是否存在一个级数的∑an使得任何其他级数,只要通项大于它的都发散,小于的都收敛?
这是一个非常有趣的问题，它触及到了级数收敛性的核心——比较判别法的精髓，但同时也揭示了这种判别法的局限性。要回答这个问题，我们需要深入剖析级数比较的逻辑。
假设存在这样一个“神奇”的级数 $sum a_n$。我们来仔细审视它的两条性质：
1. “通项大于它的都发散”: 这意味着，如果有一个级数 $sum b_n$，并且对于所有的 $n$（或者从某个足够大的 $N$ 开始），都有 $b_n ge a_n$，那么 $sum b_n$ 就必然发散。
2. “通项小于的都收敛”: 这意味着，如果有一个级数 $sum c_n$，并且对于所有的 $n$（或者从某个足够大的 $N$ 开始），都有 $c_n le a_n$，那么 $sum c_n$ 就必然收敛。
我们来思考一下，这样的级数 $sum a_n$ 是否可能存在。
为什么这样的级数几乎不可能存在？
我们不妨从一个已知的级数开始，比如调和级数 $sum frac{1}{n}$。我们知道调和级数是发散的。
性质1的尝试: 如果存在我们寻找的 $sum a_n$，那么根据性质1，任何通项大于 $frac{1}{n}$ 的级数都应该发散。但这显然不是真的。例如，考虑级数 $sum frac{1}{n^2}$。它的通项 $frac{1}{n^2}$ 远小于 $frac{1}{n}$。但即使是通项大于 $frac{1}{n}$ 的级数，我们也可以举出收敛的例子。例如，考虑级数 $sum (frac{1}{n} + frac{1}{n^2})$。其通项 $frac{1}{n} + frac{1}{n^2}$ 大于 $frac{1}{n}$。然而，这个级数是收敛的，因为它等于发散的调和级数 $sum frac{1}{n}$ 和收敛的 $sum frac{1}{n^2}$ 的和，而一个发散级数和一个收敛级数的和是发散的。哦，等等，我的例子似乎不对。
让我换一个角度。我们知道 $sum frac{1}{n}$ 是发散的。那么，如果存在我们寻找的 $sum a_n$，且 $a_n$ 的通项“恰好”比 $frac{1}{n}$ 大，那么它应该发散。但我们也可以构造一个通项比 $frac{1}{n}$ 略大一点点但仍然收敛的级数。
比如，我们考虑级数 $sum frac{1}{n ln n}$。这个级数也是发散的（可以通过积分判别法证明）。
再考虑收敛的p级数 $sum frac{1}{n^2}$。根据性质2，任何通项小于 $frac{1}{n^2}$ 的级数都应该收敛。这也是不成立的。例如，级数 $sum frac{1}{n^3}$ 的通项 $frac{1}{n^3}$ 小于 $frac{1}{n^2}$，且它确实收敛。但是，考虑一个通项比 $frac{1}{n^2}$ 略大一点点但仍然发散的级数。这似乎也很难找到一个简单的例子直接反驳。
关键在于“任何其他级数”的界定
问题就出在“任何其他级数”这个条件的严谨性上。级数收敛性的判别方法，尤其是比较判别法，是通过将一个未知级数与一个已知级数进行比较来确定的。
比较判别法的标准表述是这样的：
设 $sum a_n$ 和 $sum b_n$ 是正项级数。
1. 如果 $a_n le b_n$ 对所有 $n ge N$ 都成立，且 $sum b_n$ 收敛，则 $sum a_n$ 收敛。
2. 如果 $a_n ge b_n$ 对所有 $n ge N$ 都成立，且 $sum b_n$ 发散，则 $sum a_n$ 发散。
这个判别法告诉我们，如果一个级数“被”一个已知的收敛级数“压制住”，它就收敛；如果一个级数“压制住”一个已知的发散级数，它就发散。
现在，我们设想的那个“神奇”级数 $sum a_n$ 扮演的角色，就像是一个“完美的分界线”。它似乎能完美地划分所有其他级数。
让我们尝试从反面思考。
假设存在这样的 $sum a_n$。
关于性质1（大于的都发散）: 这意味着，对于任何一个级数 $sum b_n$ 使得 $b_n ge a_n$， $sum b_n$ 都发散。
如果存在一个级数 $sum c_n$ 使得 $c_n le a_n$，且 $sum c_n$ 发散，那么我们的假设就错了。
