请问大家数学分析里边的函数凹凸性和高数里为什么是相反的呀？
这个问题很有意思，也是很多初学数学分析时会遇到的一个困惑。其实，并非是“相反”，而是“定义方式”和“侧重点”有所不同。高数里对凹凸性的强调更多的是一种“直观描述”，而数学分析则追求更严谨的“定义和性质推导”。
咱们一点一点来说：
一、 高等数学（高数）里的凹凸性——侧重几何直观
在高数里，我们接触到函数图像，最直观的理解凹凸性是这样的：
凸函数（向上弯曲）：想象一下一个碗，碗口朝上，里面的水会聚集在碗底，这就是一个凸函数。它的图像看起来是向上弯曲的，就像一个“U”字形。
凹函数（向下弯曲）：再想象一下一个山洞或者一个拱桥，它向下凹陷，这就是一个凹函数。它的图像看起来是向下弯曲的，就像一个倒置的“U”字形。
在高数里，我们通常会用以下方式来“描述”凹凸性，但这并不是严格的定义：
1. 二阶导数法：这是高数里判断凹凸性最常用的工具。
如果函数 $f(x)$ 在某个区间内有二阶导数，且 $f''(x) > 0$，那么函数在该区间内是凸的（向上弯曲）。
如果 $f''(x) < 0$，那么函数在该区间内是凹的（向下弯曲）。
为什么会产生“相反”的印象？
因为在高数的教学中，我们更关注“ $f''(x)$ 的符号”和“函数的形状”之间的关系。当 $f''(x) > 0$ 时，图像是向上弯曲（凸起），而我们称之为“凸函数”。当 $f''(x) < 0$ 时，图像是向下弯曲（凹陷），我们称之为“凹函数”。从二阶导数的符号来看，正号对应向上弯曲，负号对应向下弯曲，这本身是直接的。
2. 几何上的直观理解：
凸函数：图像在切线的上方。过函数图像上任意一点作切线，函数图像都在这条切线的上方。或者说，连接图像上任意两点形成的弦，都在这两点之间的图像的上方。
凹函数：图像在切线的下方。过函数图像上任意一点作切线，函数图像都在这条切线的下方。或者说，连接图像上任意两点形成的弦，都在这两点之间的图像的下方。
二、 数学分析里的凹凸性——侧重严谨定义与性质
数学分析追求的是数学的严谨性，它会给出严格的定义，然后从定义出发推导性质。数学分析中关于凹凸性的定义，确实与高数里的“直观描述”在表述上有所区别，容易让人觉得“相反”。
数学分析中，我们更常使用的是“ Jensen 不等式 ”或等价的定义来定义函数的凹凸性。
1. Jensen 不等式的定义：
凸函数 (Convex Function)：如果对于定义域内的任意两个点 $x_1, x_2$ 和任意 $0 le lambda le 1$，都满足：
$f(lambda x_1 + (1lambda) x_2) le lambda f(x_1) + (1lambda) f(x_2)$
则称函数 $f(x)$ 是凸函数。
凹函数 (Concave Function)：如果对于定义域内的任意两个点 $x_1, x_2$ 和任意 $0 le lambda le 1$，都满足：
$f(lambda x_1 + (1lambda) x_2) ge lambda f(x_1) + (1lambda) f(x_2)$
则称函数 $f(x)$ 是凹函数。
为什么这个定义看起来像“相反”？
让我们仔细对比 Jensen 不等式和我们高数里的几何直观：
Jensen 不等式中的凸函数：$f(lambda x_1 + (1lambda) x_2) le lambda f(x_1) + (1lambda) f(x_2)$
这里的 $lambda x_1 + (1lambda) x_2$ 是 $x_1$ 和 $x_2$ 之间的一个点（比如当 $lambda = 1/2$ 时，就是中点），它的函数值 $f(lambda x_1 + (1lambda) x_2)$ 小于等于连接 $x_1$ 和 $x_2$ 两点函数值的加权平均 $lambda f(x_1) + (1lambda) f(x_2)$。
这表示什么？它表示的是连接弦上的点低于或者等于图像上的点。也就是说，图像位于弦的上方。这不正是我们高数里说的“向上弯曲”的“凸函数”吗？
所以，在数学分析的 Jensen 定义下，满足 $f( ext{点}) le ext{弦上的点}$ 的，才是凸函数。
