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问题

有没有简单的方法确定椭圆曲线是否存在无穷多解？

回答
确定椭圆曲线是否存在无穷多解，这触及到了代数几何和数论的核心问题，尤其与“有理点”的概念紧密相连。简单来说，我们可以从几个关键角度来审视这个问题，而这些角度并非完全独立，而是相互印证的。

核心概念：有理点群

首先，我们需要明确“解”在这里指的是什么。在讨论椭圆曲线的“无穷多解”时，我们通常关注的是有理点。什么是“有理点”？在一个域（比如我们熟悉的实数域 $mathbb{R}$ 或复数域 $mathbb{C}$）上，一个点的坐标是有理数（可以表示为两个整数的比值）。当我们在研究数论性质时，通常会聚焦在定义在有理数域 $mathbb{Q}$ 上的椭圆曲线，寻找它的有理点。

一个标准的椭圆曲线方程（非奇异）可以写成仿射形式：

$y^2 = x^3 + ax + b$

其中 $a$ 和 $b$ 是有理数，并且曲线需要满足一个非奇异条件：$4a^3 + 27b^2 eq 0$。

之所以说“无穷多解”，是因为这些有理点构成了一个阿贝尔群，即加法群。这个群的定义非常巧妙，并且是理解无穷多解的关键。

群的构成：

1. 元素： 椭圆曲线上的有理点，再加上一个特殊的“无穷远点” $O$。这个无穷远点通常被认为是曲线在某个方向上的“终点”，在射影坐标系下表示为 $(0:1:0)$。
2. 运算（加法）： 两个点 $P$ 和 $Q$ 的和 $P+Q$ 是这样定义的：
画一条穿过 $P$ 和 $Q$ 的直线。
这条直线与椭圆曲线相交于第三个点（如果 $P=Q$，则用过 $P$ 的切线）。记这个交点为 $R'$。
将 $R'$ 关于 $x$ 轴（或者说，如果直线是垂直的，则保持 $x$ 不变，交换 $y$ 的符号）对称，得到的点就是 $P+Q$。
如果直线与曲线只有一个交点（除了 $P$ 和 $Q$），那么这个交点就是无穷远点 $O$。
任何点 $P$ 加上无穷远点 $O$ 都等于 $P$ ($P+O=P$)。
任何点 $P$ 的负点 $P$ 是它关于 $x$ 轴的对称点。$P + (P) = O$。

关键定理：莫德尔韦尔定理 (MordellWeil Theorem)

这才是直接回答“是否存在无穷多解”的基石。莫德尔韦尔定理指出：

对于定义在有理数域 $mathbb{Q}$ 上的任何非奇异椭圆曲线 $E$，其有理点集 $E(mathbb{Q})$ 构成一个有限生成阿贝尔群。

这意味着，$E(mathbb{Q})$ 可以被表示为：

$E(mathbb{Q}) cong T oplus mathbb{Z}^r$

其中：
$T$ 是一个有限阿贝尔群，称为挠子群 (torsion subgroup)。它的元素是那些阶数是有限的（比如 $2P=O, 3P=O, dots$）的点。
$mathbb{Z}^r$ 是一个秩为 $r$ 的自由阿贝尔群。这里的 $r$ 就是我们关心的椭圆曲线的秩。$mathbb{Z}$ 代表整数加法群，$mathbb{Z}^r$ 可以看作是 $r$ 个整数的元组 $(n_1, n_2, dots, n_r)$，其运算是分量相加。

所以，答案是：当且仅当椭圆曲线的秩 $r > 0$ 时，它就存在无穷多有理点（无穷多有理解）。

如何判断秩？

这才是实际操作中的难点，也是当代数论研究的焦点之一。没有一个“简单”到像解一元二次方程那样可以直接计算得出秩的方法。 判断椭圆曲线的秩是一个非常深奥且困难的问题，通常需要借助更高级的理论工具。