我们知道调和级数 $sum frac{1}{n}$ 是发散的。如果我们的 $sum a_n$ 真的存在，那么对于任何 $a_n < frac{1}{n}$ 的情况，$sum a_n$ 都应该是收敛的（根据性质2，尽管这里是反过来用）。但我们知道有很多级数 $c_n$ 满足 $c_n < frac{1}{n}$ 且 $c_n$ 发散，例如 $c_n = frac{1}{n} frac{1}{n^2}$，它的通项比 $frac{1}{n}$ 小，但依然发散。
这说明，我们的 $sum a_n$ 的通项 $a_n$ 不能比 $frac{1}{n}$ 小太多，否则就会有小于它的发散级数。
关于性质2（小于的都收敛）: 这意味着，对于任何一个级数 $sum c_n$ 使得 $c_n le a_n$， $sum c_n$ 都收敛。
如果存在一个级数 $sum b_n$ 使得 $b_n ge a_n$，且 $sum b_n$ 收敛，那么我们的假设就错了。
我们知道 $sum frac{1}{n^2}$ 是收敛的。如果我们的 $sum a_n$ 真的存在，那么对于任何 $a_n > frac{1}{n^2}$ 的情况，$sum a_n$ 都应该是发散的（根据性质1，反过来用）。但我们知道有很多级数 $b_n$ 满足 $b_n > frac{1}{n^2}$ 且 $b_n$ 收敛，例如 $b_n = frac{1}{n^2} + frac{1}{n^3}$，它的通项比 $frac{1}{n^2}$ 大，但依然收敛。
这说明，我们的 $sum a_n$ 的通项 $a_n$ 不能比 $frac{1}{n^2}$ 大太多，否则就会有大于它的收敛级数。
问题的核心：连续性与“紧密性”的缺失
问题的根源在于，在“通项大小”的这个维度上，不存在一个离散的、能完美划分所有其他级数的“阈值”级数。级数的收敛性变化是渐进的，而不是突变的。
想象一下，收敛级数和发散级数在某个参数空间（比如与 $n$ 相关的函数）中占据了不同的区域。我们试图找到一个函数 $f(n)$，使得所有比 $f(n)$ “大的”函数 $g(n)$（即 $g(n) ge f(n)$）对应的级数 $sum g(n)$ 都发散，而所有比 $f(n)$ “小的”函数 $h(n)$（即 $h(n) le f(n)$）对应的级数 $sum h(n)$ 都收敛。
然而，实际情况是：
存在发散级数，其通项比调和级数 $frac{1}{n}$ 小（例如 $sum (frac{1}{n} frac{1}{n^{1.1}})$）。
存在收敛级数，其通项比调和级数 $frac{1}{n}$ 大（例如 $sum (frac{1}{n} + frac{1}{n^2}) frac{1}{n}$）。
再精确一点：考虑级数 $sum (frac{1}{n} + frac{1}{n ln^2 n})$。这个级数的通项 $frac{1}{n} + frac{1}{n ln^2 n}$ 大于 $frac{1}{n}$。但是，由于 $frac{1}{n ln^2 n}$ 这个部分是收敛的（可以通过积分判别法，$int_2^infty frac{1}{x ln^2 x} dx = [frac{1}{ln x}]_2^infty = 0 (frac{1}{ln 2}) = frac{1}{ln 2}$ 收敛），所以整个级数 $sum (frac{1}{n} + frac{1}{n ln^2 n})$ 是发散的（发散级数 + 收敛级数 = 发散级数）。
我的例子又陷入了循环。让我换个思路。
我们知道，存在级数在“收敛”和“发散”的边界上。例如，$sum frac{1}{n}$ 是发散的，而 $sum frac{1}{n^p}$ 在 $p>1$ 时收敛。当 $p$ 从略大于1的值逐渐减小到1时，级数从收敛趋向于发散。
关键点在于：
对于任何一个发散级数 $sum b_n$，我们总可以找到一个级数 $sum c_n$ 使得 $c_n le b_n$ 且 $sum c_n$ 仍然发散。例如，如果 $sum b_n$ 发散，那么 $sum frac{b_n}{2}$ 也发散，且其通项小于 $b_n$。