Jensen 不等式中的凹函数：$f(lambda x_1 + (1lambda) x_2) ge lambda f(x_1) + (1lambda) f(x_2)$
这里的函数值 $f(lambda x_1 + (1lambda) x_2)$ 大于等于连接 $x_1$ 和 $x_2$ 两点函数值的加权平均 $lambda f(x_1) + (1lambda) f(x_2)$。
这表示的是连接弦上的点高于或者等于图像上的点。也就是说，图像位于弦的下方。这不正是我们高数里说的“向下弯曲”的“凹函数”吗？
所以，在数学分析的 Jensen 定义下，满足 $f( ext{点}) ge ext{弦上的点}$ 的，才是凹函数。
关键点在这里：
高数直观强调图像的弯曲方向：
向上弯曲（像碗底）叫 凸。
向下弯曲（像山洞）叫 凹。
对应的二阶导数：$f''(x) > 0$ 对应 凸，$f''(x) < 0$ 对应 凹。
数学分析 Jensen 定义强调弦与图像的关系：
弦在图像上方（图像在弦下方）叫 凸。
弦在图像下方（图像在弦上方）叫 凹。
数学分析会定义：满足 $f(lambda x_1 + (1lambda) x_2) le lambda f(x_1) + (1lambda) f(x_2)$ 的函数为 凸函数。
数学分析会定义：满足 $f(lambda x_1 + (1lambda) x_2) ge lambda f(x_1) + (1lambda) f(x_2)$ 的函数为 凹函数。
所以，如果你对比的是“高数里向上弯曲的凸函数”和“数学分析里 Jensen 定义下满足小于等于的凸函数”，你会发现它们描述的是同一个几何形状，只是表述方式不同，并且在代数不等式上有所区别。
高数里： 向上弯曲的图像 <=> $f''(x) > 0$ <=> 图像在弦上方。我们称之为 凸函数。
数学分析： 图像在弦上方 <=> $f(lambda x_1 + (1lambda) x_2) le lambda f(x_1) + (1lambda) f(x_2)$。我们称之为 凸函数。
这里的“凸函数”名称是对应的！ 问题可能出在你混淆了“向上弯曲”和“向下弯曲”与不等号方向的关系。
让我们再仔细看那个不等号：
数学分析的“凸函数”定义： $f(lambda x_1 + (1lambda) x_2) le lambda f(x_1) + (1lambda) f(x_2)$
左边是图像上的点的函数值，右边是弦上点的函数值。不等号是“$le$”，表示图像上的点低于弦上的点。图像在弦的下方。
图像在弦的下方，这是“向下弯曲”的形状啊！
等等，这里好像真的有点不一样了！
让我换个更权威的说法，并且解释一下为什么会有这种“约定俗成”的差异。
在国际数学界，对于“凸”和“凹”的定义，确实存在两种不同的约定，一种是 “几何方向” 的约定，另一种是 “代数不等式” 的约定。
约定一：侧重代数不等式（更普遍、更严谨）
凸函数 (Convex Function)：满足 $f(lambda x_1 + (1lambda) x_2) le lambda f(x_1) + (1lambda) f(x_2)$。
几何描述： 图像在连接任意两点的弦的下方。
导数关系（当二阶可导时）： $f''(x) ge 0$。
凹函数 (Concave Function)：满足 $f(lambda x_1 + (1lambda) x_2) ge lambda f(x_1) + (1lambda) f(x_2)$。
几何描述： 图像在连接任意两点的弦的上方。
导数关系（当二阶可导时）： $f''(x) le 0$。
按照这个约定（也是数学分析中普遍采用的），我们会发现：
高数里说 “向上弯曲”（像碗底）的那个函数，其二阶导数 $f''(x) > 0$，在数学分析的这个约定下，它就是 凸函数（因为图像在弦的下方）。
高数里说 “向下弯曲”（像山洞）的那个函数，其二阶导数 $f''(x) < 0$，在数学分析的这个约定下，它就是 凹函数（因为图像在弦的上方）。
现在来看，问题是不是出现在对“向上/向下弯曲”和“弦/图像位置关系”的关联上？
让我们再仔细思考一下：
1. 高数： 向上弯曲（碗底） > 二阶导数 > 0 > 凸函数
