的粘合来构建。这些细胞可以想象成不同维度的“块”。
1. 0维细胞：一个点
我们从一个单独的点开始，记作 $x_0$。这个点将作为我们空间的所有基本群的基点。
2. 1维细胞：对应生成元
对于群 $G$ 的每一个生成元 $g_i$，我们附加一个1维细胞，也就是一条“线段”或“圆弧”。这个1维细胞的两个端点都粘合到我们的0维点 $x_0$ 上。这样，每个1维细胞的“绕行”就对应着一个生成元 $g_i$。我们可以想象沿着这个1维细胞走一遍，就相当于执行了生成元 $g_i$ 的操作。将这两个端点粘合到同一个点上，就保证了从这个点出发的路径又回到这个点，形成了一个环路。
此时，如果我们只考虑这个点和这些1维细胞构成的空间，它的基本群是什么呢？这就像一堆只连接在一点的绳子。你可以沿着任何一条绳子绕一圈，或者沿着一条绳子绕几圈，或者沿着一条绳子过去再沿着另一条绳子回来。这个基本群就是由这些生成元生成的自由群。
3. 2维细胞：对应关系
现在，我们考虑群的关系 $r_j$。关系 $r_j$ 是由一系列生成元乘积组成的，例如 $r_j = g_{a_1}^{k_1} g_{a_2}^{k_2} dots g_{a_m}^{k_m}$。这个关系意味着这个乘积是可以被约化为单位元的。在空间中，这意味着我们可以在1维细胞上沿着特定的序列“走”一圈，最终会回到起点，并且这种“走”的方式是可以被连续形变的，最终可以收缩成一个点。
这就需要引入2维细胞。对于每一个关系 $r_j$，我们附加一个2维细胞，也就是一个“圆盘”。这个圆盘的边界（一个圆周）被粘合到我们之前构造的空间的1维部分上。粘合的方式是按照关系 $r_j$ 所描述的生成元序列来“描绘”这个圆盘的边界。
具体来说，设关系 $r_j = g_{i_1}^{p_1} g_{i_2}^{p_2} dots g_{i_k}^{p_k}$，其中 $p_m$ 是整数（正表示前进，负表示后退，指数表示重复次数）。我们就沿着对应生成元 $g_{i_1}, g_{i_2}, dots, g_{i_k}$ 的1维细胞依次走。我们将这个2维圆盘的边界精确地粘合到由这些1维细胞组成的路径上。
为什么这样构造有效？
这个构造出来的空间被称为凯莱复形（或一个由群表示生成的细胞复形）。它的基本群恰好就是给定的群 $G$。原因可以从代数拓扑的基本定理——Seifertvan Kampen 定理的直观理解来解释。
生成元：我们为每个生成元 $g_i$ 添加了一个1维细胞。这些1维细胞的“绕行”构成了基本群的生成元。事实上，这些1维细胞的连接构成了自由群的生成元。
关系：我们为每个关系 $r_j$ 添加了一个2维细胞。一个2维细胞的边界被粘合到空间中一条由生成元表示的路径上。当我们在2维圆盘上“填充”时，这个圆盘就被视为一个可以被收缩成一点的区域。这意味着在基本群中，这个2维圆盘所代表的“围合”路径的同伦类是单位元。这就把自由群中由关系产生的约化关系，变成了基本群中的实际关系。
换句话说，我们先用生成元构建了一个“松散”的结构（自由群），然后用关系来“收紧”它，将某些自由的环路“压扁”成点。这个过程正是将自由群的生成元映射到基本群的生成元，并将自由群中由关系生成的子群映射到基本群的平凡子群（也就是单位元）。
举例说明：
1. 整数群 $mathbb{Z}$
表示：$langle a angle$ (没有关系)。
构造：一个点 $x_0$ 和一个1维细胞（一条线段），其两个端点都粘合到 $x_0$ 上。这个空间就像一个圆。它的基本群就是由生成元 $a$ 生成的群，由于没有关系，它就是 $mathbb{Z}$。
2. 循环群 $mathbb{Z}_n$
表示：$langle a | a^n = e angle$。
