为什么没有开区间上的 R 正常定积分的定义；开区间勒贝格可积，再加什么特殊条件，可得到开区间黎曼可积？

这是一个非常好的问题，深入探讨了定积分理论的细微之处。我们来详细解答：

为什么没有开区间上的 R 正常定积分的定义？

这里的“R 正常定积分”指的是我们通常在微积分课程中学习的黎曼积分 (Riemann Integral)。黎曼积分的定义本质上是建立在对函数在闭区间上的性质进行分析的基础之上的。以下是为什么黎曼积分通常不直接定义在开区间上的主要原因：

1. 定义的基础：有限分割和端点值
黎曼积分的核心思想是将区间分成若干个小区间，然后计算每个小区间上的函数值乘以小区间长度的乘积之和（黎曼和）。这个过程需要对区间的边界点（端点）有明确的处理方式。
对于闭区间 $[a, b]$，我们可以进行分割 $a = x_0 < x_1 < dots < x_n = b$。每个小区间 $[x_{i1}, x_i]$ 的长度是 $Delta x_i = x_i x_{i1}$。然后我们在每个小区间上取一个采样点 $c_i in [x_{i1}, x_i]$，计算 $sum_{i=1}^n f(c_i) Delta x_i$。
对于开区间 $(a, b)$，我们无法像闭区间那样自然地包含区间的端点 $a$ 和 $b$。如果我们尝试进行分割，例如 $(a, x_1) cup [x_1, x_2] cup dots cup [x_{n1}, x_n) = (a, b)$，那么在最外面的两个“开”小区间 $(a, x_1)$ 和 $(x_n, b)$ 中，我们无法像闭区间那样，直接将函数值与区间长度相乘（因为我们不知道如何处理接近端点但又不包含端点的值）。

2. 对端点行为的依赖
黎曼积分的收敛性（即黎曼和的极限存在）在很大程度上依赖于函数在区间的端点附近的行为。如果一个函数在开区间的端点处有奇怪的行为（例如，趋于无穷大，或者跳跃），这会直接影响到我们对积分值本身的理解。
例如，考虑函数 $f(x) = 1/x$ 在 $(0, 1]$ 上的积分。如果我们尝试在 $0$ 附近进行分割，例如 $(0, epsilon]$，那么 $1/epsilon$ 会非常大。黎曼积分试图通过让区间长度趋于零来处理这种“局部”行为。
如果是在开区间 $(0, 1)$ 上，即使函数在 $1$ 处是良定义的，我们仍然无法完全“抓住” $0$ 处的潜在问题。

3. 与极限概念的兼容性
黎曼积分是通过取细致分割的极限来定义的。这种极限过程对于闭区间更加稳健。在开区间上，试图将端点纳入考虑，或者忽略它们，都会引入复杂性，使得标准黎曼积分的定义难以直接套用。

4. 勒贝格积分的优势
实际上，勒贝格积分正是为了解决黎曼积分在处理“不规则”函数和“不规则”区间上的局限性而发展的。勒贝格积分不依赖于对区间的“分割”，而是基于测度论，将函数的取值范围进行划分，并计算相应集合的测度。这使得勒贝格积分能够更自然地处理开区间，甚至更复杂的集合上的积分。

总结来说，黎曼积分的定义是建立在将区间视为一个整体，并通过对有限的、由端点定义的小区间进行逼近来计算面积的思想上的。开区间的本质是缺少了两个端点，这使得传统的黎曼积分的构造方式难以直接且稳健地应用。

开区间勒贝格可积，再加什么特殊条件，可得到开区间黎曼可积？

这是一个关于两种积分理论之间关系的问题。勒贝格积分比黎曼积分更强大，也就是说，如果一个函数在某个区间上是黎曼可积的，那么它在该区间上一定也是勒贝格可积的，并且两个积分值相等。

反过来，如果我们有一个在开区间 $(a, b)$ 上勒贝格可积的函数 $f$，我们希望它在 $(a, b)$ 上也是黎曼可积的。我们需要添加哪些“特殊条件”呢？

这里的关键在于，虽然勒贝格积分可以处理开区间上的函数，但黎曼积分的定义是基于闭区间。所以，当我们将黎曼可积性推广到开区间时，我们通常会这样做：
一个函数 $f$ 在开区间 $(a, b)$ 上是黎曼可积的，如果存在一个在闭区间 $[a, b]$ 上的连续扩展 $ ilde{f}$（或者说，存在一个在 $[a, b]$ 上定义且在 $(a, b)$ 上与 $f$ 相等的函数），使得 $ ilde{f}$ 在闭区间 $[a, b]$ 上是黎曼可积的。

