1²+2²+…+n²求和公式的推导有哪些方法?

对于级数 $1^2 + 2^2 + dots + n^2$ 的求和，我们有一个非常经典的公式：
$$ sum_{k=1}^{n} k^2 = frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $$

这个公式的推导，其实是有不少有趣的角度的，不仅仅是简单地套用公式或者记住它。下面我就来详细介绍几种常见的推导方法，力求讲解得透彻，让大家能理解其精妙之处。

方法一：利用差分法（最直观也最常用）

这是最常见也最容易理解的一种推导方法，它利用了我们熟悉的代数恒等式和一些巧妙的组合。

核心思想： 考虑 $(k+1)^3 k^3$ 这个表达式。它展开后会包含 $k^2$ 项，通过对这个表达式从 $k=1$ 到 $n$ 求和，大部分项会相互抵消，从而暴露出 $n^2$ 的求和。

具体步骤：

1. 选取一个关键的代数恒等式：
我们知道 $(k+1)^3 = k^3 + 3k^2 + 3k + 1$。
所以，$(k+1)^3 k^3 = (k^3 + 3k^2 + 3k + 1) k^3 = 3k^2 + 3k + 1$。

2. 对这个恒等式进行求和：
我们将上式从 $k=1$ 到 $n$ 进行累加：
$$ sum_{k=1}^{n} [(k+1)^3 k^3] = sum_{k=1}^{n} (3k^2 + 3k + 1) $$

3. 处理左边的“裂项求和”：
左边的求和是一个典型的裂项求和（或者称为伸缩求和）。展开来看就是：
$(2^3 1^3) + (3^3 2^3) + (4^3 3^3) + dots + ((n+1)^3 n^3)$
你会发现，中间的项都抵消了，只剩下：
$(n+1)^3 1^3 = (n+1)^3 1$

4. 处理右边的求和：
右边的求和可以拆分成三个部分：
$$ sum_{k=1}^{n} (3k^2 + 3k + 1) = 3sum_{k=1}^{n} k^2 + 3sum_{k=1}^{n} k + sum_{k=1}^{n} 1 $$

5. 代入已知的求和公式：
我们已知：
$sum_{k=1}^{n} k = frac{n(n+1)}{2}$ （等差数列求和）
$sum_{k=1}^{n} 1 = n$ （常数求和）

6. 整合等式并求解：
现在我们将左边和右边的结果结合起来：
$$ (n+1)^3 1 = 3sum_{k=1}^{n} k^2 + 3left(frac{n(n+1)}{2} ight) + n $$
我们的目标是求 $sum_{k=1}^{n} k^2$，我们把它记作 $S_2$。
$$ (n+1)^3 1 = 3S_2 + frac{3n(n+1)}{2} + n $$
现在我们来解出 $3S_2$：
$$ 3S_2 = (n+1)^3 1 frac{3n(n+1)}{2} n $$
展开 $(n+1)^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1$：
$$ 3S_2 = (n^3 + 3n^2 + 3n + 1) 1 frac{3n(n+1)}{2} n $$
$$ 3S_2 = n^3 + 3n^2 + 2n frac{3n(n+1)}{2} $$
为了合并，我们通分：
$$ 3S_2 = frac{2(n^3 + 3n^2 + 2n) 3n(n+1)}{2} $$
$$ 3S_2 = frac{2n^3 + 6n^2 + 4n (3n^2 + 3n)}{2} $$
$$ 3S_2 = frac{2n^3 + 6n^2 + 4n 3n^2 3n}{2} $$
$$ 3S_2 = frac{2n^3 + 3n^2 + n}{2} $$
现在我们来对分子进行因式分解。很容易看出 $n$ 是一个公因式：
$$ 3S_2 = frac{n(2n^2 + 3n + 1)}{2} $$
继续因式分解二次项 $2n^2 + 3n + 1$：
$(2n+1)(n+1) = 2n^2 + 2n + n + 1 = 2n^2 + 3n + 1$
所以：
$$ 3S_2 = frac{n(n+1)(2n+1)}{2} $$
最后，除以 3 得到 $S_2$：
$$ S_2 = frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $$

这种方法非常巧妙，它将求 $n^2$ 的和转化为了已知形式。关键在于选择 $(k+1)^3 k^3$ 这种形式，恰好能消掉大部分高次项，并且留下 $k^2$ 项。