构造：一个点 $x_0$ 和一个1维细胞，其两个端点都粘合到 $x_0$ 上。然后，我们再添加一个2维圆盘，其边界沿着1维细胞“走” $n$ 圈（由生成元 $a$ 表示）粘合上去。这个2维圆盘的粘合，意味着沿着1维细胞绕 $n$ 圈的路径可以被收缩成一个点。因此，这个空间的2维圆盘的边界的同伦类是单位元。这个空间的里的基本群就是 $mathbb{Z}_n$。
更一般的空间构造
这个构造过程还可以进一步细化。我们可以使用更一般的细胞复形，比如将多个1维细胞和2维细胞以更复杂的方式连接起来。但核心思想不变：生成元对应着低维的、形成基本回路的“骨架”，而关系则通过高维细胞的边界来“销毁”这些回路的非平凡性。
这个结果在代数拓扑中被称为表示定理或者与自由群的性质紧密相关。几乎所有群都可以通过其表示来构造出相应的凯莱复形，而这个凯莱复形的恰好就是这个群。
总结
所以，任何一个群都可以是某个拓扑空间的基本群。这个构造过程是“反向”的：我们从群的代数表示（生成元和关系）出发，然后通过在拓扑空间中引入特定维度的“细胞”来一一对应地实现这些代数结构。生成元对应着1维细胞的“绕行”，而关系则通过2维细胞的边界粘合，来精确地约束这些绕行，最终使得空间的“洞”的结构与给定群的运算规则完全一致。这是一个非常强大的连接，展示了代数和拓扑之间的深刻联系。
这个构造确保了我们总能找到这样一个空间。我们不需要担心能否构造出来，因为这个过程是系统性的，只要给出一个群的表示，就能按照规则来构建对应的空间。而这个空间，它的基本群就会精确地等于我们最初给定的那个群。
答案是肯定的。任何一个群都可以是一个拓扑空间的基本群。这个结果并非显而易见，它需要借助一些更深入的构造和概念。下面我将尝试以一种更贴近思考过程的方式来详细阐述。
理解基本群的含义
首先，我们需要回顾一下什么是基本群。一个拓扑空间 $X$ 的基本群 $pi_1(X)$，它捕捉了空间中“环路”的形变性质。具体来说，我们考虑空间中所有从某个固定点 $x_0 in X$ 出发，又回到 $x_0$ 的连续路径。两条路径如果可以连续地形变到对方，我们就说它们是同伦的。基本群就是这些同伦等价类的集合，并且这里的运算是路径的连接（将一条路径的终点作为下一条路径的起点）。基本群是一个群，它的群运算就是路径的连接运算，单位元就是常值路径（始点和终点都是 $x_0$）。
基本群的直观意义在于它反映了空间的“洞”。例如，圆的（任何一点作为基点的）基本群是整数群 $mathbb{Z}$，因为你可以绕圆一圈、两圈等等，这些不同的“绕圈数”构成了不同的同伦类。一个二维球面就没有这种“洞”，它的基本群是平凡群，即只包含单位元的群。
构造一个具有任意基本群的拓扑空间
既然我们想证明任何群 $G$ 都可以是某个空间的 $pi_1$，那么我们就需要一种方法，能够根据任意一个群 $G$ 来“制造”出这样的空间。这就像一个代数家给了一个群，然后一个拓扑学家就应该能够画出或构造出对应的空间。
核心的想法是，我们应该用代数结构的元素（群的生成元和关系）来指导空间的构造。
从群的表示开始
任何一个群 $G$ 都可以通过其表示来描述。一个群的表示由一组生成元和一个关系集合组成。生成元可以看作是空间中一些基本的、不可约的“回路”或“路径段”。关系则描述了这些生成元之间如何相互作用，可以被化简成单位元。例如，循环群 $mathbb{Z}_n$ 可以由一个生成元 $a$ 来表示，其关系是 $a^n = e$ (其中 $e$ 是单位元)。整数群 $mathbb{Z}$ 可以由一个生成元 $a$ 来表示，其关系是空集（或者说，没有非平凡的关系）。