对于任何一个收敛级数 $sum a_n$，我们总可以找到一个级数 $sum d_n$ 使得 $d_n ge a_n$ 且 $sum d_n$ 仍然收敛。例如，如果 $sum a_n$ 收敛，那么 $sum (a_n + frac{1}{n^2})$ （这里假设 $sum a_n$ 的通项不是占主导的）其通项大于 $a_n$ 且当 $a_n$ 的增长速度足够慢时，这个级数依然收敛。
更直接的例子：
考虑级数 $sum frac{1}{n}$. 这是发散的。
我们想要一个级数 $sum a_n$ 使得所有通项大于 $a_n$ 的级数都发散。
但是，我们知道级数 $sum (frac{1}{n} frac{1}{n^2})$ 的通项比 $frac{1}{n}$ 小，它发散。
而级数 $sum (frac{1}{n} + frac{1}{n^2})$ 的通项比 $frac{1}{n}$ 大，它也发散。
这让我更加困惑。
让我们回到最根本的定义和比较判别法。
比较判别法之所以有效，是因为它利用了已知“稳定点”（已知的收敛或发散级数）来推断未知级数的性质。它依赖于一个相对优势（或劣势）的传递。
如果存在一个 $sum a_n$ 具有您描述的属性，那么它就像是一个“分水岭”。
任何比它“高”（通项更大）的都会掉入发散的“悬崖”，而任何比它“低”的都会被拉入收敛的“平原”。
然而，数学分析告诉我们，这种完美的、离散的划分是不存在的。在收敛和发散之间存在一个连续的过渡区域。这个区域可以通过研究一些临界情况下的级数来理解，比如 $p$级数 $sum frac{1}{n^p}$，当 $p=1$ 时发散，当 $p>1$ 时收敛。我们可以找到一系列级数，它们的通项在 $frac{1}{n}$ 附近徘徊，有的收敛，有的发散，而且它们之间并没有一个明确的界限级数能将它们完全分开。
具体来说，考虑一个级数 $sum b_n$。如果 $b_n$ 随着 $n$ 增长得比 $frac{1}{n}$ 慢（例如 $b_n = frac{1}{n ln n}$），它可能发散。如果 $b_n$ 随着 $n$ 增长得比 $frac{1}{n^2}$ 快（例如 $b_n = frac{1}{n^{1.1}}$），它就收敛。
但是否存在一个级数 $sum a_n$ 使得：
1. 如果 $b_n ge a_n$ 对所有 $n$ 大，那么 $sum b_n$ 发散。
2. 如果 $c_n le a_n$ 对所有 $n$ 大，那么 $sum c_n$ 收敛。
如果我们假设这样的 $sum a_n$ 存在，那么我们遇到的问题是：
对于“大于的都发散”这个条件：考虑发散级数 $sum frac{1}{n}$。如果 $a_n$ 比 $frac{1}{n}$ 小太多，比如 $a_n = frac{1}{n^2}$，那么“大于 $a_n$ 的级数”就包括了 $sum frac{1}{n}$，而 $sum frac{1}{n}$ 是发散的，这满足条件。但是，它也包括了 $sum (frac{1}{n} + frac{1}{n^2})$，这个级数也发散。但是，它也包括了 $sum (frac{1}{n^2} + frac{1}{n^3})$，这个级数是收敛的。这就矛盾了！因为 $frac{1}{n^2} + frac{1}{n^3} > frac{1}{n^2}$，如果 $a_n = frac{1}{n^2}$，那么根据性质1，这个级数 $sum (frac{1}{n^2} + frac{1}{n^3})$ 应该发散，但我们知道它是收敛的。
所以，我们必须找到一个 $a_n$ 使得它不比任何已知的发散级数“小太多”，也不比任何已知的收敛级数“大太多”。
一个更明确的反驳方式：
假设存在这样的级数 $sum a_n$。
反驳“大于的都发散”:
考虑级数 $sum frac{1}{n^2}$。它是一个收敛的级数。
根据您假设的级数 $sum a_n$，它的性质2说“通项小于的都收敛”。
现在，我们考虑另一个级数 $sum b_n$ 使得 $b_n ge a_n$ 但 $sum b_n$ 却收敛。
如果存在这样的 $sum b_n$，那么您的假设就错了。