方法二：代数方法（利用待定系数法）

如果你已经猜到了求和公式的形式（例如，它是一个关于 $n$ 的三次多项式），那么可以使用代数方法来验证或推导。

核心思想： 假设 $sum_{k=1}^{n} k^2$ 是一个关于 $n$ 的三次多项式 $An^3 + Bn^2 + Cn + D$，然后通过代入几个小的 $n$ 值来解出系数 $A, B, C, D$。

具体步骤：

1. 假设公式的形式：
我们知道 $k^2$ 是一个二次多项式，那么对它求和，$n$ 项相加，结果应该是一个关于 $n$ 的三次多项式（最高次项是 $n^3$）。所以我们假设：
$$ sum_{k=1}^{n} k^2 = An^3 + Bn^2 + Cn + D $$

2. 代入特殊值来确定系数：
当 $n=0$ 时： 按照定义，求和是空和，结果为 0。
$A(0)^3 + B(0)^2 + C(0) + D = 0 implies D = 0$
所以公式变为：$sum_{k=1}^{n} k^2 = An^3 + Bn^2 + Cn$

当 $n=1$ 时： $sum_{k=1}^{1} k^2 = 1^2 = 1$
$A(1)^3 + B(1)^2 + C(1) = 1 implies A + B + C = 1$ （方程 1）

当 $n=2$ 时： $sum_{k=1}^{2} k^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$
$A(2)^3 + B(2)^2 + C(2) = 5 implies 8A + 4B + 2C = 5$ （方程 2）

当 $n=3$ 时： $sum_{k=1}^{3} k^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 = 1 + 4 + 9 = 14$
$A(3)^3 + B(3)^2 + C(3) = 14 implies 27A + 9B + 3C = 14$ （方程 3）

3. 解方程组：
我们现在有一个关于 $A, B, C$ 的三元一次方程组：
(1) $A + B + C = 1$
(2) $8A + 4B + 2C = 5$
(3) $27A + 9B + 3C = 14$

我们可以用多种方法解这个方程组。一种常见的方法是消元：
将 (1) 乘以 2，得 $2A + 2B + 2C = 2$。
用 (2) 减去这个式子：$(8A + 4B + 2C) (2A + 2B + 2C) = 5 2 implies 6A + 2B = 3$ （方程 4）

将 (1) 乘以 3，得 $3A + 3B + 3C = 3$。
用 (3) 减去这个式子：$(27A + 9B + 3C) (3A + 3B + 3C) = 14 3 implies 24A + 6B = 11$ （方程 5）

现在我们有了关于 $A, B$ 的二元一次方程组：
(4) $6A + 2B = 3$
(5) $24A + 6B = 11$

将 (4) 乘以 3，得 $18A + 6B = 9$。
用 (5) 减去这个式子：$(24A + 6B) (18A + 6B) = 11 9 implies 6A = 2 implies A = frac{2}{6} = frac{1}{3}$

将 $A = frac{1}{3}$ 代入 (4)：
$6(frac{1}{3}) + 2B = 3 implies 2 + 2B = 3 implies 2B = 1 implies B = frac{1}{2}$

将 $A = frac{1}{3}$ 和 $B = frac{1}{2}$ 代入 (1)：
$frac{1}{3} + frac{1}{2} + C = 1$
$frac{2+3}{6} + C = 1 implies frac{5}{6} + C = 1 implies C = 1 frac{5}{6} = frac{1}{6}$

4. 组合系数：
我们得到了 $A = frac{1}{3}$, $B = frac{1}{2}$, $C = frac{1}{6}$, $D = 0$。
所以，$sum_{k=1}^{n} k^2 = frac{1}{3}n^3 + frac{1}{2}n^2 + frac{1}{6}n$
通分得到：
$$ frac{2n^3 + 3n^2 + n}{6} $$
将分子因式分解：
$$ frac{n(2n^2 + 3n + 1)}{6} = frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $$

优点： 如果你知道结果是三次多项式，这个方法非常直接，不需要复杂的代数技巧。
缺点： 你需要事先知道结果的次数，否则这个方法就无法开始。而且解方程组的过程也需要细心。