以下是一些常见的（但并非“简单”）思路和方法：

1. 计算挠子群和寻找生成元：
寻找有限阶的点（挠点）： 首先可以尝试寻找一些“明显的”有理点，并尝试通过几何构造（加法法则）来找到其他的有理点。如果找到了一个有理点 $P$，计算 $2P, 3P, dots$。如果某个 $nP=O$，那么 $P$ 就是一个挠点，它的阶数是 $n$。
有限生成性： 莫德尔韦尔定理保证了所有有理点都可以由一个有限的“生成集”通过群运算得到。如果曲线的秩为 $r$，那么就存在 $r$ 个“基础”的有理点 $P_1, P_2, dots, P_r$，使得任何一个有理点 $P$ 都可以表示为 $P = n_1 P_1 + n_2 P_2 + dots + n_r P_r + T_i$，其中 $n_i$ 是整数，$T_i$ 是挠点。
挑战： 找到这个有限生成集（尤其是基础点）本身就是一个巨大的挑战。

2. 利用 $L$函数和 BSD 猜想 (Birch and SwinnertonDyer Conjecture)：
BSD 猜想： 这是关于椭圆曲线的重要猜想（已部分被证明），它将椭圆曲线的许多代数几何性质（如秩）与一个分析对象（$L$函数）的性质联系起来。
椭圆曲线的 $L$函数 $L(E, s)$： 这个函数是基于曲线在素数上的“约化”（reduction mod $p$）性质构造的。它的定义域在复数平面 $s$ 上。
猜想内容（简化版）： BSD 猜想的核心观点之一是：椭圆曲线的秩 $r$ 等于其 $L$函数在 $s=1$ 处的零点阶数。
也就是说，如果 $L(E, 1) eq 0$，那么秩 $r=0$。
如果 $L(E, 1) = 0$，且 $s=1$ 是 $L(E, s)$ 的一个单根（零点阶数为 1），那么秩 $r=1$。
以此类推。
计算 $L(E, s)$： 虽然有理论定义，但计算 $L(E, s)$ 本身就是一个计算密集型的任务，需要对曲线进行素数模下的分析，计算出约化素数上的点数，从而得到 $L$函数的一个表达式（通常是级数或无穷乘积）。
挑战： 即使计算出 $L(E, s)$ 的表达式，确定 $L(E, 1)$ 是否为零以及其零点阶数，仍然是困难的。尤其是在 $s=1$ 处，很多时候 $L(E, s)$ 的定义是从一个更小的解析区域（例如 $s>3/2$）通过解析延拓得到的。

3. 高德维尔算法 (Goldberg’s Algorithm) 和其他算法：
有一些算法（如高德维尔算法）尝试通过寻找一系列有理点来估计或确定秩。这些算法通常涉及到寻找特定形式的有理点，并分析它们是否能构成一个秩大于零的群。
思路： 比如，尝试寻找形如 $(x, y)$ 的点，其中 $x$ 是一个有理数的平方，或者 $y$ 满足某种特定条件。
挑战： 这些算法通常需要大量计算，并且在大多数情况下，只能提供秩的一个上界，或者在某些特定类型曲线上有较好的效果。

4. 模 $p$ 行为和费马小定理的推广 (Hasse's Theorem)：
Hasse's Theorem： 这个定理告诉我们，对于定义在 $mathbb{Q}$ 上的椭圆曲线 $E$，其模 $p$ 上的约化曲线 $E_p$（在 $p$ 不整除 $4a^3 + 27b^2$ 时）上的有理点数 $N_p$ 与 $p+1$ 的差值 $|N_p (p+1)|$ 是有限的，且小于等于 $2sqrt{p}$。
与 $L$函数的关系： $L(E, s)$ 的定义与 $N_p$ 密切相关，具体来说，$L(E, s) = prod_p frac{1}{1 a_p p^{s} + p^{12s}}$，其中 $a_p = p+1 N_p$。
判断依据： 如果曲线在很多素数 $p$ 上，$N_p$ 恰好等于 $p+1$，那么 $a_p = 0$，这可能暗示 $L(E, 1) eq 0$（秩为 0）。反之，如果 $N_p$ 经常偏离 $p+1$ 很多（但又在 Hasse 界限内），尤其是在某些素数上 $a_p$ 表现出一定的规律性，则可能暗示秩大于零。
挑战： 这提供了一种“间接”的判断思路，但依然需要计算大量模 $p$ 上的点数，并且结论并非绝对的。