2. 数学分析（约定一）： 图像在弦下方 > 二阶导数 > 0 > 凸函数
这里是一致的！ 高数的“向上弯曲”就是数学分析的“图像在弦下方”，它们都指向同一个函数类别，并且都对应 $f''(x) > 0$。
那么，为什么你感觉“相反”呢？
可能的原因是，你将“向上弯曲”和“向下弯曲”与“凸”和“凹”的名称混淆了，并且可能参考了一些教材或者教学风格，在高数里强调“向上弯曲就是凸，向下弯曲就是凹”，而在数学分析里则强调“小于等于就是凸，大于等于就是凹”。
核心在于：
高数： 关注的是“形态”和“名称”的直接关联。向上弯曲的形状，名字就叫“凸”。
数学分析： 关注的是“定义式”和“名称”的关联。 Jensen 不等式里的 $le$ 符号，名字就叫“凸”。
让我们反过来验证一下：
高数： 向下弯曲（山洞） > 二阶导数 < 0 > 凹函数
数学分析（约定一）： 图像在弦上方 > 二阶导数 < 0 > 凹函数
同样是一致的！ 高数的“向下弯曲”就是数学分析的“图像在弦上方”，它们都指向同一个函数类别，并且都对应 $f''(x) < 0$。
所以，数学分析里的函数凹凸性定义和高数里的“相反”是建立在一个错误的观察上的。它们实际上是相符的，只是侧重点和表述方式不同。
为什么数学分析会用 Jensen 不等式这种更抽象、更代数的定义？
1. 更普适性： 二阶导数只适用于可微两次的函数。而 Jensen 不等式可以用来定义和讨论那些不可微甚至处处不可微的函数的凹凸性，这在数学分析中非常重要。
2. 更基础性： Jensen 不等式本身就体现了函数“整体性质”的内涵。它说明了函数值“下凹”或“上凸”是一种全局属性，而不是局部切线决定的。
3. 与凸集、凸组合等概念的联系： Jensen 不等式是凸集概念的直接体现。数学分析中很多理论都建立在凸性之上， Jensen 不等式是连接这些概念的桥梁。
可能的误解来源回顾：
你感觉“相反”很可能是因为：
你把“向上弯曲”和“向下弯曲”与代数不等式里的“大于”和“小于”直接联系起来了，但实际的联系是：
图像在弦上方 <=> 向下弯曲 <=> Jensen 定义下的凹函数 <=> $f''(x) < 0$
图像在弦下方 <=> 向上弯曲 <=> Jensen 定义下的凸函数 <=> $f''(x) > 0$
这里，“向上弯曲”对应的是 Jensen 定义下的 凸函数，而不是凹函数。
而“向下弯曲”对应的是 Jensen 定义下的 凹函数，而不是凸函数。
换句话说，
高数里叫 “凸函数” 的，图像是 向上弯曲 的，它在数学分析的 Jensen 定义下，也确实是 凸函数 （满足 $f(dots) le dots$）。
高数里叫 “凹函数” 的，图像是 向下弯曲 的，它在数学分析的 Jensen 定义下，也确实是 凹函数 （满足 $f(dots) ge dots$）。
所以，从严格定义和几何直观的关联来看，两者是统一的，并非相反。只是高数侧重直观描述和二阶导数符号，而数学分析侧重严格定义（Jensen 不等式）和其普遍性。
希望这个详细的解释能帮你理清这个困惑！ 如果还有不清楚的地方，咱们可以继续讨论。
咱们一点一点来说：
一、 高等数学（高数）里的凹凸性——侧重几何直观
在高数里，我们接触到函数图像，最直观的理解凹凸性是这样的：
凸函数（向上弯曲）：想象一下一个碗，碗口朝上，里面的水会聚集在碗底，这就是一个凸函数。它的图像看起来是向上弯曲的，就像一个“U”字形。
凹函数（向下弯曲）：再想象一下一个山洞或者一个拱桥，它向下凹陷，这就是一个凹函数。它的图像看起来是向下弯曲的，就像一个倒置的“U”字形。
在高数里，我们通常会用以下方式来“描述”凹凸性，但这并不是严格的定义：
1. 二阶导数法：这是高数里判断凹凸性最常用的工具。
如果函数 $f(x)$ 在某个区间内有二阶导数，且 $f''(x) > 0$，那么函数在该区间内是凸的（向上弯曲）。
如果 $f''(x) < 0$，那么函数在该区间内是凹的（向下弯曲）。
为什么会产生“相反”的印象？