方法三：利用图形（几何解释）

这种方法相对不那么直接，而且通常更多用于解释公式的意义，而非严格的推导。不过，我们可以通过一个巧妙的几何构想来“引导”出公式。

核心思想： 考虑将单位立方体切分成多个小块，然后将这些小块按照某种方式重新组合，以期得到一个可以计算体积的简单形状，或者看到一个能暗示公式的模式。

一种比较经典的几何解释是利用三个相同的金字塔结构来组成一个更大的长方体，但这个过程比较复杂，且需要非常精巧的组合。

这里介绍一个更易于理解的类比，它不是严格的推导，但能提供直观感受：

考虑一个三维的“立方体堆积”问题：

想象一下，我们想计算从 $1 imes 1 imes 1$ 的立方体到 $n imes n imes n$ 的立方体一共包含多少个单位立方体。这不就是 $sum_{k=1}^n k^3$ 吗？

现在我们考虑另一种方式：
想象一个堆叠的立方体阵列，每一层的边长是 $k$，高度也是 1。
例如，第一层是一个 $1 imes 1 imes 1$ 的立方体。
第二层是 $2 imes 2 imes 1$ 的平面。
第三层是 $3 imes 3 imes 1$ 的平面。
...
第 $n$ 层是 $n imes n imes 1$ 的平面。

我们这里不是要计算总的单位立方体数量，而是要关注“层”本身所代表的含义。

换个角度，考虑一个空心的立方体。例如，一个 $n imes n imes n$ 的大立方体，里面挖空了一个 $(n1) imes (n1) imes (n1)$ 的立方体。这个空心的部分表面积是多少？

这个空心的部分，其实可以看作是构成 $(n imes n imes n)$ 立方体所增加的部分。

更经典的几何思路（涉及三个维度）：

考虑三个具有相同平方和的“金字塔”结构。如果我们能将它们以某种方式组合起来，形成一个我们知道体积的简单形状（比如长方体），那么我们就能求出那个平方和。

假设我们有三个相同的“阶梯状”结构。每一层是 $k imes k$ 的正方形。
第一个结构，我们按照 $k=1, 2, dots, n$ 的顺序堆叠，每一层是 $k imes k$ 的正方形，高度为 1。总的体积是 $sum_{k=1}^n k^2 imes 1 = S_2$。

第二个结构，我们尝试旋转它，或者以不同的方式堆叠。
第三个结构，再做一次调整。

一个常见的几何“类比”是，考虑 $n imes n imes n$ 的一个大立方体。我们可以把它分成很多小块。

想象一下，我们拿 $n$ 个 $1 imes 1 imes 1$ 的立方体，堆成一条 $1 imes 1 imes n$ 的线。
再拿 $n1$ 个 $2 imes 2 imes 1$ 的“片”，堆成一个 $2 imes 2 imes (n1)$ 的块。
这似乎也不是最直接的。

一个更具体的几何思路，但需要想象力：

考虑三个尺寸为 $n imes n imes n$ 的立方体。
第一个立方体，我们用 $k^2$ 个 $1 imes 1 imes 1$ 的小立方体来“填充”它。
比如，我们在 $z=1$ 层放 $n^2$ 个小立方体，在 $z=2$ 层放 $(n1)^2$ 个，直到 $z=n$ 层放 $1^2$ 个。这里我们把立方体想象成一个斜坡。
也就是说，在一个 $n imes n imes n$ 的立方体内部，我们沿着对角线方向，从顶部到底部，每层放置的立方体数量是 $1^2, 2^2, dots, n^2$。这就构成了一个“金字塔”形状。

现在，我们有三个这样的“金字塔”。
第一个金字塔，每层 $k imes k$ 的正方形，但我们将它想象成一个 $k imes k imes 1$ 的薄片，从 $k=1$ 到 $n$ 堆叠。这个总的“体积”是 $sum_{k=1}^n k^2$。

把这三个金字塔组合起来。
第一层：3个 $1 imes 1 imes 1$ 的立方体。
第二层：3个 $2 imes 2 imes 1$ 的薄片，每个薄片用 4 个小立方体组成。
第三层：3个 $3 imes 3 imes 1$ 的薄片，每个薄片用 9 个小立方体组成。
...
第 $n$ 层：3个 $n imes n imes 1$ 的薄片，每个薄片用 $n^2$ 个小立方体组成。

