如果换一种几何，圆周率的值会变么？
这是一个非常深刻且引人入胜的问题！答案是：是的，如果换一种几何，圆周率的值很可能会变，而且变化的程度可能非常显著。
为了详细解释这一点，我们需要先理解“圆周率”（π）到底是什么，以及它与几何学的关系。
什么是圆周率（π）？
我们通常定义的圆周率 π 是一个几何常数，它代表了在一个欧几里得（平面）几何中，任意一个圆的周长与其直径之比。
$$ pi = frac{ ext{圆的周长}}{ ext{圆的直径}} $$
这个比值在任何大小的圆上都是恒定的，无论圆有多大或多小，无论你测量的精度有多高，这个比例总是相同的。这就是我们熟悉和爱用的 π ≈ 3.1415926535...
π 的这个不变性是基于欧几里得几何的公理系统，特别是关于直线、角度和空间关系的那些基本假设。
“换一种几何”意味着什么？
当我说“换一种几何”，我指的是我们离开了欧几里得几何，进入了非欧几里得几何（也称为弯曲几何）。在非欧几里得几何中，我们可能会修改或否定欧几里得几何的某些基本公理。
最著名的非欧几里得几何是：
1. 黎曼几何（Riemannian geometry）：允许空间在全局或局部上是弯曲的。
2. 双曲几何（Hyperbolic geometry）：这是黎曼几何的一个特例，描述的是一种“负曲率”的空间，类似于一个马鞍的表面。
3. 椭圆几何（Elliptic geometry）：这是黎曼几何的另一个特例，描述的是一种“正曲率”的空间，类似于一个球体的表面。
在非欧几里得几何中圆周率的值会变吗？
是的，几乎肯定会变。
让我们分别看一下在双曲几何和椭圆几何中会发生什么。
1. 在双曲几何中的圆周率
双曲几何最容易理解的例子是一个球体的表面（但要注意，球体的表面是椭圆几何，这里我们暂时类比，后面会详细说明）。或者更准确地说，想象一个马鞍面（双曲抛物面）或者一个罗氏几何模型（Poincaré disk model）。
在双曲几何中，我们仍然可以定义“圆”，但它的性质与欧几里得几何中的圆有所不同。假设我们在这个双曲空间中定义一个“圆”为：
圆心：是空间中的一个特定点。
圆周：是所有与圆心距离相等的点的集合。这里的“距离”是根据双曲几何的度量来计算的。
关键在于，在双曲几何中，两条平行线最终会分开（而不是像欧几里得几何那样永远保持相同的距离）。 这种“扩张”效应会影响到圆的周长和直径的比例。
结论：在双曲几何中，一个圆的周长与其直径的比值会大于 π。
原因解释： 想象你在双曲空间中画一个圆。随着圆的半径增加，圆周会比在欧几里得平面上“扩张得更快”。你可以这样理解：在双曲空间中，你可以用很多“短的”直线段来近似圆周。由于空间本身的弯曲，这些直线段在“外侧”会比在“内侧”有更大的角度。当您将这些直线段连接起来形成一个圆周时，它的总长度（周长）会比在欧几里得空间中相同“直径”的圆要长。
举例来说，如果我们用一个非常小的、局部看起来是平面的区域来测量，我们得到的值会接近 π。但当我们画一个越来越大的圆时，空间的“负曲率”效应就显现出来了。为了保持“距离相等”的定义，圆周的长度会比欧几里得空间中的圆周长得多。
更数学化的说法是，在双曲空间中，给定一个半径为 $r$ 的圆，它的周长 $C$ 和直径 $d$（即两倍的半径，或者更准确地说是过圆心并与圆周相交的最短线段的长度）满足关系：
$$ C = k cdot sinh(r) quad ext{（其中 } k ext{ 是一个常数，取决于具体的双曲模型）} $$
而在欧几里得几何中，$C = 2pi r$。由于 $sinh(r)$ 的增长速度比 $r$ 快，因此在双曲几何中，$C/d$ 的值会随着半径的增大而增大，且总会大于欧几里得几何中的 π。