所以，问题转化为：
一个在开区间 $(a, b)$ 上勒贝格可积的函数 $f$，要使其在 $(a, b)$ 上黎曼可积，我们需要加上什么条件？

答案是：我们需要添加条件，使得 $f$ 的“端点行为”不会破坏黎曼积分的定义和收敛性。具体来说，我们需要确保：

1. 函数在端点的有限性或可控性：
函数的有限性： 对于黎曼可积性，函数在积分区间上的值必须是有限的。勒贝格积分允许函数在测度为零的集合上取无穷大（例如，狄利克雷函数在所有有理数上为0，在无理数上为1，在任何区间上勒贝格可积，但不是黎曼可积）。然而，我们考虑的通常是实值函数，所以“取无穷大”在黎曼积分中是不允许的。
“修正”端点： 即使勒贝格积分允许函数在少数点上（测度为零）取值无穷，但为了黎曼可积，我们需要的是一个有限的函数值在每个小区间内部。这意味着 $f$ 在 $(a,b)$ 的每个点上都必须是有限的。

2. 函数在端点的行为使得闭区间上的扩展是“良好”的：
黎曼积分的定义是基于对闭区间的逼近。因此，我们需要将开区间 $(a, b)$ “封闭”成闭区间 $[a, b]$。如果 $f$ 在 $(a, b)$ 上是勒贝格可积的，并且我们想让它在 $(a, b)$ 上黎曼可积，那么我们通常会将 $f$ 的定义域拓展到 $[a, b]$，并定义 $f(a)$ 和 $f(b)$（如果它们在原定义中不存在）。
条件：存在一个函数 $ ilde{f}$ 在 $[a, b]$ 上定义，使得 $ ilde{f}(x) = f(x)$ 对所有 $x in (a, b)$，并且 $ ilde{f}$ 在 $[a, b]$ 上是黎曼可积的。

那么，什么样的勒贝格可积函数 $f$ 在 $(a, b)$ 上，能够使得它的一个闭区间 $[a, b]$ 上的黎曼可积扩展存在呢？

核心条件是：f 在开区间 $(a, b)$ 上必须有“良好的”渐近行为，使得我们可以为 $a$ 和 $b$ 分别赋以有限的值，并且这个函数在整个闭区间 $[a, b]$ 上满足黎曼可积的条件。

具体来说，我们可以考虑以下几种情况和相应的条件：

情况一：函数 $f$ 在开区间 $(a, b)$ 上本身就已经被定义了有限值，并且在 $(a, b)$ 上是“足够好”的。

要使一个在 $(a, b)$ 上勒贝格可积的函数 $f$ 在 $(a, b)$ 上黎曼可积，最直接的条件就是：

条件1：函数 $f$ 在 $(a, b)$ 上是“有界”的，并且在 $(a, b)$ 上是“几乎处处连续”的。

有界性： 存在常数 $M > 0$，使得对所有 $x in (a, b)$， $|f(x)| le M$。
几乎处处连续性： 在 $(a, b)$ 上， $f$ 的不连续点集合的测度为零。

为什么这会有帮助？
有界性确保了在任何闭合的子区间 $[x_{i1}, x_i] subset (a, b)$ 内，$f$ 的值是有限的，并且它们的乘积与区间的长度相乘后，求和的极限是有意义的。
几乎处处连续性与黎曼积分的收敛性直接相关。黎曼积分理论证明了，如果一个函数在闭区间 $[a, b]$ 上有界且仅在有限个点不连续，那么它就是黎曼可积的。更一般地，如果它在 $[a, b]$ 上有界且不连续点集合的测度为零，那么它也是黎曼可积的。
对于开区间 $(a, b)$，如果我们加上这两个条件，那么我们可以选取一个闭区间 $[c, d] subset (a, b)$。在该闭区间上， $f$ 是有界且几乎处处连续的，因此在 $[c, d]$ 上是黎曼可积的。
更进一步，如果 $f$ 在 $(a, b)$ 上有界且几乎处处连续，那么我们可以定义一个在 $[a, b]$ 上的扩展 $ ilde{f}$。例如，我们可以定义 $ ilde{f}(a)$ 和 $ ilde{f}(b)$ 为某个值（例如0，或者某个极限值如果存在的话），然后在 $(a, b)$ 上 $ ilde{f}(x) = f(x)$。由于 $f$ 在 $(a, b)$ 上是“好”的，这个扩展 $ ilde{f}$ 在 $[a, b]$ 上也会是黎曼可积的。