我们知道，存在许多收敛级数，它们的通项比 $frac{1}{n^2}$ 要大。例如，$sum (frac{1}{n^2} + frac{1}{n^3})$ 就是一个。其通项是 $frac{1}{n^2} + frac{1}{n^3}$。
现在，如果我们的“神奇”级数 $a_n$ 真的存在，并且它的作用是“分隔”收敛与发散。
那么，对于这个级数 $sum (frac{1}{n^2} + frac{1}{n^3})$，它的通项 $b_n = frac{1}{n^2} + frac{1}{n^3}$ 大于 $a_n$（假设 $a_n$ 在某个地方“卡住”了）。如果 $b_n ge a_n$，那么按照性质1，$sum b_n$ 必须发散。但我们知道 $sum (frac{1}{n^2} + frac{1}{n^3})$ 是收敛的。这导致了一个矛盾。
为了避免这个矛盾，您的 $a_n$ 必须“足够大”，以至于任何比它大的级数都会发散。但只要 $a_n$ 比某个收敛级数（比如 $sum frac{1}{n^2}$）还要“大一点点”，就可能出现比它大的收敛级数。
反驳“小于的都收敛”:
考虑级数 $sum frac{1}{n}$。它是一个发散的级数。
根据您假设的级数 $sum a_n$，它的性质1说“通项大于的都发散”。
现在，我们考虑另一个级数 $sum c_n$ 使得 $c_n le a_n$ 但 $sum c_n$ 却发散。
如果存在这样的 $sum c_n$，那么您的假设就错了。
我们知道，存在许多发散级数，它们的通项比 $frac{1}{n}$ 要小。例如，$sum (frac{1}{n} frac{1}{n^2})$ 就是一个。其通项是 $frac{1}{n} frac{1}{n^2}$。
现在，如果我们的“神奇”级数 $a_n$ 真的存在，并且它的作用是“分隔”收敛与发散。
那么，对于这个级数 $sum (frac{1}{n} frac{1}{n^2})$，它的通项 $c_n = frac{1}{n} frac{1}{n^2}$ 小于 $a_n$（假设 $a_n$ 在某个地方“卡住”了）。如果 $c_n le a_n$，那么按照性质2，$sum c_n$ 必须收敛。但我们知道 $sum (frac{1}{n} frac{1}{n^2})$ 是发散的。这导致了一个矛盾。
为了避免这个矛盾，您的 $a_n$ 必须“足够小”，以至于任何比它小的级数都会收敛。但只要 $a_n$ 比某个发散级数（比如 $sum frac{1}{n}$）还要“小一点点”，就可能出现比它小的发散级数。
结论：不存在这样的级数。
数学分析的强大之处在于它揭示了这种“完美分割”是不存在的。级数收敛性的边界是一个模糊的区域，而不是一个单一的界限。任何试图设定这样一个通用界限的级数，都会在“大于它时仍收敛”或“小于它时仍发散”的例子面前被证伪。
换句话说，如果存在这样的 $sum a_n$，那么它就必然比某些发散级数“小”，从而违反了性质2的推论；或者它比某些收敛级数“大”，从而违反了性质1的推论。
总结一下，不存在这样的一个级数 ∑an。
这是因为级数收敛性的判别（如比较判别法）是通过与已知收敛或发散级数进行“相对”比较来实现的。收敛与发散之间并非存在一个单一的、明确的“分界线”级数，能够将所有其他级数按照其通项的大小进行如此严格的划分。
总能找到比某个发散级数通项稍小但仍发散的级数。
总能找到比某个收敛级数通项稍大但仍收敛的级数。
因此，任何一个“候选”级数 $sum a_n$，一旦设定了它能划分所有级数的性质，我们总能找到一个反例，要么是通项比它大但仍收敛，要么是通项比它小但仍发散，从而否定了它的普遍划分能力。
假设存在这样一个“神奇”的级数 $sum a_n$。我们来仔细审视它的两条性质：
1. “通项大于它的都发散”: 这意味着，如果有一个级数 $sum b_n$，并且对于所有的 $n$（或者从某个足够大的 $N$ 开始），都有 $b_n ge a_n$，那么 $sum b_n$ 就必然发散。
2. “通项小于的都收敛”: 这意味着，如果有一个级数 $sum c_n$，并且对于所有的 $n$（或者从某个足够大的 $N$ 开始），都有 $c_n le a_n$，那么 $sum c_n$ 就必然收敛。