如果我们把这三个金字塔按照不同的方向（例如，一个向上，一个向前，一个向右）稍微旋转一下，并拼在一起，理论上是可以拼成一个 $n imes n imes n$ 的大立方体加上一些额外部分，或者拼成一个我们能计算体积的形状。

一个更直观的几何解释（但涉及组合数学）：

考虑一个 $n imes n$ 的网格。我们想选择三个点 $(x, y, z)$，使得 $1 le x, y, z le n$。
我们已知 $sum_{k=1}^n k = frac{n(n+1)}{2}$，可以看作是从 $1, 2, dots, n$ 中选一个数的方式。

考虑我们如何从一个 $n imes n imes n$ 的立方体中选取三个“坐标”$(x, y, z)$，其中 $1 le x, y, z le n$。
总共有 $n^3$ 种选法。

著名的“魔术方块”解释：
想象一个 $n imes n imes n$ 的大立方体，由 $n^3$ 个单位立方体组成。
我们对它进行切割。
最外层的“壳”：$(n^3 (n1)^3)$ 个单位立方体。
第二层壳：$(n1)^3 (n2)^3$ 个单位立方体。
以此类推。

现在我们要关注的是 $sum_{k=1}^n k^2$。这代表了什么几何含义呢？
它是 $1^2$ 个 $(1 imes 1 imes 1)$ 方块 + $2^2$ 个 $(1 imes 1 imes 1)$ 方块 + ... + $n^2$ 个 $(1 imes 1 imes 1)$ 方块。

可以想象一个三维的楼梯。
第一层有 1 个方块。
第二层有 $2 imes 2 = 4$ 个方块，以 $1 imes 1$ 的基础向上堆叠。
第三层有 $3 imes 3 = 9$ 个方块，以 $2 imes 2$ 的基础向上堆叠。
第 $n$ 层有 $n imes n$ 个方块，以 $(n1) imes (n1)$ 的基础向上堆叠。

这样堆叠起来，总共有多少个单位方块？ 这正是 $sum_{k=1}^n k^2$。
这个形状是一个“金字塔”。

如何计算这个金字塔的体积？
一个经典的方法是将三个这样的金字塔组合成一个更大的长方体。
如果每个金字塔的最高层是 $n imes n$，高度为 $n$，并且我们是沿着对角线方向一层一层增加 $k^2$ 个单位方块，那么三个这样的金字塔可以拼成一个 $n imes n imes (n+1)$ 的长方体的一部分，或者拼成一个 $n imes (n+1) imes (2n+1)/3$ 的形状，这看起来很复杂。

最靠谱的几何解释（三层拼一个长方体）：

想象三个“金字塔”结构。
结构A：从底部到顶部，每层是 $1 imes 1, 2 imes 2, dots, n imes n$ 的正方形层，每层厚度为 1。总共有 $sum_{k=1}^n k^2$ 个单位立方体。
结构B：将结构A旋转 120 度。
结构C：将结构A再旋转 120 度。

当我们把这三个结构拼在一起时，它们恰好可以形成一个 $n imes n imes (n+1)$ 的长方体，但是这个长方体被分成了很多小块，而且某些小块被重复计算了。

更准确地说，这三个金字塔可以组合成一个具有尺寸 $n imes (n+1) imes (2n+1)$ 的“平行六面体”或者一个规则的长方体（具体的切割和组合方式很巧妙）。

一个更易理解的几何视角（利用组合计数）：

考虑在三维空间中选择三个点 $(i, j, k)$，其中 $1 le i le n, 1 le j le n, 1 le k le n$。总共有 $n^3$ 个这样的点。

我们想计算的是 $sum_{k=1}^n k^2$。这可以看作是选择三个点 $(i, j, k)$ 满足 $1 le i le k, 1 le j le k$ 的所有 $(i, j, k)$ 组合，其中 $k$ 是我们考虑的“层”。

让我们换个思路：考虑所有满足 $1 le x < y < z le n+2$ 的三元组 $(x, y, z)$ 的数量。
总共有 $inom{n+2}{3}$ 种选择。
$inom{n+2}{3} = frac{(n+2)(n+1)n}{6}$。

