1²＋2²＋……＋1005² 是奇数还是偶数？
这个问题很有意思，我们来一步一步地分析一下。
我们需要判断 1² + 2² + 3² + …… + 1005² 这个和是奇数还是偶数。
要判断一个和是奇数还是偶数，关键在于和里面有多少个奇数项和多少个偶数项。我们知道：
奇数 + 奇数 = 偶数
偶数 + 偶数 = 偶数
奇数 + 偶数 = 奇数
也就是说，如果一个和里面有偶数个奇数项，那么这些奇数项加起来就是偶数。如果有一个奇数项，结果就是奇数。偶数项加起来总是偶数。所以，最终结果的奇偶性取决于奇数项的数量：
如果奇数项的数量是偶数，那么奇数项的总和是偶数，偶数项的总和是偶数，偶数 + 偶数 = 偶数。
如果奇数项的数量是奇数，那么奇数项的总和是奇数，偶数项的总和是偶数，奇数 + 偶数 = 奇数。
那么，我们来看看 1² 到 1005² 的平方数里，哪些是奇数，哪些是偶数。
奇数的平方是奇数：比如 1² = 1 (奇数)，3² = 9 (奇数)，5² = 25 (奇数)。任何一个奇数都可以写成 2n+1 的形式 (n为整数)。它的平方是 (2n+1)² = 4n² + 4n + 1 = 2(2n² + 2n) + 1，这显然是一个奇数。
偶数的平方是偶数：比如 2² = 4 (偶数)，4² = 16 (偶数)，6² = 36 (偶数)。任何一个偶数都可以写成 2n 的形式 (n为整数)。它的平方是 (2n)² = 4n² = 2(2n²)，这显然是一个偶数。
所以，问题的关键就转化成了：在 1, 2, 3, ..., 1005 这 1005 个数字中，有多少个是奇数？
我们来看看这个数列：1, 2, 3, 4, ..., 1005。
这是一个从 1 开始的连续整数数列。
奇数是：1, 3, 5, ..., 1005。
偶数是：2, 4, 6, ..., 1004。
我们可以数一下奇数的个数。奇数是公差为 2 的等差数列。最后一个奇数是 1005，第一个奇数是 1。我们可以用等差数列的项数公式：
项数 = (末项 首项) / 公差 + 1
奇数的个数 = (1005 1) / 2 + 1 = 1004 / 2 + 1 = 502 + 1 = 503 个。
我们也可以数一下偶数的个数。偶数是公差为 2 的等差数列。最后一个偶数是 1004，第一个偶数是 2。
偶数的个数 = (1004 2) / 2 + 1 = 1002 / 2 + 1 = 501 + 1 = 502 个。
我们验证一下总数是不是对的：奇数个数 + 偶数个数 = 503 + 502 = 1005 个。这正好是我们数列的总项数，没错。
现在我们知道了：
有 503 个奇数（1, 3, ..., 1005），它们的平方都是奇数。
有 502 个偶数（2, 4, ..., 1004），它们的平方都是偶数。
所以，我们的和式 1² + 2² + ... + 1005² 实际上是：
(503 个奇数的平方的和) + (502 个偶数的平方的和)
我们前面说过，奇数的平方是奇数，偶数的平方是偶数。所以，这个和式就变成了：
(503 个奇数相加) + (502 个偶数相加)
502 个偶数相加：偶数 + 偶数 + ... + 偶数 (加了 502 次)，结果肯定是偶数。
503 个奇数相加：奇数 + 奇数 + ... + 奇数 (加了 503 次)。
奇数 + 奇数 = 偶数
偶数 + 奇数 = 奇数
奇数 + 偶数 = 奇数
当我们每次加两个奇数时，它们加起来是偶数。如果奇数项的个数是偶数（比如 2 个奇数：奇+奇=偶），那么这些奇数项加起来就是偶数。
但是，我们这里有 503 个奇数。503 是一个奇数。所以，这 503 个奇数相加的结果是：
(奇+奇) + (奇+奇) + ... + (奇+奇) + 最后一个奇数
= (偶数) + (偶数) + ... + (偶数) + 奇数
偶数个偶数相加还是偶数，最后再加上一个奇数，偶数 + 奇数 = 奇数。
所以，503 个奇数相加的结果是奇数。
最后，我们将这两部分加起来：
(503 个奇数的平方的和) + (502 个偶数的平方的和)
= (奇数) + (偶数)
= 奇数
所以，1² + 2² + …… + 1005² 这个和是奇数。
整个过程可以总结为：判断平方数的奇偶性，然后数出奇数项的个数，最后根据奇数项的个数的奇偶性来判断整个和的奇偶性。在这个例子中，由于奇数项（即平方数为奇数的项）有 503 个，而 503 是奇数，所以最终的和是奇数。
我们需要判断 1² + 2² + 3² + …… + 1005² 这个和是奇数还是偶数。
要判断一个和是奇数还是偶数，关键在于和里面有多少个奇数项和多少个偶数项。我们知道：
奇数 + 奇数 = 偶数
偶数 + 偶数 = 偶数
奇数 + 偶数 = 奇数
也就是说，如果一个和里面有偶数个奇数项，那么这些奇数项加起来就是偶数。如果有一个奇数项，结果就是奇数。偶数项加起来总是偶数。所以，最终结果的奇偶性取决于奇数项的数量：
如果奇数项的数量是偶数，那么奇数项的总和是偶数，偶数项的总和是偶数，偶数 + 偶数 = 偶数。