我们来思考一下，这样的级数 $sum a_n$ 是否可能存在。
为什么这样的级数几乎不可能存在？
我们不妨从一个已知的级数开始，比如调和级数 $sum frac{1}{n}$。我们知道调和级数是发散的。
性质1的尝试: 如果存在我们寻找的 $sum a_n$，那么根据性质1，任何通项大于 $frac{1}{n}$ 的级数都应该发散。但这显然不是真的。例如，考虑级数 $sum frac{1}{n^2}$。它的通项 $frac{1}{n^2}$ 远小于 $frac{1}{n}$。但即使是通项大于 $frac{1}{n}$ 的级数，我们也可以举出收敛的例子。例如，考虑级数 $sum (frac{1}{n} + frac{1}{n^2})$。其通项 $frac{1}{n} + frac{1}{n^2}$ 大于 $frac{1}{n}$。然而，这个级数是收敛的，因为它等于发散的调和级数 $sum frac{1}{n}$ 和收敛的 $sum frac{1}{n^2}$ 的和，而一个发散级数和一个收敛级数的和是发散的。哦，等等，我的例子似乎不对。
让我换一个角度。我们知道 $sum frac{1}{n}$ 是发散的。那么，如果存在我们寻找的 $sum a_n$，且 $a_n$ 的通项“恰好”比 $frac{1}{n}$ 大，那么它应该发散。但我们也可以构造一个通项比 $frac{1}{n}$ 略大一点点但仍然收敛的级数。
比如，我们考虑级数 $sum frac{1}{n ln n}$。这个级数也是发散的（可以通过积分判别法证明）。
再考虑收敛的p级数 $sum frac{1}{n^2}$。根据性质2，任何通项小于 $frac{1}{n^2}$ 的级数都应该收敛。这也是不成立的。例如，级数 $sum frac{1}{n^3}$ 的通项 $frac{1}{n^3}$ 小于 $frac{1}{n^2}$，且它确实收敛。但是，考虑一个通项比 $frac{1}{n^2}$ 略大一点点但仍然发散的级数。这似乎也很难找到一个简单的例子直接反驳。
关键在于“任何其他级数”的界定
问题就出在“任何其他级数”这个条件的严谨性上。级数收敛性的判别方法，尤其是比较判别法，是通过将一个未知级数与一个已知级数进行比较来确定的。
比较判别法的标准表述是这样的：
设 $sum a_n$ 和 $sum b_n$ 是正项级数。
1. 如果 $a_n le b_n$ 对所有 $n ge N$ 都成立，且 $sum b_n$ 收敛，则 $sum a_n$ 收敛。
2. 如果 $a_n ge b_n$ 对所有 $n ge N$ 都成立，且 $sum b_n$ 发散，则 $sum a_n$ 发散。
这个判别法告诉我们，如果一个级数“被”一个已知的收敛级数“压制住”，它就收敛；如果一个级数“压制住”一个已知的发散级数，它就发散。
现在，我们设想的那个“神奇”级数 $sum a_n$ 扮演的角色，就像是一个“完美的分界线”。它似乎能完美地划分所有其他级数。
让我们尝试从反面思考。
假设存在这样的 $sum a_n$。
关于性质1（大于的都发散）: 这意味着，对于任何一个级数 $sum b_n$ 使得 $b_n ge a_n$， $sum b_n$ 都发散。
如果存在一个级数 $sum c_n$ 使得 $c_n le a_n$，且 $sum c_n$ 发散，那么我们的假设就错了。
我们知道调和级数 $sum frac{1}{n}$ 是发散的。如果我们的 $sum a_n$ 真的存在，那么对于任何 $a_n < frac{1}{n}$ 的情况，$sum a_n$ 都应该是收敛的（根据性质2，尽管这里是反过来用）。但我们知道有很多级数 $c_n$ 满足 $c_n < frac{1}{n}$ 且 $c_n$ 发散，例如 $c_n = frac{1}{n} frac{1}{n^2}$，它的通项比 $frac{1}{n}$ 小，但依然发散。
这说明，我们的 $sum a_n$ 的通项 $a_n$ 不能比 $frac{1}{n}$ 小太多，否则就会有小于它的发散级数。
关于性质2（小于的都收敛）: 这意味着，对于任何一个级数 $sum c_n$ 使得 $c_n le a_n$， $sum c_n$ 都收敛。