这些三元组可以根据 $yx$ 和 $zy$ 的值来分类。
如果设 $a = yx ge 1$ 且 $b = zy ge 1$，那么 $zx = a+b$。
$(x, y, z) = (x, x+a, x+a+b)$。
我们需要 $1 le x < x+a < x+a+b le n+2$。
即 $x ge 1$, $a ge 1$, $b ge 1$ 且 $x+a+b le n+2$。

我们想计算 $sum_{k=1}^n k^2$。
这可以看作是选择三个数 $x, y, z$ 满足 $1 le x, y le k$ 且 $1 le k le n$ 的总和。

一个更经典的“几何”解释（通过三维数组的计数）：

考虑一个 $n imes n imes n$ 的立方体，由 $n^3$ 个单位立方体组成。
我们将其按坐标 $(x, y, z)$ 来划分，其中 $1 le x, y, z le n$。

我们来计算满足 $x le k, y le k, z le k$ 的单位立方体的数量。这显然是 $k^3$。

现在，我们考虑所有满足 $x le k, y le k$ 的单位立方体，对于固定的 $k$ 从 1 到 $n$ 求和。这是 $sum_{k=1}^n k^2$。

这是如何联系起来的呢？
让我们考虑一个 $n imes n$ 的方格。我们想选择一个点 $(x, y)$，使得 $1 le x, y le n$。
现在我们想象在第三个维度上，我们还有一个变量 $k$，并且我们对满足 $x le k$ 和 $y le k$ 的点 $(x, y)$ 在 $k$ 从 1 到 $n$ 求和。

最可靠的几何方法是利用三个金字塔拼成一个长方体，但这个组合过程的细节非常精巧。

另一种思路：
我们知道 $sum_{i=1}^n i = frac{n(n+1)}{2}$。
将这个公式看作是一个数。

考虑一个 $(n+1) imes (n+1)$ 的矩阵：
$$
egin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & dots & 1 \
2 & 2 & 2 & dots & 2 \
3 & 3 & 3 & dots & 3 \
vdots & vdots & vdots & ddots & vdots \
n+1 & n+1 & n+1 & dots & n+1
end{pmatrix}
$$
这里有 $n+1$ 行，每一行有 $n+1$ 个相同的数字。

求这个矩阵所有元素的和：
每一行是 $(n+1) imes i$，所以所有行的和是 $sum_{i=1}^{n+1} (n+1)i = (n+1) sum_{i=1}^{n+1} i = (n+1) frac{(n+1)(n+2)}{2}$。

现在我们考虑对角线上的元素：$1, 2, 3, dots, n+1$。它们的和是 $frac{(n+1)(n+2)}{2}$。

我们还可以从“列”的角度考虑。
矩阵的第 $j$ 列的元素是 $1, 2, dots, n+1$。
所以所有列的和是 $(n+1) imes sum_{j=1}^{n+1} j = (n+1) frac{(n+1)(n+2)}{2}$。

这并没有直接导向平方和。

一种可能用于推导平方和的几何思路（组合计数法）：

考虑从集合 ${1, 2, dots, n+1}$ 中选择三个不同的数字 $a < b < c$ 的方法总数。
这等于 $inom{n+1}{3}$。
$inom{n+1}{3} = frac{(n+1)n(n1)}{6}$。

将这三个数字写成 $a, b, c$。
令 $x = ba$, $y = cb$。
那么 $x ge 1, y ge 1$。
$b = a+x$, $c = b+y = a+x+y$。
所以我们选择三个数字等价于选择 $a, x, y$ 使得 $a ge 1, x ge 1, y ge 1$ 且 $a+x+y le n+1$。

令 $a' = a1 ge 0, x' = x1 ge 0, y' = y1 ge 0$。
则 $(a'+1) + (x'+1) + (y'+1) le n+1 implies a' + x' + y' le n2$。

这个方向似乎是关于不定方程的。

真正与平方和关联的几何解释是“三维金字塔拼成长方体”。

想象一个由小立方体构成的金字塔，金字塔的每一层是一个 $k imes k$ 的正方形。
如果最高的层是 $n imes n$，那么总的单位立方体数量是 $1^2 + 2^2 + dots + n^2$。
这个金字塔的高度是 $n$。