让我们假设群 $G$ 的一个表示为 $langle g_1, g_2, dots | r_1, r_2, dots angle$，其中 $g_i$ 是生成元，$r_j$ 是关系。
使用凯莱图（Cayley Graph）
一种构造空间的方法是考虑群的凯莱图。凯莱图是群论中的一个重要工具，它以群的元素作为顶点，生成元定义了顶点之间的边。例如，对于整数群 $mathbb{Z}$，我们可以选择生成元为 $1$ 和 $1$。它的凯莱图就像一个无限长的数轴，从每个整数 $n$，你可以沿着值为 $1$ 的边走到 $n+1$，沿着值为 $1$ 的边走到 $n1$。
但是，直接将凯莱图看作一个拓扑空间，其基本群可能过于简单，或者不容易处理。我们需要更灵活的构造。
构造“细胞复形”（Cell Complex）
更通用的方法是构造一个CW复形（Cell Complex）。CW复形是一种特殊的拓扑空间，它通过一系列“细胞”的粘合来构建。这些细胞可以想象成不同维度的“块”。
1. 0维细胞：一个点
我们从一个单独的点开始，记作 $x_0$。这个点将作为我们空间的所有基本群的基点。
2. 1维细胞：对应生成元
对于群 $G$ 的每一个生成元 $g_i$，我们附加一个1维细胞，也就是一条“线段”或“圆弧”。这个1维细胞的两个端点都粘合到我们的0维点 $x_0$ 上。这样，每个1维细胞的“绕行”就对应着一个生成元 $g_i$。我们可以想象沿着这个1维细胞走一遍，就相当于执行了生成元 $g_i$ 的操作。将这两个端点粘合到同一个点上，就保证了从这个点出发的路径又回到这个点，形成了一个环路。
此时，如果我们只考虑这个点和这些1维细胞构成的空间，它的基本群是什么呢？这就像一堆只连接在一点的绳子。你可以沿着任何一条绳子绕一圈，或者沿着一条绳子绕几圈，或者沿着一条绳子过去再沿着另一条绳子回来。这个基本群就是由这些生成元生成的自由群。
3. 2维细胞：对应关系
现在，我们考虑群的关系 $r_j$。关系 $r_j$ 是由一系列生成元乘积组成的，例如 $r_j = g_{a_1}^{k_1} g_{a_2}^{k_2} dots g_{a_m}^{k_m}$。这个关系意味着这个乘积是可以被约化为单位元的。在空间中，这意味着我们可以在1维细胞上沿着特定的序列“走”一圈，最终会回到起点，并且这种“走”的方式是可以被连续形变的，最终可以收缩成一个点。
这就需要引入2维细胞。对于每一个关系 $r_j$，我们附加一个2维细胞，也就是一个“圆盘”。这个圆盘的边界（一个圆周）被粘合到我们之前构造的空间的1维部分上。粘合的方式是按照关系 $r_j$ 所描述的生成元序列来“描绘”这个圆盘的边界。
具体来说，设关系 $r_j = g_{i_1}^{p_1} g_{i_2}^{p_2} dots g_{i_k}^{p_k}$，其中 $p_m$ 是整数（正表示前进，负表示后退，指数表示重复次数）。我们就沿着对应生成元 $g_{i_1}, g_{i_2}, dots, g_{i_k}$ 的1维细胞依次走。我们将这个2维圆盘的边界精确地粘合到由这些1维细胞组成的路径上。
为什么这样构造有效？
这个构造出来的空间被称为凯莱复形（或一个由群表示生成的细胞复形）。它的基本群恰好就是给定的群 $G$。原因可以从代数拓扑的基本定理——Seifertvan Kampen 定理的直观理解来解释。
生成元：我们为每个生成元 $g_i$ 添加了一个1维细胞。这些1维细胞的“绕行”构成了基本群的生成元。事实上，这些1维细胞的连接构成了自由群的生成元。
关系：我们为每个关系 $r_j$ 添加了一个2维细胞。一个2维细胞的边界被粘合到空间中一条由生成元表示的路径上。当我们在2维圆盘上“填充”时，这个圆盘就被视为一个可以被收缩成一点的区域。这意味着在基本群中，这个2维圆盘所代表的“围合”路径的同伦类是单位元。这就把自由群中由关系产生的约化关系，变成了基本群中的实际关系。