2. 在椭圆几何（球面几何）中的圆周率
椭圆几何最经典的例子就是三维球体的表面。在球体表面上，我们无法画出在任何方向上都不相交的两条“直线”（在球面上称为测地线，也就是大圆的弧段）。所有测地线最终都会相交于“对径点”（北极和南极）。
在球体表面定义一个“圆”：
圆心：是球体表面上的一个点（比如北极）。
圆周：是所有与圆心距离相等的点的集合。这里的距离也是沿着球体表面的最短路径（即大圆弧段）。
结论：在椭圆几何（球面几何）中，一个圆的周长与其直径的比值会小于 π。
原因解释： 想象你在地球表面画一个圆。当你在北极点一个圆时，随着半径的增加，圆周的“曲率”与欧几里得平面不同。在球面上，直线会汇聚。如果你从北极出发，向东走一段距离构成圆周，那么这个圆周的“内侧”会比欧几里得平面上的圆周更“向内收缩”。
用一个简单的例子：想象一个球体。赤道是一个大圆，它的周长与其“直径”（例如从北极到南极，再回到北极的测地线长度的两倍，或者更直观地理解为围绕球心的直线距离的两倍）有一个固定的关系。但如果我们考虑一个非常小的圆（比如北极附近的微小区域），它在局部看起来几乎是平的，它的周长与直径的比值仍然接近 π。
然而，一旦我们画一个更大的圆，比如一个纬度圈，并且我们想要定义它的“直径”，问题就来了。如果我们以“从圆心到圆周的最短大圆弧段长度”作为半径 $r$，那么这个圆的周长 $C$ 和这个半径的关系是什么呢？
在一个半径为 $R$ 的球面上，一个半径为 $r$ 的圆周的长度是：
$$ C = 2pi R sinleft(frac{r}{R} ight) $$
这里的 $r$ 是球心到圆周的测地线距离。如果我们把“直径”定义为 $d = 2r$，那么周长与直径的比值是：
$$ frac{C}{d} = frac{2pi R sin(r/R)}{2r} = pi frac{sin(r/R)}{r/R} $$
我们知道，当 $x$ 趋近于 0 时，$sin(x)/x$ 趋近于 1。所以当圆非常小时 ($r o 0$)，这个比值趋近于 π。
但是，当 $r$ 变大时，$sin(r/R) / (r/R)$ 的值会小于 1。例如，当 $r = pi R / 2$ 时（即圆周是赤道），周长是 $2pi R$，而直径（测地线距离）是 $pi R / 2$，比值是 4，这似乎又有点奇怪了。
更标准的理解是： 在球面上，我们仍然可以测量圆的周长和“通过圆心的最长直线穿过球体表面两点的距离”作为直径。在这种定义下，球面几何中的圆周率值会小于欧几里得 π。关键在于球体表面的“内禀弯曲”使得相同“直径”的圆周显得更短。
想想看：如果你在球体上画一个圆，并保持圆心和圆周上的点到圆心的距离相同。随着圆的大小增加，这个圆周最终会“挤压”在一起，因为它必须在弯曲的表面上收敛。这导致周长相对于直径的比例会变小。
3. 欧几里得几何与圆周率
在欧几里得几何中，我们所有关于角度、平行线和距离的定义都基于一套公理，这些公理确保了空间是“平坦的”。在平坦的空间中，我们使用勾股定理来计算距离，并基于此推导出圆的周长公式 $C=2pi r$。这个公式的正确性直接依赖于欧几里得公理，特别是平行公理（或等价公理）。如果否定了平行公理，我们就会进入非欧几里得几何。
圆周率的本质与几何背景
圆周率 π 本身是一个数学常数，它的值是由数学定义的。但是，我们赋予它“周长与直径之比”这个几何意义，这个意义是与我们所处的几何空间紧密联系的。
欧几里得几何：π ≈ 3.14159... (恒定)
双曲几何：π 的值会随着半径的增大而增大，总会大于欧几里得 π。