情况二：函数在端点处“趋于有限”或可以被“很好地控制”。

更一般地说，我们希望找到一个 闭区间 $[a, b]$ 上的黎曼可积函数 $ ilde{f}$，使得 $ ilde{f}(x) = f(x)$ 在 $(a, b)$ 上几乎处处成立。

这引出了更核心的条件：

条件2：存在一个有限值 $L_a$ 和 $L_b$（可以是极限值，但更一般地，是我们赋予的值），使得我们可以构造一个在 $[a, b]$ 上黎曼可积的函数 $ ilde{f}$，且 $ ilde{f}(x) = f(x)$ 在 $(a, b)$ 上几乎处处成立。

具体而言，我们通常会考虑 $f$ 在 $(a, b)$ 上的“延拓”（extension）。
如果 $f$ 在 $(a, b)$ 上勒贝格可积，并且我们希望它在 $(a, b)$ 上黎曼可积，那么我们实际上是要求存在一个在闭区间 $[a, b]$ 上的有限函数 $ ilde{f}$，它在 $(a, b)$ 上与 $f$ 相等（几乎处处），并且 $ ilde{f}$ 在 $[a, b]$ 上是黎曼可积的。

为了保证 $ ilde{f}$ 在 $[a, b]$ 上是黎曼可积的， $ ilde{f}$ 本身必须是有界的，并且其不连续点集合的测度为零。
所以，我们需要 $f$ 在 $(a, b)$ 上满足：

1. $f$ 在 $(a, b)$ 上是有限的。
2. 存在 $L_a, L_b in mathbb{R}$ (或者我们选择的合理值)
3. 定义 $ ilde{f}(x) = f(x)$ 对于 $x in (a, b)$，$ ilde{f}(a) = L_a$，$ ilde{f}(b) = L_b$。
4. 这个 $ ilde{f}$ 在 $[a, b]$ 上必须是黎曼可积的。

而 $ ilde{f}$ 在 $[a, b]$ 上黎曼可积的充分必要条件是： $ ilde{f}$ 在 $[a, b]$ 上有界，并且不连续点集的测度为零。
由于 $ ilde{f}$ 在 $(a, b)$ 上等于 $f$，那么 $f$ 的不连续点（在 $(a, b)$ 内部）必须是测度零的。
此外，为了使得 $ ilde{f}$ 在 $[a, b]$ 上有界，我们需要 $f$ 在 $(a, b)$ 上是有界的。

最后，我们需要考虑端点 $a$ 和 $b$ 处的不连续性。如果 $f$ 在 $(a, b)$ 上有界且几乎处处连续，那么 $ ilde{f}$ 在 $(a, b)$ 上与 $f$ 相同， $ ilde{f}$ 的不连续点只可能出现在 $a$ 和 $b$ 处（以及 $f$ 在 $(a, b)$ 的不连续点）。只要 $f$ 在 $(a, b)$ 上有界且几乎处处连续，我们总可以找到 $L_a$ 和 $L_b$ 使得 $ ilde{f}$ 在 $[a, b]$ 上是黎曼可积的。例如，我们可以选择 $L_a$ 和 $L_b$ 为 0。

所以，最关键的“特殊条件”是：

函数 $f$ 在开区间 $(a, b)$ 上是有限的并且是有界的。
函数 $f$ 在开区间 $(a, b)$ 上除了有限个点外都是连续的（或者说，不连续点集的测度为零）。

