是否存在一个「无法判定为有理数或无理数」的实数？
每一个实数，根据其小数表示形式，都必然属于有理数或无理数中的一个。这是实数体系中一个普适的、二分的性质。让我们来详细拆解一下，为什么会这样，以及为什么我们不会遇到“卡在中间”的实数。
首先，我们得明白“实数”到底是怎么来的。
数学家们在发展数系的过程中，为了解决各种各样的数学问题，不断地扩展数的概念。
自然数： 我们从数数开始，1, 2, 3…… 这是最基本的计数单位。
整数： 随着减法运算的出现，我们遇到了负数和零，于是有了整数：…3, 2, 1, 0, 1, 2, 3…
有理数： 当我们需要进行除法运算，比如把一个东西分成几份，或者描述比例时，就需要分数。分数的形式是 $frac{p}{q}$，其中 $p$ 是整数，$q$ 是非零整数。所有这样的分数，加上它们的整数形式（因为任何整数都可以写成 $frac{n}{1}$），就构成了有理数集合。
有理数有一个非常重要的特征，那就是它们的小数表示。任何有理数的小数表示，要么是有限的（比如 $0.5 = frac{1}{2}$， $0.75 = frac{3}{4}$），要么是循环的（比如 $frac{1}{3} = 0.333dots$， $frac{2}{7} = 0.285714285714dots$）。反过来，任何有限小数或循环小数也都可以表示成两个整数的比值，所以它们都是有理数。
然后，我们遇到了“无理数”。
在发展几何和代数的过程中，数学家们发现有些数无法用两个整数的比值来表示。最著名的例子就是 $sqrt{2}$。人们通过勾股定理发现，一个边长为1的正方形，其对角线的长度是 $sqrt{2}$。经过严谨的证明，我们知道 $sqrt{2}$ 的小数表示是无限不循环的（$1.41421356237dots$），无论你怎么写，都找不到一个重复的规律。
这就是“无理数”的定义：不能表示为两个整数之比的实数。 它们的decimal representation 是无限且不循环的。除了 $sqrt{2}$，还有 $pi$（圆周率，约等于 $3.14159dots$）和 $e$（自然对数的底数，约等于 $2.71828dots$）等都是著名的无理数。
现在我们回到问题的核心：为什么不存在“既非有理数又非无理数”的实数？
这是因为“有理数”和“无理数”对实数集合来说，是完备的、互斥的两部分。
1. 互斥性 (Mutually Exclusive)： 一个实数，要么能表示成两个整数之比，要么不能。没有第三种可能。
如果一个实数可以被写成 $frac{p}{q}$ 的形式（$p, q$ 是整数，$q eq 0$），那么它就是有理数。
如果一个实数就是不能被写成 $frac{p}{q}$ 的形式，那么它就是无理数。
2. 完备性 (Exhaustive)： 这意味着实数集合就是由这两部分完全组成的。所有实数，要么是有理数，要么是无理数。没有“漏掉”的实数。
可以打个比方来理解：
想象一下你有一堆玩具。你可以把它们分成两类：
会说话的玩具 (类比有理数)：它们有明确的“发出声音”的功能，可以被归类。
不会说话的玩具 (类比无理数)：它们没有“发出声音”的功能。
现在，如果有人问：“有没有一个玩具，它既不会说话，又不是不会说话的玩具？”
答案是否定的。因为“会说话”和“不会说话”这两个属性，对于玩具来说，是完全对立且涵盖了所有可能性的。一个玩具要么会说话，要么不会说话，不存在第三种状态。
同样地，对于实数，它们的小数展开方式决定了它们是什么：
有限小数或循环小数 → 有理数
无限不循环小数 → 无理数
这两个分类是相互排斥的（一个数不可能同时是有限小数和无限不循环小数），并且是完备的（任何实数的小数展开方式，必然是这两种情况之一）。
数学上的严谨性：
这种划分是建立在严格的数学定义和公理之上的。实数的构造本身（例如通过戴德金分割或柯西序列）就保证了最终形成的集合能够容纳所有“数轴上的点”，而这些点根据其与有理数的“距离”或“可逼近性”被自然地划分为这两类。
所以，回到你的问题，“是否存在一个『无法判定为有理数或无理数』的实数？”
答案是：不存在。任何一个实数，只要你仔细检查它的定义或小数表示的性质，就一定能明确地判断出它是属于有理数集合还是无理数集合。它们之间的界限是清晰且绝对的。
网友意见
谢邀。
你问的问题表面看似乎很简单，实际上很深刻。
而且涉及很多公开未解决的问题。
1. 无理数与超越数
首先按照有理数，无理数的定义，任何一个实数必然要么是有理数，要么是无理数。
但是到具体的一个数到底是有理数还是无理数，这需要数学家们的努力工作才能完成。
这个道理，就像我给你一张卷子全部是判断题。我告诉你每道题要么填对要么填错。
但是至于每一道具体的题目，到底是对是错，这需要做试卷的人去努力才能做出来。
这里稍微再介绍两个概念超越数与代数数。
能表示成整系数多项式的根的实数叫代数数，这等价于能表示成有理系数多项式的根。
不是代数数的实数叫超越数，
比如π和e.