椭圆几何（球面几何）：π 的值会随着半径的增大而减小，总会小于欧几里得 π。
更进一步思考：
谁在定义“圆”和“直径”？ 在不同的几何体系中，这些概念的定义可能需要调整以保持一致性。例如，在弯曲空间中，“直线”不再是欧几里得意义上的直线，而是测地线。圆的定义通常是围绕一个中心点的等距点集，但“距离”的测量方式不同。
什么是“长度”？ 长度的测量方式也取决于几何的度量张量。
π 的普适性： 虽然 π 的几何解释在不同几何中会改变，但 π 本身作为一个数学常数（例如作为一些级数或积分的精确值）在数学的许多分支中仍然是普适的。只是它在几何上的具体表现形式与空间的曲率相关联。
总结来说，圆周率 π 的数值 3.14159... 是特定于欧几里得几何的。当我们改变几何的“规则”（即切换到非欧几里得几何），空间本身的“弯曲”特性就会改变周长和直径之间的关系，从而导致圆周率在这个新几何体系下的“等价”值发生变化。
这就是为什么这个问题如此迷人：它揭示了数学概念（如 π）与其所描述的现实世界或抽象空间之间的深刻联系。
为了详细解释这一点，我们需要先理解“圆周率”（π）到底是什么，以及它与几何学的关系。
什么是圆周率（π）？
我们通常定义的圆周率 π 是一个几何常数，它代表了在一个欧几里得（平面）几何中，任意一个圆的周长与其直径之比。
$$ pi = frac{ ext{圆的周长}}{ ext{圆的直径}} $$
这个比值在任何大小的圆上都是恒定的，无论圆有多大或多小，无论你测量的精度有多高，这个比例总是相同的。这就是我们熟悉和爱用的 π ≈ 3.1415926535...
π 的这个不变性是基于欧几里得几何的公理系统，特别是关于直线、角度和空间关系的那些基本假设。
“换一种几何”意味着什么？
当我说“换一种几何”，我指的是我们离开了欧几里得几何，进入了非欧几里得几何（也称为弯曲几何）。在非欧几里得几何中，我们可能会修改或否定欧几里得几何的某些基本公理。
最著名的非欧几里得几何是：
1. 黎曼几何（Riemannian geometry）：允许空间在全局或局部上是弯曲的。
2. 双曲几何（Hyperbolic geometry）：这是黎曼几何的一个特例，描述的是一种“负曲率”的空间，类似于一个马鞍的表面。
3. 椭圆几何（Elliptic geometry）：这是黎曼几何的另一个特例，描述的是一种“正曲率”的空间，类似于一个球体的表面。
在非欧几里得几何中圆周率的值会变吗？
是的，几乎肯定会变。
让我们分别看一下在双曲几何和椭圆几何中会发生什么。
1. 在双曲几何中的圆周率
双曲几何最容易理解的例子是一个球体的表面（但要注意，球体的表面是椭圆几何，这里我们暂时类比，后面会详细说明）。或者更准确地说，想象一个马鞍面（双曲抛物面）或者一个罗氏几何模型（Poincaré disk model）。
在双曲几何中，我们仍然可以定义“圆”，但它的性质与欧几里得几何中的圆有所不同。假设我们在这个双曲空间中定义一个“圆”为：
圆心：是空间中的一个特定点。
圆周：是所有与圆心距离相等的点的集合。这里的“距离”是根据双曲几何的度量来计算的。
关键在于，在双曲几何中，两条平行线最终会分开（而不是像欧几里得几何那样永远保持相同的距离）。 这种“扩张”效应会影响到圆的周长和直径的比例。
结论：在双曲几何中，一个圆的周长与其直径的比值会大于 π。
原因解释： 想象你在双曲空间中画一个圆。随着圆的半径增加，圆周会比在欧几里得平面上“扩张得更快”。你可以这样理解：在双曲空间中，你可以用很多“短的”直线段来近似圆周。由于空间本身的弯曲，这些直线段在“外侧”会比在“内侧”有更大的角度。当您将这些直线段连接起来形成一个圆周时，它的总长度（周长）会比在欧几里得空间中相同“直径”的圆要长。