换句话说，我们先用生成元构建了一个“松散”的结构（自由群），然后用关系来“收紧”它，将某些自由的环路“压扁”成点。这个过程正是将自由群的生成元映射到基本群的生成元，并将自由群中由关系生成的子群映射到基本群的平凡子群（也就是单位元）。
举例说明：
1. 整数群 $mathbb{Z}$
表示：$langle a angle$ (没有关系)。
构造：一个点 $x_0$ 和一个1维细胞（一条线段），其两个端点都粘合到 $x_0$ 上。这个空间就像一个圆。它的基本群就是由生成元 $a$ 生成的群，由于没有关系，它就是 $mathbb{Z}$。
2. 循环群 $mathbb{Z}_n$
表示：$langle a | a^n = e angle$。
构造：一个点 $x_0$ 和一个1维细胞，其两个端点都粘合到 $x_0$ 上。然后，我们再添加一个2维圆盘，其边界沿着1维细胞“走” $n$ 圈（由生成元 $a$ 表示）粘合上去。这个2维圆盘的粘合，意味着沿着1维细胞绕 $n$ 圈的路径可以被收缩成一个点。因此，这个空间的2维圆盘的边界的同伦类是单位元。这个空间的里的基本群就是 $mathbb{Z}_n$。
更一般的空间构造
这个构造过程还可以进一步细化。我们可以使用更一般的细胞复形，比如将多个1维细胞和2维细胞以更复杂的方式连接起来。但核心思想不变：生成元对应着低维的、形成基本回路的“骨架”，而关系则通过高维细胞的边界来“销毁”这些回路的非平凡性。
这个结果在代数拓扑中被称为表示定理或者与自由群的性质紧密相关。几乎所有群都可以通过其表示来构造出相应的凯莱复形，而这个凯莱复形的恰好就是这个群。
总结
所以，任何一个群都可以是某个拓扑空间的基本群。这个构造过程是“反向”的：我们从群的代数表示（生成元和关系）出发，然后通过在拓扑空间中引入特定维度的“细胞”来一一对应地实现这些代数结构。生成元对应着1维细胞的“绕行”，而关系则通过2维细胞的边界粘合，来精确地约束这些绕行，最终使得空间的“洞”的结构与给定群的运算规则完全一致。这是一个非常强大的连接，展示了代数和拓扑之间的深刻联系。
这个构造确保了我们总能找到这样一个空间。我们不需要担心能否构造出来，因为这个过程是系统性的，只要给出一个群的表示，就能按照规则来构建对应的空间。而这个空间，它的基本群就会精确地等于我们最初给定的那个群。
网友意见
回答是肯定的，对任何一个群 ，这就是所谓的Eilenberg-MacLane空间 ，即基本群为 且拥有可缩的泛覆盖空间的拓扑空间，具体构造如下（下图来自于Allen Hatcher的代数拓扑）。
在高维的情况也可以通过这种粘贴胞腔的方法构造类似的结果，由于高阶同伦群都交换，事实上对于任何一个交换群 和正整数 ，都存在拓扑空间 使得其 为 而其他阶同伦群都平凡，构造方法也是通过粘胞腔，这里不赘述了，感兴趣的话可以去看Hatcher的Section 4.2。顺便若给出一串 使得 时 都是交换群，那样就可以有 的第 个同伦群为 。
再说一些额外的，对每个CW复形，我们都可以用上面的手法造出一个和它每阶同伦群都一样的东西，但是有个问题是这二者并不一定真的有相同的伦型，不过我们可以稍作修改，现在每一层直接乘上去都相当于做平凡的fibration，如果将其每一步都"twist"一下后就可以得到所谓的Postnikov Approximation了，感兴趣的话也可以看看。
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