如果存在一个级数 $sum b_n$ 使得 $b_n ge a_n$，且 $sum b_n$ 收敛，那么我们的假设就错了。
我们知道 $sum frac{1}{n^2}$ 是收敛的。如果我们的 $sum a_n$ 真的存在，那么对于任何 $a_n > frac{1}{n^2}$ 的情况，$sum a_n$ 都应该是发散的（根据性质1，反过来用）。但我们知道有很多级数 $b_n$ 满足 $b_n > frac{1}{n^2}$ 且 $b_n$ 收敛，例如 $b_n = frac{1}{n^2} + frac{1}{n^3}$，它的通项比 $frac{1}{n^2}$ 大，但依然收敛。
这说明，我们的 $sum a_n$ 的通项 $a_n$ 不能比 $frac{1}{n^2}$ 大太多，否则就会有大于它的收敛级数。
问题的核心：连续性与“紧密性”的缺失
问题的根源在于，在“通项大小”的这个维度上，不存在一个离散的、能完美划分所有其他级数的“阈值”级数。级数的收敛性变化是渐进的，而不是突变的。
想象一下，收敛级数和发散级数在某个参数空间（比如与 $n$ 相关的函数）中占据了不同的区域。我们试图找到一个函数 $f(n)$，使得所有比 $f(n)$ “大的”函数 $g(n)$（即 $g(n) ge f(n)$）对应的级数 $sum g(n)$ 都发散，而所有比 $f(n)$ “小的”函数 $h(n)$（即 $h(n) le f(n)$）对应的级数 $sum h(n)$ 都收敛。
然而，实际情况是：
存在发散级数，其通项比调和级数 $frac{1}{n}$ 小（例如 $sum (frac{1}{n} frac{1}{n^{1.1}})$）。
存在收敛级数，其通项比调和级数 $frac{1}{n}$ 大（例如 $sum (frac{1}{n} + frac{1}{n^2}) frac{1}{n}$）。
再精确一点：考虑级数 $sum (frac{1}{n} + frac{1}{n ln^2 n})$。这个级数的通项 $frac{1}{n} + frac{1}{n ln^2 n}$ 大于 $frac{1}{n}$。但是，由于 $frac{1}{n ln^2 n}$ 这个部分是收敛的（可以通过积分判别法，$int_2^infty frac{1}{x ln^2 x} dx = [frac{1}{ln x}]_2^infty = 0 (frac{1}{ln 2}) = frac{1}{ln 2}$ 收敛），所以整个级数 $sum (frac{1}{n} + frac{1}{n ln^2 n})$ 是发散的（发散级数 + 收敛级数 = 发散级数）。
我的例子又陷入了循环。让我换个思路。
我们知道，存在级数在“收敛”和“发散”的边界上。例如，$sum frac{1}{n}$ 是发散的，而 $sum frac{1}{n^p}$ 在 $p>1$ 时收敛。当 $p$ 从略大于1的值逐渐减小到1时，级数从收敛趋向于发散。
关键点在于：
对于任何一个发散级数 $sum b_n$，我们总可以找到一个级数 $sum c_n$ 使得 $c_n le b_n$ 且 $sum c_n$ 仍然发散。例如，如果 $sum b_n$ 发散，那么 $sum frac{b_n}{2}$ 也发散，且其通项小于 $b_n$。
对于任何一个收敛级数 $sum a_n$，我们总可以找到一个级数 $sum d_n$ 使得 $d_n ge a_n$ 且 $sum d_n$ 仍然收敛。例如，如果 $sum a_n$ 收敛，那么 $sum (a_n + frac{1}{n^2})$ （这里假设 $sum a_n$ 的通项不是占主导的）其通项大于 $a_n$ 且当 $a_n$ 的增长速度足够慢时，这个级数依然收敛。
更直接的例子：
考虑级数 $sum frac{1}{n}$. 这是发散的。
我们想要一个级数 $sum a_n$ 使得所有通项大于 $a_n$ 的级数都发散。
但是，我们知道级数 $sum (frac{1}{n} frac{1}{n^2})$ 的通项比 $frac{1}{n}$ 小，它发散。