举例来说，如果我们用一个非常小的、局部看起来是平面的区域来测量，我们得到的值会接近 π。但当我们画一个越来越大的圆时，空间的“负曲率”效应就显现出来了。为了保持“距离相等”的定义，圆周的长度会比欧几里得空间中的圆周长得多。
更数学化的说法是，在双曲空间中，给定一个半径为 $r$ 的圆，它的周长 $C$ 和直径 $d$（即两倍的半径，或者更准确地说是过圆心并与圆周相交的最短线段的长度）满足关系：
$$ C = k cdot sinh(r) quad ext{（其中 } k ext{ 是一个常数，取决于具体的双曲模型）} $$
而在欧几里得几何中，$C = 2pi r$。由于 $sinh(r)$ 的增长速度比 $r$ 快，因此在双曲几何中，$C/d$ 的值会随着半径的增大而增大，且总会大于欧几里得几何中的 π。
2. 在椭圆几何（球面几何）中的圆周率
椭圆几何最经典的例子就是三维球体的表面。在球体表面上，我们无法画出在任何方向上都不相交的两条“直线”（在球面上称为测地线，也就是大圆的弧段）。所有测地线最终都会相交于“对径点”（北极和南极）。
在球体表面定义一个“圆”：
圆心：是球体表面上的一个点（比如北极）。
圆周：是所有与圆心距离相等的点的集合。这里的距离也是沿着球体表面的最短路径（即大圆弧段）。
结论：在椭圆几何（球面几何）中，一个圆的周长与其直径的比值会小于 π。
原因解释： 想象你在地球表面画一个圆。当你在北极点一个圆时，随着半径的增加，圆周的“曲率”与欧几里得平面不同。在球面上，直线会汇聚。如果你从北极出发，向东走一段距离构成圆周，那么这个圆周的“内侧”会比欧几里得平面上的圆周更“向内收缩”。
用一个简单的例子：想象一个球体。赤道是一个大圆，它的周长与其“直径”（例如从北极到南极，再回到北极的测地线长度的两倍，或者更直观地理解为围绕球心的直线距离的两倍）有一个固定的关系。但如果我们考虑一个非常小的圆（比如北极附近的微小区域），它在局部看起来几乎是平的，它的周长与直径的比值仍然接近 π。
然而，一旦我们画一个更大的圆，比如一个纬度圈，并且我们想要定义它的“直径”，问题就来了。如果我们以“从圆心到圆周的最短大圆弧段长度”作为半径 $r$，那么这个圆的周长 $C$ 和这个半径的关系是什么呢？
在一个半径为 $R$ 的球面上，一个半径为 $r$ 的圆周的长度是：
$$ C = 2pi R sinleft(frac{r}{R} ight) $$
这里的 $r$ 是球心到圆周的测地线距离。如果我们把“直径”定义为 $d = 2r$，那么周长与直径的比值是：
$$ frac{C}{d} = frac{2pi R sin(r/R)}{2r} = pi frac{sin(r/R)}{r/R} $$
我们知道，当 $x$ 趋近于 0 时，$sin(x)/x$ 趋近于 1。所以当圆非常小时 ($r o 0$)，这个比值趋近于 π。
但是，当 $r$ 变大时，$sin(r/R) / (r/R)$ 的值会小于 1。例如，当 $r = pi R / 2$ 时（即圆周是赤道），周长是 $2pi R$，而直径（测地线距离）是 $pi R / 2$，比值是 4，这似乎又有点奇怪了。
更标准的理解是： 在球面上，我们仍然可以测量圆的周长和“通过圆心的最长直线穿过球体表面两点的距离”作为直径。在这种定义下，球面几何中的圆周率值会小于欧几里得 π。关键在于球体表面的“内禀弯曲”使得相同“直径”的圆周显得更短。