因为在高数的教学中，我们更关注“ $f''(x)$ 的符号”和“函数的形状”之间的关系。当 $f''(x) > 0$ 时，图像是向上弯曲（凸起），而我们称之为“凸函数”。当 $f''(x) < 0$ 时，图像是向下弯曲（凹陷），我们称之为“凹函数”。从二阶导数的符号来看，正号对应向上弯曲，负号对应向下弯曲，这本身是直接的。
2. 几何上的直观理解：
凸函数：图像在切线的上方。过函数图像上任意一点作切线，函数图像都在这条切线的上方。或者说，连接图像上任意两点形成的弦，都在这两点之间的图像的上方。
凹函数：图像在切线的下方。过函数图像上任意一点作切线，函数图像都在这条切线的下方。或者说，连接图像上任意两点形成的弦，都在这两点之间的图像的下方。
二、 数学分析里的凹凸性——侧重严谨定义与性质
数学分析追求的是数学的严谨性，它会给出严格的定义，然后从定义出发推导性质。数学分析中关于凹凸性的定义，确实与高数里的“直观描述”在表述上有所区别，容易让人觉得“相反”。
数学分析中，我们更常使用的是“ Jensen 不等式 ”或等价的定义来定义函数的凹凸性。
1. Jensen 不等式的定义：
凸函数 (Convex Function)：如果对于定义域内的任意两个点 $x_1, x_2$ 和任意 $0 le lambda le 1$，都满足：
$f(lambda x_1 + (1lambda) x_2) le lambda f(x_1) + (1lambda) f(x_2)$
则称函数 $f(x)$ 是凸函数。
凹函数 (Concave Function)：如果对于定义域内的任意两个点 $x_1, x_2$ 和任意 $0 le lambda le 1$，都满足：
$f(lambda x_1 + (1lambda) x_2) ge lambda f(x_1) + (1lambda) f(x_2)$
则称函数 $f(x)$ 是凹函数。
为什么这个定义看起来像“相反”？
让我们仔细对比 Jensen 不等式和我们高数里的几何直观：
Jensen 不等式中的凸函数：$f(lambda x_1 + (1lambda) x_2) le lambda f(x_1) + (1lambda) f(x_2)$
这里的 $lambda x_1 + (1lambda) x_2$ 是 $x_1$ 和 $x_2$ 之间的一个点（比如当 $lambda = 1/2$ 时，就是中点），它的函数值 $f(lambda x_1 + (1lambda) x_2)$ 小于等于连接 $x_1$ 和 $x_2$ 两点函数值的加权平均 $lambda f(x_1) + (1lambda) f(x_2)$。
这表示什么？它表示的是连接弦上的点低于或者等于图像上的点。也就是说，图像位于弦的上方。这不正是我们高数里说的“向上弯曲”的“凸函数”吗？
所以，在数学分析的 Jensen 定义下，满足 $f( ext{点}) le ext{弦上的点}$ 的，才是凸函数。
Jensen 不等式中的凹函数：$f(lambda x_1 + (1lambda) x_2) ge lambda f(x_1) + (1lambda) f(x_2)$
这里的函数值 $f(lambda x_1 + (1lambda) x_2)$ 大于等于连接 $x_1$ 和 $x_2$ 两点函数值的加权平均 $lambda f(x_1) + (1lambda) f(x_2)$。
这表示的是连接弦上的点高于或者等于图像上的点。也就是说，图像位于弦的下方。这不正是我们高数里说的“向下弯曲”的“凹函数”吗？
所以，在数学分析的 Jensen 定义下，满足 $f( ext{点}) ge ext{弦上的点}$ 的，才是凹函数。
关键点在这里：
高数直观强调图像的弯曲方向：
向上弯曲（像碗底）叫 凸。
向下弯曲（像山洞）叫 凹。
对应的二阶导数：$f''(x) > 0$ 对应 凸，$f''(x) < 0$ 对应 凹。
数学分析 Jensen 定义强调弦与图像的关系：
弦在图像上方（图像在弦下方）叫 凸。
弦在图像下方（图像在弦上方）叫 凹。
数学分析会定义：满足 $f(lambda x_1 + (1lambda) x_2) le lambda f(x_1) + (1lambda) f(x_2)$ 的函数为 凸函数。