如果奇数项的数量是奇数，那么奇数项的总和是奇数，偶数项的总和是偶数，奇数 + 偶数 = 奇数。
那么，我们来看看 1² 到 1005² 的平方数里，哪些是奇数，哪些是偶数。
奇数的平方是奇数：比如 1² = 1 (奇数)，3² = 9 (奇数)，5² = 25 (奇数)。任何一个奇数都可以写成 2n+1 的形式 (n为整数)。它的平方是 (2n+1)² = 4n² + 4n + 1 = 2(2n² + 2n) + 1，这显然是一个奇数。
偶数的平方是偶数：比如 2² = 4 (偶数)，4² = 16 (偶数)，6² = 36 (偶数)。任何一个偶数都可以写成 2n 的形式 (n为整数)。它的平方是 (2n)² = 4n² = 2(2n²)，这显然是一个偶数。
所以，问题的关键就转化成了：在 1, 2, 3, ..., 1005 这 1005 个数字中，有多少个是奇数？
我们来看看这个数列：1, 2, 3, 4, ..., 1005。
这是一个从 1 开始的连续整数数列。
奇数是：1, 3, 5, ..., 1005。
偶数是：2, 4, 6, ..., 1004。
我们可以数一下奇数的个数。奇数是公差为 2 的等差数列。最后一个奇数是 1005，第一个奇数是 1。我们可以用等差数列的项数公式：
项数 = (末项 首项) / 公差 + 1
奇数的个数 = (1005 1) / 2 + 1 = 1004 / 2 + 1 = 502 + 1 = 503 个。
我们也可以数一下偶数的个数。偶数是公差为 2 的等差数列。最后一个偶数是 1004，第一个偶数是 2。
偶数的个数 = (1004 2) / 2 + 1 = 1002 / 2 + 1 = 501 + 1 = 502 个。
我们验证一下总数是不是对的：奇数个数 + 偶数个数 = 503 + 502 = 1005 个。这正好是我们数列的总项数，没错。
现在我们知道了：
有 503 个奇数（1, 3, ..., 1005），它们的平方都是奇数。
有 502 个偶数（2, 4, ..., 1004），它们的平方都是偶数。
所以，我们的和式 1² + 2² + ... + 1005² 实际上是：
(503 个奇数的平方的和) + (502 个偶数的平方的和)
我们前面说过，奇数的平方是奇数，偶数的平方是偶数。所以，这个和式就变成了：
(503 个奇数相加) + (502 个偶数相加)
502 个偶数相加：偶数 + 偶数 + ... + 偶数 (加了 502 次)，结果肯定是偶数。
503 个奇数相加：奇数 + 奇数 + ... + 奇数 (加了 503 次)。
奇数 + 奇数 = 偶数
偶数 + 奇数 = 奇数
奇数 + 偶数 = 奇数
当我们每次加两个奇数时，它们加起来是偶数。如果奇数项的个数是偶数（比如 2 个奇数：奇+奇=偶），那么这些奇数项加起来就是偶数。
但是，我们这里有 503 个奇数。503 是一个奇数。所以，这 503 个奇数相加的结果是：
(奇+奇) + (奇+奇) + ... + (奇+奇) + 最后一个奇数
= (偶数) + (偶数) + ... + (偶数) + 奇数
偶数个偶数相加还是偶数，最后再加上一个奇数，偶数 + 奇数 = 奇数。
所以，503 个奇数相加的结果是奇数。
最后，我们将这两部分加起来：
(503 个奇数的平方的和) + (502 个偶数的平方的和)
= (奇数) + (偶数)
= 奇数
所以，1² + 2² + …… + 1005² 这个和是奇数。
整个过程可以总结为：判断平方数的奇偶性，然后数出奇数项的个数，最后根据奇数项的个数的奇偶性来判断整个和的奇偶性。在这个例子中，由于奇数项（即平方数为奇数的项）有 503 个，而 503 是奇数，所以最终的和是奇数。
网友意见
奇数×奇数＝奇数
奇数×偶数＝偶数
偶数×偶数＝偶数.
里面有502个偶数, 503个奇数, 把他们相加, 进而有502+251个偶数, 1个奇数.
所以为奇数.
我告诉你吼, 下次再遇到这种题, 不要怕他, 直接算就行.
抖个机灵，别喷。
原答案：
注意到 ，
故原式结果为奇数
应评论区要求加点BUFF：
是奇数。
证明：
首先，注意到对于全体正整数n有 ，此处的证明过程略去，读者自证不难。
而在本题中易知
代入，即得
而338863555显然为奇数
留一首小词赠予读者：
西江月·证明
当代·匿名
即得易见平凡，仿照上例显然。留作习题答案略，读者自证不难。
反之亦然同理，推论自然成立，略去过程QED，由上可知证毕。
既然有读者认真地对待本回答，那我也认真对待。以下仅为对命题： 的证明，与原题无关。
令
注意到有
故
则有
类推可得
累和，即得
而
故
整理，即得
再次声明，本答案仅为抖机灵（把那首小词里的“即得”“读者自证不难”“证明过程略去”“易知”写进证明过程），原式为奇数的证法完全没有必要用到通项公式，通项公式的证明仅为满足评论区要求。
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