现在我们把三个这样的金字塔组合起来。
金字塔1：在 $(x, y, z)$ 坐标系中，我们考虑所有满足 $1 le z le k, 1 le x le k, 1 le y le k$ 的点。这不完全是金字塔。

一个更易理解的组合计数方法：
考虑从集合 ${1, 2, dots, n}$ 中选择三个数 $i, j, k$。
我们来计算所有满足 $1 le i le k$ 且 $1 le j le k$ 的有序三元组 $(i, j, k)$ 的数量。
这个数量就是 $sum_{k=1}^n k imes k = sum_{k=1}^n k^2$。

我们也可以从另一个角度计算这个数量：
将这 $n^3$ 个点 $(i, j, k)$ 划分为三种情况：
1. $i < j < k$
2. $i < k < j$
3. $j < i < k$
4. $j < k < i$
5. $k < i < j$
6. $k < j < i$
7. $i=j$ 且 $i le k$
8. $i=k$ 且 $i le j$
9. $j=k$ 且 $j le i$
10. $i=j=k$

这太复杂了。

结论：
几何方法虽然直观，但严谨的推导往往依赖于巧妙的组合或切割，并且需要非常仔细的逻辑。对于平方和，差分法是最直接和普适的推导方式。代数方法则是一种验证或在知道形式下的求导技巧。

方法四：数学归纳法（验证）

数学归纳法本身不能用来“推导”公式，但它可以用来“证明”一个猜想的公式是正确的。如果我们通过其他方法（比如差分法）得到了公式 $frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$，那么就可以用归纳法来验证它。

核心思想：
1. 基本情况 (Base Case): 证明公式对最小的 $n$ 值（通常是 $n=1$）成立。
2. 归纳步骤 (Inductive Step): 假设公式对某个正整数 $k$ 成立（称为归纳假设），然后证明它对 $k+1$ 也成立。

具体步骤：

1. 基本情况 (n=1):
公式左边是 $sum_{k=1}^{1} k^2 = 1^2 = 1$。
公式右边是 $frac{1(1+1)(2 imes 1 + 1)}{6} = frac{1 imes 2 imes 3}{6} = frac{6}{6} = 1$。
所以公式对 $n=1$ 成立。

2. 归纳假设:
假设对于某个正整数 $k ge 1$，公式成立，即：
$$ sum_{i=1}^{k} i^2 = frac{k(k+1)(2k+1)}{6} $$

3. 归纳步骤 (证明对 k+1 成立):
我们需要证明：
$$ sum_{i=1}^{k+1} i^2 = frac{(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)}{6} = frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6} $$

我们从 $sum_{i=1}^{k+1} i^2$ 的左边开始：
$$ sum_{i=1}^{k+1} i^2 = left(sum_{i=1}^{k} i^2 ight) + (k+1)^2 $$
根据归纳假设，我们将 $sum_{i=1}^{k} i^2$ 替换为 $frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$：
$$ sum_{i=1}^{k+1} i^2 = frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2 $$
为了合并这两项，我们提取公因式 $(k+1)$:
$$ sum_{i=1}^{k+1} i^2 = (k+1) left[ frac{k(2k+1)}{6} + (k+1) ight] $$
现在处理方括号内的部分，通分：
$$ frac{k(2k+1)}{6} + (k+1) = frac{k(2k+1) + 6(k+1)}{6} $$
$$ = frac{2k^2 + k + 6k + 6}{6} $$
$$ = frac{2k^2 + 7k + 6}{6} $$
现在我们对分子 $2k^2 + 7k + 6$ 进行因式分解。我们可以尝试因式分解，或者注意到我们希望得到 $(k+2)(2k+3)$。
$(k+2)(2k+3) = 2k^2 + 3k + 4k + 6 = 2k^2 + 7k + 6$。
所以，分子正好是 $(k+2)(2k+3)$。

将结果代回：
$$ sum_{i=1}^{k+1} i^2 = (k+1) left[ frac{(k+2)(2k+3)}{6} ight] $$
$$ sum_{i=1}^{k+1} i^2 = frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6} $$
这正是我们要证明的公式在 $n=k+1$ 时的情况。

因此，通过数学归纳法，我们证明了 $sum_{k=1}^{n} k^2 = frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ 对于所有正整数 $n$ 都成立。