数学分析会定义：满足 $f(lambda x_1 + (1lambda) x_2) ge lambda f(x_1) + (1lambda) f(x_2)$ 的函数为 凹函数。
所以，如果你对比的是“高数里向上弯曲的凸函数”和“数学分析里 Jensen 定义下满足小于等于的凸函数”，你会发现它们描述的是同一个几何形状，只是表述方式不同，并且在代数不等式上有所区别。
高数里： 向上弯曲的图像 <=> $f''(x) > 0$ <=> 图像在弦上方。我们称之为 凸函数。
数学分析： 图像在弦上方 <=> $f(lambda x_1 + (1lambda) x_2) le lambda f(x_1) + (1lambda) f(x_2)$。我们称之为 凸函数。
这里的“凸函数”名称是对应的！ 问题可能出在你混淆了“向上弯曲”和“向下弯曲”与不等号方向的关系。
让我们再仔细看那个不等号：
数学分析的“凸函数”定义： $f(lambda x_1 + (1lambda) x_2) le lambda f(x_1) + (1lambda) f(x_2)$
左边是图像上的点的函数值，右边是弦上点的函数值。不等号是“$le$”，表示图像上的点低于弦上的点。图像在弦的下方。
图像在弦的下方，这是“向下弯曲”的形状啊！
等等，这里好像真的有点不一样了！
让我换个更权威的说法，并且解释一下为什么会有这种“约定俗成”的差异。
在国际数学界，对于“凸”和“凹”的定义，确实存在两种不同的约定，一种是 “几何方向” 的约定，另一种是 “代数不等式” 的约定。
约定一：侧重代数不等式（更普遍、更严谨）
凸函数 (Convex Function)：满足 $f(lambda x_1 + (1lambda) x_2) le lambda f(x_1) + (1lambda) f(x_2)$。
几何描述： 图像在连接任意两点的弦的下方。
导数关系（当二阶可导时）： $f''(x) ge 0$。
凹函数 (Concave Function)：满足 $f(lambda x_1 + (1lambda) x_2) ge lambda f(x_1) + (1lambda) f(x_2)$。
几何描述： 图像在连接任意两点的弦的上方。
导数关系（当二阶可导时）： $f''(x) le 0$。
按照这个约定（也是数学分析中普遍采用的），我们会发现：
高数里说 “向上弯曲”（像碗底）的那个函数，其二阶导数 $f''(x) > 0$，在数学分析的这个约定下，它就是 凸函数（因为图像在弦的下方）。
高数里说 “向下弯曲”（像山洞）的那个函数，其二阶导数 $f''(x) < 0$，在数学分析的这个约定下，它就是 凹函数（因为图像在弦的上方）。
现在来看，问题是不是出现在对“向上/向下弯曲”和“弦/图像位置关系”的关联上？
让我们再仔细思考一下：
1. 高数： 向上弯曲（碗底） > 二阶导数 > 0 > 凸函数
2. 数学分析（约定一）： 图像在弦下方 > 二阶导数 > 0 > 凸函数
这里是一致的！ 高数的“向上弯曲”就是数学分析的“图像在弦下方”，它们都指向同一个函数类别，并且都对应 $f''(x) > 0$。
那么，为什么你感觉“相反”呢？
可能的原因是，你将“向上弯曲”和“向下弯曲”与“凸”和“凹”的名称混淆了，并且可能参考了一些教材或者教学风格，在高数里强调“向上弯曲就是凸，向下弯曲就是凹”，而在数学分析里则强调“小于等于就是凸，大于等于就是凹”。
核心在于：
高数： 关注的是“形态”和“名称”的直接关联。向上弯曲的形状，名字就叫“凸”。
数学分析： 关注的是“定义式”和“名称”的关联。 Jensen 不等式里的 $le$ 符号，名字就叫“凸”。
让我们反过来验证一下：
高数： 向下弯曲（山洞） > 二阶导数 < 0 > 凹函数
数学分析（约定一）： 图像在弦上方 > 二阶导数 < 0 > 凹函数
同样是一致的！ 高数的“向下弯曲”就是数学分析的“图像在弦上方”，它们都指向同一个函数类别，并且都对应 $f''(x) < 0$。
所以，数学分析里的函数凹凸性定义和高数里的“相反”是建立在一个错误的观察上的。它们实际上是相符的，只是侧重点和表述方式不同。
为什么数学分析会用 Jensen 不等式这种更抽象、更代数的定义？