而级数 $sum (frac{1}{n} + frac{1}{n^2})$ 的通项比 $frac{1}{n}$ 大，它也发散。
这让我更加困惑。
让我们回到最根本的定义和比较判别法。
比较判别法之所以有效，是因为它利用了已知“稳定点”（已知的收敛或发散级数）来推断未知级数的性质。它依赖于一个相对优势（或劣势）的传递。
如果存在一个 $sum a_n$ 具有您描述的属性，那么它就像是一个“分水岭”。
任何比它“高”（通项更大）的都会掉入发散的“悬崖”，而任何比它“低”的都会被拉入收敛的“平原”。
然而，数学分析告诉我们，这种完美的、离散的划分是不存在的。在收敛和发散之间存在一个连续的过渡区域。这个区域可以通过研究一些临界情况下的级数来理解，比如 $p$级数 $sum frac{1}{n^p}$，当 $p=1$ 时发散，当 $p>1$ 时收敛。我们可以找到一系列级数，它们的通项在 $frac{1}{n}$ 附近徘徊，有的收敛，有的发散，而且它们之间并没有一个明确的界限级数能将它们完全分开。
具体来说，考虑一个级数 $sum b_n$。如果 $b_n$ 随着 $n$ 增长得比 $frac{1}{n}$ 慢（例如 $b_n = frac{1}{n ln n}$），它可能发散。如果 $b_n$ 随着 $n$ 增长得比 $frac{1}{n^2}$ 快（例如 $b_n = frac{1}{n^{1.1}}$），它就收敛。
但是否存在一个级数 $sum a_n$ 使得：
1. 如果 $b_n ge a_n$ 对所有 $n$ 大，那么 $sum b_n$ 发散。
2. 如果 $c_n le a_n$ 对所有 $n$ 大，那么 $sum c_n$ 收敛。
如果我们假设这样的 $sum a_n$ 存在，那么我们遇到的问题是：
对于“大于的都发散”这个条件：考虑发散级数 $sum frac{1}{n}$。如果 $a_n$ 比 $frac{1}{n}$ 小太多，比如 $a_n = frac{1}{n^2}$，那么“大于 $a_n$ 的级数”就包括了 $sum frac{1}{n}$，而 $sum frac{1}{n}$ 是发散的，这满足条件。但是，它也包括了 $sum (frac{1}{n} + frac{1}{n^2})$，这个级数也发散。但是，它也包括了 $sum (frac{1}{n^2} + frac{1}{n^3})$，这个级数是收敛的。这就矛盾了！因为 $frac{1}{n^2} + frac{1}{n^3} > frac{1}{n^2}$，如果 $a_n = frac{1}{n^2}$，那么根据性质1，这个级数 $sum (frac{1}{n^2} + frac{1}{n^3})$ 应该发散，但我们知道它是收敛的。
所以，我们必须找到一个 $a_n$ 使得它不比任何已知的发散级数“小太多”，也不比任何已知的收敛级数“大太多”。
一个更明确的反驳方式：
假设存在这样的级数 $sum a_n$。
反驳“大于的都发散”:
考虑级数 $sum frac{1}{n^2}$。它是一个收敛的级数。
根据您假设的级数 $sum a_n$，它的性质2说“通项小于的都收敛”。
现在，我们考虑另一个级数 $sum b_n$ 使得 $b_n ge a_n$ 但 $sum b_n$ 却收敛。
如果存在这样的 $sum b_n$，那么您的假设就错了。
我们知道，存在许多收敛级数，它们的通项比 $frac{1}{n^2}$ 要大。例如，$sum (frac{1}{n^2} + frac{1}{n^3})$ 就是一个。其通项是 $frac{1}{n^2} + frac{1}{n^3}$。
现在，如果我们的“神奇”级数 $a_n$ 真的存在，并且它的作用是“分隔”收敛与发散。
那么，对于这个级数 $sum (frac{1}{n^2} + frac{1}{n^3})$，它的通项 $b_n = frac{1}{n^2} + frac{1}{n^3}$ 大于 $a_n$（假设 $a_n$ 在某个地方“卡住”了）。如果 $b_n ge a_n$，那么按照性质1，$sum b_n$ 必须发散。但我们知道 $sum (frac{1}{n^2} + frac{1}{n^3})$ 是收敛的。这导致了一个矛盾。