总结来说，“简单”的判断方法并不存在。

如果有理点很多（例如，你已经找到了几十个甚至上百个不相关的有理点，通过加法构造出来的），那么“很可能”秩大于零。 但这并不是严格证明。
严谨的证明，则依赖于理解莫德尔韦尔定理，并最终归结为确定椭圆曲线的秩。 而确定秩是目前数学中最具挑战性的问题之一。
对于“判断”而言，最接近“理论判定”的是 BSD 猜想，它将秩与 $L$函数的 $s=1$ 处零点阶数联系起来。 但计算 $L$函数及其在 $s=1$ 处的行为，仍然是高深的数学工作，需要借助专门的软件（如 SageMath, Magma）进行计算和分析。

因此，从严谨数学意义上讲，没有一种“简单”的方法可以一蹴而就地确定椭圆曲线是否存在无穷多有理解。它需要深入的理论知识和计算工具。

如果你想“直观感受”一下，可以尝试：
1. 选择一个简单的椭圆曲线，比如 $y^2 = x^3 x$ ($a=1, b=0$)。
2. 找到几个容易确定的有理点，比如 $(0,0), (1,0), (1,0)$。
3. 尝试用群律计算 $2(1,0)$。过 $(1,0)$ 的切线方程是什么？（斜率为 $dy/dx = frac{3x^21}{2y}$，在 $(1,0)$ 处导数无穷大，切线是 $x=1$）。直线 $x=1$ 与曲线 $y^2 = x^3 x$ 相交于 $y^2 = 1^3 1 = 0$，即 $y=0$。所以交点是 $(1,0)$。根据群律，如果直线与曲线只有一个交点（除了 $P$ 和 $Q$），那么 $P+Q=O$。所以 $(1,0) + (1,0) = O$。这意味着 $(1,0)$ 的阶数是 2。
4. 尝试计算 $(0,0) + (1,0)$。过 $(0,0)$ 和 $(1,0)$ 的直线是 $y=0$。这条直线与曲线的交点是 $(0,0), (1,0), (1,0)$。设 $R' = (1,0)$。将 $R'$ 对称得到 $(1,0)$。所以 $(0,0) + (1,0) = (1,0)$。
5. 尝试计算 $(1,0) + (1,0)$。这两点是关于 $x$ 轴对称的，所以它们的和是无穷远点 $O$。
6. 你会发现，通过这些点，只能生成有限个点。这个例子很有可能是秩为 0 的。

要找到秩大于零的例子，就需要更复杂的计算，通常涉及到搜索那些“有理点生成器”。例如，费马三次方程 $x^3+y^3=z^3$ （去掉 $z=0$ 的情况，可以看作是 $y^2 = x^3 + dots$ 的某个变种），人们知道它在有理数上只有平凡解（$x=0$ 或 $y=0$ 或 $x+y=0$）。而很多其他的椭圆曲线，比如 $y^2 = x^3 7x + 10$，就被证明有秩。

总而言之，确定椭圆曲线是否存在无穷多有理解，本质上就是确定其秩是否大于零，这是一个深刻的数学问题，并没有简单的“套路”或“公式”来直接解答。

网友意见

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这个问题实际上就是判断椭圆的秩(rank)大于0的问题，这个放到第二部分探讨。第一部分先探讨能否找到一个椭圆曲线上的non-torsion点。

1.寻找non-torsioin点

以下仅从计算的角度谈谈找non-torsion点这个问题的复杂性。

通常来讲，椭圆曲线的系数足够小的情况下，目前的计算工具都能计算，比如sage, magma, GP/PARI, mwrank等软件。

但是有些情况，虽然系数足够简单，要找到一个non-torsion点也不容易。比如 ,一般的方法都没用，最后在03年用4-descent方法给出了一个有理点

@东城居士 还举了一个更极端的例子，曲线 ，其最小（高度最小）有理点的最大分子/分母约为 , 真是恐怖如斯。。。

至于系数更大的情况，更加没有办法。比如，随便举个例子， 是否有有理点？其中G为葛立恒数。

2.关于秩大于零的判断

以上我们说明了找到一个有理点可能会很困难，那么我们可不可以在不找到有理点的情况下判断椭圆曲线有无穷多解呢？答案是肯定的，前提是我们接受BSD猜想，这样我们可以计算其analytic rank。