想想看：如果你在球体上画一个圆，并保持圆心和圆周上的点到圆心的距离相同。随着圆的大小增加，这个圆周最终会“挤压”在一起，因为它必须在弯曲的表面上收敛。这导致周长相对于直径的比例会变小。
3. 欧几里得几何与圆周率
在欧几里得几何中，我们所有关于角度、平行线和距离的定义都基于一套公理，这些公理确保了空间是“平坦的”。在平坦的空间中，我们使用勾股定理来计算距离，并基于此推导出圆的周长公式 $C=2pi r$。这个公式的正确性直接依赖于欧几里得公理，特别是平行公理（或等价公理）。如果否定了平行公理，我们就会进入非欧几里得几何。
圆周率的本质与几何背景
圆周率 π 本身是一个数学常数，它的值是由数学定义的。但是，我们赋予它“周长与直径之比”这个几何意义，这个意义是与我们所处的几何空间紧密联系的。
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双曲几何：π 的值会随着半径的增大而增大，总会大于欧几里得 π。
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更进一步思考：
谁在定义“圆”和“直径”？ 在不同的几何体系中，这些概念的定义可能需要调整以保持一致性。例如，在弯曲空间中，“直线”不再是欧几里得意义上的直线，而是测地线。圆的定义通常是围绕一个中心点的等距点集，但“距离”的测量方式不同。
什么是“长度”？ 长度的测量方式也取决于几何的度量张量。
π 的普适性： 虽然 π 的几何解释在不同几何中会改变，但 π 本身作为一个数学常数（例如作为一些级数或积分的精确值）在数学的许多分支中仍然是普适的。只是它在几何上的具体表现形式与空间的曲率相关联。
总结来说，圆周率 π 的数值 3.14159... 是特定于欧几里得几何的。当我们改变几何的“规则”（即切换到非欧几里得几何），空间本身的“弯曲”特性就会改变周长和直径之间的关系，从而导致圆周率在这个新几何体系下的“等价”值发生变化。
这就是为什么这个问题如此迷人：它揭示了数学概念（如 π）与其所描述的现实世界或抽象空间之间的深刻联系。
网友意见
谢邀。
就讨论最简单的情况吧，比如说球面上的几何。
首先，我们要回答两个很基本的问题：
- 球面上的A、B两点间的距离如何定义？
答：过A、B的大圆劣弧。
- 球面上的圆怎么定义？
答：球面上，到定点等于定长的点的集合。
PS：其实还是圆。只是这个时候，定点——球面上的一点、定长——球面大圆上的弧长。
有了上面的铺垫，就可以考虑球面上的“圆周率”的问题了。
如图，A、B在球面同一个大圆上，劣弧AB是球面圆的“直径”D，“圆心”即是弧中点。设球半径为1，∠AOB = 2θ，即D = 2θ，再求球面圆周长C = 2π sinθ，那么两者之比即为“圆周率”
可见，球面上的圆周率是关于θ的函数，并不是一个定值。
不过，考虑极限
可见，当 θ 充分小的时候，球上的圆周率充分靠近 π ，这说明球上的一个微小邻域内是平坦的，这也符合我们的直觉。
当 θ = π/2 时，也就是 2θ = π 时，球面上的“圆周率”达到最小为2，
最后，我再问一个比较严谨的问题：上面计算球面圆周长C利用的是——在旧的距离意义下的“老公式”，但是在新定义的距离之下，对于同一段曲线长，计算的结果仍然与原先一样吗？
答：如果弧微分的定义不变，即 ds = √(dx² + dy²) ，在微分几何中一个很基本的结论：弧长只取决于起点和终点，与参数的选择无关。
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