1. 更普适性： 二阶导数只适用于可微两次的函数。而 Jensen 不等式可以用来定义和讨论那些不可微甚至处处不可微的函数的凹凸性，这在数学分析中非常重要。
2. 更基础性： Jensen 不等式本身就体现了函数“整体性质”的内涵。它说明了函数值“下凹”或“上凸”是一种全局属性，而不是局部切线决定的。
3. 与凸集、凸组合等概念的联系： Jensen 不等式是凸集概念的直接体现。数学分析中很多理论都建立在凸性之上， Jensen 不等式是连接这些概念的桥梁。
可能的误解来源回顾：
你感觉“相反”很可能是因为：
你把“向上弯曲”和“向下弯曲”与代数不等式里的“大于”和“小于”直接联系起来了，但实际的联系是：
图像在弦上方 <=> 向下弯曲 <=> Jensen 定义下的凹函数 <=> $f''(x) < 0$
图像在弦下方 <=> 向上弯曲 <=> Jensen 定义下的凸函数 <=> $f''(x) > 0$
这里，“向上弯曲”对应的是 Jensen 定义下的 凸函数，而不是凹函数。
而“向下弯曲”对应的是 Jensen 定义下的 凹函数，而不是凸函数。
换句话说，
高数里叫 “凸函数” 的，图像是 向上弯曲 的，它在数学分析的 Jensen 定义下，也确实是 凸函数 （满足 $f(dots) le dots$）。
高数里叫 “凹函数” 的，图像是 向下弯曲 的，它在数学分析的 Jensen 定义下，也确实是 凹函数 （满足 $f(dots) ge dots$）。
所以，从严格定义和几何直观的关联来看，两者是统一的，并非相反。只是高数侧重直观描述和二阶导数符号，而数学分析侧重严格定义（Jensen 不等式）和其普遍性。
希望这个详细的解释能帮你理清这个困惑！ 如果还有不清楚的地方，咱们可以继续讨论。
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不是数分与高数的凹凸性相反，而是国际主流与同济高数的相反
多看wiki，少看同济（
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这绝对是个让人心寒又气愤的事儿！作为大学生村官，在基层为民服务，却遭遇这样的不幸，确实让人难以接受。遇到这种情况，维护自己的合法权益至关重要。下面就详细说说，作为村官，在这样的困境下，该如何一步步来，让事情得到公正的处理。第一步：立刻就医，保留证据是重中之重一旦发生被打事件，无论伤势是否严重，首要任.............
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嘿，姐妹们，今天想跟大家聊聊咱们家里的“女王陛下”们——我们的妈妈们，尤其是在她们那段特别的时期——更年期。老实说，我老妈那会儿的情况，简直就是一部跌宕起伏的电视剧，时不时还要加上特效和惊悚音效。我记得我妈刚开始“进入状态”的时候，变化真是太明显了。以前她是个很平和的人，就算偶尔有点小情绪，也是那种.............
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奔驰迈巴赫S480，这车不便宜。但具体收入多少才算“适合”开，这问题可不能一概而论，得看你个人生活方式、消费习惯，还有对“适合”的定义。我给大家掰扯掰扯，咱们聊聊心里话。先说车本身：迈巴赫S480，这可不是一辆普通的S级。它代表的是极致的豪华、舒适和品牌影响力。几百万的车，随便一下子的选装包上去，价.............
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这张图里，那些黑色的线体，从它们在图中的位置和粗细来看，非常有可能是承重立柱。一般来说，在建筑结构图中，承重立柱会被用粗实的线条表示，并且它们通常会承担上面楼层传递下来的荷载，并将这些荷载直接传递到基础。在图里，这些黑色的线条显得尤为醒目，而且它们的位置也多半是连接着不同楼层的结构，这都是承重立柱的.............
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