举例说明：

1. 函数 $f(x) = x$ 在 $(0, 1)$ 上。
它是勒贝格可积的。
它在 $(0, 1)$ 上有界（例如 $|f(x)| le 1$）。
它在 $(0, 1)$ 上处处连续。
我们可以定义 $ ilde{f}(x) = x$ 在 $[0, 1]$ 上。这个 $ ilde{f}$ 在 $[0, 1]$ 上黎曼可积，且在 $(0, 1)$ 上与 $f$ 相等。因此，$f$ 在 $(0, 1)$ 上是黎曼可积的。

2. 函数 $f(x) = sin(1/x)$ 在 $(0, 1)$ 上。
它在 $(0, 1)$ 上勒贝格可积。
但是，它在 $(0, 1)$ 上是无界的（当 $x o 0^+$ 时，$1/x o infty$， $sin(1/x)$ 在 $[1, 1]$ 之间震荡，并且震荡频率越来越高，无法找到一个统一的上界）。
因此，我们无法将其延拓为一个在 $[0, 1]$ 上黎曼可积的函数。它在 $(0, 1)$ 上不是黎曼可积的。

3. 函数 $f(x) = 1/x$ 在 $(0, 1)$ 上。
它在 $(0, 1)$ 上勒贝格可积（其积分值为 $infty$，但我们通常讨论有限可积）。如果考虑一个在 $(0, 1)$ 上勒贝格积分值有限的函数，例如 $f(x) = x^{1/2}$。
函数 $f(x) = x^{1/2}$ 在 $(0, 1)$ 上勒贝格可积，且积分值为 2。
但是，它在 $x=0$ 附近是无界的（当 $x o 0^+$, $f(x) o infty$）。
因此，我们无法将其延拓为一个在 $[0, 1]$ 上黎曼可积的函数（因为黎曼可积要求函数在整个积分区间上都是有限的）。它在 $(0, 1)$ 上不是黎曼可积的。

4. 狄利克雷函数 $D(x)$ 在 $(0, 1)$ 上。
$D(x) = 1$ 如果 $x$ 是有理数
$D(x) = 0$ 如果 $x$ 是无理数
$D(x)$ 在 $(0, 1)$ 上勒贝格可积，积分值为 0 (因为有理数集在 $[0, 1]$ 上的测度为零)。
$D(x)$ 在 $(0, 1)$ 上是有界的（值是 0 或 1）。
但是，$D(x)$ 在 $(0, 1)$ 上是处处不连续的（更准确地说，不连续点集是整个 $(0, 1)$ 区间，测度大于零）。
因此，我们无法找到一个在 $[0, 1]$ 上黎曼可积的扩展 $ ilde{D}(x)$，使得 $ ilde{D}(x) = D(x)$ 在 $(0, 1)$ 上几乎处处成立。实际上，任何在 $(0, 1)$ 上与 $D(x)$ 几乎处处相等的函数在 $[0, 1]$ 上都不会是黎曼可积的。所以 $D(x)$ 在 $(0, 1)$ 上不是黎曼可积的。

总结添加的特殊条件：

一个在开区间 $(a, b)$ 上勒贝格可积的函数 $f$，要在 $(a, b)$ 上黎曼可积，需要满足：

1. 函数 $f$ 在开区间 $(a, b)$ 上是有限的且有界的。 这保证了我们可以为其在端点 $a, b$ 赋以有限的值，而不会引入“无穷”的问题。
2. 函数 $f$ 在开区间 $(a, b)$ 上的不连续点集合的测度为零。 这保证了我们可以通过选择合适的端点值，构造一个在闭区间 $[a, b]$ 上黎曼可积的函数 $ ilde{f}$，该函数在 $(a, b)$ 上与 $f$ 几乎处处相等。

这两个条件合起来，就意味着 $f$ 在 $(a, b)$ 上实质上表现得像一个闭区间上的黎曼可积函数，只是其端点可能没有明确定义或者不是连续点。

谢邀。

黎曼可积函数在有限个点上的函数值发生变动，不影响它的可积性以及积分结果。开区间上的黎曼可积函数，就可视为闭区间上的黎曼可积函数，只不过是在区间端点处对函数值的扩充。

关于黎曼可积与勒贝格可积的关系，只要函数几乎处处连续，也就是说不连续的点的测度为零，就是黎曼可积，当然，此时勒贝格可积更是没问题的，并且两者结果一致。