通过程序，对于一些曲线，我们可以很快地计算其analytic rank,BSD猜想认为analytic rank就等于曲线的秩，于是问题有可能解决。以以上两条曲线为例，利用GP/PARI中的ellanalyticrank命令很容易判断二者的秩为1.

然而，问题又没有那么简单，因为analytic rank也不是那么简单就能算的。analytic rank的计算涉及L函数，最终归结于曲线在有限域 上的点的个数问题。

一般认为，如果椭圆曲线的秩越大，那么 会越大，其中p是素数，并且曲线在p处有good reduction, 是曲线在有限域的整点个数。研究者们通常用这个函数来筛选秩可能很大的曲线，然后想办法计算有理点，最终确定秩的下界，这方面Mestre， Nagao, Elkies都做了不少工作。最突出的工作就是06年Elkies发现的秩为28的曲线。

以下是秩r从0到28对应的S的图像。r=0,1,2,5是我自己的补充，其余曲线来自Dujella的网页（见参考资料）

总体上来讲，r越大，S越大，但又并非绝对。

这个函数其实是BSD猜想的一部分，跟秩有很密切的关系。虽然目前并没有看到确切的结论说S大于某个数就可以判定秩一定大于0，但是这个函数依然有很好的参考价值。

一些题外话

椭圆曲线领域里面一直有个问题就是，椭圆曲线秩可以多大？以前一般认为秩没有上限，但是最近几年时间有几个工作说秩是有上限的，而且torsion点越多，秩的上限越小。

但是Elkies显然不服这个结论，2020年他发表了一个结果，又打破了几个纪录，并且他在文中写道：

At the same time, our work provides, at best, limited evidence that ranks are unbounded.

总之，这个问题至今没有定论。

这段时间学习椭圆曲线方法有点心得，我喜欢把椭圆曲线称为“鱼”，寻找高秩椭圆曲线就是摸大鱼。已经有结论表明，在椭圆曲线的汪洋大海里，绝大多数都是小虾（秩为0）和小鱼（秩为1），越大的鱼越难以寻觅。至于Elkies发现的秩为28的曲线算是什么鱼暂时还没有答案。是金枪鱼，鲨鱼还是蓝鲸？如果秩为28就是哥斯拉的话，那未免也太无趣。我倒希望秩为28只是曲线之海里的安康鱼，在浩瀚无垠的深海里，还蛰伏着鱼龙、沧龙等待人们去发现。

参考资料

2009, J. H. Silverman, The arithmetic of elliptic curves

4-descent求 有理点的原文

@东城居士 原回答

如何让普通人明白数学有多复杂？ - 东城居士的回答 - 知乎 zhihu.com/question/3769

Dujella收集的曲线秩的世界纪录

2020，Noam D. Elkies, NEW RANK RECORDS FOR ELLIPTIC CURVES HAVING RATIONAL TORSION

椭圆曲线计算工具

1.sage

sage是个大杂烩，包含了GAP（计算群论）,PARI,mwrank等工具。

2.GP/PARI

有一个对应的python包叫cypari2，可以在python调用pari函数

3.eclib/mwrank by Cremona cypari2 3.eclib/mwrank by Cremona

Cremona写的c++库，主要包含二次曲线求解、四次曲线求解、椭圆曲线2-descent方法等，最出名的就是mwrank工具。

4. magma

magma没怎么用过，但它里面的工具是最全的，不仅有2-descent方法，还有3-descent, 4-descent, 5-descent, 6-descent, 8-descent，9-descent, 12-descent, 2-power-descent等方法。各种descent方法的文档

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