重要提示： 再次强调，归纳法是用来验证一个已知公式的，它不能用于发现公式。

总结

推导 $1^2 + 2^2 + dots + n^2$ 求和公式的方法，最常用且最易于理解的是差分法。它利用了 $(k+1)^3 k^3$ 的裂项求和。

代数方法则是在知道结果形式（三次多项式）的情况下，通过解方程组来确定系数的有效方法。

几何方法通常提供直观的理解，但严谨的推导可能较为复杂，常涉及将多个“金字塔”结构组合成一个可计算体积的长方体。

数学归纳法是一种严谨的证明方法，用于验证一个猜测的公式是否正确。

希望以上详细的介绍能帮助你理解这个经典求和公式的多种推导途径！每一种方法都有其独特的魅力和逻辑。

你们都太高端了，我来一个小学生解法：

只需利用立方体的顶点，即可得出 的求和公式！

首先，你要想象出这样一层层叠起来的正方形，每 层的彩色点点数是 ：

这样，求 的问题就被转化成了求这些彩色点点总数量

现在，把刚刚的那个图形，放进这样一个立方体中，它的每个面都被切成 n 份

不难看出，彩色点点都包含在一个四棱锥中：

我们知道，四棱锥的体积是立方体的 ^[1]

但是，彩色点点的总数量显然不是

为什么呢，因为三个这样的四棱锥组成立方体的时候，有重叠的部分

选择 a、b、c 为三个三角锥的底面观察，不难看出，重叠的部分应当是如图三个三角形面（黄绿蓝）和一条公共边（红）：

显然，三角形中包含的彩色点点的总数量，是 ，这是一个特别的等差数列，我们小学就知道它的求和公式为“首项加末项乘以项数除以二”，所以每个三角形中包含的彩色点点数为

然后，还需要减掉一条公共边上的彩色点点数

所以重叠部分应当是

所以，图中彩色点点的总数量应该是：

怎么样，是不是非常简单呢？

结论就是：

看完的奖励看自拍：

虽然解法很简单，但画图挺费时间的，觉得有趣的记得赞和关注哦～

恶老师会经常用简单通俗的方式数学问题哦～（胎动+++）

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很快啊，评论区就要求推广到高维了……

显然，我们画不出高维立体图形

但我们依旧有简单的办法得出 的求和公式

先从 开始

显然，

并且 的求和公式应该包含 ，即最高指数比 3 多 1

综上，我们不妨列出这样一系列式子：

……

把以上式子全部加在一起（胎动+++），可以得到：

移项可得：

再代入之前已知的

你就可以得到 的求和公式了，这个我就不写了

接下来，我们休息片刻，然后推导指数为 的通式

好了，我们继续

观察前面 求和公式推导的过程

并结合二项式定理：

（其中 为组合数，公式为 ）

我们不难得出 :

好了，就是它没错

可能看起来有点恐怖（creepy），但其实很好理解，分成这样四部分看就好了：

有了这个递推公式，你可以自己套娃手算，也可以编一个套娃程序，从 开始循环计算，一直算到 ，就可以得到任意 的求和公式

终于写完了，公式太长，排版排得我眼都花了，比较粗心，如果有什么错误欢迎指出，感谢！

其实本文一开始只有小学生解法，谁知道分分钟评论区就要求扩展到高维，所以又花时间写了后面的内容

看到大家如此好学，还是那句老话：

所以，如果恶老师欣慰你也欣慰的话，建议你关注+点赞+评论，感谢～

参考

1. ^ 看到评论区对这个 1/3 有质疑，说是要先有平方和公式再有这个 1/3，认为我在循环论证 我解释下 1. 这里体积 1/3，是出于立方体这个特殊情况得出的；因为立方体可以用对角线轻易均分为三等份，（其中一份就是图中黄色的四棱锥），这三等份的相等，只需通过立方体边长和角的全等就可以来证明，不需要用平方和公式，不需要微积分，因为这里用的是特殊的立方体，不是一般的柱体，所以绝不存在循环论证 2.如果执意觉得有问题，请直接跳到本文后半部分，不需要用到这个体积公式，只需要二项式定理就可以了

没有人用数形结合吗，一看就明白了。