当然，每个有理数都是代数数，于是超越数就一定是无理数。
有些证明实数无理性的方法，就是通过证明其为超越数。
2. 与超越数有关的公开问题
比较难一点的，已经被证明的超越数有
但是像 和欧拉常数 这些数的超越性都是公开问题，而且尽管我们坚信这些都是超越数，实际上连他们是不是无理数都是公开问题。
稍微聊下e和π的和 .
令
假设 两者都是有理数。
则g(x)就是一个有理系数多项式，而他们的根e和π是超越数。
这由超越数的定义得到矛盾，于是 两者中必有一个无理数。
即使如此，我们依然还是不能证明他们到底哪个或者全部是无理数。
即这是公开问题，尽管我们的直觉让我们坚信他们两个都是超越数。
另外，我们已经知道，从个数的角度看，
代数数跟有理数的个数和正整数是一样的，都是可数个，而超越数跟无理数的个数都跟实数一样多。
因此超越数是无处不在的，用测度的语言来说就是：
在实数上几乎处处都是超越数。
而现实的情况是，有大量从直观上我们坚信它是超越数的实数，我们还无法证明其超越性。
你心理上是不是不太好接受？
就像暗物质充斥着整个宇宙，而我们却对她知之甚少！
更多有意思的数学可以看看：
以上这些内容就是数论的一个分支超越数论要研究的内容。
3. 数理逻辑
如果你真的就是严格的指，
是否存在一个实数，无法判断其是有理数还是无理数？
那你这个问题实际上离上面的超越数论这些分支已经很远了。
你这个是一个更加靠近纯逻辑的问题，是数理逻辑研究的范围。
著名的哥德尔不完备定理：
任何兼容的形式系统，只要蕴涵皮亚诺算术公理，就可以在其中构造在体系中不能被证明的真命题，因此通过推演不能得到所有真命题(即体系是不完备的).
即，的确是存在逻辑上无法证明的真命题。
如果你往这方面想的话，那跟你的具体什么无理性问题根本就没有关系了，任何一个公开未解决的证明问题都可以这样想，比如黎曼猜想，哥德巴赫猜想。
但是这个对你在解决某个具体的数学问题的时候是没有帮助的。
有时候甚至是有害的，因为你证明不出来，你就会侥幸地想是不是这个问题就是哥德尔不完备定理中的“那个”呢！
安德鲁.怀尔斯在证明费马大定理严重受挫时就曾经为了给自己一个台阶下，让自己放弃跟自己达成和解，就曾经这么想过。
后来他坚持下来了，总共花了7年时间，终于证明了费马大定理。
4. 如何问一个好的问题
如果你对实数好奇，想知道哪些是有理数，哪些是无理数，哪些是代数数，哪些是超越数，那么你这样问问题就不是一个好的方式。
因为你已经偏离了实数理论或者说超越数论，你走进了数理逻辑。
你可以直接问：
基本上，没有一个超越数论的研究人员为了解决上述问题而跑到哥德尔不完备定理那里去。
目前它是公开问题，不代表它就无法被证明。
实际上，有很多数学家已经在一个很大的次数和很大的整系数范围内的多项式方程都验证过了，不可能有 这个根。
因此大家坚信它是超越数是有依据的，这个最终被证明是超越数只是时间问题。
就像哥德巴赫猜想一样，很多数学家已经对足够大(超过物理上需要的最大的数)的整数都验证过其正确性了。
所以大家坚信哥德巴赫猜想是正确的，如果在物理上，这样的内容早就被称为定律，原理之类而不是猜想了。
所以它被证明需要时间，但是不代表它无法被证明。
因此，问问题本质上也是有目的的，不能太泛，你要设计好使得能达成你的目的。
比如你对实数或者超越数感兴趣，那你得往这个方向走。
当然，如果你对数理逻辑感兴趣，那你可以用数理逻辑的语言来问问题。
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可以证明：不存在一个方法能判断任意实数是否是有理数
任何实数，都相对于一台枚举机，枚举机是图灵机的一种，其功能是不断的输出一个实数的各个数位
同样，我们可以构建一个算法，将停机问题等价于一个“实数有理想判断问题”：
通用图灵机上的任意一个程序，将其在纸带上打印的数视为一个实数，比如一台图灵机运行时，在纸带上打印：
1
01
011
001
……
我们将纸带上不断出现的这些数整理成一个实数的各个数位：0.1 01 011 001……
如果我们能判断这个实数是否是有理数，就能判断这台图灵机是否会停机。
根据停机问题，不存在一个程序能判断出任意程序是否能停机，所以，不存在一个方法能判断任意实数是否是有理数
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