为了避免这个矛盾，您的 $a_n$ 必须“足够大”，以至于任何比它大的级数都会发散。但只要 $a_n$ 比某个收敛级数（比如 $sum frac{1}{n^2}$）还要“大一点点”，就可能出现比它大的收敛级数。
反驳“小于的都收敛”:
考虑级数 $sum frac{1}{n}$。它是一个发散的级数。
根据您假设的级数 $sum a_n$，它的性质1说“通项大于的都发散”。
现在，我们考虑另一个级数 $sum c_n$ 使得 $c_n le a_n$ 但 $sum c_n$ 却发散。
如果存在这样的 $sum c_n$，那么您的假设就错了。
我们知道，存在许多发散级数，它们的通项比 $frac{1}{n}$ 要小。例如，$sum (frac{1}{n} frac{1}{n^2})$ 就是一个。其通项是 $frac{1}{n} frac{1}{n^2}$。
现在，如果我们的“神奇”级数 $a_n$ 真的存在，并且它的作用是“分隔”收敛与发散。
那么，对于这个级数 $sum (frac{1}{n} frac{1}{n^2})$，它的通项 $c_n = frac{1}{n} frac{1}{n^2}$ 小于 $a_n$（假设 $a_n$ 在某个地方“卡住”了）。如果 $c_n le a_n$，那么按照性质2，$sum c_n$ 必须收敛。但我们知道 $sum (frac{1}{n} frac{1}{n^2})$ 是发散的。这导致了一个矛盾。
为了避免这个矛盾，您的 $a_n$ 必须“足够小”，以至于任何比它小的级数都会收敛。但只要 $a_n$ 比某个发散级数（比如 $sum frac{1}{n}$）还要“小一点点”，就可能出现比它小的发散级数。
结论：不存在这样的级数。
数学分析的强大之处在于它揭示了这种“完美分割”是不存在的。级数收敛性的边界是一个模糊的区域，而不是一个单一的界限。任何试图设定这样一个通用界限的级数，都会在“大于它时仍收敛”或“小于它时仍发散”的例子面前被证伪。
换句话说，如果存在这样的 $sum a_n$，那么它就必然比某些发散级数“小”，从而违反了性质2的推论；或者它比某些收敛级数“大”，从而违反了性质1的推论。
总结一下，不存在这样的一个级数 ∑an。
这是因为级数收敛性的判别（如比较判别法）是通过与已知收敛或发散级数进行“相对”比较来实现的。收敛与发散之间并非存在一个单一的、明确的“分界线”级数，能够将所有其他级数按照其通项的大小进行如此严格的划分。
总能找到比某个发散级数通项稍小但仍发散的级数。
总能找到比某个收敛级数通项稍大但仍收敛的级数。
因此，任何一个“候选”级数 $sum a_n$，一旦设定了它能划分所有级数的性质，我们总能找到一个反例，要么是通项比它大但仍收敛，要么是通项比它小但仍发散，从而否定了它的普遍划分能力。
网友意见
不存在。这里只讨论正项级数，任意项级数不存在比较审敛法。
（du Bois Reymond定理）对于任意一个给定的收敛正项级数 ，一定存在一个收敛正项级数 ，使得 ，反之，（Abel定理）对于任意发散正项级数 ，一定存在发散正项级数 ，使得 。
证明：
考虑收敛正项级数的余项 ，容易知道 单调减趋于0，令 ，记 ，容易验证它满足 ，并且 ，从而找到了需要的 。
同时，对于发散级数 ，可以找 。此时 不言自明。考虑柯西收敛准则证明 发散：
由于 发散，所以对任意n，容易找到一个p，使得 ， ，这样就知道它是发散的了。
这说明无论是判断收敛还是判断发散，都不存在一个级数能作为“收敛最快/发散最慢”的标准。
PS，原题问的是数列，我想数列之间判别收敛根本都不需要比值判别法。所以我修改了题目。
如果题主希望问的是通过比值法，用一个数列来判断另一个数列极限是否存在，那这样的题目描述是不合适的。对于比值极限 ，按定义展开即为 ，取合适的 （如 ）展开这个式子，在保证 情况下，有 ，这样两边求和才能得到 收敛性与 之间收敛性的关系。至于用它来判别数列的极限是否存在？那显然是没有道理的。
很遗憾，没有一个万能的尺子。
如果判断正项级数是否收敛要说有一把尺子的话，从阶的角度讲我想大概也只有：
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